Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tạo hứng thú cho học sinh khi dạy học phép biến hình và ứng dụng vào giải các bài toán trong mặt phẳng tọa độ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Tạo hứng thú cho học sinh khi dạy học phép biến hình và ứng dụng vào giải các bài toán trong mặt phẳng tọa độ" nhằm nghiên cứu các dạng toán liên quan đến một số bài toán thực tế kiến thức chương 1 – Hình học 11 từ đó giúp học sinh nắm được ý nghĩa của Toán học trong đời sống, qua đó hướng dẫn học sinh định hướng cách giải và phát triển lớp các bài toán tương tự.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Tạo hứng thú cho học sinh khi dạy học phép biến hình và ứng dụng vào giải các bài toán trong mặt phẳng tọa độ

MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................................... 1 1.1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................ 1 1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài ........................................................................ 2 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 2 1.4. Tính mới và giới hạn của đề tài .......................................................................... 2 II. NỘI DUNG: ........................................................................................................ 4 Phần I: Tạo hứng thú cho học sinh khi tiếp cận bài học của chương 1-Hình học lớp 11: Các phép biến hình trong mặt phẳng .................................................................. 4 1.1. Đặt vấn đề khi dạy học bài: Phép tịnh tiến ........................................................ 4 1.2.Đặt vấn đề khi dạy học bài : Phép đối xứng trục ................................................ 6 1.3..Đặt vấn đề khi dạy học : TÌM HIỂU PHÉP QUAY ......................................... 8 1.4. Đặt vấn đề cho bài học: Phép dời hình .............................................................. 9 1.5. Dạy học bài phép vị tự: .................................................................................... 10 Phần 2: Áp dụng phép biến hình vào giải một số bài toán trong mặt phẳng tọa độ. ................................................................................................................................. 13 III. KẾT LUẬN. .................................................................................................... 42
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, một trong các mục tiêu chương trình chương trình giáo dục PT 2018, ngoài việc đảm bảo các chương trình giáo dục phổ thông cụ thể hoá mục tiêu giáo dục phổ thông, giúp học sinh làm chủ kiến thức phổ thông, biết vận dụng hiệu quả kiến thức, kĩ năng đã học vào đời sống và tự học suốt đời, có định hướng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp, biết xây dựng và phát triển hài hoà các mối quan hệ xã hội, có cá tính, nhân cách và đời sống tâm hồn phong phú, nhờ đó có được cuộc sống có ý nghĩa và đóng góp tích cực vào sự phát triển của đất nước và nhân loại. Để đạt được mục tiêu chung cũng như mục tiêu của môn toán nói riêng thì người giáo viên đóng vai trò rất quan trọng và phải mang được cuộc sống vào bài học, đưa bài học vào cuộc sống như: Giúp học sinh hiểu biết thêm về thế giới tự nhiên; hiểu biết thêm về văn hóa và nghệ thuật, kiến trúc, thể thao và du lịch; hiểu biết đầy đủ hơn về đời sống thực tế, về quê hương, đất nước; khám phá thế giới bí ẩn và đẹp đẽ của toán học; hình thành và phát triển kỹ năng mềm thiết yếu của công dân thế kỷ 21; bồi đắp nền tảng văn hóa chung cho học sinh. Trên cơ sở đó , phát triển nhân cách người học và giá trị nhân văn cao đẹp của con người. Phép biến hình ở đầu lớp 11 là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình môn toán cho phép chúng ta giải một lớp rộng rãi các bài toán như: Chứng minh các hình bằng nhau; Bài toán tính toán, dựng hình, quỹ tích, cực trị, chứng minh tính vuông góc, song song, đồng quy; Lớp các bài toán về hình đồng dạng, tỉ số các đoạn thẳng; các bài toán được đặt ra từ thực tế. Đây là vấn đề khá thú vị trong chương trình hình học phổ thông. Tuy nhiên với Học sinh và một số Giáo viên khi học và dạy thường coi nhẹ phần này bởi thói quen ít khi sử dụng trong giải toán. Hơn nữa, để áp dụng được các tính chất của phép biến hình vào việc giải các bài toán thực tiễn luôn là vấn đề khó đối với nhiều học sinh (đặc biệt là học sinh các trường dân tộc nội trú). Giáo viên là người có trách nhiệm tìm ra phương pháp tối ưu nhất để hướng dẫn cho học sinh thấy hứng thú khi học chương này. Bên cạnh đó còn phải biết dẫn dắt để học sinh tư duy chuyển từ bài toán thực tế sang bài toán toán học và mở rộng bài toán, giải được các bài toán ở cấp độ khó hơn cũng như kết nối được kiến thức tọa độ trong mặt phẳng được học ở cuối lớp 10 là vô cùng cần thiết. Mặt khác, ta thấy các bài toán ứng dụng thực tiễn ngày càng xuất hiện nhiều trong các bài giảng ở sách giáo khoa, sách tham khảo và trong các đề thi khảo sát năng lực cũng như đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông. Trong một số trường hợp, từ một bài toán nếu chúng ta có thể tìm được nhiều lời giải cho bài toán và đưa ra các bài toán mới thì chúng ta sẽ tạo được hứng thú và phát huy tính sáng tạo của học sinh. Đây chính là ý nghĩa thực sự của việc đổi mới phương pháp dạy học tích cực ở trường phổ thông. Chính vì vậy để giảm bớt khó khăn và làm tăng thêm hứng thú học tập cho học sinh về vấn đề này dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp về vấn đề “Tạo hứng thú 1
cho học sinh khi dạy học phép biến hình và ứng dụng vào giải các bài toán trong mặt phẳng tọa độ”. Qua đó phát triển tư duy thuật giải và tư duy sáng tạo của học sinh. Góp phần cho học sinh thấy được sự lí thú trong giải toán và yêu thích môn toán hơn. Việc phát triển năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực tự chủ và tự học cho HS phổ thông nhằm đáp ứng những yêu cầu mới của xã hội về nguồn nhân lực. 1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu các dạng toán liên quan đến một số bài toán thực tế kiến thức chương 1 – Hình học 11 từ đó giúp học sinh nắm được ý nghĩa của Toán học trong đời sống, qua đó hướng dẫn học sinh định hướng cách giải và phát triển lớp các bài toán tương tự. - Nhiều người hiểu sai việc dạy Toán ở bậc phổ thông là dạy kiến thức toán học, học sinh chỉ cần học thuộc công thức để áp dụng, mà quên mất rằng học toán là học suy luận logic. Việc chỉ dạy các công thức toán học một cách hình thức cùng với thi trắc nghiệm đã và đang góp phần cho ra đời những thế hệ học sinh mất thói quen tư duy một cách độc lập. Rất nhiều giảng viên lâu năm ở các trường đại học trong nhiều chuyên ngành khác nhau đều có nhận xét là sinh viên mới vào trường hiện nay không làm được các bài tập hay đề thi cần đến suy luận mà sinh viên nhiều năm trước đây có thể giải được một cách dễ dàng. Đây có lẽ cũng là lý do mà các trường công an thi đánh giá năng lực bằng hình thức thi tự luận để có thể chọn được sinh viên tốt hơn. - Rèn luyện cho các em đức tính cần cù, chịu khó tìm tòi, sáng tạo và đồng thời hình thành cho các em một thói quen tự học, tự nghiên cứu, tự đặt vấn đề. - Hình thành dần cho các em một thói quen biết đặt (giải quyết) những câu hỏi: nguồn gốc của bài toán này từ đâu? mình có thể sáng tạo ra được bài toán dạng này không?, bài toán này giải quyết được vấn đề gì trong cuộc sống. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 11,12. - Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT. 1.4. Tính mới và giới hạn của đề tài - Đề tài giúp giáo viên tham khảo thêm phương pháp sư phạm và cách đặt vấn đề vào bài mới khi dạy học các phép biến hình. - Đề tài có tính mới trong việc giúp học sinh rèn luyện tư duy, sáng tạo xây dựng các bài toán vận dụng tương tự, giúp ích cho giáo viên trong quá trình giảng dạy với dụng ý sư phạm cụ thể, mang lại hiệu quả. - Đề tài dành cho mọi đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi 2
- Với xu hướng ” Quay đầu” thi tự luận môn Toán trong tuyển sinh mở đầu của các trường công an thì bài toán tọa độ trong mặt phẳng sẽ không những xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, ứng dụng trong một số chương đại số thì chắc chắn sẽ xuất hiện nhiều trong các đề thi đại học như trước đây nên ta cần phải đầu tư thích đáng cho nội dung chương học này. 3
II. NỘI DUNG: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Phần I: Tạo hứng thú cho học sinh khi tiếp cận bài học của chương 1-Hình học lớp 11: Các phép biến hình trong mặt phẳng Với xu hướng giáo dục hiện nay thì để tạo được hứng thú khi học sinh học môn Toán chúng ta cần làm cho học sinh thấy được vai trò, ứng dụng Toán học trong cuộc sống ngoài việc chỉ chung chung học Toán khiến ta “thông minh” hơn. Sau đây là một số ví dụ để dẫn dắt trong quá trình dạy học phép biến hình. 1.1. Đặt vấn đề khi dạy học bài: Phép tịnh tiến Bài toán1:(Đề thi ĐGNL ĐHBK Hà Nội 2021) Cho hai xã nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song) (hình bên dưới). Người ta dự định xây 1 chiếc cầu MN bắc qua con sông ( cố nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường thẳng từ A đến M và từ B đến N. Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM  BN ngắn nhất. 4
Chúng ta sẽ giải quyết được bài toán thực tế này sau khi học xong tiết học hôm nay. Điều này tạo cho học sinh hứng thú muốn giải quyết được bài toán nhờ việc đặt vấn đề và chăm chú khám phá kiến thức hơn. Cuối bài Giáo viên cần đi đến đích là hướng dẫn và cùng học sinh giải quyết được bài Toán đã đặt ra ở đầu tiết học. Lời giải Ta thực hiện phép tịnh tiến theo véc tơ MN biến điểm A thành A‟ lúc này theo tính chất của phép tịnh tiến thì AM = A‟N vậy suy ra AM + NB = A‟N +NB ≥ A‟B. (Ta đặt cây cầu bắc qua vuông góc với bờ sông là đã ứng dụng tính chất hình học để chiều dài cây cầu là ngắn nhất từ đó tiết kiệm được nguyên vật liệu và chi phí để xây cầu nhất) Vậy đường gấp khúc AMNB ngắn nhất thì A‟N+ NB ngắn nhất khi đó ba điểm A‟, N, B thẳng. Từ đó suy ra cách tìm vị trí đặt cây cầu. Ngoài ra khi dạy phép tịnh tiến Giáo viên cần phân tích các ứng dụng thực tiễn của hình học trong lĩnh vực hội họa như bức tranh của họa sĩ Hà Lan Ét-se iu(M.C. Escher) gồm những hình bằng nhau mô tả các chiến binh trên lưng ngựa. Các hình này phủ kín mặt phẳng. Hai chiến binh và ngựa cùng màu (trắng hay đen) tương ứng với nhau qua một phép tịnh tiến. Hai chiến binh và ngựa khác màu thì tương ứng nhau qua một phép đối xứng trục và tiếp theo là một phép tịnh tiến. Nghệ thuật dùng những hình bằng nhau để lấp đầy mặt phẳng được phát triển mạnh mẽ vào thế kỷ XIII ở nước I-ta-li-a cũng như lĩnh vực đồ họa ngày nay. 5
1.2. Đặt vấn đề khi dạy học bài: Phép đối xứng trục Bài toán 2: Người ta tổ chức một cuộc chạy thi trên bãi biển với điều kiện sau: Các vận động viên xuất phát từ địa điểm A và đích là địa điểm B, nhưng trước khi đến B phải nhúng mình vào nước biển (ta giả sử rằng mép nước biển là một đường thẳng). A B M Để chiến thắng cuộc đua này, ngoài tốc độ chạy, còn có một yếu tố quan trọng là vận động viên phải xác định vị trí M ở mép nước mà mình phải chạy từ A tới để nhúng mình vào nước biển, rồi từ đó chạy đến B sao cho quãng đường phải chạy là ngắn nhất. Chúng ta sẽ giải quyết được bài toán thực tế này sau khi học xong tiết học hôm nay. Điều này tạo cho học sinh hứng thú muốn giải quyết được bài Toán nhờ việc đặt vấn đề và chăm chú khám phá kiến thức hơn. Cuối bài Giáo viên cần đi đến đích là hướng dẫn và cùng học sinh giải quyết được bài Toán đã đặt ra ở đầu tiết học. Để tăng khả năng chiến thắng của cuộc thi chạy này thì trước khi vào cuộc đua ta cần giải bài toán phát biểu dưới dạng toán học thuần túy như sau: Cho hai điểm A và B nằm về 2 phía của đường thẳng d. Hãy xác định vị trí M sao cho AM+BM bé nhất. Lời giải 6
B A d M A' Gọi A‟ là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó với mọi điểm M trên d ta có AM+MB=A‟M+MB Suy ra AM+MB nhỏ nhất khi A‟M+MB nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi A‟, M, B thẳng hàng và M thuộc đoạn A‟B. Do vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đoạn A‟B và d. Từ đó giải quyết được bài toán thực tiễn đã nêu. Bên cạnh các bài toán thực tế giáo viên cũng cần giúp học sinh thấy toán học bắt nguồn từ thực tiễn như những những chiếc lá, một số loài vật trọng tự nhiên hình dạng có trục đối xứng. 7
Tất cả các công trình xây dựng đều phải dựa trên kiến thức toán học như công trình dưới đây thể hiện rõ tính đối xứng trục. 1.3. Đặt vấn đề khi dạy học : TÌM HIỂU PHÉP QUAY Nhờ ứng dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ cho dạy học giáo viên dễ dàng lồng ghép đưa vào các hình ảnh thực tiễn làm sống động bài giảng và tạo hứng thú cho học sinh, hạn chế việc chỉ đưa ra các công thức và tính toán đơn thuần. Giáo viên đặt vấn đề: Quan sát các loại chuyển động sau: sự dịch chuyển của kim đồng hồ, bán ren cưa, động tác xòe chiếc quạt Quan sát chiếc vô lăng trên tay người lái xe ta thấy khi người lái xe quay tay lái một góc nào đó thì hai điểm A, B trên tay lái cũng quay theo tuy vị trí A, B thay đổi nhưng khoảng cách giữa chúng không thay đổi từ đó giáo viên phát biểu định nghĩa và tính chất của phép quay. 8
Quan sát và nhận xét về chiều quay của hai bánh xe sau. Câu hỏi này giúp học sinh phát triển tư duy trực quan và tập quan sát các sự vật, hiện tượng trong thực tiễn. Trên một chiếc đồng hồ từ lúc 12 giờ đến 15 giờ kim giờ và kim phút đã quay một góc bao nhiêu độ ? Để trả lời câu hỏi trên học sinh không những nắm kiến thức về phép quay mà còn phát triển tư duy trực quan, chia sẻ được am hiểu của bản thân với người khác. 1.4. Đặt vấn đề cho bài học: Phép dời hình Hãy quan sát 5 hình vẽ sau và đưa ra nhận xét về đặc điểm chung của chúng: 9
Sự dịch chuyển của hình tam giác, sự chuyển động của chiếc nón kì diệu, trò chơi đu quay trong dân gian,và trò chơi cầu trượt … cho ta những hình ảnh về phép dời hình, cụ thể là đối xứng trục; phép quay; phép tịnh tiến.... \ Đồng hồ Bigben Chiếc nón kỳ diệu Bánh xe Điện gió Bình Thuận Sau khi học sinh quan sát các hình ảnh từ đó đưa ra khái niệm và các tính chất của phép dời hình như sự dịch chuyển đã không làm thay đổi hình dạng, kích thước của các tam giác, các hình ảnh minh họa. 1.5. Dạy học bài phép vị tự: Đặt vấn đề: Hình chiếu phối cảnh: Khi ta muốn biểu diễn một vật thể vô cùng lớn trên trang giấy thì ta không thể đủ kích thước giấy để biểu diễn đúng tỉ lệ. Mà 10
thay vào đó ta sẽ vẽ theo một tỉ lệ nào đó để thể hiện trên giấy. Khi đó phép vị tự giúp con người làm việc đó. Bài toán 3: Ông Bình vẽ bản đồ Việt Nam (phần đất liền) trên một tờ giấy hình chữ nhật có kích thước 5cm 10cm . Sau khi tô màu xong bản đồ. Ông Bình dùng phần mềm đo tính được diện tích S  11,36cm2 (xem hình vẽ). Ông Bình dự định vẽ bản đồ này lên một bức tường lớn. Để đảm bảo hình trên bức tường đúng như ông Bình đã thiết kế trên giấy, ông ấy dự định thực hiện phép vị tự tâm O tỉ số k nào đó. Biết rằng hình chữ nhật mới bao quanh bản đồ có kích thước là 115cm  230cm . Gọi S' là diện tích của bản đồ Việt Nam trên bức tường. Tính S'. Cuối bài giáo viên hướng dẫn để học sinh tìm ra câu trả lời của bài toán trên. Lời giải Bản đồ Việt Nam trên tường đồng dạng với bản đồ trên giấy theo tỉ số k = 23 nên S‟= Cho học sinh nhận xét hình ( H ) và hình ( H ' ) ở bên về hình dạng, kích thước, vị trí so với điểm  . Giúp học sinh tiếp cận kiến thức đầu tiên về phép vị tự thông qua quan sát trực tiếp hình ảnh. Lagrange (1736 – 1813) 1.6. Tạo sự vui vẻ, hứng thú học tập cho học sinh nhận ra được nhiều vấn đề có trong thực tế liên quan đến phép đồng dạng đồng thời gây sự tò mò, háo hức cho các em học sinh khi học chủ đề này. 11
Quan sát hình vẽ để tìm phép đồng dạng: 12
Phần 2: Áp dụng phép biến hình vào giải một số bài toán trong mặt phẳng tọa độ. Bên cạnh việc giảng dạy kiến thức lý thuyết thì việc phát triển năng lực giải toán là nhiệm vụ quan trọng của người dạy. Sau đây tôi xin đưa ra một số khai thác biểu thức tọa độ của phép biến hình đã học vào giải các bài toán tọa độ trong mặt phẳng tọa độ từ mức độ vận dụng vừa và vận dụng cao. Bài toán1: Trong mặt phẳng cho hai d đường thẳng d và d 1 cắt nhau và hai điểm A, B d' không thuộc hai đường thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song hoặc trùng M' M với d (hay d 1 ). Hãy tìm điểm điểm M trên d, d1 M‟ trên d 1 để tứ giác ABMM‟ là hình bình hành. A B Hướng dẫn giải: Ta có điểm M‟ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA . Khi đó M‟ vừa thuộc d 1 vừa thuộc d‟ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo BA . Từ đó ta có cách dựng: + Dựng d‟ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA + Điểm M‟ là giao của d‟ và d 1 + Từ M‟ kẻ đường thẳng song song với AB cắt d ở M. Suy ra M, M‟ cần dựng. *Bên cạnh đó việc nắm được các bài toán cơ bản và sử dụng vào giải các bài toán liên quan cũng như mở rộng bài toán là hết sức quan trọng đối với việc học toán của học sinh. Sau đây tôi xin đưa một số ví dụ được lấy từ các bài toán cơ bản về ứng dụng của phép biến hình. Đưa bài toán 1 vào trong mặt phẳng tọa độ ta có bài toán sau: Ví dụ 1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(1;2), B(2;-5) và hai đường thẳng d 1 : x + y = 0 và d 2 : -2x + y – 5 = 0. Tìm M trên d 1 và N trên d 2 để ABNM là hình bình hành. Hướng dẫn giải: B Ta có điểm N là ảnh của M qua phép tịnh tiến A theo d2 j M N d' 1 d1 13
véc tơ AB .Khi đó N vừa thuộc d 2 vừa thuộc d 1 ‟ là ảnh của d 1 qua phép tịnh tiến theo AB .Phương trình d 1 ‟ : x + y + 6 = 0 nên tọa độ N là nghiệm của hệ x  y  6  0   11  7    14 14    N ;   M ;   2 x  y  5  0  3 3   3 3 Nhận xét: Trong bài toán trên ta có thể thay một trong hai đường thẳng bằng phương trình đường tròn ta có bài toán sau. Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1;4), B(5;4). Tìm điểm M trên đường tròn (C): x 2  y 2  4 x  0 và điểm N trên đường thẳng d : x – y = 0 sao cho tứ giác ABNM là hình bình hành. Hướng dẫn giải: Ta có điểm M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA nên M vừa thuộc đường tròn (C) vừa thuộc đường thẳng d‟ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo BA mà d có phương trình x – y = 0 nên d‟ có phương trình x  y  4  0 x – y + 4 =0 nên tọa độ M là nghiêm của hệ  (VN) x  y  4x  0 2 2 Vậy không tồn tại điểm M, N thỏa mãn yêu cầu của bài toán. *Nhận xét: Tương tự ta có thể thay phương trình đường thẳng d bằng phương trình đường tròn (C‟) ta sẽ có cách giải tương tự. Ví dụ 1.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1;4), B(5;4). Tìm điểm M trên đường tròn (C) x 2  y 2  4 x  0 và điểm N trên đường tròn (C‟) x 2  y 2  2 x  8  0 sao cho tứ giác ABNM là hình bình hành. Hướng dẫn giải: Ta có điểm M là ảnh của N qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA nên M vừa thuộc đường tròn (C) vừa thuộc đường thẳng (C‟‟) là ảnh của (C‟) qua phép tịnh tiến theo BA . Đường tròn (C‟) có tâm I '(2;0) bán kính R=2 nên (C‟‟) có tâm  x  y  2x  0 2 2 I "(6;0) và R‟‟=2 nên tọa độ M là nghiệm của hệ  2 x  y  2x  8  0  2 * Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) và đường thẳng d có phương trình ax+by+c=0 ( a 2  b2  0 ). Gọi M’(x’;y’) là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d . Ta có 14
 x '   b 2  a 2  x  2ac  2aby  a 2  b2  (2)   a 2  b 2  y  2bc  2abx y'   a 2  b2 Chứng minh: Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u  (b; a) . Điểm M‟ đối xứng với M qua đường thẳng d nên  MM '.u  0 b( x ' x)  a( y ' y )  0     x  x' y  y'   x  x' y  y' I  ; d  a b c 0   2 2   2 2 bx ' ay '  bx  ay  ax ' by '  2c  ax  by Ta có các định thức D = a 2  b2 Dx   b2  a 2  x  2ac  2aby Dy   a 2  b2  y  2bc  2abx  Dx   b 2  a 2  x  2ac  2aby  x '  D x '     a 2  b2 (2)  y '  Dy   a 2  b 2  y  2bc  2abx  D y'   a 2  b2 Vận dụng (2) giúp ta có thể giải nhanh các bài toán sau Bài toán 2: Cho hai điểm A và B nằm B về cùng một phía của đường thẳng d. Hãy xác A định điểm M trên d sao cho AM + MB bé nhất. d M A' Hướng dẫn giải: Gọi A‟ là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó  M  d ta có MA+MB=MA‟+MB Bởi vậy MA+MB nhỏ nhất khi MA‟+MB nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi M,A,B thẳng hàng. Vậy M là giao của d và A‟B. (Có thể tìm M là giao của d và B‟A với B‟ là điểm đối xứng với B qua d) Từ bài toán trên ta mở rộng các bài toán sau: 15
Ví dụ 2.1: A Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, O cho đường trẳng d: x – y + 2 = 0 và d hai điểm O(0; 0) , A(2;0). Tìm tọa kM độ điểm M thuộc d sao cho MO + MA là nhỏ nhất. O' Hướng dẫn giải: Ta thấy O và A cùng phía so với d (Bài toán này nếu các em nhớ tới bài toán cơ bản 2 ở phần trước thì bài giải trở nên dễ dàng). Gọi O‟ là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d . Áp dụng công thức (2) ta có: O‟(-2;2). Khi đó MO + MA = MO‟ + MA  O‟A Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của O‟A và d. Ta có, đường thẳng O‟A có phương trình x + 2y – 2 = 0 x  2 y  2 2 4 Toạ độ M là nghiệm của hệ phương trình  .Vậy M( ; ). x  y  2  0 3 3 Ví dụ 2.2: Trong Oxy cho 2 điểm A(-2;4), A B(5;2) và đường thẳng d: 3x – 2y M C +6 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho d MA  MB là lớn nhất. A' B Hướng dẫn giải: Ta thấy A và B nằm về hai phía so với đường thẳng d nên gọi A‟ đối xứng với A qua d. Gọi C là giao của d và A‟B. Khi đó MA  MB  MA' MB  A' B . Dấu “=” xảy ra khi M trùng với điểm C. 22 20 Áp dụng công thức (2) ta có A‟( ; ) , đường thẳng A‟B có phương trình: 13 13 2x – 15y + 10 = 0 2 x  15 y  10  0  70 18 Toạ độ M là nghiệm của hệ   M( ; ) 3x  2 y  6  0 41 41 Vận dụng công thức (2) giúp ta có thể giải nhanh các bài toán sau 16
Ví dụ 2.3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-1;3), đường cao BH có phương trình y = x, phân giác trong dC của góc C có phương trình x+3y+2=0. Viết phương trình cạnh BC. Hướng dẫn giải :Gọi A‟(x‟ ;y‟) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng dC thì A‟ nằm trên đường thẳng BC. Áp dụng công thức trên ta có  x '   32  12   1  2.1.2  2.1.3.3  3  32  12   A‟(-3 ;-3)   12  32   2.3.2  2.1.3.  1 y'   3  32  12 Đường thẳng AC qua A(-1 ;3) và vuông góc với BH nên có phương trình 1(x+1)+1(y-3) = 0  x+y – 2 = 0 x  y  2  0 x  y  2  0 Tọa độ C là nghiệm của hệ  C   C (4; 2) x  3y  2  0 x  3y  2  0 Khi đó đường thẳng BC là đường thẳng A‟Cnên có phương trình x3 y3   x  7 y  18  0 . 4  3 2  3 *Nhận xét: Qua bài toán trên chúng ta thấy rằng khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta sẽ nghĩ tới hướng làm như thế nào? Thật may mắm, đường phân giác nó có một tính chất cơ bản đó là mỗi điểm nằm trên nó luôn cách đều hai cạnh kề hay nói cách khác đó là tính đối xứng của các cặp điểm trên hai cạnh kề qua đường phân giác. Cụ thể, nếu d là đường phân giác của góc xOy thì mỗi điểm M thuộc Ox thì có điểm đối xứng với nó qua d sẽ thuộc Oy. Ví dụ 2.4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,cho tam giác ABC, biết A(2;-1). Phương trình hai đường phân giác trong góc B và C lần lượt là dB : x  2 y 1  0 .Viết phương trình cạnh BC. dC : x  y  3  0 Hướng dẫn giải: Theo tính chất đường phân giác ta có gọi A‟ và A‟‟ lần lượt là điểm đối xứng của A qua đường phân giác góc B và góc C thì A‟ và A” sẽ nằm trên đường thẳng BC. Áp dụng công thức trên ta có: A‟ đối xứng với A(2;-1) qua d B : x-2y+1=0 nên A'(0;3) A” đối xứng với A(2;-1) qua dC : x+y+3=0 nên A‟‟(-2 ;-5) x2 y5 Phương trình đường thẳng BC là   4x  y  3  0 0 2 35 17
Ví dụ 2.5.( ĐH B-2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1 ;-1), đường phân giác trong góc A có phương trình x- y+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y-1=0. Hướng dẫn giải: Gọi H‟ là điểm đối xứng H(-1 ;1) C qua đường phân giác trong góc A có phương trình x – y + 2 = 0 thì áp dụng công thức trên ta có H‟(-3 ;1). Khi đó theo tính chất đường phân giác thì H' H‟ sẽ thuộc đường thẳng AC. Phương trình đường thẳng AC đi qua H‟(-3 ;1) và A H(-1;-1) B vuông góc với đường cao kẻ từ B nên có phương trình 3x-4y+13=0. 3x  4 y  13  0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ   A(5;7) x  y  2  0 3x  4 y  7  0  10 3  Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ  C ;  . 3x  4 y  13  0  3 4 Ví dụ 2.6.( ĐH B-2011) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường phân giác trong góc A có phương trình x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. Hướng dẫn giải : Gọi d A là đường phân giác trong góc A Gọi B‟ là điểm đối xứng với B qua d A thì B‟ sẽ B(-4;1) thuộc đường thẳng AC. Áp dụng công thức (V) Ta có ngay B '(2; 5) j Gọi M là trung điểm của AC, theo tính chất trọng G 3 tâm tam giác ABC ta có BM  BG hay M là ảnh A M B' C 2 nên M  ;1 . Đường thẳng AC đi qua 3 7 của G qua phép vị tự tâm B(4;1) tỷ số k  2 2  7  B '(2; 5) và M  ;1 nên có phương trình 4 x  y  1 3 0. Vậy tọa độ A là nghiệm 2  x  y 1  0 của hệ   A  4;3 . Đỉnh C đối xứng với A qua M nên C  3; 1 4 x  y  13  0 Bài vận dụng tương tự :Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2); B(2;6), C thuộc đường thẳng d: x-3y+1=0. Tìm tọa độ đỉnh C sao cho phân giác xuất phát từ đỉnh A song song với đường thẳng d. 18
Ví dụ 2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng a: 2x + y + 3 = 0; b: 3x – 2y - 1 = 0 và c : 7x – y + 8 = 0. Tìm toạ độ điểm P thuộc a, điểm Q thuộc b sao cho c là trung trực của PQ. Hướng dẫn giải: Ta có phép đối xứng trục c biến điểm P thành Q mà P thuộc a nên Q nằm trên đường thẳng a‟ đối xứng với a qua đường thẳng c. Ta có phương trình a‟ : 41x – 38y + 29 = 0 41x  38 y  29  0 Suy ra, toạ độ điểm Q cần tìm là nghiệm của hệ   Q(3;4) 2 x  y  3  0 Gọi d là đường thẳng qua Q và vuông góc c thì d có phương trình:  x  7 y  31  0 x + 7y – 31 = 0. Toạ độ P thoả mãn   P(-4;5). 2 x  y  3  0 Ví dụ 2.8 .(ĐH A- 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d 1 x - y = 0 và d 2 2x + y – 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d 1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Hướng dẫn giải: Bài toán này có thể giải biểu diễn tọa độ A, C theo ẩn rồi áp dụng tính chất hình vuông để lập hệ phương trình nhưng theo cách này nếu găp bài toán mà phương trình BD không đặc biệt thì sẽ rất phức tạp nhưng dùng phép đối xứng trục ta sẽ giải được một cách nhanh chóng như sau: Do ABCD là hình vuông nên C là ảnh của A qua phép đối xứng trục BD mà A thuộc d 1 nên C thuộc d 1 ‟ là ảnh của d 1 qua phép đối xứng trục BC tức là trục Oy d 1 có phương trình x - y = 0 nên d 1 ‟ có phương trình x + y = 0 . Vậy tọa độ C là x  y  0 nghiệm của hệ phương trình   C(1;1) 2 x  y  1  0 Ngược lại A đối xứng với C qua trục Ox nên A(1;1) Khi đó B, D là giao của đường tròn đường kính AC với trục hoành nên tọa độ của  x  12  y 2  1 B, D là nghiệm của hệ  . Suy ra B(0;0) và D(2;0) hoặc B(2;0) và y  0 D(0;0). *Nhận xét : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho AB  ( x; y)  0 và góc lượng giác  Ta nói B’ là ảnh của B qua phép quay tâm A góc quay  nếu AB’=AB và góc lượng giác (AB,AB’) =  . Đặt AB ' =(x’ ;y’) thì ta có  x '  x cos   y sin   (I)  y '  x sin   y cos  19