Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở Chương tổ hợp và xác suất lớp 11

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là xây dựng một số tình huống có vấn đề trong giải bài tập Tổ hợp – Xác suất. Học sinh giải quyết được tình huống có vấn đề (dưới sự hướng dẫn của giáo viên). Qua đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở Chương tổ hợp và xác suất lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 2  ĐỀ TÀI: BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TỪ QUÁ TRÌNH TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Ở CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT LỚP Đề tài thuộc lĩnh vực: Toán học Người thực hiện: Phạm Ngọc Chuyên Năm học : 2020 - 2021 1
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................................... 3 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................. 3 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................................... 3 3. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................................................... 3 4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................................ 3 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ....................................................................... 4 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn ............................................................................................... 4 1.1. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo .................................................. 4 1.2. Các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn toán ............................................................................................................... 5 1.3. Thực trạng vấn đề ................................................................................. 6 2. Nội dung Đề tài .................................................................................................................... 6 2.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải một bài toán, phân tích tìm cách giải hay ................................................................................................. 6 2.2. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng các thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa ............. 12 2.2.1. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy tương tự hóa: ........ 12 2.2.2. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy khái quát hóa: ....... 13 2.2.3. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng thao tác tư duy đặc biệt hóa: .................................................................... 17 2.3. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh qua tìm sai lầm từ lời giải các bài toán. ........................................................... 18 3. Thực nghiệm........................................................................................................................ 25 3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 25 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ........................................................ 25 3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm ............................................................. 28 * Đánh giá định tính.................................................................................... 28 *Đánh giá định lượng ................................................................................. 28 PHẦN 3. KẾT LUẬN ......................................................................................................... 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 32 2
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Bài tập của chương Tổ hợp – Xác suất (đại số và giải tích lớp 11) là một nội dung khá phong phú về cách ra đề và luôn có trong đề thi THPT Quốc gia cũng như đề thi học sinh giỏi. Phương pháp giải các bài toán Tổ hợp- Xác suất thiên về tư duy logic và tư duy thuật toán nên những học sinh “yếu” về năng lực giải quyết vần đề thường gặp khó khăn trong giải các bài tập toán phần này. 1.2. Trước thực trạng đó, bản thân tôi luôn tìm tòi các cách dạy học sao cho học sinh biết: Gạt bỏ những thuộc tính hình thức và giữ lại những thuộc tính bản chất của bài toán; Thấy được không chỉ một bài toán mà còn phải thấy được một lớp các bài toán tương tự; Xây dựng được các bài toán từ bài toán gốc…Qua đó, khơi dậy sự hứng thú trọng học tập của học sinh; bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và phát huy tính sáng tạo . 1.3. Định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục của nước ta trong giai đoạn hiện nay là: “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”. Theo định hướng này này, song song với hoạt động dạy học nội dung kiến thức là hoạt động hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực cốt lõi. Chương trình SGK mới chỉ ra một số năng lực chung như: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. Ngoài ra còn có các năng lực chuyên môn được hình thành và phát triển thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định như: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực thẩm mỹ, năng lực thể chất, năng lực tin học, năng lực công nghệ. Từ mục đích trên, tôi nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh từ quá trình tìm lời giải các bài toán ở Chương tổ hợp và xác suất lớp 11”. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng một số tình huống có vấn đề trong giải bài tập Tổ hợp – Xác suất. Học sinh giải quyết được tình huống có vấn đề (dưới sự hướng dẫn của giáo viên). Qua đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh. 3. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 11; - Giáo viên toán THPT. 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, quan sát, điều tra thực tiễn, thực nghiệm…. 3
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một trong các năng lực chung mà chương trình GDPT 2018 hướng tới. Các thành tố của năng lực này bao gồm : - Nhận ra ý tưởng mới; - Phát hiện và làm rõ vấn đề; - Hình thành và triển khai ý tưởng mới; - Đề xuất, lựa chọn giải pháp; - Thiết kế, tổ chức hoạt động; - Tư duy độc lập. Các biểu hiện của các thành tố này đối với học sinh THPT được tóm tắt trong bảng sau: Thành tố năng lực Biểu hiện của học sinh Nhận ra ý tưởng mới - Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau; - Biết phân tích các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và độ tin cậy của ý tưởng mới. Phát hiện và làm rõ vấn đề - Phân tích được tình huống trong học tập , trong cuộc sống; - Phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống. Hình thành và triển khai ý - Nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc tưởng mới sống; - Suy nghĩ không theo lối mòn; - Tạo ra yếu tố mới dựa trên những ý tưởng khác nhau; - Hình thành và kết nối ý tưởng; - Nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh; - Đánh giá rủi ro và có dự phòng. Đề xuất, lựa chọn giải pháp - Biết thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề; - Biết đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải quyết vấn đề; 4
- Lựa chon được giải pháp phù hợp nhất. Thiết kế và tổ chức hoạt - Lập được kế hoạch hoạt động có mục tiêu, nội dung, động hình thức, phương tiện hoạt động phù hợp; - Tập hợp và điều phối được nguồn lực (nhân lực, vật lực) cần thiết cho hoạt động. - Biết điều chỉnh kế hoạch về việc thực hiện kế hoạch, cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề cho phù hợp với hoàn cảnh để đạt hiệu quả cao. - Đánh giá được hiệu quả của giải pháp và hoạt động Tư duy độc lập - Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp nhận thông tin một chiều; - Không thành kiến khi xem xét, đánh giá vấn đề; biết quan tâm tới các lập luận và minh chứng thuyết phục; - Sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề. 1.2. Các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn toán Từ việc phân tích các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo nói chung, năng lực toán học nói riêng, có thể chỉ ra các đặc điểm của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn toán như sau: - Nhận biết, phát hiện và làm rõ vấn đề cần giải quyết bằng Toán học; - Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề; - Sử dụng được các kiến thức, kỹ năng toán học tương thích để giải quyết vấn đề đặt ra; - Đánh giá được giải pháp đề ra; - Nhận ra, hình thành và triển khai khái niệm mới, định lý mới, bài toán mới, cách giải mới trong môn toán. Dạy học Toán bản chất là dạy học sinh giải toán. Khi học sinh giải được một bài toán, tức là học sinh đã biết giải quyết vấn đề xảy ra trong quá trình học tập để tìm ra cái mới ở mức độ nào đó. Nếu bài toán đó học sinh chưa biết phương pháp giải nhưng vẫn giải được thì đó được xem là giải quyết vấn đề sáng tạo. Sáng tạo của học sinh trong học tập được xem như một quá trình sáng tạo đặc biệt. Bởi vì tri thức học sinh tìm ra không mới với nhân loại nhưng mới với bản thân các em. Sự sáng tạo của học sinh biểu hiện qua các hoạt động như: Giải được bài toán mà các em chưa biết phương pháp giải; Giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau; đưa ra một cách giải mới; ... Giải quyết vấn đề và sáng tạo là hai mặt tồn tại song song và bổ trợ cho nhau khi thực hiện một hoạt động học tập nào đó. Khi giải quyết một vấn đề, chúng ta sẽ 5
gặp những khó khăn và chướng ngại nhất định. Để vượt qua những khó khăn và chướng ngại đó ngoài tri thức và phương pháp đã biết cần có sự sáng tạo để giải quyết vấn đề. Ngược lại, con người chỉ phát huy tính sáng tạo khi gặp tình huống có vấn đề. Trong Đề tài này tác giả bồi dưỡng năng lực giải quết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua 3 vấn đề: Học tập từ những lời giải sai lầm; Giải một bài toán bằng nhiều cách; Sáng tạo bài toán mới; Tổng quát hóa bài toán. 1.3. Thực trạng vấn đề Những thuận lợi: Đây là nội dung Toán học gắn liền với thực tiễn nên từng nội dung bài học cũng như các bài tập luôn gây được sự hứng thú và hấp dẫn học sinh. Những khó khăn: Thời lượng dành cho chương ít nhưng nội dung hoàn toàn mới đối với học sinh và lượng kiến thức rất nhiều. Hơn nữa nội dung này chỉ học ở lớp 11 không được học giãn ra ở các lớp như nội dung Toán học khác. Điều đó dẫn đến việc áp dụng kiến thức vào giải toán không có độ chín muồi về kỹ năng và tư duy. 2. Nội dung Đề tài 2.1. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải một bài toán, phân tích tìm cách giải hay Học toán xét cho cùng là học giải bài tập toán. Trong một bài toán có chứa nhiều yếu tố, mỗi cách phân tích, nhìn nhận các yếu tố theo một cách khác nhau có thể cho chúng ta một cách giải bài toán khác nhau. Mỗi cách giải có hiệu quả nhất định đến quá trình phát triển tư duy, năng lực giải quyết vấn đề của người học. Tìm nhiều lời giải cho một bài toán là hoạt động dạy học giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về một vấn đề toán học. Từ đó các em biết tự hệ thống hóa kiếm thức và biết khai thác sử dụng các kiến thức kỹ năng, phương pháp giải một cách mềm dẻo, linh hoạt. Tìm nhiều cách giải cho một bài toán sẽ giúp học sinh tự mình biết phân tích, so sánh và rút ra các đặc điểm như: - Thấy được cách giải tốt nhất cho bài toán; - Phát hiện ra các vấn đề mới, các bài toán mới; - Đưa ra cách giải cho một lớp các bài toán tương tự. Ví dụ 1: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}. Hỏi có bao nhiêu số gồm 9 chữ số tạo thành từ A biết chữ số 1 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần. Học sinh có thể tiếp cận một số cách giải sau: 9! Cách 1: Sử dụng công thức hoán vị lặp ta có kết quả . 3! 6
Phân tích cách giải 1: Hoán vị lặp không đưa vào SGK, nhưng đây là một nội dung mà học sinh có thể t́m t́m hiểu thêm thông qua sự giới thiệu và hướng dẫn của giáo viên. Tìm hiểu sâu cách giải 1: Từ bài toán trên ta có thể hướng dẫn học sinh xây dựng bài toán tổng quát sau: Cho tập A có n phần tử, trong đó có: n1 phần tử x1 , n2 phần tử x2 ……… nk phần tử xk (n1  n2  ...nk  n) . Mỗi cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí gọi là một hoán vị lặp của n phần tử đã cho. Số hoán vị lặp của n phần tử ở trên là: n! P n1 !.n2 !....nk ! Từ bài toán tổng quát trên học sinh có thể tự sáng tạo ra lớp các bài toán tương tự: Bài 1: Từ tập X ={1;2;3;4;5;6;7;8} lập được bao nhiêu số tự nhiên có 11 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 4 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần? Bài 2: Từ các số của tập A = { 2; 4; 6; 8} lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số, trong đó chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần; chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần và chữ số 8 xuất hiện 1 lần. Bài 3: Cho tập A = { 1; 3; 5; 6; 9}. Từ tập A ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 2 lần; chữ số 6 xuất hiện 2 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số này chia hết cho 5. Bài 4: Từ tập X = {1; 2; 4; 6; 7; 9}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 8 chữ số sao cho chữ số 4 xuất hiện 2 lần; chữ số 2 xuất hiện 2 lần; các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó không chia hết cho 2. Bài 5: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Bài 6: Cho tập X = {0;1; 3;5;6}. Từ tập X ta lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các số khác xuất hiện đúng 1 lần và số đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5. Bài 7: (HSG lớp 11 Quảng Ngãi 2015-2016). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số tạo thành nói trên lấy ngẫu nhiên một số. Tính các suất để số được chọn chia hết cho 4. Cách 2: Xem số 1 xuất hiện ba lần trong số cần tìm là khác nhau, giả sử là a,b,c. Khi đó ta có bài toán mới như sau: Có bao nhiêu số có 9 chữ số khác nhau tạo thành từ tập hợp B = {2,3,4,5,6,7,a,b,c}. Mỗi số được tạo thành là hoán vị của 9 phần tử của tập hợp B. Ta có 9! số. Nhưng do a  b  c  1 nên mỗi số tìm được trên khi hoán vị các vị trí của a, b, c cho nhau thì số đó không đổi. Từ đó suy ra số các số 9! thỏa mãn yêu cầu bài toán là số. 3! 7
Phân tích cách giải 2: Vấn đề khó khăn của bài toán là 3 số 1 ở ba vị trí khác nhau của một số có 9 chữ số thì ta được các số khác nhau, nhưng khi đổi vị trí của 3 số 1 cho nhau thì số đó không đổi. Mọi sự phức tạp của bài toán đều bắt nguồn từ sự lặp lại của các số 1. Vậy nếu ta xem các số 1 đó như là các số khác nhau thì sao? Từ đó gợi cho học sinh biết “quy lạ về quen” bằng cách xem ba số 1 như ba số khác nhau. Tìm hiểu sâu cách giải 2: Nếu so sánh cách giải 2 và cách giải 1 thì cách 1 có ưu điểm ngắn gọn và dễ hiểu. Nhưng ở cách 2 việc đặt a  1, b  1, c  1 là cách nhìn biện chứng rất thường dùng trong giải toán. Ví dụ: phương trình 3x 2  5 x  2  0 1 là phương trình bậc hai. Nếu ta đặt x  t 2  2t  3 thì phương trình ban đầu trở thành: 3  t  2t  3  5  t  2t  3  2  0  2  là phương trình bậc 4 theo ẩn t. Nhưng nếu bỏ qua 2 2 2 những thuộc tính hình thức, giữ lại thuộc tính bản chất thì phương trình (2) cũng chỉ là phương trình bậc 2 quen thuộc. Ta sử dụng cách nhìn biện chứng để đưa một đối tượng phức tạp về một đối tượng mới đơn giản hơn, theo cách giải quyết vấn đề như trên ta có thể giải được một số bài toán tổ hợp tương tự như: Ví dụ 1a: Có 6 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách đó thành 1 dãy trên kệ sao cho các quyển sách Hoá đứng cạnh nhau, các quyển sách Lý đứng cạnh nhau. Giải: Ta ghép các quyển sách hoá lại xem như 1 phần tử H, ghép các quyển sách Lý lại xem như 1 phần tử L. Khi đó xếp 8 phần tử (gồm 6 quyển sách toán và 2 phần tử H và L) có 8! cách sắp xếp. Ghép 5 quyển sách hoá có 5! cách. Ghép 3 quyển sách Lý có 3! cách. Theo quy tắc nhân có 5!.3!.8! cách. Ví dụ 1b: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. Giải: Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách. Xếp 9 phần tử (gồm 8 bạn còn lại và phần tử M) vào 9 vị trí có 9! cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách. Cách 3: Lấy sáu số từ tập A gồm: 2,3,4,5,6,7 số sắp xếp vào 9 vị trí của số cần tìm ta có A96 cách sắp xếp. Sắp xếp 3 số 1 vào ba vị trí còn lại có một cách sắp xếp. Vậy kết quả là A96 . Phân tích cách giải: Trong giải toán ta rất hay “tự ám thị” bởi yêu cầu của bài toán dẫn người giải đi theo lối tư duy quen thuộc. Nếu ta tư duy ngược lại như sau: 8
Có 9 cái hộp xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ vào mỗi hộp một số tử các số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 biết có 3 số 1. Như vậy mỗi cách bỏ số vào hộp ta được một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhưng ở đây mỗi số chắc chắn sẽ có 1 hộp để bỏ vào nên việc chữ số 1 lặp lại không ảnh hưởng đển kết quả bài toán. Ở trên tác giả trìn bày lời giải bằng sử dụng chỉnh hợp, tuy nhiên chúng ta vẫn có thể dùng quy tắc đếm để giải bài toán như các bài toán quen thuộc. Tìm hiểu sâu cách giải 3: Trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cách giải trên gọi là phương pháp chọn vị trí trước, sắp xếp sau. Với những bài toán có quá nhiều trường hợp xảy ra khi ta giải trực tiếp thì ta thường chọn ra số phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán trước sau đó mới sắp xếp. Ứng dụng phương pháp giải trên ta giải được rất nhiều bài toán trong đề thi học sinh giỏi hoặc thi Quốc gia Ví dụ 1c: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2020): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S, xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn. Lời giải 1: Yêu cầu bài toán sẽ có các trường hợp sau thỏa mãn TH1: Lấy ra 4 số lẽ và sắp xếp chúng có =960 số TH2: Lấy ra 4 số gồm 3 số lẽ và 1 số chẵn có cách lấy. Sắp xếp các phần tử trên có 4! cách sắp xếp luôn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Suy ra có .4! =120 số thỏa mãn TH3: Lấy ra 4 số gồm 2 số lẽ, 2 số chẵn có số Sắp xếp các số trên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta xem 2 số chẵn có 21.2!.3 số Số các số thỏa mãn bài toán là 720 Số phần tử không gian mẫu số Xác suất lấy được 4 số không có 2 chữ số chẵn liên tiếp là Lời giải 2: TH1: Số có 4 chữ số trong đó có 2 chữ số chẵn liên tiếp và 2 số lẽ có 720 số (ta xem hai chữ số chẵn liến tiếp là một số). TH2: Số có 4 chữ số gồm 3 chữ số số chẵn và 1 số lẽ có 480 số TH3: Số có 4 chữ số chẵn liên tiếp có 4! = 24 số Số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: Xác suất cần tìm là 9
Cách 4: Chọn ba vị trí cho ba số 1 có C93 cách chọn. Sắp xếp các số 2,3,4,5,6,7 vào sáu vị trí còn lại có 6! cách sắp xếp. Vậy số các số thỏa mãn bài toán là C93 .6! Phân tích cách giải: Xét về bản chất thì đây là cách giải tương tự như cách 3 về tư duy thuật giải là chọn vị trí trước sắp xếp sau. Qua ví dụ trên, tính sáng tạo của cách giải bài toán trên thể hiện ở chỗ: Học sinh phải biết phân chia trường hợp và sử dụng cách đếm linh hoạt tùy theo từng trường hợp khác nhau. Ở lời giải thứ nhất trường hợp thứ 3 học sinh cần tìm một cách đếm phù hợp hơn đó là xem 2 chữ số chẵn liên tiếp là một số. Tương tự ở lời giải 2 trường hợp 2 sẽ có 2 khả năng xẩ y ra là 2 số chẵn liên tiếp và 3 số chẵn liên tiếp. Nhưng khả năng 2 chữ số chẵn kiên tiếp ở đây không trùng với TH2 vì số tạo thành của 2 trường hợp này hoàn toàn khác nhau. Nếu học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện nhiều thì năng lực giải quyết vấn đề và khả năng sáng tạo của học sinh sẽ được nâng cao. Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 và chữ số 6? Cách 1: Xem việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán là công việc sắp 5 chữ số vào 5 ô trống trong đó có 1 ô chứa số 0, một ô chứa số 6, 3 ô còn lại chọn từ tập hợp E  1,2; 3;4;5;7;8; 9 gồm 8 chữ số. Công việc này trải qua 3 công đoạn như sau: Công đoạn 1: Sắp chữ số 0 vào một trong 4 ô trống sau (trừ ô đầu tiên) có 4 cách sắp. Công đoạn 2: Sắp chữ số 6 vào một trong 4 ô trống còn lại (trừ ô chứa số 0) có 4 cách sắp. Công đoạn 3: Chọn 3 chữ số từ tập E sắp vào 3 ô còn lại (trừ hai ô chứa số 0 và số 6) có A83 cách. Theo quy tắc nhân có tất cả 4.4.A83 cách. Cách 2: Chia tập hợp gồm 5 chữ số khác nhau thành 4 loại: Loại 1: Các số không có mặt chữ số 0 và chữ số 6. Mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 5 của tập E  1,2; 3;4;5;7;8; 9 nên có A85 số. Loại 2: Các số có mặt số 0 nhưng không có mặt số 6. Xem việc thành lập mỗi số loại này trải qua 2 công đoạn. Công đoạn 1 xếp số 0 vào một trong 4 vị trí sau (trừ vị trí đầu tiên) có 4 cách, công đoạn 2 chọn 4 chữ số từ tập E  1,2; 3;4;5;7;8; 9 sắp vào 4 ô còn lại có A84 cách. Theo quy tắc nhân, loại này có 4.4.A84 số (mỗi cách cho ta một số). Loại 3: Các số có mặt số 6 nhưng không có mặt số 0. Tương tự loại 2, loại này có 5.A84 số. Loại 4: Các số có mặt chữ số 0 và chữ số 6 (thỏa mãn yêu cầu bài toán), giả sử là x. 10
Số các số gồm 5 chữ số khác nhau là 9.A94 . Theo quy tắc cộng, ta có x  9. A94  A85  4.4. A84  5. A84 Cách 3: Vì số cần lập có 5 chữ số mà đã có mặt 0 và 6 nên chỉ cần chọn thêm 3 chữ số từ tập E  1,2; 3;4;5;7;8; 9 . Mỗi bộ gồm 3 chữ số vừa chọn cùng với 2 số 0 và 6 tạo thành một bộ có 5 chữ số. Mỗi hoán vị của 5 chữ số này trừ đi các hoán vị có chữ số 0 đứng đầu là một số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó, để lập mỗi số như vậy là một công việc trải qua 3 công đoạn. Công đoạn 1: Chọn 3 chữ số bất kỳ từ E  1,2; 3;4;5;7;8; 9 có C83 cách. Công đoạn 2: Từ bộ 5 chữ số gồm 3 số vừa chọn cùng với hai số 0 và 6 ta lấy số 0 sắp vào một trong 4 vị trí sau, có 4 cách. Công đoạn 3: Sắp 4 chữ số còn lại trong bộ vào 4 ô trống còn lại, có 4! cách. Theo quy tắc nhân, có tất cả C83 .4.4! số. Cách 4: Việc lập số thỏa mãn yêu cầu bài toán có 2 phương án: Phương án 1: Chữ số 6 ở vị trí đầu tiên. Công đoạn 1: Sắp số 0 vào một trong 4 ô còn lại, có 4 cách sắp. Công đoạn 2: Chọn 3 chữ số từ tập E  1,2; 3;4;5;7;8; 9 sắp vào 3 ô còn lại, có 3 A cách. 8 Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4.A83 số. Phương án 2: Chữ số 6 không ở vị trí đầu tiên. Công đoạn 1: Sắp số 6 vào một trong 4 ô, có 4 cách sắp. Công đoạn 2: Sắp số 0 vào một trong 3 ô còn lại (trừ ô đầu và ô chứa số 6), có 3 cách sắp. Công đoạn 3: Chọn 3 chữ số từ tập E  1,2; 3;4;5;7;8; 9 và xếp vào 3 ô còn lại, có 3 A cách. 8 Theo quy tắc nhân, trường hợp này có 4.3.A83 số. Theo quy tắc cộng, có tất cả 4. A83  4.3. A83 số. Mỗi cách giải ở trên là một cách nhìn bài toán ở một góc độ khác nhau. Trong các cách giải đó thì cách giải thứ nhất là tốt nhất. Việc tìm nhiều lời giải khác nhau cho cùng một bài toán giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về một nội dung toán học cũng như khả năng liên kết nhiều nội dung toán học với nhau để giải quyết vấn đề. Học sinh biết nhìn một vấn đề, một sự việc dưới nhiều khía cạnh khác nhau để đưa ra nhận xét đánh giá khách quan và chính xác nhất. Hơn nữa, khi đứng trước một vấn đề trong cuộc sống, các em sẽ linh hoạt, sáng tạo hơn trong quá trình tìm các phương án giải quyết và chuyển hướng khi cần thiết. 11
2.2. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng các thao tác tư duy: đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa Để phát triển được năng lực sáng tạo, đòi hỏi giáo viên và học sinh “phải có can đảm buông tay khỏi những điều chắc chắn” (Erich Fromm). Nghĩa là, giáo viên phải khuyến khích học sinh dám tìm tòi, khám phá để đưa ra những quan điểm, ý tưởng mới, cách giải quyết mới. Tất nhiên, với học sinh, việc yêu cầu các em tìm tòi, khám phá ra một điều gì đó mới mẻ hoàn toàn là một điều không hề đơn giản. Muốn vậy giáo viên phải là người luôn định hướng, rèn luyện cho học sinh các thói quen tư duy sau: Thứ nhất, khả năng phát hiện ra những điểm tương đồng, khác biệt cũng như mối liên hệ giữa nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau trong đời sống. Người có năng lực sáng tạo thường có thói quen quan sát, so sánh và nhất là khả năng tưởng tượng, liên tưởng rất tốt. Tưởng tượng tự do giúp tạo ra những hình ảnh, cấu thành, thiết kế mới hữu ích mà trong điều kiện tư duy duy lí thông thường không có được. Vì thế nên tưởng tượng trở thành một trong những yếu tố rất quan trọng trong tư duy sáng tạo của con người và là khởi nguồn cho mọi phát minh sau này. Nếu không tưởng tượng, không có mong muốn biết bay như loài chim thì chắc hẳn con người không thể thiết kế được máy bay như ngày hôm nay. Thứ hai, khả năng giải quyết vấn đề bằng nhiều con đường, cách thức khác nhau; phân tích, đánh giá vấn đề ở nhiều phương diện, góc nhìn khác nhau. Cùng một vấn đề, một bài toán đặt ra, người có năng lực sáng tạo thường tìm kiếm, phát hiện được nhiều hướng giải quyết, nhiều ý tưởng khác nhau. Người có năng lực sáng tạo thường không dễ dàng chấp nhận những gì đã có mà luôn tìm tòi những cách giải quyết mới, biện pháp mới. Thứ ba, khả năng phát hiện ra những điều bất hợp lí, những bất ổn hay những quy luật phổ biến trong những hiện tượng, sự vật cụ thể dựa trên sự tinh tế, nhạy cảm và khả năng trực giác cao của chủ thể. Năng lực sáng tạo còn được biểu hiện ở khả năng quan sát, phân tích vấn đề ở nhiều điểm nhìn, nhiều phương diện khác nhau. Nói cách khác, người có năng lực sáng tạo phải có tư duy mềm dẻo, linh hoạt trong việc tiếp cận, giải quyết vấn đề. 2.2.1. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy tương tự hóa: Theo G. Polya, tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn và mức độ đó được phản ánh bằng khái niệm. Ông giải thích điều trên như sau: "Sự khác nhau căn bản giữa tương tự và những loại giống nhau khác là ở ý định của người đang suy nghĩ. Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Nếu bạn có ý định quy mối quan hệ trong đó các đối tượng phù hợp với nhau về những khái niệm đã định thì bạn sẽ xem những đối tượng giống nhau ấy như là những đối tượng tương tự. Và nếu bạn đạt tới những khái niệm rõ ràng, thì tức là bạn làm sáng tỏ sự tương tự". 12
Theo Đ. P. Goocki cho rằng: "Tương tự là phép suy luận trong đó từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tượng A có dấu hiệu là a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả định rằng đối tượng B cũng có tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép suy luận tương tự như sau: A có tính chất a, b, c, d; B có tính chất a, b, c; Kết luận B cũng có tính chất d". "Tương tự là chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát". Nhiề u tác giả cho rằng: “Tương tự hóa là quá trình dùng trí óc để kết luận về sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính khác từ sự giống nhau của các đối tượng ở một số dấu hiệu, thuộc tính nào đó nhằm mục đích tạo ra một kết quả mới, vượt qua một trở ngại”. Như vậy, việc tập luyện cho học sinh kỹ năng tương tự hóa sẽ góp phần vào việc bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh. Ví dụ 1: Xuất phát từ bài toán: Cho tập A  1; 2; 3; 4; 5; 6 . Hỏi có thể tạo bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ tập A. Nếu giữ nguyên các đặc tính của bài toán, ta thay đổi đối tượng thì được các bài toán tương tự: 1, Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng dọc? 2, Một đoàn khách du lịch dự định tham quan 6 điểm A, B, C, D, E ở thủ đô Hà Nội. Hỏi họ có bao nhiêu cách chọn? 3, Bạn An có 3 quyển sách Toán khác nhau và 3 quyển sách Văn khác nhau. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách xếp chồng 6 quyển sách lên nhau?... Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức P  C150  C151  C152  ...C158 Giải: Sử dụng tính chất Cnk  Cnnk ta có: Suy ra: 2P  P  C150  C151  C152  ...C1515  1  1  215 15 Vậy P  214 Sự dụng thao tác tư duy ương tự hóa ta có các bài toán: 1. Tính: A  C2019 0  C2019 1  C2019 2  ...C2019 1009 2. Tính: B  C2019 1020  C2019 1021  C2019 1022  ...C2019 2019 3. Tính: C  C2nn1  C2nn 2  C2nn3  ...C22nn 4. Tính D  C20n1  C21n1  C22n1  ...C2nn1 2.2.2. Khuyến khích học sinh sử dụng thao tác tư duy khái quát hóa: Có nhiều định nghĩa về khái quát hóa, chẳng hạn: 13
G. Polya cho rằng: "Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu". Tác giả Đào Văn Trung đã viết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra những tính chất chung của chúng và quy kết lại, phương pháp tư duy này gọi là khái quát". Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập xuất phát. Tác giả thống nhất với Nguyễn Bá Kim về hai dạng khái quát hóa thường gặp trong môn Toán và có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau: Khái quát hóa Khái quát hóa từ cái riêng lẻ Khái quát hóa từ cái tổng đến cái tổng quát quát đến cái tổng quát hơn Khái quát hóa đến cái tổng Khái quát hóa đến cái tổng quát đã biết quát chưa biết Chẳng hạn, khi dạy quy tắc nhân, giáo viên có thể dẫn dắt học sinh đi từ những trường hợp riêng lẻ đến tổng quát: - Từ nhà Ngọc đến nhà Khánh có 4 con đường đi, từ nhà Khánh đến nhà Khải có 3 con đường đi. Do đó, để đi từ nhà Ngọc đến nhà Khảicó tất cả 3.4  12 cách đi; từ nhà Ngọc đến nhà Khánh có m con đường đi, từ nhà Khánh đến nhà Khải có n con đường đi. Do đó, có m. n cách đi từ nhà Ngọc đến nhà Khải; - Giả sử để thực hiện một công việc nào đó cần trải qua hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách khác nhau. Đó là một kết quả tổng quát. - Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng quát ở trên: Giả sử một công việc nào đó được thực hiện qua k công đoạn A1 , A2 ,..., Ak . Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n 2 cách, ..., công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2 ...nk cách khác nhau. 14
Cả hai trường hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới, tổng quát. Bên cạnh đó còn có dạng khái quát hóa đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn khi giải những bài tập cụ thể, trong đó khái quát hóa thể hiện ở việc liên hệ những tình huống cụ thể của bài tập với những tiên đề, định nghĩa, định lý thích hợp, ở việc nhận biết cái tổng quát đã biết trong những cái cụ thể. Dạng khái quát hóa đi đến cái tổng quát chưa biết, tức đi đến kiến thức mới, có thể là một khái niệm, một định lý hay một bài tập nào đó mà ta muốn hình thành hoặc mở rộng. Quy trình thực hiện thao tác này như sau: Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát; Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ; Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra đặc điểm giống nhau và khác nhau; Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất chúng ra khỏi đối tượng; Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó; Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5; Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được. Dạng khái quát hóa này đi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành khái niệm theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lý, mở rộng một bài toán, ... Ví dụ : Sau khi học công thức nhị thức Newton, có thể cho học sinh làm các bài toán sau: 1) Tìm hệ số của x 5 và x 3 trong các khai triển 1  x  x  1 và 1  x  . 5 5 10 2) Chứng minh rằng: a) C50   C51   C52   C53   C54   C55   C105 ; 2 2 2 2 2 2 b) C50 .C53  C51 .C52  C52 .C51  C53 .C50  C103 . a) C100   C100   ...  C100   C200 0 2 1 2 100 2 100 3) Chứng minh rằng: ; 0 b) C100 30 .C100  C100 1 29 .C100  ...  C100 29 1 .C100  C100 30 0 .C100  C 200 30 . 4) Hãy nêu bài toán tổng quát của 2) và 3). Học sinh dễ dàng đưa ra kết quả của câu 1) là hệ số của x 5 trong khai triển của 1  x 5 x  15 là C50 2  C51 2  C52 2  C53 2  C54 2  C55 2 , hệ số của x 5 trong khai triển của 1  x  là C105 . Hệ số của x 3 trong khai triển của 1  x  x  1 là 10 5 5 C50 .C53  C51 .C52  C52 .C51  C53 .C50 và hệ số của x 3 trong khai triển của 1  x  là C103 . Mà 10 hai biểu thức 1  x  x  1 và 1  x  bằng nhau với mọi giá trị của x nên chúng ta 5 5 10 có các đẳng thức: 15
C   C   C   C   C   C  0 2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5  C105 ; C .C  C .C  C .C51  C .C50  C . 0 5 5 3 1 5 2 5 2 5 3 5 3 10 Đối với câu 3), học sinh thực hiện thao tác tương tự hóa và các em cũng sẽ chứng minh được: C   C  0 100 2 1 100 ...  C100 2 100   C200 2 100 C .C 0 100 30 100  C .C100 1 29 100  ...  C100 29 1 .C100  C100 30 0 .C100  C 200 30 . Tiếp theo, giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát hóa để đưa ra được bài toán tổng quát theo các bước sau: Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát hóa - Hãy tìm bài toán tổng quát cùng với phương pháp giải! Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ của các đối tượng riêng lẻ. - Hãy tìm các đặc điểm của các đẳng thức: C   C   C   C   C   C  0 2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5  C105 1 C   C   ...  C   C 0 100 2 1 100 2 100 2 100 100 200 2 C50 .C53  C51 .C52  C52 .C51  C53 .C50  C103 3 0 C100 30 .C100  C100 1 29 .C100  ...  C100 29 1 .C100  C100 30 0 .C100  C 200 30 4 . + Vế trái của 1 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C5i  , i  0, 5 ; Vế trái của 2 2 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C100i 2 , i  0,100 ; + Vế phải của 1 là C105 , 10  5.2 ; vế phải của 2 là C200 100 , 200  100.2 ; + Vế trái của 3 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C5i .C55i , i  0, 3 ; Vế trái của 4 là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C100 i 30i .C100 , i  0, 30 ; + Vế phải của 3 là C103 ; vế phải của 4 là C100 30 . Bước 3: So sánh các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối liên hệ đó để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nhau. So sánh các đặc điểm trên, học sinh thấy rằng: + Vế trái của 1 và 2 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C ni  , i  0, n , 2 1 ứng với n  5 , 2 ứng với n  100 ; vế phải của 1 và 2 đều có dạng C 2nn , 1 ứng với n  5 , 2 ứng với n  100 . + Vế trái của 3 và 4 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C .C , i  0, k , 3 ứng với n  5, k  3 , 4 ứng với n  100, k  30 ; vế phải của 3 và i n k i n 4 đều có dạng C 2kn . Bước 4: Giữ lại các đặc điểm chung: + Vế trái của 1 và 2 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C ni  , i  0, n , 2 vế phải của 1 và 2 đều có dạng C2nn ; 16
+ Vế trái của 3 và 4 đều là một tổng mà mỗi số hạng có dạng C .C , i  0, k ; vế phải của 3 và 4 đều có dạng C2kn . i n k i n Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó. Chứng minh các đẳng thức: C n0   C n1   ...  C nn   C 2nn 5 2 2 2 và C n0 .C nk  C n1 .C nk 1  ...  C nk 1 .C n1  C nk .C n0  C 2kn , 0  k  n 6 Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5. Tương tự cách chứng minh của 1 và 2 chúng ta sẽ chứng minh được 5  . Tương tự cách chứng minh của 3 và 4 chúng ta sẽ chứng minh được 6 . Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được. Chứng minh các đẳng thức: C   C  n 0 2  ...  C nn   C 2nn 1 2 n 2 C .C  C .C  ...  C nk 1 .C n1  C nk .C n0  C 2kn , 0  k  n . 0 n n k n 1 k 1 n 2.2.3. Khuyến khích cho học sinh tìm tòi, sáng tạo các bài toán mới bằng thao tác tư duy đặc biệt hóa: Đặc biệt hóa là chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng sang khái niệm có ngoại diên hẹp - gọi là giới hạn khái niệm. Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho. Có thể quan niệm về đặc biệt hóa như sau: Đặc biệt hóa là quá trình dùng trí óc chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho nhằm mục đích kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của khái quát hóa, giải quyết một vấn đề. Ví dụ 1: Với kết quả vừa đạt được ở 2.2.2, bằng cách đặc biệt hóa có thể tạo ra một hệ thống bài tập, chẳng hạn: - Trong 5  , lần lượt cho n nhận các giá trị 1979, 2002, 20... chúng ta có các bài toán sau: Chứng minh các đẳng thức:  C   C   ...  C   C 0 2 1 2 1979 2 1979 1979 1979 1979 3958 ;  C    C   ...  C   C 0 2 1 2 2004 2 2002 2002 2002 2002 4004 ;  C   C   ...  C   C , ... 0 2 20 1 2 20 20 2 20 20 40 - Trong 6 , cho n  2019, k  79 chúng ta có bài toán sau: Chứng minh đẳng thức: 0 C2019 79 .C2019  C2019 1 78 .C2019  ...  C2019 78 1 .C2019  C2012 79 0 .C2019  C2019 79 ; 17
- Trong 6 , cho n  k chúng ta có bài toán sau: Chứng minh đẳng thức: Cn0 .Cnn  Cn1 .Cnn1  ...  Cnn1.Cn1  Cnn .Cn0  C2nn . Ta lại có C nk  C nn  k nên đẳng thức trên trở thành 5  . Do đó, 5  là một trường hợp riêng của 6 . n Ví dụ 2: Từ công thức nhị thức newton  a  b    Cnk a k b nk n k 0 Ta chọn a = 1, b = x. Ta có công thức 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...Cnn x n n (1) Từ công thức (1) chọn một giá trị cụ thể của x ta có các bài toán chứng minh đẳng thức: 1, Cn0  Cn1 2  Cn2 22  ...Cnn 2n  3n 2, Cn0  Cn1  Cn2  ... 1 Cnn  0 n 3, C20n  C21n  C22n  ....C22nn  22 n 4, Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  ...C22nn  0 Kết hợp tính chất Cnk  Cnnk ta có bài toán tính giá trị biểu thức: A  C120  C121  ...C126 B  C127  C128  ...C1212 C  C20n  C21n  C22n  ...C2nn Kết hợp bài 3) và 4) ta có bài toán chứng minh: 1, C20n  C22n  C24n  ....C22nn  22 n1 2, C21n  C23n  C25n  ....C22nn1  22 n1 3, C20n  C22n  C24n  ....C22nn  C21n  C23n  C25n  ....C22nn1 2.3. Bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh qua tìm sai lầm từ lời giải các bài toán. Giáo viên nên để cho HS tự làm, tự xoay xở, tự đưa ra các định nghĩa khái niệm, các giải pháp, trên cơ sở đó giáo viên phân tích, góp ý, qua đó HS có được những kinh nghiệm giải toán, thấy được đúng sai trong cách nghĩ, cách giải quyết vấn đề, tránh được những sai lầm. Ví dụ: Dạy học khái niệm chỉnh hợp và cách xác định số các chỉnh hợp. GV chia HS trong lớp làm hai nhóm, chuẩn bị cho mỗi nhóm một bài tập với hình thức phiếu hỏi. Bài tập 1 (nhóm 1): Thầy giáo cần lập đội ngũ cán bộ lớp gồm 3 HS vào 3 chức vụ Lớp trưởng (LT), Bí thư (BT), Lớp phó học tập (LPHT) từ 6 em HS xuất sắc của lớp Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh. a) Hãy chỉ ra 4 kết quả sắp xếp của thầy giáo? 18
b) Có bao nhiêu kết quả như vậy? Bài tập 2 (nhóm 2): Cho tập hợp A  1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. a) Hãy chỉ ra 5 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ tập A . b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ A ? GV cho mỗi nhóm suy nghĩ khoảng 3 phút và yêu cầu đưa ra câu trả lời của ý a) (dự kiến rằng hầu hết HS sẽ trả lời được câu hỏi này). GV nhận xét kết quả của mỗi nhóm và đặt vấn đề: Mỗi kết quả của ví dụ 1a), chẳng hạn Hà, Khải, Châu (theo thứ tự LT, BT, LPHT), là một chỉnh hợp chập 3 của tập hợp gồm 6 HS Hà, Khải, Châu, Ngọc, Khánh, Linh. Mỗi kết quả của Bài tập 2, chẳng hạn số 1234, là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần từ của tập hợp A . Các em hãy tìm đặc điểm chung của các kết quả ở hai Ví dụ trên? Dự kiến HS trả lời: Mỗi kết quả là một cách sắp xếp một số phần tử nào đó của một tập hợp cho trước theo một thứ tự nào đó. GV yêu cầu HS phát biểu khái niệm chỉnh hợp từ đặc điểm chung mà HS vừa chỉ ra. GV chính xác hóa, ghi bảng định nghĩa khái niệm và yêu cầu HS nêu sự khác nhau của hai chỉnh hợp. GV tiếp tục yêu cầu HS trả lời ý b) của mỗi câu hỏi. Nếu HS gặp khó khăn vì một số em đếm theo kiểu liệt kê thì GV có thể gợi ý qua các câu hỏi: Mỗi chỉnh hợp chập 3 của tập hợp 6 bạn HS gồm mấy HS lấy từ tập đó? Do đó để thành lập mỗi chỉnh hợp chập 3 này là một công việc trải qua mấy giai đoạn? Với cách gợi ý như vậy chúng ta hy vọng rằng HS sẽ trả lời như sau: Mỗi chỉnh hợp chập 3 của 6 HS bao gồm 3 HS, do đó để thành lập mỗi chỉnh hợp này cần trải qua 3 giai đoạn. Giai đoạn 1 chọn HS thứ nhất có 6 sự lựa chọn; giai đoạn 2 chọn HS thứ 2 có 5 sự lựa chọn; giai đoạn 3 chọn HS thứ 3 có 4 sự lựa chọn. Do đó, theo quy tắc nhân có tất cả 6.5.4  120 cách, hay số chỉnh hợp chập 3 của tập hợp có 6 phần tử là 6.5.4  120 . Tương tự, ở Ví dụ 2b) sẽ cho kết quả là 7.6.5.4  840 số, hay số chỉnh hợp chập 4 của tập hợp có 7 phần tử là 7.6.5.4  840 . Một cách tổng quát, nếu tập A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n thì sẽ có bao nhiêu chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp đó? Với cách dẫn dắt như vậy, có thể hy vọng rằng HS sẽ biết cách thành lập số các chỉnh hợp và đưa ra kết quả là nn  1 n  k  1 . GV đưa ra ký hiệu về số các chỉnh hợp của một tập hợp và ghi công thức lên bảng. Ank  nn  1n  k  1 (1) GV tiếp tục nêu vấn đề khi n  k sẽ như thế nào và từ đó HS sẽ tự phát hiện ra hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp. GV quay trở lại các ví dụ ban đầu và đưa ra nhận xét: 19
6.5.4.3.2.1 6! 7.6.5.4.3.2.1 7! A63  6.5.4   ; A74  7.6.5.4   . 3.2.1 3! 3.2.1 3! GV yêu cầu HS viết công thức (1) ở dạng dễ nhớ hơn. n! Với cách hướng dẫn này, có thể hy vọng rằng HS sẽ trả lời được Ank  n  k ! với quy ước 0! 1 . Để giúp HS hiểu và nhớ hơn khái niệm chỉnh hợp và số các chỉnh hợp, GV yêu cầu HS làm thêmbài tập sau: Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt, có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp này? b) Nhấn mạnh vào dấu hiệu đặc trưng của các quy tắc, các khái niệm. Ví dụ 1: Dạy học quy tắc cộng Sau khi đưa ra các ví dụ cụ thể, khái quát hóa ở nhiều tầng lớp, GV cần đưa ra sơ đồ sau: Công việc A Phương án A1 Phương án A2 Phương án Ak m1 cách m2 cách mk cách Qua sơ đồ này, nhấn mạnh cho HS hiểu rằng để có được phân hoạch như trên thì cần phải có tiêu chí, dấu hiệu mà dựa vào đó vạch ra các kế hoạch để thực hiện được công việc A. Các phương án đưa ra độc lập với nhau, không có cách nào ở phương án Ai lại có thể trùng với cách nào đó ở phương án Aj . Từ đó, tổng kết lại cho HS các yêu cầu của việc phân tách là: - Dấu hiệu của sự phân chia (cần phải trả lời các câu hỏi: công việc gì? Dựa vào dấu hiệu nào mà có thể vạch ra các phương án như vậy? Hãy chỉ ra các dấu hiệu có thể sử dụng để phân chia công việc này?). - Các phương án không trùng nhau (Các phương án đưa ra đã riêng biệt chưa? Có phương án nào trùng nhau hay không? Có phương án nào phụ thuộc vào phương án khác không?). - Các phương án phải đầy đủ (Có phương án nào nữa ngoài các phương án nêu ở trên có thể thực hiện được công việc A hay không?). - Các phương án đưa ra phải tuần tự (Cách phân chia như trên đã hợp lý chưa?). Chẳng hạn, với bài toán: Một lớp học có 16 HS gồm 3 HS giỏi, 5 HS khá, 8 HS trung bình. Cần chia 16 HS trên làm hai tổ. mỗi tổ có 8 HS và tổ nào cũng có HS giỏi, ít nhất hai HS khá. 20