Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Dạy học hình học bằng phương pháp vectơ để phát triển tư duy cho học sinh trung học phổ thông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Dạy học hình học bằng phương pháp vectơ để phát triển tư duy cho học sinh trung học phổ thông" nhằm hệ thống hóa các kiến thức, phân loại các dạng toán và tổng hợp các phương pháp dạy học hình học bằng PP vec tơ nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Dạy học hình học bằng phương pháp vectơ để phát triển tư duy cho học sinh trung học phổ thông

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: DẠY HỌC HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VEC TƠ ĐỂ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Lĩnh vực (môn ) : Toán học Đồng tác giả : 1.Nguyễn Thị Quỳnh Hoa, GV Trường THPT Lê Viết Thuật 2. Phạm Thị Thanh Thủy, GV Trường THPT Nghi Lộc 3 Tổ : Toán - Tin Năm thực hiện : 2021 - 2022 Số điện thoại : 0968 923 238
MỤC LỤC Trang Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 1. Lí do chọn đề tài 1 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2 Phần II. NỘI DUNG 3 1. Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy học hình học bằng 3 phương pháp vectơ 2. Thực trạng dạy và học các bài tập giải bằng phương pháp vec tơ 3 3. Cơ sở lí luận 4 4. Dạy học hình học bằng phương pháp vec tơ 6 4.1. Các kiến thức cơ sở 6 4.2. Rèn luyện kĩ năng giải toán vectơ trong mặt phẳng 7 4.2.1. Các bài toán sử dụng các phép toán biến đổi vectơ 7 4.2.2. Vận dụng phương pháp vectơ vào giải các bài toán hình học 16 phẳng 4.3. Rèn luyện kĩ năng giải toán vectơ trong không gian 19 4.3.1. Các bài toán sử dụng các phép toán biến đổi vectơ 19 4.3.2. Vận dụng phương pháp vectơ vào giải các bài toán hình học 19 không gian 5. Một số kinh nghiệm về dạy học vec tơ để phát triển tư duy cho 27 HS THPT 5.1. Phát triển tư duy cho HS THPT thông qua dạy học vectơ 27 5.2 Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về vectơ 44 6. Kiểm tra thực nghiệm đề tài 44 6.1. Phương pháp kiểm tra thực nghiệm 44 6.2. Kết quả kiểm tra thực nghiệm 44 Phần III. KẾT LUẬN 47 1. Kết luận 47 2. Kiến nghị 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh NXB Nhà xuất bản SGK Sách giáo khoa THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông ĐC Đối chứng TN Thực nghiệm PP Phương pháp HD Hướng dẫn HSG Học sinh giỏi
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Trong xã hội đang phát triển, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có tư duy phát triển sáng tạo. Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học phát triển phẩm chất năng lực của chương trình giáo dục phổ thông 2018. Trong Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4/11/2013 của Hội nghị Trung ương 8 khoá XI, về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo thành Văn kiện Đại hội Đảng, đã khẳng định: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học”. Thực trạng giáo dục hiện nay cho thấy năng lực của học sinh phát triển chưa toàn diện, đặc biệt việc phát huy tính tích cực của HS, năng lực tư duy chưa được chú ý rèn luyện đúng mức. Trong đường lối đổi mới giáo dục của Đảng và nhà nước ta cũng đã khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”. Như vậy, quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học đã khẳng định, cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa học khác. Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, bộ môn hình học đóng vai trò hết sức quan trọng. Hầu hết các HS thường thấy môn Toán khó nhất là môn hình học. Trong đó sử dụng phương pháp vectơ trong giải toán hình học đối với học sinh lại thấy rất khó vì thế không phát huy được tư duy cho HS THPT. Giáo viên dạy học hình học bằng phương pháp vec tơ chưa hiệu quả vì việc xâu chuỗi các nội dung bài học và phương pháp giải bài toán hình học tổng hợp bằng vec tơ chưa tạo nên một thói quen cho HS. Khi dạy học HS khá giỏi, GV chưa hướng dẫn HS linh hoạt giải hình học tổng hợp bằng PP vectơ vì thế phương pháp vectơ trở nên rời rạc, không có xâu chuỗi với PP giải toán hình học tổng hợp. Trước yêu cầu của xã hội đòi hỏi người lao động phải chiếm lĩnh tri thức, năng động sáng tạo. Trong các bộ môn toán, hình học là bộ môn thú vị vì HS sẽ thấy rất “ bí” khi giải bài tập hình. Ngày nay, trong những kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, kỳ thi THPT Quốc Gia thường không vắng bóng các bài toán hình học, trong đó rất nhiều bài tập HS có thể linh hoạt khai thác giải hình học bằng PP vectơ. Có những bài toán hình học nhìn qua đề ra không phải là bài toán biến đổi vectơ nhưng khi được hướng dẫn HS sẽ có thể chuyển sang ngôn ngữ vectơ và tìm ra được lời giải đơn giản. Qua nhiều năm giảng dạy chúng tôi đã đúc rút được một số 1
kinh nghiệm khi dạy bộ môn hình học bằng PP vectơ, từ đó mà kết quả học tập của học sinh đạt cao hơn, góp phần giúp học sinh phát triển được năng lực tư duy, khả năng quan sát, trí tưởng tượng và bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, tạo nên phẩm chất của con người lao động mới. Từ những vấn đề nêu trên, với mong muốn làm tốt hơn nữa nhiệm vụ của người GV trong giai đoạn hiện nay của đất nước, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học để phát triển tư duy cho HS giúp các em tự tìm ra tri thức, tạo tiền đề cho việc phát triển tính tích cực. Vì sự thiết yếu đó, chúng tôi đã nghiên cứu, hệ thống hóa các kiến thức, phân loại các dạng toán và tổng hợp các phương pháp dạy học hình học bằng PP vec tơ nhằm rèn luyện tư duy cho HS và nghiên cứu viết thành đề tài SKKN: “Dạy học hình học bằng phương pháp vectơ để phát triển tư duy cho học sinh trung học phổ thông”. Với mong muốn chia sẻ sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) với đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và kết quả học tập của học sinh ở trường THPT. 2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu. * Đề tài này áp dụng cho học sinh THPT: lớp 10, 11, 12 * Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Các bài tập hình học chương trình THPT giải bằng PP vectơ ” Sách giáo khoa Hình học lớp 10, 11, 12 ban cơ bản. + Đề tài áp dụng cho HS ôn thi THPT, ôn thi học sinh giỏi Toán các cấp. + Kiến thức vận dụng: Hình học lớp 10, 11, 12. + Một số các định nghĩa, tính chất về vectơ * Bài tập: + Trong đề tài sử dụng một số bài tập sách giáo khoa, sách bài tập Hình học lớp 10, 11, 12 và trích các đề trong đề trong kì thi HSG cấp trường, cấp Tỉnh và đề THPT Quốc Gia, đề thi thử THPT của các trường trong Tỉnh Nghệ An và một số tỉnh khác, một số sách tài liệu tham khảo. + Trên cở sở của phương pháp, trong mỗi ví dụ có nêu nhận xét, cách giảng dạy của giáo viên, hướng phân tích lời giải, gợi mở hướng mới và bài tập phát sinh. * Nhiệm vụ nghiên cứu: Thông qua dạy học các bài toán hình học giải bằng PP vec tơ nhằm rèn luyện tư duy cho HS THPT. 2
Phần II. NỘI DUNG 1. Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy học hình học bằng phương pháp vectơ Để bồi dưỡng và rèn luyện tư duy cho HS, người GV đóng vai trò rất quan trọng. Chuyên đề dạy học bằng PP vectơ là chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán đặc biệt trong các đề thi HSG, đề thi tốt nghiệp THPT mà HS gặp rất nhiều. Chuyên đề này không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức sáng tạo và góp phần giúp học sinh phát triển được năng lực tư duy, khả năng quan sát, trí tưởng tượng. Từ đó bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, tạo nên phẩm chất của con người lao động mới. Đối với HS thường giải hình học đã khó, vận dụng vectơ giải toán lại càng khó hơn. HS thường sẽ thấy khó vì sự trừu tượng hơn của các bài tập dùng PP này. Trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi HSG các cấp thường xuất hiện nhiều bài tập có thể giải bằng PP vectơ và ở tất cả các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Trong các bài tập đó, có rất nhiều bài tập khi đọc đề ra có thể HS không nghĩ đến việc giải toán bằng PP vectơ, thế nhưng thực tế HS có thể giải bằng PP vectơ khi được GV hướng dẫn cách đưa về sử dụng PP này và một điều thú vị là nếu sử dụng PP vectơ giải toán thì rất nhiều bài tập hình học từ khó lại trở nên rất đơn giản. Từ việc dạy học cho HS nắm được các khái niệm, định lý đến việc giúp HS vận dụng linh hoạt PP giải toán vectơ thực tế gặp không ít khó khăn. Thông thường HS thấy khó khăn. khó định hướng được và nhiều bài tập giải toán hình học mà PP vectơ lại bị ẩn và các dạng bài này rất đa dạng. Đối với các bài toán này, HS thường có những cách giải khác nhau cách nào cũng thấy có lý nhưng lại dễ gặp sai lầm. Chính vì vậy việc dạy học hình học bằng PP vectơ GV cần khắc phục được những sai sót thường gặp cho HS, tạo cho HS không chỉ biết cách giải toán hình học bằng PP vectơ mà còn phát triển tư duy cho HS. Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi đổi mới PPDH môn toán để phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo cho HS, vì vậy GV cần phải gây được hứng thú cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với thực tiễn và phù hợp với chương trình dạy học hiện nay của các em. Vì vậy, đề tài này nhằm giúp GV giảng dạy để HS có cách tiếp cận tốt hơn, hiệu quả hơn đối với các bài tập về giải toán hình học bằng PP vectơ. Ngoài ra PP vectơ còn có thể giải các bài toán về đại số. Đề tài cung cấp một số kiến thức cho học sinh từ đó nâng cao kĩ năng giải toán cho HS đặc biệt là tăng cường sự vận dụng kiến thức phát triển tư duy cho HS THPT. 2. Thực trạng của việc dạy và học về các bài toán hình học bằng phương pháp vec tơ. Với đối tượng học sinh trung bình ở trường THPT nơi chúng tôi giảng dạy chiếm khá nhiều, việc học các bài toán hình học bằng PP vectơ gặp khó khăn. Đối với việc giải các bài toán hình học thường đã khó với HS và việc giải toán bằng PP vectơ thì HS trung bình thấy rất khó cũng vì nhiều lí do trong đó giải toán vectơ không nhất thiết vẽ hình cũng gây trừu tượng cho HS, còn đối với các HS khá giỏi 3
khi làm các bài tập dạng này vẫn gặp khó khăn đối với các bài tập vận dụng. Vì thế kết quả học của HS chưa tốt ở phần bài tập này. Sau các buổi dạy về chuyên đề về giải toán hình học bằng PP vectơ, chúng tôi đã cho HS làm bài về chuyên đề vectơ và thấy kết quả HS thấp chiếm đa số và đối với kiểm tra trắc nghiệm rất nhiều HS khoanh mò đáp án còn bài tập tự luận HS không nắm được cách giải toán bằng vectơ, chưa linh hoạt sử dụng PP vectơ giải toán. Chúng tôi xin trích kết quả bài kiểm tra kiến thức chuyên đề về vectơ với đối tượng HS lớp 10, 11 của một số lớp 10, 11 ở Trường THPT nơi chúng tôi công tác những năm gần đây như sau: 2.1. Năm học 2017 – 2018 Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Sĩ TB, Yếu, STT Lớp loại giỏi loại khá trung bình loại yếu loại kém số Kém SL % SL % SL % SL % SL % SL % 1 10A2 37 2 5,4 4 10,8 10 27 11 29,7 6 16,2 4 10,8 2 10B1 38 1 2,6 4 10,5 11 28,9 12 31,6 5 13,2 5 13,2 2.2. Năm học 2018 - 2019. Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Đạt điểm Sĩ TB, Yếu, STT Lớp loại giỏi loại khá trung bình loại yếu loại kém số Kém SL % SL % SL % SL % SL % SL % 1 11A2 37 2 5,4 4 10,8 12 32,4 9 24,3 7 18,9 3 8,1 2 11B1 38 1 2,6 2 5,3 10 26,3 9 24,7 10 26,3 6 15,8 Tác giả đã lấy ngẫu nhiên kết quả kiểm tra chuyên đề của các lớp 10, lớp 11 trong 02 năm học 2017 - 2018; năm học 2018- 2019. Từ kết quả đó cho thấy: đa số học sinh có kết quả còn ở mức trung bình. 3. Cơ sở lý luận Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, giải toán bằng phương pháp vectơ đóng vai trò hết sức quan trọng. Đây là dạng bài tập khá trừu tượng đối với HS. HS thường đã làm quen các bài toán chứng minh hình học bằng phương pháp tổng hợp. Tuy nhiên chứng minh hình học tổng hợp có những bài giải thông thường lại khó, nếu HS biết vận dụng phương pháp vectơ sẽ có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn. Như vậy phương pháp giải toán hình hình bằng vectơ sẽ là một chìa khóa hữu hiệu nếu GV chúng ta dạy biết hướng dẫn HS cách khai thác để tìm đến. Thường khi giải toán hình học, HS ít quan tâm đến sử dụng PP vectơ. Để giải được bài tập hình học theo PP này, HS phải hiểu về định nghĩa và tính chất, 4
các phép toán vectơ, sau đó người GV cần hướng dẫn HS linh hoạt giải bài. Thông thường các bài toán về PP vectơ có trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi khảo sát và đề thi HSG các cấp thường là các bài tập ở mức độ: nhận biết, thông hiểu và vận dụng. Để HS học tốt, GV cần phải định hướng được các dạng bài tập giải bằng PP vectơ tốt từ đó giúp HS có tư duy tốt để giải quyết các bài tập dạng này. Dạy các bài toán hình học bằng PP vectơ không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, đức tính cẩn thận, chính xác và tính sáng tạo. Trong các bộ môn toán, học sinh thường học chưa hiệu quả về các bài toán giải bằng PP vectơ. Khó khăn của HS khi giải toán bằng PP vectơ đó là: lần đầu tiên làm quen với đối tượng mới là vectơ, các phép toán trên các vectơ. Các phép toán trên các vectơ lại có một số tính chất tương tự như đối với các số mà học sinh đã học trước đó, do đó học sinh chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sử dụng. Khó khăn thứ hai khi giải toán hình học bằng PP vectơ là do thoát ly khỏi hình ảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức, không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán. Vì học sinh có thói quen giải bài toán hình học là phải vẽ hình nên khi giải một số bài tập không cần sử dụng hình vẽ, học sinh gặp nhiều khó khăn hơn. Học sinh thường gặp khó khăn khi chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học thông thường sang “ngôn ngữ vectơ” và ngược lại. Vì vậy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển tương đương những quan hệ hình học từ cách nói thông thường sang dạng vectơ để có thể vận dụng công cụ vectơ trong giải toán. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp bài toán giải toán hình học bằng PP vectơ còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải. Trong các bài tập trong SGK hầu như không có các dạng bài tập giải bằng PP vectơ mức độ vận dụng. Vì thế việc bổ sung các bài toán giải bằng PP vectơ là hết sức quan trọng đối với HS. Đối với HS năng lực học khá và giỏi nếu GV khơi dậy được năng lực thì HS sẽ có thể phát triển tư duy tốt hơn và từ đó có thể làm các bài toán mức độ vận dụng và vận dụng cao đạt hiệu quả. Đối với các HS khá và giỏi thường HS thích thú khi làm các bài tập giải hình học bằng PP vectơ nhưng chưa có định hướng phù hợp nên vẫn gặp khó khăn, còn các HS trung bình và yếu thường không muốn làm các bài tập về PP này. Vì vậy người GV cần lựa chọn bài tập phù hợp để HS giải phù hợp với năng lực học tập của HS. Để có biện pháp phù hợp giúp đỡ học sinh trung bình và các HS khá, giỏi giải toán, giáo viên thường phân loại đối tượng học sinh khá , giỏi, trung bình, yếu dựa vào các nguyên nhân giải toán của học sinh. Từ đó có biện pháp phù hợp để dạy HS. - Đối với các học sinh hổng kiến thức cơ bản, GV tìm ra các kiến thức cũ có liên quan và tái hiện lại kiến thức cũ và hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức mới một cách linh hoạt. - Đối với học sinh không tích cực trong học toán, giáo viên cần phát hiện năng lực của mỗi em, tạo điều kiện để cho các em có cơ hội để phát huy năng lực của mình. GV nên động viên kịp thời, phù hợp để các em tự tin trong học tập môn 5
toán bằng cách ra các bài tập vừa sức, khen ngợi khi các em biết hướng giải, giải đúng, cố gắng làm bài. - Với các HS tiếp thu bài nhanh nhưng kỹ năng làm bài chưa tốt, GV cần định hướng cách giải rồi để HS tìm ra hướng giải quyết và lời giải. GV phân các dạng phù hợp để HS có thể làm các bài tập từ dễ đến khó. Đa số HS kỹ năng làm bài chưa tốt nên GV cần phải có định hướng cụ thể về các dạng bài tập sử dụng PP vec tơ. Đề xuất quy trình để giải toán để HS có thể hiểu rõ và rèn luyện kĩ năng giải toán tốt. Đối với các HS khá giỏi, GV cần tạo các tình huống có vấn đề để tạo cho HS phát triển tư duy giúp HS làm được các bài tập vận dụng, từ đó hướng đến khả năng vận dụng. GV hướng dẫn HS khá giỏi tổng quát các kết quả bài toán. 4. Dạy học các bài tập hình học bằng PP vectơ Trong mục này đề tài đã hệ thống cách dạy học các bài tập hình học giải bằng PP vectơ: Các bài tập về vectơ đơn giản, vận dụng PP vectơ giải bài tập hình học tổng hợp. Chúng tôi hệ thống kiến thức và đưa các bài tập theo các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Mỗi bài tập đều có phân tích và hướng dẫn cho HS cách giải các bài tập và bài tập phát sinh, một số các kết quả được tổng quát, dấu hiệu khi giải toán hình học và sử dụng PP vectơ để giải toán. 4.1. Các kiến thức cơ sở 4.1.1. Định nghĩa: + Vectơ là đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là: AB . + Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. + Vectơ – không:r Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu: 0 . + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của AB kí hiệu là AB  AB . + Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. 4.1.2. Các phép toán về vectơ, các qui tắc, định lý và tính chất + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm: A,B,C bất kỳ ta có: AB  BC  AC . + Qui tắc trừ: Cho ba điểm: A,B,C bất kỳ ta có: AB  AC  CB . + Qui tắc hình hộp: Cho hình bình hành ABCD.A’B’C’D’ ta có: AB  AD  AA '  AC ' . + Phép nhân vectơ với một số Định nghĩa: Cho a  0; k  ; k  0 ta có c  k.a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: c cùng phương a 6
+ c cùng hướng a khi k > 0; c ngược hướng a khi k < 0 và c  ka  k . a Quy ước: 0.a  0; k.0  0. + Hệ thức trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với mọi điểm O tùy ý ta có: IA  IB  0; OA  OB  2OI . + Hệ thức trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, với mọi điểm O tùy ý ta có: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm của tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, với mọi điểm O tùy ý ta có: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Điều kiện để hai vectơ cùng phương:   a và b cùng phương a  0  !k  : b  ka. + Sự đồng phẳng của ba vectơ: - Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. r - Định lý: Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vec tơ a, b, c trong đó a và b không cùng phương. Khi đó: a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi: !m, n  : c  m.a  n.b. - Cho ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng x tùy ý ta có: !m, n, p  : x  m.a  n.b  pc. + Góc giữa hai vectơ (Trong phẳng và trong không gian): AB  u, AC  v  (u, v)  BAC (00  BAC  1800 ) + Tích vô hướng của hai vectơ: Cho u  0; v  0. Khi đó: u.v  u . v cos(u; v). Với u  0 hoặc v  0. Qui ước: u.v  0. Chú ý: u  v  u.v  0. 4.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán vec tơ trong mặt phẳng Các bài tập về vectơ trong mặt phẳng sau đây tương tự cũng có trong không gian. Sau đây chúng tôi hệ thống một số dạng toán phổ biến khi dạy HS các bài toán về vectơ. Xuất phát từ các dạng bài tập này, GV rèn luyện cho HS kỹ năng giải toán vectơ trong mặt phẳng khi đó việc rèn luyện kỹ năng giải toánvec tơ trong không gian cũng được áp dụng tương tự. Trong mục này, tất cả các HS được rèn luyện kĩ năng giải toán hình học bằng PP vectơ. 4.2.1. Các bài toán sử dụng các phép biến đổi vectơ Dạng 1: Biến đổi vectơ, chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác để biến đổi vectơ. Khi chứng minh đẳng thức vectơ ta biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng 7
nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vectơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đúng. Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: MA  MB  MC  MD  4MO Lời giải. Cách 1: B C MA  MB  MC  MD  MO  OA  MO  OB  MO  OC  MO  OD O A D  4MO  OA  OB  OC  OD  4MO  0  4MO Cách 2: Vì O là trung điểm của AC và BD ta có: MA  MC  2MO(1) ; MB  MD  2MO(2) Từ (1) và (2), ta có: MA  MB  MC  MD  2MO  2MO  4MO Nhận xét: Khi hướng dẫn bài tập này theo cách 1, GV hướng dẫn HS sử dụng quy tắc ba điểm, đây xem như cách “chèn” điểm để sử dụng tính chất của tâm của hình bình hành: OA  OB  OC  OD  0 . Như vậy, trong các bài toán về biến đổi vec tơ dạy HS kĩ năng “chèn” thêm điểm là rất quan trọng. Đây là bài tập mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình và khá chữa bài. Ở cách 2, O là trung điểm của AC và CD nên ta sử dụng tính chất trung điểm để giải theo cách này. Bài tập 2: Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng: AD  BC  AC  BD  2IJ B Lời giải. Ta có theo quy tắc ba điểm: I C A IJ  IA  AD  DJ (1) J D IJ  IB  BC  CJ (2) Từ (1) và (2), ta có: 2IJ  ( IA  IB)  AD  BC  ( DJ  CJ )  0  AD  BC  0  AD  BC Tương tự, ta có: AC  BD  2IJ . Nhận xét: Ở cách giải này GV hướng dẫn HS cách “chèn” điểm đặc biệt. GV có thể hướng dẫn HS giải theo cách khác. Cách khác: AD  BC  AC  CD  BD  DC  AC  BD  (CD  DC )  AC  BD  0  AC  BD Bài tập 3: Cho tam giác ABC và điểm E thỏa mãn: 3EA  EB  4EC  0 và điểm Q bất kỳ, hệ thức nào sau đây đúng? 1 1 2 3 1 1 A. QA  QB  QC  QE . B. QA  QB  QC  QE . 2 6 3 8 8 2 3 1 C. QA  QB  QC  QE . D. 3QA  QB  4QC  QE 4 4 8
Lời giải: Ta có: 3EA  EB  4EC  0  3  EQ  QA   EQ  QB   4  EQ  QC   0 1 1 2  6 EQ  3QA  QB  4QC  0  QA  QB  QC  QE . Đáp án A. 2 6 3 Nhận xét: Ở bài tập này, GV hướng dẫn HS có thể dùng quy tắc trừ để biến đổi cho linh hoạt. Đây là bài tập mức độ vận dụng thấp, GV gọi HS trung bình và khá giải rồi hướng dẫn cách giải để linh hoạt khi sử dụng các phép toán. Khi giải toán vectơ không nhất thiết phải vẽ hình. Trong bài tập này điểm E là tồn tại và duy nhất, chỉ cần sử dụng giả thiết về hệ thức vectơ của E, sau đó sử dụng phương pháp “chèn” điểm Q nên đưa về hệ thức đúng. Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước Phương Pháp: + Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng : AI  a trong đó A là một điểm cố định, a cố định. + Dựng điểm I thoả mãn: AI  a Bài tập 1: Cho các điểm A, B, C, D, E . Xác định các điểm O, K sao cho: a) OA  2OB  3OC  0 ; b) KA  KB  KC  3(KD  KE)  0 Lời giải: C a) OA  2OB  3OC  0  OA  OC  2(OB  OC)  0(1) N Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC O B M OA  OC  2OM ; OB  OD  2ON G K D  OA  OC  2(OB  OC)  2OM  4ON P E (1)  2OM  4ON  0  OM  2ON  0  OM  2(OM  MN )  0 3  3OM  2 MN  0  MN  MO 2 3 Dựng điểm O sao cho: MN ; MO cùng hướng và MN  MO . 2 b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, P là trung điểm của DE. Khi đó KA  KB  KC  3( KD  KE )  0  KA  KB  KC  6 KP  0 2 .  3KG  6 KP  0  KG  2 KP  0  GK  GP 3 2 Dựng điểm K sao cho: GK ; GP cùng hướng và GK = GP . 3 Bài tập 2: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M trên d sao cho vectơ u  MA  MB  2MC có độ dài nhỏ nhất. 9
A Lời giải. u  MA  MB  2MC  MI  IA  MI  IB  2(MI  IC ) H I  4MI  ( IA  IB  2IC) B C d Gọi I là điểm thỏa mãn: IA  IB  2IC  0 . M Gọi H là trung điểm của AB. Ta có: 1 1 IA  IB  2 IC  0  IA  IA  BA  2( IA  AC )  0  4 IA  AB  2 AC  IA  AB  AC 4 2 Vậy I là trung điểm của CH nên I cố định. Ta có: u  4MI  ( IA  IB  2IC )  4MI  0  4MI  u  4MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d. Nhận xét: Khi hướng dẫn bài tập này GV hướng dẫn HS cách “chèn” điểm I, khi đó từ bài tập độ dài của tổng các vectơ ta đưa về bài tập độ dài của một vectơ. Như vậy khi dạy HS kĩ năng chèn thêm điểm là rât quan trọng. Đây là bài tập mức độ vận dụng GV hướng dẫn HS giải bài, hướng dẫn cách xuất hiện điểm I phù hợp để đưa về bài toán đơn giản hơn. Việc chọn điểm I là kĩ năng chọn điểm đặc biệt. Đây là bài tập mức độ vận dụng. GV gọi HS khá giỏi làm bài tập này. Dạng 3 : Tính độ dài vectơ Phương pháp: Đưa tổng hoặc hiệu của các vectơ về một vectơ có độ dài là một cạnh của đa giác hoặc sử dụng tích vô hướng của hai vectơ. Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=m ; AC=2m. Tính AB  AC ; AB  AC Lời giải. A Dựng hình chữ nhật ABCD ta có: AB  AC  AD  AB  AC  AD  AD  BC C B  AB 2  AC 2  m2  (2m)2  m 5 Ta có: AB  AC  CB  AB  AC  CB  CB  m 5 D uuur uuur uuur Þ A B - A C = BC = BC = m 5 Nhận xét: Sau khi giải bài tập này, GV nêu PP để tính độ dài tổng , hiệu của các vec tơ, cần biến đổi vec tơ để đưa về một vectơ sau đó mới tính độ dài. Đây là bài tập mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình và khá giải rồi chữa lại. Bài tập 2: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB=2m; CD=6m thì AB  CD bằng A. -4m. B. 8m. C. 2m. D. 4m. Lời giải. A B Hai vectơ AB và CD ngược hướng nhau nên D C AB  CD   AB  CD  6m  2m  4m . 10
Nhận xét: Qua bài tập này, GV có thể hướng dẫn HS cách tính dộ dài của tổng hoặc hiệu của hai vectơ cùng hướng hoặc ngược hướng Hai vectơ a và b cùng hướng nên a  b  a  b ; a  b  a  b . Hai vectơ a và b ngược hướng nên a  b  a  b ; a  b  a  b Bài tập 3: Cho tam giác ABC đều có cạnh AB  2 , H là trung điểm của BC . Tính độ dài của CA  HC . A. 3 7 . B. 3 5 . C. 3 7 . D. 7 . 2 4 4 Lời giải. Ta có: CA  HC  CA  CH  2CE (với E là trung điểm của AH ). Ta lại có: AH  2 3  3 ( ABC đều, AH là đường cao). A 2 Trong tam giác HEC vuông tại H , có: 2  3 7 E EC  CH  HE  1     2 2 2 .  2  2 B C 2 7 H Suy ra: CA  HC  2 CE  2.CE   7 . Đáp án D. 2 Cách 2: CA  HC   CA   HC  2 2 2  2CA.HC  (CA) 2  (HC) 2  2CA.CH cos(CA, HC )  (2)2  (1)2  2.2.1cos 600  7  CA  HC  7 Nhận xét: Để tính độ dài của vectơ, GV có thể hướng dẫn HS cách giải bằng cách dựng vectơ và sử dụng ứng dụng tích vô hướng của hai vectơ. Dạng 4 : Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vec tơ Phương pháp: Biến đổi đẳng thức vectơ đưa về bài toán quy tắc dựng điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ. Bài tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k  0 . Tìm tập hợp các điểm I thỏa mãn đẳng thức IA  IB  IC  ID  k . A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Một điểm. D. Một đoạn thẳng. Lời giải. Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì A B IA  IB  IC  ID  4IO. Do đó: IA  IB  IC  ID  k O k C  4 IO  k  OI  D . 4 k Vậy tập hợp điểm I là đường tròn tâm O bán kính bằng . 4 Nhận xét: Để giải bài tập này, GV cho HS nhắc lại, GV gọi HS yếu và trung bình lên giải rồi chữa lại kiến thức cho HS. Bài tập 2: Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với E là trung điểm của AB. Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn đẳng thức IA  IB  IA  IB . 11
AB A. Đường tròn tâm E đường kính . B. Đường tròn đường kính AB. 2 C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. Đường trung trực của đoạn thẳng EA. Lời giải: AB Ta có : IA  IB  IA  IB  2 IE  BA  IE  . Tập hợp các điểm I là đường tròn 2 tâm E đường kính AB. Chọn đáp án B Nhận xét: Ở bài tập 2, HS sẽ dễ dàng làm được sau khi đã làm được bài tập sau khi hiểu về kiến thức về bài toán tìm tập hợp điểm. GV cho gia tăng các bài tập tương tự để HS trung bình luyện tập trong phần bài tập tự luyện và bài tập về nhà. Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chữa lại kiến thức. Bài tập 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA  3MB  MC  MB  MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. Lời giải : Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Ta có: 2MA  3MB  4MC  2(MI  IA)  3(MI  IB)  4(MI  IC)  9MI  (2IA  3IB  4IC ) Chọn điểm I sao cho 2IA  3IB  4IC  0  3( IA  IB  IC)  IA  IC  0  3( IA  IB  IC )  AC  0 Mà G là trọng tâm của tam giác ABC: IA  IB  IC  3IG Khi đó 3.3IG  AC  0  9IG   AC (*) nên I cố định Ta có: 2MA  3MB  4MC  9MI và MB  MA  AB . Do đó : AB 2 MA  3MB  4 MC  MB  MA  9 MI  AB  MI  9 Vì I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn AB a tâm I bán kính R   . 9 9 Nhận xét: Để giải bài tập này, GV cần hướng dẫn HS sử dụng phương pháp “chèn” điểm và chọn điểm đặc biệt, sau đó ta đưa về bài tập tìm tập hợp các điểm M cách điểm I cố định một khoảng cách không đổi. Bài toán này đưa về quỹ tích là đường tròn tâm I, bán kính R. Ở bài tập 2 và 3 GV định hướng HS có thể không cần vẽ hình mà chỉ sử dụng biến đổi vectơ để giải bài tập. Bài tập 4: Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC và điểm M sao cho MB  MC  2 AB  AC . Khi đó tập hợp điểm M là: A. Đường trung trực của BC. B. Đường tròn tâm B, bán kính IC. C. Đường tròn tâm C, bán kính IB. D. Đường tròn tâm I, bán kính BC. 12
Lời giải. A Vì I là trung điểm của BC nên C IB  IC  0 . Ta có: MB  MC  2 AB  AC B I M  MI  IB  MI  IC  2 CB  2 MI  IB  IC  2CB   2MI  2CB  2MI  2CB  MI  CB . Tập hợp M là đường tròn tâm I đường kính BC. Đáp án D. Nhận xét: Ở bài tập này sau khi HS đã hiểu bài tập trước sẽ có thể hiểu các bài tập này và tích cực làm bài. GV gọi các HS trung bình làm bài để nắm bắt mức độ học tập để điều chỉnh kiến thức và bổ sung. Dạng 5: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Phương Pháp: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ Bài tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các vectơ AI , AG theo hai vectơ AE, AF . Lời giải 1 1 AI  AE  AF A 2 2 F I E 1  1   AD  AB  AC  2 AF  2 AE  AF  AE 2 2  B G C D AG  2 3 2  2 2 AD  AF  AE  AF  AE 3 3 3  Nhận xét: Thông thường để làm bài toán này, GV hướng dẫn HS sử dụng các quy tắc: cộng, trừ vectơ, phép nhân vectơ với một số, tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác. Bài tập 2: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm MN. a) Hãy phân tích các vectơ AK theo hai vectơ AB, AC . 1 1 b) Gọi D là trung điểm BC. Chứng minh: KD  AB  AC 4 6 Lời giải. A a) AK  1 2  11  2  1 1 AM  AN   AB  AC   AB  AC 22 3  4 3 M N K C b) B D KD  AD  AK  1 2  1 1  1 1 AB  AC   AB  AC   AB  AC 4 3  4 6 13
Dạng 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng  AB  k AC Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp: + Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi vectơ. + Cách 2: Xác định hai vectơ trên bằng cách biểu diễn qua hai vec tơ không cùng phương. Ở cách 2 này GV hướng dẫn cho HS chọn hệ vectơ cơ sở rồi biểu diễn các vectơ qua các vectơ trong hệ vectơ cơ sở đó. Bài tập 1: Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho: 4OA  3OB  OC  0 . Chứng minh rằng A,B,C thẳng hàng. Lời giải. Ta có : 4OA  3OB  OC  0  4OA  3 OA  AB   OA  AC   0  3AB   AC . Vậy: ba điểm A,B,C thẳng hàng. Nhận xét: Có thể tổng quát bài tập 1 thành kết quả sau đây: “ Cho 4 điểm O, A, B, C sao cho: (m  n)OA  mOB  nOC  0 . Chứng minh rằng A, B,C thẳng hàng. Bài tập này HS dễ dàng chứng minh được. 1 Bài tập 2: Cho tam giác ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho: CI = A C , J là điểm 4 1 2 thỏa mãn: BJ  AC  AB . Chứng minh đường thẳng IJ đi qua điểm B. 2 3 Nhận xét: Bài tập này việc dựng điểm J là khá A phức tạp nên GV có thể hướng dẫn HS chỉ cần biến đổi không cần vẽ hình dựng điểm. Đây cũng là J E I điểm khác khi giải hình học bằng PP vectơ. Khi B C giải toán hình học thông thường ta cần vẽ hình F nhưng riêng giải toán bằng PP vectơ có thể không nhất thiết vẽ hình. Để chứng minh đường thẳng IJ đi qua điểm B cần chứng minh: I, J, G thẳng hàng. Biểu diễn BI qua BJ . Ở bài tập này, GV hướng dẫn HS cách giải bằng cách biểu diễn vectơ theo hệ vec tơ cơ sở, từ đó chứng minh hai vec tơ cùng phương. Trong đề ra đã có sự biểu diễn BJ qua AB; AC từ đó GV gợi ý để HS biểu diễn BI qua AB; AC . Đây chính là sự biểu diễn vectơ theo hệ vectơ cơ sở là:  AB; AC . GV có thể hướng dẫn HS các bước chứng minh 3 điểm thẳng hàng theo quy trình sau đây: + Bước 1: Chọn hệ vectơ cơ sở + Bước 2: Biểu diễn các vectơ cần biến đổi về các vectơ cơ sở + Bước 3: Chuyển từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ từ đó có kết quả phù hợp. Lời giải: + Bước 1: Chọn hệ vectơ cơ sở là:  AB; AC 14
+ Bước 2: Biến đổi các vectơ theo vectơ trong hệ cơ sở. 1 2 2 1 Ta có: BJ  AC  AB  AB  AC ; 2 3 3 2 1 3 23  2 BI  BC  CI  AC  AB  AC   AB  AC  BJ  BC  CI   AC  AB   BI 4 4 34  3 + Bước 3: BI ; BJ cùng phương nên ta suy ra: B, I, J thẳng hàng hay đường thẳng I J đi qua điểm B. Bài tập 3: Cho tam giác ABC. M thuộc cạnh AC sao cho: MA  2MC , N thuộc BM sao cho: NB  3NM , P thuộc BC sao cho: PB  k PC . Khi ba điểm A, N, P thẳng hàng. Tìm mệnh đề đúng. A. k  (1;1) . B. k  (3; 1) . C. k  (0; 2) . D. k  (1;3) . Lời giải: A + Bước 1: Chọn hệ vec tơ cơ sở là:  AB; AC M N B + Bước 2: Biến đổi vec tơ theo các vectơ cơ sở P C Ta có:  NB  3NM  AB  AN  3 AM  AN  AN   1 4 3 AB  AM 4 1 32  1 1  AN  AB   AC   AN  AB  AC (1) 4 43  4 2   PB  k PC  AB  AP  k AP  AC  1  k  AP  AB  k AC 1 k  AP  AB  AC (2) 1 k 1 k + Bước 3: Chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ. Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi: AP  hAN 1 k 1  k  1  k  4  2k  k  2 . Chọn đáp án B. 1 1 1 k 1 k 4 2 Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn MA  MB  0 ; 2NA  3NC  0 ;BC  k BP . Tìm k để ba điểm M, N, P thẳng hàng. 2 3 1 A. k  . B. k  . C. k  . D. k  3 . 3 5 3 Lời giải. 1 3 Cách 1: Ta có: MN  MA  AN   AB  AC . 2 5 15
  BC  k.BP  AC  AB  k BM  MP  k MP  AC  AB  k 2 AB k   k MP    1 AB  AC 2  +Xét khi k  0  0   AB  AC (vô lý) k 1 1 k 2 1 +Xét khi k  0  MP  2 AB  AC  AB  AC k k 2k k Để M, N, P thẳng hàng thì MN ;MP cùng phương k 2 1 2k  k  3 . k  2   1 . 1  k  2   5  k  1 . 1 3 5 2k 2 k 3 3  2 5 Cách 2: Dùng định lý Menelaus: do M, N, P thẳng hàng nên ta có: MA NB PC PC 2 2 1 1 . . 1   PC  PB  BC  BP  k  . MB NC PB PB 3 3 3 3 Nhận xét: Ở cách này đối với HS giỏi , GV nên hướng dẫn các em khai thác định lý Menelaus, sẽ giúp HS linh hoạt hơn khi giải các bài toán về tỉ số đoạn thẳng. Chú ý: Sau khi HS hiểu ứng dụng vectơ chứng minh các điểm thẳng hàng, GV hướng dẫn thêm cách chứng minh hai đường thẳng song song bằng PP vectơ. GV có thể hướng dẫn HS bài toán tổng quát sau: Bài toán: Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi: AB  kCD . 4.2.2. Vận dụng phương pháp vec tơ vào giải các bài toán hình học phẳng Sử dụng phương pháp vectơ có thể giải được rất nhiều bài toán trong hình học phẳng như: Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc..đặc biệt còn có thể khai thác PP này để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình đại số... Sau đây chúng tôi chỉ giới thiệu một số bài toán vận dụng phương pháp vec tơ vào giải toán hình phẳng. Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD; I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB. Chứng minh: DI và CJ vuông góc. GV có thể định hướng để HS giải bài toán này bằng PP vectơ Hướng dẫn giải: Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Trước hết học sinh phải tìm hiểu bài toán một cách tổng thể: Đây là dạng toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho. Bước 2: Xây dựng hướng giải: Để chứng minh DI và CJ vuông góc, ta phải chứng minh điều gì? phải chứng minh đẳng thức vectơ: DI .CJ  0 16
Bước 3: Thực hiện chương trình giải Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải; kiểm tra lại các bước giải của bài toán. Lời giải: B I C DC  DB Ta có: DI  (do I là trung điểm BC) (1) 2 J CA  CB CJ  (J là trung điểm AB) (2) A D 2   DC  DB '  CA  CB   DC  DB CA  CB  Từ (1) và (2) ta có: DI .CJ      2  2  4 Do DB  CA  DB.CA  0 và DC  CB  DC.CB  0  4DI .CJ  DC.CA  DB  CB  DC (CD  DA)  CB( DC  CB) 2 2  DC  0  CB  0  0  DI .CJ  0  DI  CJ . Nhận xét: Đây là bài tập hình học có thể giải bằng phương pháp tổng hợp. GV có thể định hướng HS giải bằng PP vectơ. Qua đây HS sẽ linh hoạt khi giải toán. Ở bài tập này mới đọc đề ra HS có thể chưa nghĩ ngay ra có thể dùng PP vectơ để giải toán vì thấy trong đề ra không xuất hiện vectơ. Khi đó GV sẽ hướng dẫn cho HS khéo léo để chuyển sang ngôn ngữ vectơ. Ở bài tập này, ở mức độ thông hiểu, GV sẽ hỏi HS trung bình trả lời để hướng dẫn điều chỉnh kết quả. Sau đó chốt phương án cho tất cả HS hiểu. Ở bài tập này, nhìn đề ra có thể HS không nghĩ đây là bài tâp vectơ nhưng khi chuyển bài tập này sang ngôn ngữ vectơ thì HS sẽ giải đơn giản. Trong lời giải GV có thể hướng dẫn HS chọn hệ vectơ cơ sở. Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD, H là trung điểm của cạnh BC và K là điểm 2 thuộc đoạn thẳng AC sao cho: AK  . AC . Chứng minh ba điểm D, H, K thẳng hàng. 3 Lời giải: 1 Ta có: DH  DC  CH  DI  DC  CB (1) B H C 2 DK  DC  CK K 1 1 Ta lại có: CK  (CD  DA)  (CD  CB) 3 3 1 1 2 1 A D  DK  DC  CD  CB  DC  CB 3 3 3 3 2 1  DK  ( DC  CB ) (2) 3 2 2 Từ (1) và (2) suy ra: DK  DH . Vậy ba điểm D, H, K thẳng hàng. 3 Nhận xét: Nhìn qua các bài tập này trong giả thiết không thấy xuất hiện vectơ nhưng khi đưa về ngôn ngữ vectơ thì bài tập trên trở thành bài toán vectơ và đơn giản hơn giải bằng PP hình học tổng hợp. 17