Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào một cách tiếp cận bài toán khoảng cách trong không gian theo hướng lôgic, hệ thống và gần gũi hơn. Đề tài tập trung khai thác bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, sau đó đưa các dạng bài toán khoảng cách khác về bài toán trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian

1
3. Nội dung báo cáo BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Sự phát triển kinh tế xã hội, khoa học công nghệ đã đặt ra yêu cầu cần phải đổi mới nội dung, phương pháp dạy học. Bộ GD và ĐT có định hướng: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, sự say mê học tập và ý chí vươn lên” cho học sinh. Thực hiện theo mục tiêu của Bộ GD ĐT đề ra, trường học đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo các thế hệ học sinh thành những con người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu. Hình học không gian là bộ môn toán học nghiên cứu các tính chất của các hình trong không gian, đặc điểm của hình học không gian là môn học trừu tượng. Chủ đề quan trọng được đề cập là khoảng cách, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Vì vậy bài tập khoảng cách trong không gian rất đa dạng và phong phú. Đặc trưng trừu tượng, đa dạng, phong phú là tiềm năng lớn để phát triển tư duy cho học sinh khi giải các bài toán về khoảng cách. Tính tích cực của học sinh trong quá trình học tập là yếu tố cơ bản, có tính quyết định đến chất lượng và hiệu quả học tập. Mục tiêu của mọi sự đổi mới phương pháp dạy học, xét đến cùng phải hướng tới việc phát huy tính tích cực nhận 2
thức của học sinh. Vấn đề cốt lõi là đặt học sinh vào vị trí trung tâm của quá trình dạy học. Trong quá trình dạy học người thầy biết sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học một cách hiệu quả nhằm phát huy cao độ vai trò nội lực của học sinh. Phương pháp dạy học nêu vấn đề, phương pháp thực hành, phương pháp làm việc theo nhóm, phương pháp tình huống...nếu được chuẩn bị tốt sẽ thực sự kích thích tính chủ động tích cực của học sinh. Tuy nhiên, theo tôi một thành tố cũng quan trọng không kém đó là tạo được tâm lý tốt cho học sinh, giúp các em tự tin vào khả năng của mình, khả năng giải quyết thành công bài toán. Qua tìm hiểu tôi thấy đã có rất nhiều chuyên đề của các thầy cô đồng nghiệp nghiên cứu về hình học không gian, trong đó đã đưa ra tương đối đầy đủ các phương pháp giải toán. Tuy nhiên, còn ít thầy cô đề cập đến định hướng tư duy cho các em trong giải bài tập, dẫn đến học sinh khó tiếp cận được với lời giải bài toán, tư duy hình học ít được phát triển. Qua chuyên đề này tôi muốn giúp các em có một lối mòn trong định hướng giải quyết một bài tập hình không gian, đó là tư duy đưa lạ về quen, luyện tập tốt bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng, từ đó đưa các bài toán khoảng cách khác về bài toán trên. Đối với nhiều bài toán thì đây không phải là cách giải hay nhưng đây là một hướng giải quen, có tư duy mạch lạc. 2. Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Nguyễn Đức Thịnh Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn. Số điện thoại: 0984490608. E_mail: nguyenducthinhgv.c3songlo@vinhphuc.edu.vn 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Đây là chuyên đề được tôi tổng hợp, xây dựng lại theo suy nghĩ của tôi, có tham khảo bài viết của một số đồng nghiệp qua 3
mạng Internet. Chuyên đề được tôi sử dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi và dạy chuyên đề ôn thi đại học. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán lớp 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Năm học 2017 – 2018, tôi được giao nhiệm vụ dạy học môn toán lớp 11A1,11A4 và 12A2. Chuyên đề này đã được tôi dạy thử nghiệm trong các tiết học chuyên đề 11A1 tháng 4/2018. 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào một cách tiếp cận bài toán khoảng cách trong không gian theo hướng lôgic, hệ thống và gần gũi hơn. Đề tài tập trung khai thác bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, sau đó đưa các dạng bài toán khoảng cách khác về bài toán trên. 7.1. Các dạng toán khoảng cách trong hình học không gian 7.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm O và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của O trên . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng . Kí hiệu M H Dùng MH : d(M, ) = MH * Nhận xét Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ta có thể: Xác định hình chiếu H của O trên và tính OH. 7.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 4
Cho điểm O và mặt phẳng ( ). Gọi H là hình chiếu của O trên ( ). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ). Kí hiệu * Nhận xét 7.1.3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó Cho đường thẳng song song với mặt phẳng ( ). Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng ( ) là khoảng cách từ một điểm bất kì của đến mặt phẳng ( ). Kí hiệu * Nhận xét Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng ( ) song song với nó được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 7.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu * Nhận xét Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 7.1.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung cắt a tại M và cắt b tại N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu . 5
* Nhận xét Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau: + Tìm H và K từ đó suy ra + Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt Nếu thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD. 7.2. Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cách 1. Tính trực tiếp. Cách 2. Sử dụng công thức thể tích Cách 3. Sử dụng phép trượt điểm Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ Cách 6. Sử dụng phương pháp vectơ 7.2.1. Phương pháp tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên ( ) và tính OH * Phương pháp chung. Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ( ) Tìm giao tuyến của (P) và ( ) Kẻ OH (). Khi đó . Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy 6
+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy + Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này + Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). Lời giải. Hạ Trong (SOK) kẻ . Ta có đều ; Trong tam giác vuông OBC có: Trong tam giác vuông SOK có: Vậy Ví dụ 2: (A2013) Cho hình chóp S.ABC có S đáy ABC là tam giác vuông tại A, , là tam giác đều cạnh a, . Tính D H I B C M 7 J A
Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC. Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD và AB. Lúc đó, CD//(SAB) hay + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ Mặt khác, ta có: Từ (1) và (2) suy ra: hay + Xét tam giác SIJ có: . Với: , , . Do đó: . Vậy 7.2.2. Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích. Thể tích của khối chóp . Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính và Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN). Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB) Lời giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên . 8
Vậy:. . Vậy Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = . Gọi H, K lần l ượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK). Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó. Lời giải. Cách 1: Trong đó: ; 9
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD. AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên . Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG HK và Tứ diện ASBD vuông tại A nên: Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng Cách 2: Ta chứng minh Ta có: Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; ). Tính SH, SK suy ra tọa độ của H, K, O Áp dụng công thức Cách 4: SC (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC. * AH SB, AH BC (do BC (SAB)) AH SC Tương tự AK SC. Vậy SC (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC OJ (AHK). SA = AC = SAC cân tại A I là trung điểm của SC. Vậy 7.2.3 Phương pháp trượt điểm 10
Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt điểm O trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi , ta quy việc tính về việc tính . Ta thường sử dụng những kết quả sau: Kết quả 1. Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng ( ) và M, N thì Kết quả 2. Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng ( ) tại điểm I và M, N (M, N không trùng với I) thì Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì , nếu I là trung điểm của MN thì Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a, . Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a. Lời giải: Kẻ SH BC SH (ABC). Xét SHB ta có: SH = SB.sin30 = a; BH = SB.cos30 = 3a Qua H kẻ HI AC tại I (SHI) (SAC). Kẻ HK SI tại K HK (SAC) d(H;(SAC)) = HK Ta có CHI∽ CAB(gg) HI = = d(H;(SAC)) = HK = Mà d(B;(SAC)) = Ví dụ 2. (Đề thi Đại học khối B năm 2011). Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa 11
hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. B1 C1 Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi A1 C và quy việc tính thành tính D1 Lời giải. * Gọi O là giao điểm của AC và BD B K C Gọi E là trung điểm AD O H A D E * Tính : Cách 1: Do B1C // (A1BD) Hạ Cách 2: Trong đó: Ví dụ 3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 12
a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC). Phân tích: Do , nên thay vì việc tính ta đi S tính , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính thông qua việc tính hay Lời giải. a) Ta có: nên: G H A D F E O Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: B C Trong tam giác vuông SAB có: b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB. Do nên Ta có: Câu 4 (Đề HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2017 2018). Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và tam giác là tam giác cân tại đỉnh. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đáy bằng , góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng Tính khoảng cách từ đến . Lời giải: Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt đáy, là trung điểm cân tại nên và kết hợp với suy ra . Vậy là trung trực của, cắt tại là trung điểm của Nên theo giả thiết ta được: + 13
+ Trong tam giác ta có: Từ đó tính được: 7.2.4. Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông 1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc vuông. 2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O () và H là hình chiếu A của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức H Chứng minh. O C Giả sử , (1) D (2) B Từ (1) và (2) suy ra . Trong các tam giác vuông OAD và OBC ta có Vì vậy Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên. Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là S hình vuông cạnh a, , SA=2a, a) Tính b) Tính H K D A Giải: a) Kẻ O Ta có: và . Từ (*) và (**) suy ra: . B C 14
Từ (1) và (2) ta có: hay + Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có: . Vậy, b) Gọi Kẻ Ta có: và . Từ (*) và (**) suy ra: . Từ (1) và (2) ta có: hay + Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có: . Vậy, . Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, , SD=a. d ( D,( SBC )) a) Tính d ( A,( SBC )) S b) Tính Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là H giao điểm của hai đường thẳng AD và M BC. D C a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ . + Vì Tam giác BCD vuông tại B hay . A B Mặt khác, vì . Từ (*) và (**) ta có: . Từ (1) và (2) suy ra: hay + Xét tam giác vuông SBD có: . E Vậy, b) Ta có: . Vậy, 7.2.5. Sử dụng phương pháp tọa độ. * Phương pháp: 15
Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét. Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ véc tơ Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học. Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau: với , với là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương với là đường thẳng đi qua và có vtcp Ví dụ 1 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Phương trình mặt phẳng (SCD): Ví dụ 2. ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); ; ; . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Lời giải : có : nên vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ như sau ; ; ; Tính : 16
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD): Ví dụ 3 . ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , , , SA vuông góc với đáy và . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc như sau : ; B ; C; D ; S 17
; ; + Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Phương trình tham số của SB : () + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ làm pháp vectơ (SCD) : + Chứng minh tam giác SCD vuông ; => Tam giác SCD vuông tại C + Tính ( theo ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H : ; + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : ; 7.2.6. Sử dụng phương pháp vecto. * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ “vecto”. Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức vecto theo hệ vecto gốc. Bước 3: Chuyển các kết luận “vecto” sang các kết quả hình học tương ứng. Ví dụ 1. (Đề thi đại học khối D năm 2007). 18
Cho hình chóp có đáy là hình thang. , . Cạnh bên vuông góc với đáy và . Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Tính khoảng S cách từ đến mặt phẳng . Lời giải. N Đặt H E K D A Q Ta có: P B C Gọi là chân đường vuông góc hạ từ lên mặt phẳng (SCD) M Dễ dàng tính được Khi đó : Ta có: Cách 2: Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm H và B đến mp(SCD), ta có: Trong đó Ta có: Cách 3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông. Phân tích. Trong bài toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) là khó khăn. Vì vậy, ta sẽ tìm giao điểm K của AH và (SCD) và quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) về việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) Lời giải 19
Gọi M là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AH với SM. Ta có: . Suy ra H là trọng tâm của tam giác SAM. S Từ đó ta có: Do tứ diện ASDM vuông tại A nên: E a 3 A D B Vậy a C * Nhận xét: Việc lựa chọn hệ vecto gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương pháp vecto. Nói chung việc lựa chọn hệ vecto gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ vecto gốc phải là ba vecto không đồng phẳng. + Hệ vecto gốc nên là hệ vecto mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ vecto một cách đơn giản nhất. Ví dụ 2. (Đề thi ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh . là điểm đối xứng của qua trung điểm của . lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và . E S M P c A a D b O B N C Giải: Đặt : Ta có : 20