Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế" giúp học sinh nhận thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu và các bài toán thực tế liên quan. Thông qua một số bài toán thường gặp, đồng thời có được cái nhìn tổng thề có tính hệ thống về lớp các bài toán dạng này. Từ đó học sinh có thể định hướng được năng lực tư duy và tiếp cận được tốt các bài toán dạng này trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN ---------------  -------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: "Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Vinh, tháng 4/2023 1
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG PT HERMANN GMEINER ---------------  -------------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: "Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế." LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Giáo viên: Phạm Thị Ngọc Hương Điện thoại: 0919553836 Đơn vị: Trường PT Hermann Gmeiner Vinh, tháng 4/2023 2
MỤC LỤC Nội dung Trang PHẦN I. Đặt vấn đề............................................................................................1 PHẦN II. Nội dung nghiên cứu. .........................................................................4 I. Cơ sở khoa học của đề tài ................................................................................4 I.1. Cơ sở lý luận của đề tài ................................................................................4 I.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài .............................................................................6 II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ..........................7 III. Các sáng kiến và giải pháp để giải quyết vấn đề............................................8 III.1. Ứng dụng hình nón, khối nón vào giải các bài toán thực tế ........................8 III.2. Ứng dụng hình trụ, khối trụ vào giải các bài toán thực tế .........................13 III.3. Ứng dụng hình cầu, khối cầu vào giải các bài toán thực tế .......................17 III.4. Ứng dụng tổng hợp khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế ……………………………………………………………………………... 20 III.5. Ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu giải bài toán thực tế liên quan giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ..................................................................................27 IV. Kết quả thực nghiệm sư phạm .....................................................................38 IV.4 Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất ..................40 PHẦN III. Kết luận và kiến nghị ......................................................................46 Tài liệu tham khảo ............................................................................................48 3
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ. I. Lí do chọn đề tài: Toán học có nguồn gốc từ thực tế và là chìa khóa trong hầu hết các hoạt động của con người, nó có mặt ở khắp nơi. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa các sự vật hiện tượng trong thực tế trên những phương diện khác nhau và có vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu tượng cao nhưng toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tế và có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học trong nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất và đời sống thực tế. Bên cạnh đó thực trạng học toán ở các trường phổ thông, đa số các em chỉ học lý thuyết và làm bài tập mà thiếu thực hành và liên hệ kiến thức với thực tế. Học sinh đang học toán chỉ giới hạn trọng phạm vi bốn bức tường của lớp học , thành thử không để ý đến những tương quan toán học quen thuộc trong thế giới những sự vật hiện tượng xung quanh, không biết ứng dụng những kiến thức toán học đã thu nhận vào thực tế. Với sự đổi mới mạnh mẽ của Bộ Giáo dục và Đào tạo về cách dạy và học trong trường phổ thông, đặc biệt là có thể đưa toán thực tế nói chung và bài toán thực tế về khối nón, khối trụ, khối cầu nói riêng vào các đề thi môn toán THPT Quốc Gia hiện nay và những năm tiếp theo. Để giúp các em học sinh có cách nhìn mới mẻ các bài toán thể tích, diện tích của khối nón, khối trụ, khối cầu có thể ứng dụng toán học vào thực tế, đặc biệt giúp các em có một tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia về bài toán thực tế . Việc tiếp cận các dạng toán này của cả người dạy lẫn người học hiện nay đa phần còn chưa có tính hệ thống vì vậy mặc dù đây là một vấn đề không phải quá mới nhưng trong quá trình làm bài học sinh thường gặp khó khăn trong việc định hướng, đặc biệt là các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Xuất phát từ những vấn đề đó, việc hệ thống hóa các dạng toán ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu trong việc giải một số bài toán liên quan đến thực tế một cách chi tiết, đồng thời cập nhật một số xu hướng mới của dạng toán này trong đề thi của Bộ trong kỳ thi THPT quốc gia và trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh có thể giúp người dạy, người học tiếp cận dạng toán một cách tự nhiên và có hệ thống. Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài: " Nâng cao năng lực, phát triển tư duy toán học cho học sinh qua việc ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế." II. Mục đính nghiên cứu: Với quan điểm đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, trước hết dạy cho học sinh các bài toán gốc, bài toán cơ bản để qua đó các em có thể làm được những 4
bài toán khó và phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện cho các em năng lực ứng biến khi đối mặt với tình huống mới. Phát triển năng lực và tư duy toán học cho học sinh thông qua việc sử dụng nhiều hướng giải quyết bài toán “ Ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế ”. Đề tài giúp học sinh nhận thấy được mối quan hệ chặt chẽ giữa thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu và các bài toán thực tế liên quan. Thông qua một số bài toán thường gặp, đồng thời có được cái nhìn tổng thề có tính hệ thống về lớp các bài toán dạng này. Từ đó học sinh có thể định hướng được năng lực tư duy và tiếp cận được tốt các bài toán dạng này trong các kỳ thi THPT Quốc gia, kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh sắp tới. III. Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu. - Học sinh lớp 12, học sinh dự thi vào các trường Đại học và Cao đẳng. - Kiến thức về thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu lớp 12 trung học phổ thông. Phạm vị nghiên cứu : - Hình học lớp 12 phổ thông trung học. - Sách giáo khoa và tài liệu tham khảo luyện thi đại học, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, các đề thi thử của các trường , Sở Giáo dục và các đề thi vào các trường Đại học và Cao đẳng những năm trước. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề khối nón, khối trụ, khối cầu thuộc bộ môn Toán ở trường Trung học Phổ thông. IV. Phương pháp nghiên cứu: • Trong quá trình nghiên cứu, đề tài đã sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. • Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đốc rút ra các khái niệm cơ bản và các tính chất cơ bản. • Thống kê số liệu để phân loại được các bài toán về ứng dụng thể tích khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế và rút ra được hệ thống sơ đồ tư duy trong giải các bài tập khó. • Điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin để biết thực trạng dạy và học ở trường sở tại để đưa ra được thuật giải logic, ngắn gọn, dễ hiểu và dễ nhớ nhất. • Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, phân tích kỹ đối tượng học sinh (đặc thù, trình độ tiếp thu…). Bước đầu mạnh dạn thay đổi ở từng tiết học, sau mỗi nội dung đều có rút kinh nghiệm về kết quả thu 5
được (nhận thức của học sinh, hứng thú nghe giảng, kết quả kiểm tra,…) và đi đến kết luận. • Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đưa ra lời giải đúng cho bài toán. V. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: • Về mặt lý luận. Đề tài đã hệ thống kiến thức nền tảng theo từng dạng toán ứng dụng kiến thức khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế liên quan. Hình thành cách tư duy giải các bài toán dựa trên suy luận từ thể tích, diện tích của các khối tròn xoay. • Về mặt thực tiễn. Giải quyết được tình huống thực tiễn liên quan tới khối nón, khối trụ, khối cầu. Xây dựng được hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực và rèn luyện kỹ năng cho học sinh. Giúp các em học sinh nhìn nhân rõ hơn về ứng dụng toán học vào thực tế đời sống. Đặc biệt, đề tài đã khai thác, phát triển các bài toán ứng dụng, đưa ra các hướng dự đoán trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi HSG cấp Tỉnh sắp tới. 6
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU. I. Cơ sở khoa học của đề tài I.1. Cơ sở lý luận I.1.1. Mặt nón. Hình 1 Hình 2 1/ Mặt nón tròn xoay Trong mặt phẳng ( P ) , cho 2 đường thẳng d ,  cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc  với 00    900 . Khi quay mp ( P ) xung quanh trục  với góc  không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1). - Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. - Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2  gọi là góc ở đỉnh. 2/ Hình nón tròn xoay Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2). - Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. - Hình tròn tâm I , bán kính r = IM là đáy của hình nón. - Khối nón tròn xoay, gọi tắt là khối nón, là phần không gian giới hạn bởi hình nón tròn xoay kể cả hình nón. A 3/ Công thức tính diện tích hình nón, thể tích khối nón. - Diện tích xung quanh của hình nón S xq = 2 rl h - Diện tích toàn phần của hình nón Stp = Sxq + Sñaùy - Thể tích của khối nón V = Bh =  r 2h B O r 7
I.1.2. Mặt trụ. 1/ Mặt trụ tròn xoay ∆ Trong mp ( P ) cho hai đường thẳng  và l song song nhau, A r cách nhau một khoảng r . Khi quay mp ( P ) quanh trục cố D định  thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ. - Đường thẳng  được gọi là trụC. B - Đường thẳng l được gọi là đường sinh. r C - Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ. 2/ Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ. - Đường thẳng AB được gọi là trụC. - Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh. - Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ. - Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ. - Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. 3/ Công thức tính diện tích của hình trụ, thể tích của khối trụ O - Diện tích xung quanh của hình trụ S xq = 2 rl A - Diện tích toàn phần của hình trụ Stp = Sxq + 2Sñaùy h - Thể tích của khối trụ V = Bh =  r 2h O r I.1.3. Mặt cầu. B 1/ Định nghĩa Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S (O; R ) . Khi đó S (O; R ) = M | OM = R 2/ Công thức tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu. - Diện tích của khối cầu S = 4 r 2 8
- Thể tích của khối cầu V = 4  r 3 3 O r - Thể tích chỏm cầu V =  h 2  R −  h    3 h r O O R I.2. Cơ sở thực tiễn. Dưới sự lãnh đạo của Ban giám hiệu nhà trường, đội ngũ giáo viên chúng tôi luôn trăn trở tìm tòi, đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh . Nhà trường không chỉ chú trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài học, làm hành trang vững chắc cho các em bước vào tương lai. Trong các kì thi THPT QG, các bài toán về ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải quyết các bài toán thực tế được khai thác nhiều, ở cả 4 mức độ. Đối với các câu hỏi mức độ nhận biết và thông hiểu thì các dạng câu hỏi thường tương tự như trong sách giáo khoa và nhiều sách tham khảo. Tuy nhiên trong những năm gần đây, ở mức độ vận dụng và vận dụng cao nhiều bài toán thực tế liên quan khối nón, khối trụ, khối cầu được khai thác ở các dạng tương đối mới và lạ so với SGK. Trong quá trình dạy học cũng như ôn tập cho học sinh, tôi thấy đa số các em chưa định hình được cách giải và còn nhiều lúng túng trong việc xử lí triệt để các bài toán dạng này. Chính vì vậy, tôi tập trung nghiên cứu tài liệu về các bài toán liên quan đến ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải quyết các bài toán thực tế, đồng thời cố gắng sắp xếp, phân chia các dạng một cách có hệ thống để khắc phục những khó khăn đề cập ở trên. 9
II. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong hình học không gian, các bài toán ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán thực tế, vẫn là môn học có nhiều vấn đề khó đối với đại đa số học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình và yếu. Khi giải các bài toán về ứng dụng khối nón, khối trụ, khối cầu vào giải các bài toán thực tế, nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì tâm lý học sinh thường nản và bỏ qua. Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở hai lớp tôi trực tiếp áp dụng năm học 2022-2023 kết quả như sau: Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài 12A1 45 18 2022-2023 12A3 47 16 Đứng trước thực trạng trên tôi nghĩ nên hướng cho các em tới một cách giải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong sách giáo khoa. Song song với việc cung cấp tri thức tôi chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán, nâng cao năng lực, phát triển tư duy cho học sinh để trên cơ sở này học sinh không chỉ học tốt phần này mà còn làm nền tảng cho các phần kiến thức khác. 10
III. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề. III.1. Ứng dụng hình nón, khối nón vào giải các bài toán thực tế. Để giải quyết bài toán này cần hiểu rõ và nắm vững các kiến thức về diện tích, thể tích của hình nón, khối nón. Vận dụng linh hoạt vào thực tiễn. Qua ví dụ thực tiễn này các em khắc sâu kiến thức giải bài toán trắc nghiệm vận dụng vào kỳ thi THPTQG sắp tới. Bài tập 1: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào 1 phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao của phễu. 3 Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của mực nước xấp xỉ bằng bao nhiêu? Biết rằng chiều cao của phễu là 15 . A. 0, 501 ( ) . B. 0, 302 ( ) . C. 0, 216 ( ) . D. 0,188 ( ) . Giải: Chọn D. Ta gọi chiếc phễu trên là khối nón ( N ) có bán kính là r và chiều cao l h = 15 và thể tích là V . Thể tích lượng nước đổ vào phễu cũng bằng thể tích V1 của khối nón ( N1 ) có bán kính là r1 và chiều cao là h1 . h1 r1 1 Áp dụng định lý talet ta có: = = . h r 3 2 1 1 r h 1 1 Suy ra V1 =  r12 h1 =    . =  r 2 h = V . 3 3  3  3 81 27 Khi bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì lượng nước trong phễu vẫn giữ nguyên. Phần không chứa nước trong phễu chính là khối nón ( N 2 ) với bán kính là 26 r2 , chiều cao là h2 và thể tích là V2 = V − V1 = V. 27 r2 h2 Áp dụng định lý talet ta có: . r h 2 3 26 1 2 26 1 2 r2 h2 26 h2 26  Nên suy ra: V2 V  r2 h2 r h h2 = 5 3 26 27 3 27 3 r h 27 h 27 11
Vậy chiều cao của mực nước trong phễu sau khi úp ngược là: 15 − 5 3 26  0.188cm . Phân tích: Đối với hai khối đồng dạng trong không gian, ta luôn có tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số đồng dạng. Tương tự, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng, trong đó tỉ số đồng dạng là tỉ số giữa hai độ dài tương ứng giữa hai khối đã cho. Bài tập 2: Một cốc thủy tinh hình nón có chiều cao 25cm , người ta đổ vào cốc thủy tinh một lượng nước, sao cho chiều cao của lượng nước trong cốc bằng 3 chiều cao cốc thủy tinh, sau đó người ta bịt kín miệng cốc, rồi lật úp cốc 5 xuống (như hình vẽ) thì chiều cao của nước lúc này là bao nhiêu? A. ( 25 − 6 90 ) cm . B. ( 25 − 5 3 68 ) cm . C. ( 25 − 4 3 98 ) cm . D. 5 (5 − 3 98 ) cm . Giải: Chọn D. Gọi V ,Vnc ,V  lần lượt là thể tích cốc hình nón, thể tích nước và thể tích phần 1 không chứa nước. Ta có: V = h. .R 2 . 3 Rnc hnc SI 3 3 3 Mặt khác: = = =  Rnc = R, hnc = h R h SO 5 5 5 2 1 1 3 3  27 98 Vnc = hnc Rnc 2 = . h. .  R  = V V = V 3 3 5  5  125 125 Khi ta lật úp cốc nước thì h, hnc lần lượt là chiều cao phần không chứa nước và phần chứa nước h = h + hnc . SK KM h  R Ta đặt: = = = = k  h = k .h, R = k .R . SO OA h R 12
3 1 98 1 98 1 1 98  = h. R2  V = .k .h. .(k .R)  . h. .R = h R .k  k = 2 V 2 2 3 . 3 125 3 125 3 3 5 ( ) 3 3 98 98 Ta có h = k.h = .h  hnc = h − .h = 5 5 − 3 98 cm . 5 5 Bài tập 3: Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh S . Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN . A. 27 ( 3 ) ( m) . 2 −1 B. 9 3 9 ( 3 4 −1 ) ( m) . C. 9 3 9 ( 2 − 1) ( m) . 3 D. 9 3 3( 3 2 − 1) ( m) . Giải: Chọn C. Ta gọi chiếc phễu trên là khối nón ( N ) có bán nón có đường sinh SA , SM , SN . V1 = 2V2 Theo đề bài ta có  .  V = 3V 2 3 3 V  SA  2V2  SM  Lại có 1 =    3V =  27   SM = 13122 . 3 V  SM  2   3 3 V  SN  V  SN  Tương tự: 2 =    2 =    SN = 3 6561 . V  SA  3V2  27  Vậy MN = SM − SN = 3 13122 − 3 6561  4,86591814 . Bài tập 4: Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ vị trí A và dừng ở vị trí B . Biết rằng người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ A đến B , đoạn đường đầu là phần lên dốc từ A và đoạn sau sẽ xuống dốc đến B . Tính quãng đường xuống dốc khi đi từ A đến B cho biết AB = 15m , OA = 90 m , bán kính đường tròn đáy nón R = 30 m . 13
A. 400 ( m ) . B. 0 ( m ) . C. 600 ( m ) . D. 15 91 ( m ) . 91 91 Giải: Chọn D. Trải phẳng: Cắt mặt nón theo đường sinh đi qua điểm A , trải phẳng như hình vẽ. Gọi C là đỉnh dốc, do người ta đã chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ A đến B nên B , C , A thẳng hàng. Ta có OA = 90 , OB = 75 , BA = 15 , bán kính đường tròn đáy hình nón R = 30 . Chu vi đường tròn chân núi l = 2 .R = 2 .30 = 60 . Đường tròn tâm O , bán kính OA = 90 có chiều dài cung AA là 60 . Góc ở đỉnh của đường tròn tâm O , khi trải phẳng 60 2 Có AOB = = (công thúc tính chiều dài cung l = R ). 90 3 2 AOB có OB = 75 , OA = 90 , AOB = . 3  AB 2 = OA2 + OB 2 − 2OA.OB.cos AOB = 20475  AB = 15 91 . Điểm C  AB , C là đỉnh cao nhất của dốc khi OC ngắn nhất  OC ⊥ AB . Đoạn xuống dốc là CB . Ta có OC 2 = OA2 − CA2 = OB2 − BC 2  CA2 − CB2 = OA2 − OB2 = 2475 14
CA + CB = 15 91   ( CA + CB )( CA − CB ) = 2475   165 91  CB = 600 . CA − CB = 91  91 Bài tập 5: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là P = 8 + 10 , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: 1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu 2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu. Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách V1 2. Tính ? V2 V1 21 V1 2 21 V1 2 V1 6 A. = B. = C. = D. = V2 7 V2 7 V2 6 V2 2 Giải: Chọn B. Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R. Do đó độ dài cung tròn là l = 8 Theo cách thứ nhất: 8 chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là 2 r = 8  r = 4 1 Khi đó h = R 2 − r 2 = 52 − 42 = 3  V1 = .3 .42 3 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là 8  chu vi của một đường tròn đáy là 4  4 = 2 r  r = 2 1 V 42 2 21 Khi đó h = R 2 − r 2 = 52 − 22 = 21  V2 = 2. 21.22. . Khi đó 1 = = . 3 V2 8 21 7 3 15
III.2. Ứng dụng hình trụ, khối trụ vào giải các bài toán thực tế. Để giải quyết bài toán này cần hiểu rõ và nắm vững các kiến thức về diện tích, thể tích của hình trụ, khối trụ. Vận dụng linh hoạt vào thực tiễn. Qua ví dụ thực tiễn này các em khắc sâu kiến thức giải bài toán trắc nghiệm vận dụng vào kỳ thi THPTQG sắp tới. Bài tập 1: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây) : • Cách 1 : Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. • Cách 2 : Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai V1 thùng gò được theo cách 2. Tính tỉ số V2 V1 1 V1 V1 V1 A. = . B. = 1. C. = 2. D. = 4. V2 2 V2 V2 V2 Giải: Chọn C. Ban đầu bán kính đáy là R , sau khi cắt và gò ta được 2 khối trụ có bán kính R đáy Đường cao của các khối trụ không thay đổi 2  R2h 2 Ta có: V1 = Sd .h =  R .h;V2 = 2(Sd 1.h) = 2   .h = R V 2   Khi đó: 1 = 2 . 2 2 V2 16
Bài tập 2: (ĐỀ KSCL-THI-THỬ-12-LẦN-1-SỞ-NGHỆ-AN - 2021) Người ta thiết kế một cái ly thủy tinh dùng để uống nước có dạng hình trụ như hình vẽ, biết rằng ở mặt ngoài ly có chiều cao là 12 cm và đường kính đáy là 8 cm , độ dày thành ly là 2 mm , độ dày đáy là 1 cm . Hãy tính thể tích lượng thủy tinh cần để làm nên cái ly đó (kết quả gần đúng nhất) O' O A. 104122, 4 mm3 . B. 603185,8 mm3 . C. 104175, 2 mm3 . D. 499010, 6 mm3 . Giải: Chọn C Cả khối ly thủy tinh (kể cả phần rỗng bên trong) là một khối trụ có bán kính r = 4 cm = 40 mm và chiều cao h = 12 cm = 120 mm nên có thể tích là V1 =  .402.120 = 192000 mm3 Phần rỗng bên trong để chứa nước có bán kính r = 40 − 2 = 38 mm và chiều cao h = 120 −10 = 110 mm nên có thể tích là V2 =  . ( 40 − 2 ) . (120 − 10 ) = 158840 mm3 2 Vậy thể tích lượng thủy tinh cần để làm nên cái ly là V1 − V2 = 33160 mm3  104175, 2 mm3 . Bài tập 3: (THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ - HÀ NỘI - 2021-2022) Từ miếng tôn hình chữ nhật có kích thước 100cm 360cm , người ta làm một thùng đựng thóc hình trụ có chiều cao bằng 100cm bằng cách gò miếng tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng (xem hình minh họa). Hãy tính thể tích của chiếc thùng được tạo thành A. 25 (m ) . 216 3 B. 81 25 ( m3 ) . C. 25 (m ) . 243 3 D. 25 (m ) . 1296 3 Giải: Chọn B. 17
Theo giả thiết đường tròn đáy hình trụ có chu vi bằng 360 ( cm ) = 3, 6 ( m ) 1,8  Bán kính R = ( m) .  Chiều cao h = 100 ( cm ) = 1( m ) 2  1,8   Thể tích V =  R h =  .  2    .1 = 81 25 ( m3 ) . Bài tập 4: Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ ( H1 ) , ( H 2 ) xếp chồng lên nhau, lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn 1 r2 = r1 , h2 = 2h1 (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi 2 bằng 30 cm3 , thể tích khối trụ ( H1 ) bằng A. 24 cm3 . B. 15cm3 . C. 20 cm3 . D. 10cm3 . Giải: Chọn C. Gọi thể tích của toàn bộ khối đồ chơi là V , thể tích của khối dưới và khối trên lần lượt là V1 vàV2 . 1 1 1 1 Ta có: V = V1 + V2 . Mà r2 = r1 , h2 = 2h1 nên V2 = h2 . r22 = 2h1. . r12 = h1. r12 = V1 2 4 2 2 1  30 = V1 + V1  V1 = 20 . 2 Bài tập 5: (CÂU-44-PHÁT TRIỂN-ĐỀ-MH-BGD-NĂM-2021) Ông Quang muốn thợ đục cho hủ trà to với dung tích 500 cm3 và ông muốn sơn hết toàn bộ bề mặt (trừ phần hình tròn đáy ngoài). Biết rằng bề dày của mép trên là 1cm . Hỏi ông tốn ít nhất bao nhiêu tiền để sơn, biết 100 cm 2 tốn hết 100.000 đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị và tính bằng đồng)? A. 503.728 . B. 510.012 . C. 506.870 . D. 520.021. Giải: Chọn C. 18
500 Theo đề ta có ( R  r  0; h  0) . V =  r 2h = 500  h = .  r2 Theo đề ta có ông Quang đã sơn mặt xung quanh phía ngoài, mặt xung quanh phía trong, hình tròn mặt đáy trong và mép theo diện tích có thứ tự như sau: 500 500 S = 2 Rh + 2 rh +  r 2 +  R2 −  r 2 = 2 R + 2 r 2 +  (r + 1)2 r 2 r 1000(r + 1) 1000 1000 1000 1000 = 2 + +  (r + 1) 2 = + 2 + +  r 2 + 2 r +  r r r r r 1000 1000 1000 = + +  r 2 + 2 +  r +  r +   3 3 106  + 3 3 1000 2 +  . r r r 1000 Dấu “ = ” xảy ra khi r = 3 .  Vậy số tiền ít nhất mà ông Quang phải trả là: 100000 (3 3 106  + 3 3 1000 2 +  ) = 506.870 đồng. 100 Bài tập 6: Một ống thủy tinh hình trụ có chiều cao 15, 7 cm và bán kính đáy 2, 02 cmđang chứa dung dịch H 2 SO4 . Khi đặt ống thủy tinh nằm ngang thì bề mặt dung dịch trên thành ống chiếm 39, 63% diện tích xung quanh ống. Tính thể tích dung dịch H 2 SO4 trong ống. 3 3 3 3 A. 60,67 cm . B. 61,32cm . C. 59,78cm . D. 58,79cm . Giải: Chọn A. 19
Gọi S1 là diện tích xung quanh ống thủy tinh. S 2 là diện tích bề mặt dung dịch trên thành ống khi đặt nằm ngang. S2 Ta có: = 39,63% = 0,3963  S2 = 0,3963S1 = 0,3963.2 .r.l = 0,3963.2 .2,02.15,7  78,97. S1 Mặt khác: r S2 =   .h    143 . 180  r2 1 Diện tích mặt nước ở đáy ống thủy tinh là S =  − r.r.sin   3,86cm2 . 360 2 Khi đó, thể tích dung dịch H 2SO4 trong ống là: V = S .h  60,67cm . 3 III.3. Ứng dụng hình cầu, khối cầu vào giải bài toán thực tế. Bài tập 1: Một gia đình có bồn tắm có bề mặt phẳng và lòng trong như hình vẽ, lòng trong của bồn tắm có hình dạng bán cầu, mất đi chỏm cầu. Biết thể tích khối  h chỏm cầu được tính bởi công thức V =  h 2  R −  với R là bán kính khối cầu, h là 3   2 chiều cao của chỏm cầu và OH = m . Thể tích ( m 3 ) lòng trong của bồn tắm là 2 8+5 2 10 + 2 5+ 2 10 − 2 A. . B. . C. . D. . 24 3 12 3 Giải: Chọn A. Khối cầu ( S ) có tâm là O và bán kính là R = OH . 2 = 1( m ) . 2 Suy ra chiều cao chỏm cầu là h = 1 − (m) . 2 1 4 3 2 h  8 + 5 2 Vậy thể tích bồn tắm là  3  R −  h  R − 3   = 24  . 2   Bài tập 2: Ông An cần làm một đồ trang trí như hình vẽ. Phần dưới là một phần của khối cầu bán kính 20 cm làm bằng gỗ đặc, bán kính của đường tròn phần chỏm cầu bằng 10 cm . Phần phía trên làm bằng lớp vỏ kính trong suốt. Biết giá tiền 20