zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

SKKN: Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:25

Báo xấu

48
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.TÊN ĐỀ TÀI : MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN XÁC SUẤT. 2. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI a. Đặt vấn đề: Từ trước, Đại số và Giải tích 11 luôn được coi là nặng nhất trong ba năm học phổ thông (THPT). Đặc biệt, chương II: Tổ hợpXác suất là một chương mà học sinh thường ngại học vì sao? Thứ nhất, các bài toán xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tiễn nhưng các em chỉ thấy một hoặc một số khả năng xảy ra mà không thấy được hết các khả năng xảy ra. Thứ hai, kiến thức của chương này có quan hệ chặt chẽ với nhau, các qui tắc lại na ná giống nhau khó phân biệt mà áp dụng. Do đó, các em rất lúng túng khi giải quyết các bài toán của chương, nhất là các bài toán xác suất, có khi các em đã làm xong mà không dám chắc mình đã làm đúng. Chính vì thế, tôi nghĩ rằng cần phải giúp học sinh có phương pháp, kĩ năng giải quyết các bài toán xác suất. b. Cơ sở lí luận: Các khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố, xác suất của biến cố, biến cố đối, biến cố xung khắc, biến cố độc lập… là những khái niệm hoàn toàn mới trong chương trình phổ thông. Do đó, học sinh cảm thấy chúng khó hiểu và ngại tiếp cận các kiến thức này. Chính vì vậy, giáo viên cần giúp học sinh hiểu và nắm rõ các khái niệm này thông qua các ví dụ thực tiễn từ đơn giản đến phức tạp. Khi học sinh đã nắm rõ các khái niệm này thì việc giải bài toán đơn giản hơn và không bị lúng túng. Với các bài toán đếm thường ứng dụng thực tế nên các em sẽ càng thấy ý nghĩa của toán tổ hơp xác suất, từ đó các em thêm yêu thích học toán. c. Cơ sở thực tiễn: 1/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Thực tế cho thấy: đa số học sinh không quen với các bài toán của chương II tổ hợp xác suất lớp 11. Đó là vì: + Các em thường gặp các bài toán trên lý thuyết mà ít khi gặp và giải quyết các bài toán thực tế . + Cách suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học. Xuất phát từ những ý nghĩ trên tôi thấy cần phải có biện pháp giúp học sinh có kĩ năng giải các bài toán xác suất . 3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể. 4. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các bài toán xác suất. Đối tượng khảo sát thực nghiệm: Học sinh lớp 11A6. Trước khi thực hiện đề tài tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra, kết quả như sau: Điểm Điểm dưới 5 Điểm 5;6 Điểm 7;8 Điểm 9;10 Lớp 11A6 50% 40% 7,5% 2,5% Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11. Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 10 năm 2012 đến tháng 12 năm 2014. Áp dụng vào lớp 11A6 trong tháng 11 năm 2014. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học Phỏng vấn, gợi mở. 2/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyết các bài toán ở những lớp trước. PHẦN II: NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT: 1. Lý thyết tổ hợp Hoán vị: Kí hiệu :Pn, Pn=n(n1)…2.1=n! Chỉnh hợp: Kí hiệu :Akn, Akn=n.(n1)…(nk+1) . Khi k=n thì Akn=Pn Tổ hợp: Kí hiệu: Ckn, Ckn= (0
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất + Nếu thì ta nói và là xung khắc. + Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. 3. Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết n( A) quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố , kí n ( Ω) n( A) hiệu là P(A). Vậy P( A) = n (Ω ) 4. Tính chất của xác suất: Tính chất cơ bản: P( φ ) = 0 P( Ω ) = 1 0 P (A) 1 với mọi biến cố A. P ( A ) = 1 P(A) Quy tắc cộng xác suất Nếu A và B xung khắc thì: P( A �B ) = P( A) + P( B) Nếu A B = φ thì P( A �B ) = P( A) + P( B) Với mọi biến cố và bất kì ta có: P( A �B) = P( A) + P ( B ) − P ( A.B ) Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P( A.B) = P( A).P( B) B. GIẢI PHÁP: Dạng1. Các bài toán áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất: n(A) P ( A) = n (Ω ) 1. Phương pháp: Tìm số phần tử của không gian mẫu Tìm số phần tử của biến cố n(A) Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất: P( A) = n (Ω ) 2. Các ví dụ: 4/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Bài toán 1. Gieo con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho a. Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm. b. Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ Hướng dẫn học sinh: Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’. Hãy mô tả không gian mẫu là gì? (1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) � � � (2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) � � � Không gian mẫu: Ω = � � gồm 6.6=36 phần tử ...................................................� � � (6,1), (6, 2), (6,3),..............(6, 6) � � Gọi A là biến cố: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”. Liệt kê các kết quả thuận lợi của A ? A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} � n( A) = 6 Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ” Liệt kê các kết quả thuận lợi của B? B={(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)} � n(B) = 9 Lời giải 1 : (1,1), (1, 2), (1,3),..............(1, 6) � � � (2,1), (2, 2), (2,3),..............(2, 6) � � � Ta có không gian mẫu: Ω = � � gồm 6.6=36 phần tử ................................................... � � � (6,1), � (6, 2), (6,3),..............(6, 6) � a. Gọi A là biến cố: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”. Các kết quả thuận lợi cho biến cố A: A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} � n( A) = 6 n( A) 6 Xác suất của A: P ( A) = = n(Ω) 36 b. Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ” Các kết quả thuận lợi cho biến cố B: B={(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)} � n(B) = 9 5/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất n( B ) 9 1 Xác suất của B: P( A) = = = n(Ω) 36 4 Nhận xét: Phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố là nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần tử. Khi đó ta sử dụng quy tắc nhân để giải quyết bài toán: Lời giải 2 : Gieo con xúc sắc lần 1 có 6 khả năng xảy ra, gieo con xúc sắc lần 2 có 6 khả năng xảy ra nên tra có n(Ω) = 6.6 = 36 a. Gọi A là biến cố: “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm” Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm gieo lần 1: có 1 cách chọn mặt 6 chấm, gieo con xúc sắc lần 2 có 6 khả năng xảy ra � n(A) = 1.6 = 6 n( A) 6 1 Xác suất của A: P( A) = = = n(Ω) 36 6 b. Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ” Gieo xúc sắc lần 1: có 3 cách chọn mặt lẻ, gieo con xúc sắc lần 2: có 3 cách chọn mặt lẻ � n(B) = 3.3 = 9 n( B ) 9 1 Xác suất của B: P( A) = = = n(Ω) 36 4 Bài toán 2. Có hai chiếc hộp chứa quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 18 quả cầu đỏ và 2 quả cầu xanh, hộp thứ 2 chứa 17 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 quả cầu. Tính xác suất để a. Hai quả cầu được lấy ra đều màu đỏ b. Hai quả cầu được lấy ra có cùng màu. Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Do đó, học sinh đếm số phần tử theo quy tắc nhân Lời giải : Số cách chọn 2 quả cầu, mỗi quả từ một hộp là � n(Ω) = 20.20 = 400. a. Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu được lấy ra đều màu đỏ” Số cách chọn 2 quả cầu đỏ, mỗi quả từ một hộp là 18.17 = 306 � n( A) = 306 6/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất n( A) 306 153 Xác suất để 2 quả cầu được lấy ra có màu đỏ là: P( A) = = = n(Ω ) 400 200 b. Gọi B là biến cố: “ Hai quả cầu được lấy ra cùng màu ” Số cách chọn 2 quả cầu xanh, mỗi quả từ một hộp là 2.3 = 6 Số cách chọn 2 quả cầu đỏ, mỗi quả từ một hộp là 18.17 = 306 Số cách chọn 2 quả cầu cùng màu là n(B) = 306+6=312 n(B) 312 39 Xác suất để 2 quả cầu được lấy ra có cùng màu là: P(B) = = = n(Ω) 400 50 Bài toán 3. Một chiếc hộp đựng 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và các số trên hai thẻ này tạo thành một số có hai chữ số. Tính xác suất để chữ số được tạo thành là chữ số chẵn Phân tích: Trong bài toán này ta có thể sử dụng phương pháp liệt kê nhưng số phần tử của biến cố là tương đối lớn nên học sinh đếm số phần tử sẽ mất thời gian và không tránh khỏi bỏ sót phần tử. Ví dụ: Rút được thẻ ghi số 1, rồi rút được thẻ ghi số 2 thì số tạo thành là số bao nhiêu? (Trả lời: số 12). Còn rút được thẻ ghi số 2, rồi rút được thẻ ghi số 1 thì số tạo thành là số bao nhiêu? (Trả lời: số 21). Hai cách rút này có khác nhau không? Trả lời được câu hỏi này học sinh sẽ biết phải dùng chỉnh hợp để tìm số phần tử của không gian mẫu. Vậy số phần tử của không gian mẫu ? Lời giải : Từ 9 chữ số 1,2,...,9 có thể tạo thành A72 = 72 số có hai chữ số khác nhau � n(Ω) = 72 Gọi A là biến cố: “Số được tạo thành là số chẵn” Số tạo thành có dạng ab với b chẵn có 4 cách chọn b và mỗi cách chọn b có 8 cách chọn a � n( A) = 4.8=32 n( A) 32 4 Xác suất cần tính là P( A) = = = n(Ω) 72 9 Bài toán 4. Một lớp có 30 học sinh trong đó có 8 giỏi, 15 khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất sao cho: a. Ba em được chọn đều là học sinh giỏi. 7/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất b. Ba em được chọn không có học sinh trung bình. Phân tích: Chọn 3 học sinh đi dự đại hội mà không sắp xếp vị trí chức vụ, công việc cụ thể tức là chọn 3 học sinh không phân biệt thứ tự ta dùng tổ hợp, còn nếu tham gia xếp vị trí chức vụ hoặc phân công công việc cụ thể thì có phân biệt thứ tự thí ta dùng chỉnh hợp. Chọn ba em học sinh giỏi ta chọn 3 trong 8 em học sinh giỏi, chọn ba em không có học sinh trung bình ta chọn 3 trong 22 học sinh khá giỏi. Lời giải : Số cách chọn 3 học sinh từ 30 học sinh là C303 =4060 � n(Ω) = 4060 a. Gọi A là biến cố: “Ba em được chọn đều là học sinh giỏi ” Số cách chọn ba em học sinh giỏi là C83 = 56 � n(A) = 56 n( A) 56 2 Xác suất chọn ba em học sinh giỏi là = P( A) = = = n(Ω) 4060 145 b. Gọi B là biến cố “Ba em được chọn không có học sinh trung bình” Số cách chọn ba em không có học sinh trung bình là C223 =1540 � n(B) = 1540 Xác suất chọn ba em học sinh không có học sinh trung bình là : n(B) 1540 11 P ( A) = = = n(Ω) 4060 29 Bài toán 5 . Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 con. Tính xác suất sao cho: a. Cả bốn con đều là con Át. b. Được hai con át và hai con K. Lời giải : Số cách chọn 4 con bài là C524 =270725 � n(Ω) = 270725 a. Gọi A là biến cố “cả bốn con đều là con Át” Số cách chọn 4 con át là C44 =1 � n(A) = 1 n( A) 1 Xác suất chọn 4 con Át là P( A) = = n(Ω) 270725 b. Gọi B là biến cố “hai con át và hai con K” 8/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Số cách chọn 2 con át và 2 con K là C42 . C42 =36 � n(B) = 36 n(B) 36 Xác suất chọn được 2 con át và 2 con K là P( A) = = n(Ω) 270725 Bài toán 6. Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại. a. Mô tả không gian mẫu. b. Tính xác suất: A: “Số lần gieo không vượt quá ba” B: “Số lần gieo là năm” Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh bằng các câu hỏi như: Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần? Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần? Với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo 1000 lần vẫn có thể là cả 1000 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có thể xác định được không gian mẫu. Lời giải: a. Không gian mẫu Ω ={N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSSN, SSSSSS} � n (Ω ) = 7 3 b. Ta có: A={N, SN, SSN} � n( A) = 3 � P( A) = 7 1 B={SSSSN} � n( B) = 1 � P(b) = 7 3. Bài tập tự luyện 9/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Bài toán 7. (Đề thi đại học khối A, A1 năm 2013) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Bài toán 8. ( Đề thi đại học khối B năm 2013) Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu. Bài tập 9. Một công ty cần tuyển 3 nhân viên. Có 5 người nam và 4 người nữ ứng tuyển. Tính xác suất để 3 người trúng tuyển a. Đúng 2 nữ trúng tuyển b. Có cả nam và nữ Bài tập10. Có hai hộp đựng quả cầu. Hộp 1 có 13 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng. Hộp 2 có 12 quả cầu xanh, 7 quả cầu vàng. Chọn mỗi hộp một quả cầu. Tính xác suất để a. Hai quả cùng màu b. Hai quả khác màu Bài tập 11. Một giá sách gồm 5 quyển Toán, 6 quyển Lí và 7 quyển Hóa. Chọn ngẫu nhiên 4 quyển sách. Tính xác suất để 4 quyển được chọn a. Có đủ ba loại và nhiều nhất một quyển Toán b. Không có đủ ba loại Dạng 2: Các bài tập sử dụng biến cố đối 1. Phương pháp: Tìm biến cố đối Tìm xác suất của biến cố đối Áp dụng công thức:P ( A ) = 1 P(A) 2. Các ví dụ: Bài toán 1. Một tổ có 20 nam, 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên năm người. Tính xác suất sao cho ít nhất một nữ Phân tích: Đối với bài toán này học sinh sẽ chia các trường hợp: T/h1: 1 nữ, 4 nam T/h2: 2 nữ, 3 nam 10/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất T/h3: 3 nữ, 2 nam T/h4: 4 nữ, 1 nam T/h5: 5 nữ Cách này đúng nhưng dài và dễ bỏ xót nghiệm. Khi đó, giáo viên có thể hỏi học sinh nêu tất cả các trường hợp của không gian mẫu? +1nu , 4 nam +2nu , 3nam +3nu , 2nam � Các khả năng của biến cố A +4nu ,1nam +5nu +5nam} =Ω\ {A} là biến cố đối của A Bài toán này ta dùng biến cố đối sẽ nhanh và gọn hơn nhiều. Lời giải1:( Sử dụng dạng 1) Số cách chọn 5 người trong số 27 người là C275 = 80730 � n(Ω ) = 80730 Gọi A là biến cố: “5 người được chọn có ít nhất một nữ”. Khi đó biến cố A có các khả năng: + Chọn 1 nữ 4 nam: có C71 .C204 = 33915 cách chọn. + Chọn 2 nữ 3 nam: có C72 .C203 = 23940 cách chọn. + Chọn 3 nữ 2 nam: có C73 .C202 = 6650 cách chọn. + Chọn 4 nữ 1 nam: có C74 .C201 = 700 cách chọn. + Chọn 5 nữ: có C75 = 21 cách chọn. � n( A) = 33915 + 23940 + 6650 + 700 + 21 = 65226 n( A) 65226 � P ( A) = = ; 0,808 n( P ) 80730 Lời giải 2: (Sử dụng biến cố đối) Số cách chọn 5 người trong số 27 người là C275 = 80730 � n(Ω ) = 80730 Gọi A là biến cố: “5 người được chọn có ít nhất một nữ”. Khi đó A là biến cố: “không có nữ” 11/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Số cách chọn 5 người nam trong số 20 nam là C205 = 15504 � n( A) = 15504 n( A) 15504 � P ( A) = = n(Ω) 80730 15504 65226 Vậy P ( A) = 1 − P( A) = 1 − = ; 0,808 80730 80730 Bài toán 2. Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất sao cho: a. Bốn quả lấy ra cùng màu. b. Có ít nhất một quả màu trắng. Phân tích: Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng màu”, gọi B là biến cố: “Có ít nhất một quả màu trắng”. Tìm biến cố đối của A? Trả lời: A = “Bốn quả lấy ra khác màu” Các khả năng của biến cố đối của A, A ? Trả lời: +A: * 4 quả cầu mầu trắng *4 quả màu đen + A : * 1 trắng, 3 đen * 2 trắng, 2 đen * 3 trắng, 1 đen Vậy chúng ta tìm trực tiếp số phần tử của A, không nên sử dụng biến cố đối. Tìm biến cố đối của B? Trả lời: B = “Không có quả cầu nào màu trắng” Các khả năng của biến cố đối của B, B ? Trả lời: +B: * 1 trắng, 3 đen * 2 trắng, 2 đen * 3 trắng, 1 đen * 4 trắng + B : * 4 đen Vậy chúng ta nên sử dụng biến cố đối? Lời giải: 12/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Số cách chọn 4 quả trong số 10 quả cầu là: C104 = 210 � n(Ω) = 210 a. Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng màu” Số cách chọn 4 quả cùng màu trắng là: C64 = 15 Số cách chọn 4 quả cùng màu đen là: C44 = 1 Số cách chọn 4 quả cầu cùng màu là n( A) 16 8 � n( A) = 15 + 1 = 16 � P( A) = = = n(Ω) 210 105 b. Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một quả màu trắng” Ta có B là biến cố: “Không có quả cầu màu trắng nào” 1 209 � n( B) = C44 = 1 � P( B) = � P( B) = 210 210 Bài toán 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho: a. Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm b. Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 3 Phân tích: Gọi A là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm” Gọi B là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 3” Tính trực tiếp ta phải xét các trường hợp: a. Biến cố A: + Mặt 6 chấm xuất hiện lần thứ nhất + Mặt 6 chấm xuất hiện lần thứ hai b. Biến cố B: + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 4 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 5 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 6 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 7 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 8 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 9 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 10 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 11 + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 12 13/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Như vậy bài toán dài và dẫn đến thiếu nghiệm. Có thể dùng biến cố đối được không? Biến cố đối của A, B là gì? Trả lời: A : Cả hai lần không xuất hiện mặt 6 chấm B : Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 4 Lời giải: Không gian mẫu Ω = {(i, j ) | i, j �� {1, 2,3, 4,5, 6}} n(Ω) = 6.6 = 36 a. Ta có biến cố đối của A là A = {(i, j ) | i, j �� {1, 2,3, 4,5}} n( A) = 5.5 = 25 n( A) 25 11 � P( A) = = . Vậy � P(A) = 1 − P( A) = n(Ω) 36 36 b. Ta có biến cố đối của B là B = {(1,1), (1, 2),(2,1)} � n( B) = 3 n( A) 3 1 11 � P( A) = = = � P ( B ) = 1 − P( B) = n(Ω ) 36 12 12 Nhận xét: Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên để vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố: + Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất một”...hoặc tính chẵn, lẻ hoặc vô nghiệm, có nghiệm,…hoặc nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùng biến cố đối + Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối. 3. Bài tập tự luyện Bài toán 4. Gieo 3 đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất để: a. Cả ba đồng xu đều sấp. b. Có ít nhất một đồng xu sấp Hướng dẫn: Gọi A là biến cố: “Cả ba đồng xu đều sấp” Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một đồng xu sấp” Tìm biến cố đối của B? Trả lời: B = : “Không có đồng xu nào sấp” 1 1 7 � B = {NNN} � n( B) = 1 � P( B) = � P( B) = 1 − = 8 8 8 Bài toán 5. Gieo một con xúc sắc 6 lần liên tiếp. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt lục. Hướng dẫn: 14/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Chọn là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt lục” Tìm biến cố đối của A? Trả lời: A “Không xuất hiện mặt lục” 6 2 5� �5 � � n( A) = 5 = 15625 � P ( A) = � 6 � � � P ( A) = 1 − P( A) = 1 − � � �6 � �6 � Bài tập 6. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để : a. Có ít nhất một mặt xuất hiện mặt một chấm b. Tích các chấm trên 3 mặt là số chẵn Hướng dẫn: a. Tương tự bài 5 b. Gọi A là biến cố “Tích các chấm trên 3 mặt là số chẵn”. Biến cố đối của B là gì? Trả lời: A “Tích các chấm trên ba mặt lẻ” Dạng 3 Các bài tập dùng công thức xác suất 1. Phương pháp: Tìm biến cố cở sở Biểu diễn các biến cố cần tìm theo các biến cố cơ sở Áp dụng các quy tắc: + Quy tắc cộng xác suất Nếu A và B xung khắc thì: P( A �B ) = P( A) + P( B) Nếu A B = φ thì P( A �B ) = P( A) + P( B) Với mọi biến cố và bất kì ta có: P( A �B) = P( A) + P ( B ) − P ( A.B ) + Quy tắc nhân xác suất: Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P( A.B) = P( A).P( B) Từ hai qui tắc trên ta thấy: Quy tắc cộng áp dụng cho biến cố dạng A B hay “A hoặc B”,.... Quy tắc nhân áp dụng cho biến cố dạng AB hay “A đồng thời B”,.... 2. Các ví dụ 15/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Bài toán 1. Hai hộp đựng các quả cầu. Hộp một có 5 quả cầu đỏ, 9 quả cầu đen. Hộp 2 có 6 quả cầu đỏ, 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra một quả cầu. Tính xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ. Phân tích: Với bài toán này ta có thể dùng dạng 1 song giáo viên đưa vào áp dụng vào quy tắc xác suất để cho học sinh bước đầu làm quen với các phép toán giao, hợp của biến cố, hai biến cố độc lập từ đó có cách phân biệt dùng quy tắc công hay quy tắc nhân xác suất. Có mấy hành động lấy cầu? Trả lời: Có hai hành động lấy quả cầu. Hành động 1: lấy quả cầu từ hộp 1. Hành động 2: lấy quả cầu từ hộp 2. Yêu cầu bài toán hai quả cầu lấy ra mầu đỏ nên ta chọn biến cố cơ sở là: A là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”, B là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”. A, B có độc lập không? Biểu diễn biến cố C: “Hai quả cầu lấy ra màu đỏ” theo A và B? Trả lời: C=AB Lời giải: 5 Gọi A là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ” � P( A) = 14 6 Gọi B là biến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ” � P(B) = 14 Gọi C là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra màu đỏ” Việc lấy quả cầu đỏ từ hộp 1 không ảnh hưởng đến việc lấy quả cầu đỏ từ hộp 2 nên A và B là hai biến cố độc lập. 30 Vậy C= AB � P (C ) = P(AB) = P(A).P(B) = 142 Bài toán 2 Gieo một con xúc sắc 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt lục. Phân tích: Bài toán gieo xúc sắc mấy lần? Yêu cầu các mặt có số chấm như thế nào? Lúc này khi đã trả lời được hai câu hỏi trên học sinh sẽ xác định được biến cố cơ sở: 1 là biến cố “lần một xuất hiện mặt lục”, 2 là biến cố “lần hai xuất hiện mặt lục”. Các biến cố 1 và 2 có độc lập không? 16/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Biểu diễn biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt lục” theo các biến cố cơ sở? Trả lời: A = A1 A2 Lời giải: 1 Gọi 1 là biến cố “lần một xuất hiện mặt lục” � n( A1 ) = 6 1 Gọi 2 là biến cố “lần hai xuất hiện mặt lục” � n( A2 ) = 6 là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt lục” Ta thấy A1 ,A2 độc lập và A = A1 A2 1 1 1 11 � P ( A) = P( A1 �A2 ) = P (A1 ) + P( A2 ) − P( A1.A 2 ) = + − = 6 6 36 36 Nhận xét: Các bài toán sử dụng quy tắc tính xác suất là các bài toán phải dựa vào các biến cố cơ sở. Do đó, học sinh phải có kĩ năng xác định và biểu diễn các biến cố cần tính xác suất theo các biến cố cỏ sở. Các biến cố cơ sở thường có sẵn xác suất hoặc tính xác suất đơn giản. Khi sử dụng quy tắc cộng mở rộng hoặc quy tắc nhân thì hai biến cố cơ sở phải độc lập. Học sinh phải nắm rõ định nghĩa hai biến cố độc lập. Qua một vài ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh nhận dạng hai biến cố độc lập. Chẳng hạn: + Gieo hai con xúc sắc hoặc gieo con xúc sắc liên tiếp hai lần thì biến cố xảy ra trong lần gieo 1độc lập với các biến cố xảy ra trong lần gieo 2. Tương tự đối với việc gieo một đồng tiền và một con xúc sắc, gieo 2 đồng tiền, gieo 3 đồng tiền, gieo một đồng tiền 2, 3 lần liên tiếp, gieo n con xúc sắc... + Hai hộp đựng bi. Lấy mỗi hộp một viên thì biến cố lấy bi ở hộp 1 độc lập với các biến cố lấy bi ở hộp 2. Tương tự với hai hộp đựng quả cầu, Hai hộp đựng bóng đèn... + Hai người làm việc thì biến cố liên quan đến người này độc lập với biến cố liên quan đến người kia. Tương tự với hai xạ thủ bắn súng, một người bắn 2 phát, n phát súng... Bài toán 3 .Gieo một đồng xu và một con xúc sắc .Tính xác suất để 17/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất a. Con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm b. Đồng xu xuất hiện mặt ngửa c. Đồng xu xuất hiện mặt ngửa và con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm Phân tích: Tương tự như bài 2. Biến cố cơ sở là gì? Trả lời: Con xúc sắc sắc xuất hiện mặt một chấm và đồng xu xuất hiện mặt ngửa. Biểu diễn biến cố ở câu c theo biến cố cơ sở? Lời giải: 1 Gọi A là biến cố: “Con xúc sắc xuất hiện mặt một chấm” � P( A) = 6 1 Gọi B là biến cố: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” � P(B) = 2 Gọi C là biến cố: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa và con xúc sắc xuất hiện 1 1 mặt một chấm” � C = A.B và A, B độc lập � C = A.B � P (C ) = P(A).P (B) = . 2 6 Bài toán 4. Tại một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh đó là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người sống tại vùng đó. Tính xác suất đẻ người đó : a. Mắc ít nhất một trong hai bệnh tim hoặc huyết áp. b. Chỉ mắc một bệnh: tim hoặc huyết áp Phân tích: Biến cố cơ sở là gì? Trả lời: A= “Người đó mắc bệnh tim” và B= “Người đó mắc bệnh huyết áp” Biểu diễn biến cố ở câu a, b theo biến cố cơ sở? A B , ( A �B) \ (A�B) Lời giải: Gọi là biến cố “Người đó mắc bệnh tim” � n( A) = 0, 09 Gọi B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp” � n(B) = 0,12 P ( AB ) = 0, 07 a. Gọi C là biến cố: “Người đó mắc ít nhất một trong hai bệnh tim hoặc huyết áp” � C = A �B � P(C ) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0, 09 + 0,12 − 0, 7 = 0,14 b. Gọi D là biến cố: “Người đó chỉ mắc một bệnh: tim hoặc huyết áp” Khi đó D= ( A �B) \ (A�B) � P( D) = P( A) + P( B) − 2 P( AB) = 0, 09 + 0,12 − 2.0, 07 = 0, 07 18/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất Bài toán 5. Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối lớp có 25% học sinh trượt Toán, 15% trượt lí và 10% trượt cả Toán lẫn Lí. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất sao cho: a. Hai học sinh đó trượt toán b. Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó c. Hai học sinh đó không bị trượt môn nào d. Có ít nhất một trong hai học sinh trượt ít nhất một môn. Phân tích: Gọi A1,A2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối I Gọi B1,B2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối II Gọi C là biến cố: “Hai học sinh đó trượt toán” Gọi D là biến cố: “Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó” Gọi E là biến cố: “Hai học sinh đó không bị trượt môn nào” Gọi F là biến cố: “Có ít nhất một trong hai học sinh trượt ít nhất một môn” Ai, Bj độc lập với i=1,2 và j=1,2 Hãy biểu diễn C theo các biến cố cơ sở? C= A1 B1 , D= (A1 �A2 ) �( B1 �B2 ) , E= A1 �A2 �B1 �B2 , F = E Lời giải: Gọi A1,A2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối I Gọi B1,B2 lần lượt là biến cố học sinh trượt Toán, trượt Lí của khối II Gọi C là biến cố: “Hai học sinh đó trượt toán” Gọi D là biến cố: “Hai học sinh đều bị trượt một môn nào đó” Gọi E là biến cố: “Hai học sinh không bị trượt môn nào” Gọi F là biến cố: “Có ít nhất một trong hai học sinh trượt ít nhất một môn” a. Ta có: C= A1 B1 và A1, B1 độc lập � P(C ) = P( A1.B1 ) = P( A1 ).P( B2 ) = 0, 25.0, 25 = 0, 0625 b. Gọi A là biến cố “Học sinh khối I trượt Toán hoặc Lí”, A = (A1 A2 ) Gọi B là biến cố “Học sinh khối II trượt Toán hoặc Lí”, B = ( B1 B2 ) Ta có: D= A B và A, B độc lập P ( A) = P( A1 �A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P ( A1 �A2 ) = 0, 25 + 0,15 − 0,1 = 0,3 P ( B) = P (B1 �B2 ) = P (B1 ) + P (B2 ) − P (B1 �B2 ) = 0, 25 + 0,15 − 0,1 = 0,3 � P(D) = P( A �B ) = P(A).P( B) = 0, 4.0, 4 = 0,16 c. Ta có E= A �B � P( E ) = P( A).P( B) = 0, 6.0, 6 = 0,36 d. Ta có F= E � P( F ) = 1 − P( E ) = 1 − 0,36 = 0, 64 19/22
Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất 1 Bài toán 6. Một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là . 4 Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng. Lời giải: 6 3 � 729 Gọi là biến cố “lớp có 6 bóng sáng” � P( A) = � � �= �4 � 4096 5 3 � 1 729 Gọi B là biến cố “lớp có 5 bóng sáng” � P(B) = C � � �. = 5 6 �4 � 4 2048 4 2 3 1 1215 Gọi C là biến cố “lớp có 4 bóng sáng” � P(C) = C64 � �� = �4 ��4 � 2048 Gọi D là biến cố: “lớp học đủ ánh sáng” � D = A �B �C Ta thấy A ,B,C xung khắc nên 729 + 2.729 + 1215 1701 P( D) = P( A �� B C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) = = = 0,8305 4096 2048 3. Bài tập đề nghị Bài tập 7 .Có hai hộp đựng chi tiết máy. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một chi tiết máy. Xác suất lấy được chi tiết tốt ở từng hộp lần lượt là 0,7 và 0,9. Tính xác suất để trong hai chi tiết máy lấy ra: a. Cả hai chi tiết máy đều tốt. a. Có ít nhất một chi tiết máy chất lượng tốt. b. Có đúng một chi tiết máy chất lượng tốt. Hướng dẫn: Biến cố cơ sở: +A1: “Lấy được chi tiết máy tốt ở hộp 1” +A2: “Lấy được chi tiết máy tốt ở hộp 2” A1, A2 độc lập a. A = A1 A2 Kq: P(A)=0,63 b. B = A1 A2 Kq: P(B)=0,97 c. C = A1 A2 A1 A2 Kq: P(C)= 0,34 Bài tập 8. Một hộp bóng đèn gồm 9 bóng sáng và 3 bóng tối. Lấy ngẫu nhiên 6 cái bóng. Tính xác suất để 20/22

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.