zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Chia sẻ: Ganuongmuoiot | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Báo xấu

52
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Qua thực tế giảng dạy chương trình toán lớp 11 những năm qua, cũng như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại số và các bài toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích toán học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THPT VĨNH TRẠCH BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN CẢI TIẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ. Người viết: Lê Hồ Ngọc Toản Tổ: Toán Lĩnh vực: Chuyên môn Toán Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Trạch An Giang – 2/2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM AN GIANG Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG:THPT VĨNH TRẠCH An Giang, ngày 11 tháng 2 năm 2019. BÁO CÁO Kết quả thực hiện sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến bộ kỹ thuật hoặc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng I- Sơ lược lý lịch tác giả: - Họ và tên: LÊ HỒ NGỌC TOẢN Nam, nữ: Nam - Ngày tháng năm sinh: 10/02/1981 - Nơi thường trú: Vĩnh Thành, Châu Thành, An Giang - Đơn vị công tác: THPT Vĩnh Trạch - Chức vụ hiện nay: - Lĩnh vực công tác: giáo viên giảng dạy môn toán. II.- Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị: Nêu tóm tắt tình hình đơn vị, những thuận lợi, khó khăn của đơn vị trong việc thực hiện nhiệm vụ Thuận lợi: - Được sự quan tâm chỉ đạo sâu sát của Ban Giám Hiệu nhà trường trong công tác ôn tập học sinh giỏi. Đặc biệt là trong giai đoạn hiện nay, việc tự nghiên cứu, tìm tòi học hỏi của mỗi giáo viên ngày một dễ dàng nhờ vào internet, sách báo, tư liệu... - Đa số học sinh có ý thức tự học cao, tự nghiên cứu tìm tòi tài liệu - Nội dung “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số trong các đề thi học sinh giỏi” khá quen thuộc, rất thú vị, đa dạng, khơi gợi được sự hứng thú đối với học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia. Khó khăn: Đối với giáo viên: Đây là lĩnh vực cũng tương đối khó, đòi hỏi giáo viện phải nghiên cứu kĩ, chuyên sâu 2 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Đối với học sinh: Đây là chuyên đề khó đối với học sinh, đòi hỏi phải hiểu kĩ và nắm vững kiến thức; phải tự học và nghiên cứu nhiều hơn - Tên sáng kiến/đề tài giải pháp: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ” - Lĩnh vực: môn toán. Sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ” khá quen thuộc, rất thú vị, gợi được sự hứng thú đối với học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia. III- Mục đích yêu cầu của đề tài, sáng kiến 1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích toán học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học. Các dạng toán liên quan tới nội dung này ở sách giáo khoa chỉ ở mức độ mở đầu, cơ bản. Trong khi đó các câu hỏi trong đề thi học sinh giỏi thường là khó với các em. Qua thực tế giảng dạy chương trình toán lớp 11 những năm qua, cũng như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại số và các bài toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích toán học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh. 2. Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số học và tính chất giải tích của dãy số. Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là biết cách xác định công thức cơ bản của dãy số. Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, bản thân đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề 3 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 3. Nội dung sáng kiến 3.1. Tiến trình thực hiện. Đối với giáo viên: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, chọn lọc tài liệu. Bước 2: Hệ thống các dạng cơ bản. Bước 3: Hướng dẫn học sinh học các dạng cơ bản. Bước 4: Hướng dẫn học sinh phân tích, mở rộng nhiều bài toán khác từ các dạng cơ bản. Đối với học sinh: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, nghe giáo viên hướng dẫn dạng cơ bản. Bước 2: Giải thành thạo dạng cơ bản. Bước 3: Phân tích, mở rộng sang các bài toán khác. Bước 4: Tự rèn luyện qua đề thi. 3.2. Thời gian thực hiện. Sáng kiến này được thực hiện từ 8/2018 – 3/2019. 3.3. Biện pháp tổ chức. 3.3.1 Kiến thức cơ bản 3.3.1.1 Phương pháp quy nạp toán học 3.3.1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi là dãy số tăng nếu un  un+1 , n  * * Dãy số ( un ) gọi là dãy số giảm nếu un  un+1 , n  * Vậy: Nếu un+1 − un  0, n  * suy ra ( un ) là dãy số tăng Nếu un+1 − un  0, n  * suy ra ( un ) là dãy số giảm * Nếu tồn tại số M sao cho un  M , n  * thì ( un ) bị chặn trên * Nếu tồn tại số m sao cho un  m , n  * thì ( un ) bị chặn dưới * Nếu dãy số ( un ) bị chặn trên và bị chặn dưới thì gọi là dãy số bị chặn 3) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) là cấp số cộng  un+1 = un + d với n  * , trong đó d là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng. * Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì un = u1 + ( n − 1) d (1) * Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì tổng n n Sn = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) =  2u1 + (n − 1)d  (2) 2 2 4) Cấp số nhân * Dãy số ( un ) là cấp số nhân  un+1 = un .q với n  * , trong đó q là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân. * Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân thì un = u1.q n−1 (3) * Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân với q  1, q  0 thì tổng 4 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 1 − qn Sn = u1 + u2 + ... + un = u1. (4) 1− q 5) Một số đinh lí về giới hạn - Nếu q  1 thì lim q n = 0 - Nếu q  1 thì lim q n = + - Nếu các dãy số an  bn  cn , n  * và lim an = lim cn = L thì lim bn = L - Nếu dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên thì ( un ) có giới hạn Nếu dãy số ( un ) giảm và bị chặn dưới thì ( un ) có giới hạn 3.3.2 Phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số 3.3.2.1. Áp dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xác định công thức tổng quát (CTTQ) của một số dãy đặc biệt Ví dụ 1.1 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi: u1 = 1, un = un−1 −2 n  2. Giải Ta thấy dãy số (un ) là một cấp số cộng (CSC) có công sai d = −2 . Áp dụng công thức (1) Ta có: un = 1 − 2(n − 1) = −2n + 3 Ví dụ 1.2 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi: u1 = 3, un = 2un −1 n  2 . Giải Ta thấy dãy (un ) là một cấp số nhân (CSN) có công bội q = 2 . Ta có: un = 3.2n−1 Ví dụ 1.3 Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi: u1 = −2, un = 3un−1 − 1 n  2. Giải Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy (un ) không phải là CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số −1 ở vế trái. Ta tìm cách làm mất −1 đi và chuyển dãy số về CSN. 3 1 Ta có −1 = − + nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: 2 2 1 3  1 un − = 3un−1 − = 3  un −1 −  (1) 2 2  2 1 5 Đặt vn = un −1 −  v1 = − và vn = 3vn−1 n  2 . Dãy (vn ) là dãy CSN công bội q = 3 2 2 5 1 5 1  vn = v1.q n −1 = − .3n −1 . Vậy un = vn + = − .3n + n = 1, 2,... 2 2 2 2 5 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 3 1 Nhận xét: Mấu chốt ở cách làm trên là ta phân tích −1 = − + để chuyển công thức truy 2 2 hồi của dãy (1), từ đó ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy (vn ) là một CSN. Tuy nhiên có vẻ 3 1 như không tự nhiên. Làm thế nào để phân tích −1 = − + ? Ta có thể làm như sau: 2 2 1 Ta phân tích −1 = k − 3k  k = 2 u1 = x0 Với cách làm như trên ta xác định được CTTQ của dãy (un ) :  n  2 . un = aun−1 + b Thật vậy: * Nếu a = 1 thì dãy (un ) là CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b . ab b * Nếu a  1 thì viết b = − . Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như sau: a −1 a −1 b  b  b  b  un + = a  un−1 +  , suy ra: un + = a n−1  u1 +  a −1  a −1  a −1  a −1  b ( a n−1 − 1) Hay un = u1a n −1 + . a −1 Từ đó ta suy ra các dạng sau Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x0 , un = aun−1 + b n  2 (a, b  * ) có CTTQ u1 + (n − 1)b khi a = 1  un =  b ( a n −1 − 1) un = u1a + n −1 khi a  1  a −1 Ví dụ 1.4 Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định: u1 = 2; un = 2un−1 + 3n − 1. Giải Để tìm CTTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3n − 1 để chuyển về dãy số là một CSN. Ta có 3n − 1 = −3n − 5 + 2 3(n − 1) + 5 (2) Khi đó công thức truy hồi của dãy: un + 3n + 5 = 2 un + 3(n − 1) + 5 Đặt vn = un + 3n + 5 , ta có: v1 = 10 và vn = 2vn−1 n  2  vn = v1.2n−1 = 10.2n−1 Vậy CTTQ của dãy (un ) : un = vn − 3n − 5 = 5.2n − 3n − 5 n = 1,2,... Chú ý: 1/. Để phân tích được đẳng thức (2) ta là như sau: a − b = 2 a = −3 3n − 1 = an + b − 2  a(n − 1) + b . Cho n = 1; n = 2 ta có   . −b = 5 b = −5 u1 2/. Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) :  trong đó f (n) là một  n u = au n −1 + f ( n ) n  2 đa thức bậc k theo n , ta xác định CTTQ như sau 6 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Phân tích f (n) = g (n) − ag (n −1) (3) với g (n) cũng là một đa thức theo n . Khi đó ta có un − g (n) = a un−1 − g (n − 1) = ... = a n−1 u1 − g (1) Vây ta có un = u1 − g (1) a n−1 + g (n) Vấn đề còn lại là ta xác định g (n) như thế nào? Ta thấy: * Nếu a = 1 thì g (n) − ag (n −1) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g (n) một bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g (n) , mà f (n) là đa thức bậc k nên để có (3) ta chọn g (n) là đa thức bậc k + 1 , có hệ số tự do bằng không và khi đó để xác định g (n) thì trong đẳng thức (3) ta cho k + 1 giá trị của n bất kì ta được hệ k + 1 phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của g (n) . * Nếu a  1 thì g (n) − ag (n −1) là một đa thức cùng bậc với g (n) nên ta chọn g (n) là đa thức bậc k và trong đẳng thức (3) ta cho k + 1 giá trị của n thì ta sẽ xác định được g (n) . Vậy ta có kết quả sau u1 = x0 Dạng 2: Để xác định CTTQ của sãy (un ) được xác định bởi  , trong un = a.un−1 + f (n) đó f (n) là một đa thức bậc k theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: Phân tích: f (n) = g (n) − a.g (n −1) với g (n) là một đa thức theo n . Khi đó, ta đặt vn = un − g (n) ta có: un = u1 − g (1) a n−1 + g (n) . Lưu ý: nếu a = 1 , ta chọn g (n) là đa thức bậc k + 1 có hệ số tự do bằng 0 , còn nếu a  1 ta chọn g (n) là đa thức bậc k . u1 = 2 Ví dụ 1.5 Cho dãy số (un ) :  . Tìm CTTQ của dãy (un ) . un = un −1 + 2n + 1 Giải Ta có 2n + 1 = g (n) − g (n − 1) = a n 2 − (n − 1) 2  + b  n − (n − 1) (trong đó g (n) = an 2 + bn ) −a + b = 1 a = 1 Cho n = 0, n = 1 ta có hệ:    g ( n) = n 2 + 2n a + b = 3 b = 2  un = n2 + 2n − 1 u1 = 1 Ví dụ 1.6 Cho dãy số (un ) :  . Tìm CTTQ của dãy (un ) un = 3un−1 + 2 ; n = 2,3,... n Giải Tương tự ví dụ trên, ta có: 2 = a.2 − 3a.2n−1 . n n Cho n = 1 , ta có: a = −2  2n = −2.2n + 3.2.2n−1 Nên ta có un + 2.2n = 3 ( un−1 + 2.2n−1 ) = ... = 3n−1 ( u1 + 4 ) Vậy un = 5.3n−1 − 2n+1 Chú ý: Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un−1 + b. n , 7 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Ta phân tích  n = k. n − a.k. n−1 với a   Chú ý: Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un−1 + b. n−1 Ta phân tích  n = k. n − a.k. n−1 với (a   ) . Khi đó un − k .b. n = a ( un−1 − kb n−1 ) = ... =  n−1 ( u1 − bk ) Suy ra un = a n−1 ( u1 − bk ) + bk n . Trường hợp  = a , phân tích  n = n. n −  ( n − 1) . n−1  un − bn. n =  ( un−1 − b ( n − 1) . n−1 ) = ... =  n−1 ( u1 − b )  un = b ( n − 1) n + u1 n−1 Vậy ta có kết quả sau  u1 Dạng 3. Để xác định CTTQ của dãy ( un ) :  , ta làm như sau un = a.un−1 + b. n  2  n * Nếu a =   un = b ( n − 1) n + u1 n−1 * Nếu a     n = k. n − ak. n−1 Khi đó un = a n−1 ( u1 − bk ) + bk . n  Suy ra k =  −a u1 = 1  Ví dụ 1.7 Tìm CTTQ của dãy ( un ) :  un = 5un−1 + 2.3 − 6.7 + 12; n = 2,3,...  n n Giải  3 3 = k .3 − 5k .3 n −1  k = −  n n =  2 Ta có  n n −1 cho n 1  7 = l.7 − 5l.7 n l = 7  2 Mặt khác, ta có 12 = −3 + 5.3 nên công thức truy hồi như sau un + 3.3n + 21.7n + 3 = 5 ( un−1 + 3.3n−1 + 21.7n−1 + 3) = ... = 5n−1 ( u1 + 9 + 147 + 3) Vậy un = 157.5n−1 − 3n+1 − 3.7n+1 − 3 u1 = 1 Ví dụ 1.8 Tìm CTTQ của dãy ( un ) :  un = 2un−1 + 3 − n; n  2 n Giải 3 = 3.3 − 2.3.3 n n n −1 Ta có  n = −n − 2 + 2 ( n − 1) + 2  Suy ra công thức truy hồi của dãy un = −3.3n − n − 2 = 2 un−1 − 3.3n−1 − ( n − 1) − 2 = ... = 2n−1 ( u1 − 12 ) Vậy un = −11.2n−1 + 3n+1 + n + 2 8 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 = p Dạng 4. Để xác định CTTQ của dãy ( un ) :  , trong đó un = a.un−1 + b. + f ( n ) ; n  2 n f ( n ) là đa thức theo n bậc k , ta phân tích  n và f ( n ) như cách phân tích dạng 2 Ví dụ 1.9 Xác định CTTQ của dãy ( un ) : u0 = −1; u1 = 3; un = 5un−1 − 6un−2 ; n  2 Giải Để xác định CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy ( un ) bằng 1 dãy số khác là CSN. Công thức truy hồi được viết lại như sau: x + x = 5 un − x1.un−1 = x2 ( un−1 − x1.un−2 ) , do đó ta chọn x1 , x2 :  1 2 hay x1 , x2 là nghiệm  x1.x2 = 6 phương trình: x 2 − 5 x + 6 = 0  x = 2; x = 3 . Ta chọn x1 = 2; x2 = 3 Khi đó: un − 2.un−1 = 3 ( un−1 − 2.un−2 ) = ... = 3n−1 ( u1 − 2u0 ) = 5.3n−1 . Chú ý: Tương tự như cách làm trên ta xác định CTTQ của dãy ( un ) được xác định bởi u0 ; u1  , trong đó a, b là các số thực cho trước và a2 − 4b  0 như un − a.un −1 + b.un −2 = 0 n  2 sau Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x2 − a.x + b = 0 (4) (phương trình này gọi là phương trình đặc trưng của dãy) Khi đó Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có các trường họp sau: x .u − u u − x.u0 * Nếu x1  x2 thì un = 2 0 1 + 1 x2 − x1 y−x  k + l = u0 Hay un = k.x1n + l.x2n , trong đó k , l là nghiệm của hệ  .  x1.k + x2 .l = u1 u a  au   * Nếu x1 = x2 =  thì un =  n−1  0 +  u1 − 0  n   2  2   l =  .u0 hay un = ( kn + l ) n−1 , trong đó k , l là nghiệm của hệ   k + l = u1 u0 ; u1 Dạng 5. Để xác định CTTQ của dãy ( un ) :  , trong đó a, b là un − a.un −1 + b.un −2 = 0 n  2 các số thực khác 0 ; a2 − 4b  0 , ta làm như sau: Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình đặc trưng: x2 − a.x + b = 0  k + l = u0 * Nếu x1  x2 thì , trong đó k , l là nghiệm của hệ  .  x1 .k + x2 .l = u1 l =  .u0 * Nếu x1 = x2 =  thì un = ( kn + l ) n−1 , trong đó k , l là nghiệm của hệ   k + l = u1 9 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u0 = 1; u1 = 2 Ví dụ 1.10 Cho dãy số ( un ) được xác định bởi  . Hãy xác định un+1 = 4un + un +1 , n  1 CTTQ của dãy ( un ) . Giải Phương trình x2 − 4x − 1 = 0 có hai nghiệm x1 = 2 + 5; x2 = 2 − 5 k + l = 1  un = k.x + l.x . Vì u0 = 1; u1 = 2 nên ta có hệ  ( ) ( ) n n  2 + 5 k + 2 − 5 l = 2 1 2 1 k =l = . 2 1 ( ) + ( 2 − 5 )  . n n Vậy un = 2+ 5 2  u0 = 1; u1 = 3 Ví dụ 1.11 Xác định CTTQ của dãy ( un )  un − 4un−1 + 4un − 2 = 0; n = 2,3,... Giải Phương trình đặc trưng x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2 nên un = ( kn + l ) 2n−1 l = 2 Vì u0 = 1; u1 = 3 nên ta có hệ   k = 1; l = 2 . k + l = 3 Vậy un = ( n + 2 ) 2n−1 u0 = −1; u1 = 3 Ví dụ 1.12 Cho dãy ( un ) :  . un − 5un−1 + 6un−2 = 2n + 2n + 1; n  2 2 Xác định CTTQ của dãy ( un ) . Giải Với cách làm tương tự như ví dụ 1.4, ta phân tích 2n2 + 2n + 1 = = ( kn 2 + l.n + t ) − 5  k ( n − 1) + l ( n − 1) + t  + 6  k ( n − 2 ) + l ( n − 2 ) + t  (5) 2 2     19k − 7l + 2t = 1 k = 1   Cho n = 0; n = 1; n = 2 ta có hệ 7k − 5l + 2t = 5  l = 8 −k − 3l + 2t = 13 t = 19   Đặt vn = un − n2 − 8n − 19  v0 = 20; v1 = −25 và vn − 5vn−1 + 6vn−2 = 0  +  = −20  = 15  vn =  .3n +  .2n . Ta có hệ   3 + 2  = −25   = −35  vn = 15.3n − 35.2n  un = 15.3n − 35.2n + n2 + 8n + 19 . 10 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u0 ; u1 Chú ý Để xác định CTTQ của dãy ( un ) :  un+1 + a.un + b.un−1 = f ( n ) n  2 (trong đó f ( n ) là đa thức bậc k theo n và a2 − 4b  0 ) ta làm như sau: * Ta phân tích f ( n ) = g ( n ) + ag ( n − 1) + bg ( n − 2) (6) rồi ta đặt vn = un − g ( n ) v0 = u0 − g ( 0 ) ; v1 = u1 − g (1) Ta có được dãy số ( vn ) :  . Đây là dãy số ta xét trong dạng 5. vn + avn−1 + bvn−2 = 0 n  2 Do đó ta sẽ xác định CTTQ của vn  un * Ta xác định g ( n ) như thế nào để có (6) Vì f ( n ) là đa thức bậc k nên ta phải chọn g ( n ) sao cho g ( n ) + ag ( n − 1) + bg ( n − 2) là đa thức bậc k theo n . Khi đó ta chỉ cần thay k + 1 giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ xác định được g ( n ) . Giả sử g ( n ) = am .nm + am−1.nm−1 + ... + a1n + a0 ( am  0 ) là đa thức bậc m . Khi đó hệ số của xm và xm−1 trong vế phải là am (1 + a + b ) và −  ( a + 2b ) m.am + (1 + a + b ) am−1  . Do đó i) Nếu phương trình x2 + a.x + b = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì 1 + a + b  0 nên vế phải (6) là đa thức bậc m . ii) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1  1 + a + b = 0 và − ( a + 2b ) m.am + (1 + a + b ) am−1 = − ( a + 2b ).m.am  0 nên vế phải (6) là đa thức bậc m − 1. iii) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x = 1  a = −2; b = 1 nên vế phải (6) là đa thức bậc m − 2. Vậy chọn g ( n ) ta cần chú ý như sau: * Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g ( n ) là đa thức cùng bậc với f ( n ) . * Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g ( n ) = n.h ( n ) trong đó h ( n ) là đa thức cùng bậc f ( n ) . * Nếu (1) có nghiệm kép x = 1 thì ta chọn g ( n ) = n2 .h ( n ) trong đó h ( n ) là đa thức cùng bậc với f ( n ) .  u0 ; u1 Dạng 6 Để tìm CTTQ của dãy ( un ) :  un + a.un−1 + b.un−2 = f ( n ) n  2  (trong đó f ( n ) là đa thức theo n bậc k và b2 − 4ac  0 ) ta làm như sau: Xét g ( n ) là đa thức bậc k : g ( n ) = ak .n k + ... + a1k + a0 . * Nếu phương trình x2 + a.x + b = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích 11 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch f ( n ) = g ( n ) + a.g ( n − 1) + bg ( n − 2) rồi đặt vn = un − g ( n ) * Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1 , ta phân tích f ( n ) = n.g ( n ) + a ( n − 1) g ( n − 1) + b ( n − 2) g ( n − 2) rồi đặt vn = un − n.g ( n ) * Nếu (1) có nghiệm kép x = 1 , ta phân tích f ( n ) = n2 .g ( n ) + a ( n − 1) g ( n − 1) + b ( n − 2) g ( n − 2) rồi đặt vn = un − n 2 .g ( n ) . 2 2 u0 = 1; u1 = 4 Ví dụ 1.13 Xác định CTTQ của dãy ( un )  un − 3un−1 + 2un − 2 = 2n + 1 n  2 Giải Vì phương trình x2 − 3x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 1; x = 2 nên ta phân tích 2n + 1 = n ( kn + 1) − 3 ( n − 1)  k ( n − 1) + l  + 2 ( n − 2 )  k ( n − 2 ) + l  , cho n = 0, n = 1 5k − l = 1 Ta có hệ   k = −1; l = −6 3k − l = 3 Đặt vn = un + n ( n + 6)  v0 = 1; v1 = 11 và vn − 3vn−1 + 2vn−2 = 0  +  = 1  vn =  .2n +  .1n với  ,     = 10;  = −9 2 +  = 11  vn = 10.2n − 9  un = 5.2n+1 − n2 − 6n − 9 n = 0,1,2,3,... u0 = −1; u1 = 3 Ví dụ 1.14 Tìm CTTQ của dãy ( un ) :  un − 4un−1 + 3un−2 = 5.2 n  2 n Giải Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n−1 + 3a.2n−2 Cho n = 2 ta có : 4 = 4a − 8a + 3a  a = −4 Đặt vn = un + 5.4.2n  v0 = 19; v1 = 43 và vn − 4vn−1 + 3vn−2 = 0 Vì phương trình x2 − 4 x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 1; x = 3 nên vn =  .3n +  .1n  +  = 19 Với  ,  :    = 12;  = 7  vn = 12.3n + 7 3 +  = 43 Vậy un = 4.3n+1 − 5.2n+2 + 7 n = 1,2,... Chú ý: Với cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số ( un ) được xác định bởi  u0 ; u1  (với a2 − 4b  0 ) như sau: un + a.un−1 + b.un−2 = c. n  2  n Ta phân tích  n = k n + a.k. n−1 + b.k. n−2 (7) 12 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Cho n = 2 thì (7) trở thành k ( 2 + a. + b ) =  2 2 Ta tìm được k = khi  không là nghiệm của phương trình  2 + a. + b x2 + a.x + b = 0 (8) v0 = u0 − k .c; v1 = u1 − k .c. Khi đó, ta đặt vn = un − k.c. n , ta có dãy ( vn ) :  vn + a.vn−1 + b.vn − 2 = 0 n  2  vn = p.x1n + q.x2n ( x1 , x2 là hài nghiệm của (8)).  un = p.x1n + q.x2n + k.c. n Vậy nếu x =  là một nghiệm của (8),tức là  2 + a. + b = 0 thì ta sẽ xử lý như thế nào? Nhìn lại cách giải ở dạng (3), ta phân tích  n = k.n. n + a.k ( n − 1) . n−1 + bk ( n − 2 ) n−2 (9)   a Cho n = 2 ta có:  k ( 2 + a ) =  2  k ( 2 + a ) =   k =   −  2 + a  2  (2) có nghiệm k   là nghiệm đơn của phương trình (8) Khi đó un = p.x1n + q.x2n + kcn. n a Cuối cùng ta xét trường hợp x =  = − là nghiệm kép của (8). Với ý tưởng như trên, ta sẽ 2 phân tích:  n = kn2 . n + a.k ( n − 1) . n−1 + bk ( n − 2) . n−2 (10) 2 2  1 Cho n = 2 ta có: (10 )   2 = 4k . 2 + a.k .  k = = 4 + a 2 1 Khi đó un = p.x1n + q.x2n + cn 2 . n 2 u0 ; u1 Dạng 7 Cho dãy số ( un ) xác định bởi  un + aun−1 + bun−2 = c. n  2 n Để xác định CTTQ của dãy ( un ) ta làm như sau Xét phương trình x2 + a.x + b = 0 (11) * Nếu phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt khác  thì 2 un = p.x + q.x + kc. với k = 2 n n n 1 2  + a. + b * Nếu phương trình (11) có nghiệm đơn x =  thì  un = p.x1n + q.x2n + kcn. n với k = 4. + a 13 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch  1  * Nếu x =  là nghiệm kép của (11) thì un =  p + qn + cn 2  . n  2  u0 = −1; u1 = 3  Ví dụ 1.15 Xác định CTTQ của dãy ( un ) :  un − 5un−1 + 6un−2 = 5.2 n  2  n Giải Phương trình x2 − 5x + 6 = 0 có hai nghiệm x1 = 2; x2 = 3 , do đó un = p.2n + q.3n + 5kn.2n   2 k = 2 + a = 4 − 5 = −2  Với  p + q = −1  k = −2; p = −26; q = 25 2 p + 3q + 10k = 3   Vậy un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n+1 ( 5n + 13) n = 1, 2,... u0 = 1; u1 = 3  Ví dụ 1.16 Tìm CTTQ của dãy ( un ) :  un − 4un−1 + 4un−2 = 3.2  n Giải  3  Phương trình x2 − 4x + 4 = 0 có nghiệm kép x = 2 nên un =  p + qn + n 2  2n  2  p =1 Thế u0 = 1; u1 = 3 ta có hệ   p = 1; q = −1 q + p = 0 Vậy un = ( 3n2 − 2n + 2 ) 2n−1 n = 1, 2,... u0 ; u1 ; u2 Dang 8. Cho dãy ( un ) :  un + aun−1 + bun−2 + cun−3 = 0 n  3 Để xác định CTTQ của dãy ta xét phương trình: x3 + a.x2 + bx + c = 0 (12) * Nếu (12) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3  un =  .x1n +  .x2n +  .x3n . Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm được  ,  ,  . * Nếu (12) có 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép x1 = x2  x3  un = ( +  n ) x1n +  .x3n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm được  ,  ,  . * Nếu (12) có nghiệm bội 3 x1 = x2 = x3  un = ( +  n +  n 2 ) x1n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm được  ,  ,  . 14 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 = 0; u2 = 1; u3 = 3 Ví dụ 1.17 Tìm CTTQ của dãy ( un ) :  un = 7un−1 − 11un− 2 + 5un−3 = 0 n  4 Giải Xét phương trình đặc trưng: x3 − 7.x2 + 11x − 5 = 0 Phương trình có 3 nghiệm x1 = x2 = 1; x3 = 5 Vậy un =  +  n +  5n Cho n = 1, n = 2, n = 3 và giải hệ phương trình, ta được 1 3 1  =− ,  = , = 16 4 16 1 3 1 Vậy un = − + ( n − 1) + 5n−1 16 4 16 u0 = 2; un = 2un −1 + vn −1 Ví dụ 1.18 Tìm CTTQ của dãy ( un ) , ( vn ) :  v0 = 1; vn = un −1 + 2vn −1 n  1 Giải Ta có : un = 2un−1 + un−2 + 2vn−2 = 2un−1 + un−2 + 2 ( un−1 − 2un−2 )  un = 4un−1 − 3un−2 và u1 = 5 1 + 3n+1 −1 + 3n+1 Từ đây, ta có: un =  vn = un+1 − 2un = 2 2  xn = pun −1 + qyn −1 ; x1 Dạng 9 Cho dãy ( xn ) , ( yn ) :  . Để xác định CTTQ của hai dãy  yn = ryn −1 + sxn −1 ; y1 ( xn ) , ( yn ) ta làm như sau Ta biến đổi xn − ( p + s ) xn−1 + ( ps − qr ) xn−2 = 0 từ đây ta xác định được xn , thay vào hệ đã cho ta có được yn . Chú ý: Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau   q − r   xn −  yn = ( p −  s )  xn−1 − yn−1    s − p  Ta đưa vào các tham số phụ  ,  '   x +  ' y = p +  ' s  x + q +  'r y  ( )  n−1  n  n   ' s + p n−1   q − r  =   s − p  xn −  yn = ( p −  s ) ( xn−1 −  yn−1 ) Ta chọn  ,  ' sao cho    ' = q +  ' r  xn +  ' yn = ( p +  ' s ) ( xn−1 +  ' yn−1 )   's + p 15 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch  xn −  yn = ( p −  s )n −1 ( x1 −  y1 )  giải hệ này ta tìm được ( xn ) , ( yn )  xn +  ' yn = ( p +  ' s ) ( x1 +  ' y1 ) n −1 u1 = 1  Ví dụ 1.19 Tìm CTTQ của dãy ( un ) :  2un−1 un = 3u + 4 n  2  n −1 Giải  x1 = 2 1 3un −1 + 4 3 1 1  Ta có = = +2 . Đặt xn = , ta có:  3 un 2un−1 2 un−1 un  xn = 2 xn −1 + 2 5.2n−1 − 3 2  xn =  un = n −1 2 5.2 − 3 u1 = 2  Ví dụ 1.20 Tìm CTTQ của dãy ( un ) :  −9un−1 − 24 un = 5u + 13 n  2  n −1 Giải Bài toán này không còn đơn giản như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng cách đặt un = xn + t . Thay vào công thức truy hồi ta có xn + t = −9 xn−1 − 9t − 24  xn = ( −9 − 5t ) xn−1 − 5t 2 − 22t − 24 5 xn−1 + 5t + 13 5 xn−1 + 5t + 13 Ta chọn t : 5t 2 + 22t + 24 = 0  t = −2  x1 = 4 xn−1 1 3 1 11.3n−1 − 10 4  xn =  = 5+  =  xn = n −1 5 xn−1 + 3 xn xn−1 xn 4 11.3 − 10 −22.3n−1 + 24  un = xn − 2 = 11.3n−1 − 10 3.3.2.2 Ứng dụng bài toán tìm CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về dãy số u1 = 11 Bài 1. Cho dãy số ( un ) xác định bởi :  . Xác định số hạng un +1 = 10un + 1 − 9n, n  N tổng quát của dãy đã cho. Giải Ta có: 16 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 = 11 = 10 + 1 u2 = 10.11 + 1 − 9 = 102 = 100 + 2 u3 = 10.102 + 1 − 9.2 = 1003 = 1000 + 3 Dự đoán: un = 10n + n (1) Chứng minh theo quy nạp ta có u1 = 11 = 101 + 1 , công thức (1) đúng với n = 1 . Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có uk = 10k + k . Ta có: uk + 1 = 10 (10k + k ) + 1 − 9k = 10k +1 + ( k + 1) Công thức (1) đúng với n = k + 1 Vậy un = 10n + n , n  N. u1 = −2 Bài 2. Cho dãy số (un ) biết  . Xác định số hạng tổng quát của dãy. un = 3un−1 − 1, n  2 Giải 1 3 1 1 un = 3un−1 − 1  un − = 3un −1 −  un − = 3(un −1 − )(1) 2 2 2 2 1 1 −5 Đặt vn = un −  v1 = u1 − = 2 2 2 (1)  vn = 3vn−1 , n  2 Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q = 3 . −5 Nên vn = v1.q n −1 = .3n −1 . 2 1 −5 n −1 1 Do đó un = vn + = 3 + , n = 1, 2,... 2 2 2 u1 = −2 Bài 3. Cho dãy số (un ) biết  . Xác định số hạng tổng quát của dãy. un = 3un −1 − 1, n  2 Giải 1 3 1 1 un = 3un−1 − 1  un − = 3un −1 −  un − = 3(un −1 − )(1) 2 2 2 2 1 1 −5 Ñaë t v n = un −  v1 = u1 − = 2 2 2 (1)  vn = 3vn−1 , n  2 Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q = 3 . −5 Nên vn = v1.q n −1 = .3n −1 . 2 1 −5 n −1 1 Do đó un = vn + = 3 + , n = 1, 2,... 2 2 2 Bài 4. Cho dãy số (un ) xác định bởi: 17 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 = 4   1 un+1 = 9 (un + 4 + 4 1 + 2un ), n  * Tìm công thức của số hạng tổng quát (un ) ? Giải xn2 − 1 Đặt xn = 1 + 2un  x = 1 + 2un , xn  0  un = 2 n 2 Thay vào giả thiết: xn2+1 − 1 1 xn2 − 1 = ( + 4 + 4 xn )  (3xn+1 )2 = ( xn + 4)2  3xn+1 = xn + 4, n  N * , xn  0 2 9 2 Ta có 3xn+1 − xn = 4  3n+1 xn+1 − 3n xn = 4.3n . Đặt yn = 3n.xn  yn+1 = yn + 4.3n , n  N *  yn+1 = y1 + 4(3n + 3n−1 + ... + 3)  yn+1 = y1 − 6 + 2.3n+1 Ta có x1 = 3  y1 = 9  yn = 3 + 2.3n 1 1 4 1 Suy ra xn = 2 + n −1 , n  N *  un = (3 + n −1 + 2 n −2 ), n  N * . 3 2 3 3 un Bài 5. Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1; un +1 = , n  * . 2un + 1 Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n. Giải un 1 1 Ta có un  0, n  * . Khi đó un +1 =  = 2+ . 2un + 1 un +1 un 1 Với mọi n  * , đặt vn =  v1 = 1; vn+1 = vn + 2, n  * . un Suy ra, dãy số ( vn ) là cấp số cộng có v1 = 1 và công sai d = 2. Do đó, vn = v1 + ( n − 1) d = 2n − 1, n  * . 1 1 Vậy un = = . vn 2n − 1 Bài 6. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un+1 = 2un + 3n , n  * . Tìm công thức số hạng tổng quát u n theo n . Giải Với mọi n  * , ta có un+1 = 2un + 3n  un+1 − 3n+1 = 2(un − 3n ) 18 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Xét dãy số (vn ), với vn = un − 3n , n  *. Ta có: vn+1 = 2vn . Do đó, dãy số (vn ) là một cấp số nhân có công bội q = 2 và số hạng đầu bằng −2. Suy ra vn = v1.q n−1 = −2n. Vậy un = vn + 3n = 3n − 2n. 3 n+4  Bài 7. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un +1 =  un − 2  , n  * . Tìm công 2 n + 3n + 2  thức số hạng tổng quát u n theo n . Giải Với mọi n  * , ta có n+4 2 3 2un+1 = 3(un − )  2un+1 = 3(un + − ) (n + 1)(n + 2) n + 2 n +1 3 3 3 3 3  2(un+1 − ) = 3(un − )  un +1 − = (un − ). n+2 n +1 n+2 2 n +1 3 3 1 dãy số (vn ), vn = un − là cấp số nhân có công bội q = và v1 = − . n +1 2 2 n −1 n −1 3  1 3 13 vn =   . −  , n  *  un = −   , n  * . 2  2 n +1 2  2  u1 = 3  Bài 8. Cho dãy số (un) xác định bởi:  5un − 3 . u + = , n * − n 1  3u n 1 un + 1 Xét dãy số ( vn ) với vn = , n  * . . Chứng minh dãy số ( vn ) là một cấp số cộng. un − 1 Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) . Giải un + 1 v +1 Ta có vn =  un = n thay vào hệ thức truy hồi ta có un − 1 vn − 1 v +1 5. n −3 vn+1 + 1 vn − 1 v + 1 2vn + 8 v + 1 2vn + 8 =  n +1 =  n +1 = vn+1 − 1 3. vn + 1 − 1 vn+1 − 1 2vn + 4 2 4 vn − 1 hay vn+1 = vn + 3 và v1 = 2 . Suy ra dãy số ( vn ) là một cấp số cộng có v1 = 2 và công sai d = 3. Ta có vn = v1 + ( n − 1) d = 2 + 3( n − 1) = 3n − 1. 3n − 1 + 1 3n Do đó un = = . Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn. 3n − 1 − 1 3n − 2 3n Vậy số hạng tổng quát của dãy số ( un ) là un = n  *. 3n − 2 19 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019
Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 3 n+4  Bài 9. Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 1; u n+1 =  un − 2  , n  N . * 2 n + 3n + 2  Tìm công thức số hạng tổng quát u n của dãy số theo n . Giải 3 n+4  Vì u n +1 =  un − 2  nên 2 n + 3n + 2  3 n+4 −1,5n − 6 2u n+1 − 3un = − . 2 = 2 n + 3n + 2 ( n + 1)( n + 2 ) 1,5 1,5  2 u n +1 − 3un = 2. − 3. n+2 n +1 1,5 1,5  2 u n +1 − 2. = 3un − 3. n+2 n +1  1,5  3  1,5    u n+1 −  =  un − 3.   n+2 2 n +1 1,5 3 Đặt vn = un − , khi đó ta có: vn +1 = vn n +1 2 1,5 1 Lại có: v1 = u1 + = . 2 4 n −1 3 1 Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy ( vn ) là: vn =   . 2 4 n −1 1,5  3  1 3 Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy ( un ) là un = vn + =  . + n +1  2  4 2 ( n + 1) Qua các bài toán trên, chúng ta thấy công cụ cơ bản để xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi dãy các phương trình là các định lý cơ bản của giải tích và mối liên hệ mang tính truy hồi giữa các phương trình. 20 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.