Phạm Văn Dũng
1
Sáng kiến kinh nghiệm
Phương pháp sửa dụng đạo hàm
chứng minh bất đẳng thức
Phạm Văn Dũng
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu
vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều
lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về
Toán học.
Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen
thì đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài
toán đại số cũng như BĐT. Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng
rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải
các BĐT thông thường.
Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên đề viết
riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT và giải các bài toán tìm giá
trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính hệ thống và tính phân loại
cũng như tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG và ôn luyện
cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết. Do vậy tôi chọn chuyên đề
này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao
chất lượng bồi dưỡng HSG của tỉnh nhà.
2. Các nhiệm vụ của đề tài
Chuyên đề nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:
Phần I: Các kiến thức cơ bản cần thiết
Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
1. Bất đẳng thức một biến số
Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số
Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu
Dạng 3: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-
Schwarz,...
2. Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số
Dạng 1: Khảo sát hàm đặc trưng
Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz,
BĐT Chebyshes,…
Dạng 3: Khảo sát theo hàm số từng biến
3. Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế
3. Mục đích của đề tài
Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũng
như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán về chứng
minh BĐT, tìm GTLN và GTNN cùng loại.
Qua các ví dụ cụ thể của chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm về “cái
nhìn” định hướng phương pháp giải toán. Đồng thời thông qua lời giải các bài toán
đó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó. Giúp cho học sinh
hình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN
bằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao năng
lực giải các bài toán này.
Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng tư
duy linh hoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó.
Phạm Văn Dũng
3
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài.
- Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải.
- Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng HSG
và quá trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu của bản thân.
5. Đối tượng nghiên cứu
- Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp,…
- Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG tỉnh,
đội tuyển HSG Quốc gia.
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy phương
pháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Đồng thời, thông qua chuyên đề hình
thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh.
7. Địa bàn
Tại trường THPT Chuyên Hưng Yên.
8. Lịch sử nghiên cứu
Bắt đầu từ năm 2005 thông qua việc giảng dạy bồi dưỡng HSG của trường, của
tỉnh và luyện thi Đại học.
Phạm Văn Dũng
4
B. NỘI DUNG
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT
1. Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b].
*) Nếu
( ) 0, ;
f x x a b
thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có
;;
min ( ) ( ); max ( ) ( )
x a b x a b
f x f a f x f b
*) Nếu
( ) 0, ;
f x x a b
thì f(x) nghịch biến trên [a; b] và khi đó ta có
;;
min ( ) ( ); max ( ) ( )
x a b x a b
f x f b f x f a
2. Định lý 2: ( Định lý Fermart)
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên một lân cận đủ bé của
0
;
x a b
và có đạo
hàm tại điểm
0
x
. Khi đó nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại
0
x
thì 0
( ) 0
f x
.
3. Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và
0
x
. Trong một lân cận đủ bé
của
0
x
, nếu
0
( )
f x
thay đổi dấu khi x qua
0
x
(có thể không tồn tại
0
( )
f x
) thì f(x) đạt
cực trị tại
0
x
.
*) Nếu
0 0
( ) 0, ;
f x x x x
và
0 0
( ) 0, ;f x x x x
thì
0
x
là điểm cực
tiểu.
*) Nếu
0 0
( ) 0, ;
f x x x x
và
0 0
( ) 0, ;f x x x x
thì
0
x
là điểm cực
đại.
4. Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và
0
;
x a b
. Trong một lân cận
đủ bé
của
0
x
, hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời 0
( ) 0
f x
và
( ) 0
f x
thì
0
x
là một điểm cực trị của hàm số.
*) Nếu 0
( ) 0
f x
và
( ) 0
f x
thì
0
x
là một điểm cực tiểu của hàm số.
*) Nếu 0
( ) 0
f x
và
( ) 0
f x
thì
0
x
là một điểm cực đại của hàm số.
Phạm Văn Dũng
5
II. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT
ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ
TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
1. Bất đẳng thức một biến số
1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số
Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997)
Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C. Tìm GTNN của hàm số
sin sin
( ) 1
sin sin
x A x B
f x x C x C
.
Giải: Ta có
sin sin sin (1)
A B C a b c A B C
.
Hàm số xác định khi và chỉ khi
)
sin 0sin
sin
(*
sin sin
0
sin
x A
x C
x C
x B x A
x C
Ta có
sin sin sin sin sin sin
( ) . .
2 2
sin sin
2( sin ) 2( sin )
A C x C B C x C
f x
x A x B
x C x C
.
Do (1) nên
( ) 0,
f x x
thỏa mãn (*). Ta có bảng biến thiên
x

sinC sinA

f’(x)
f(x)

1
1 f(sinA)
Vậy sin sin
min ( ) (sin ) 1
sin sin
A B
f x f A A C
.
Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình
sin sin sin
x A x B x C
có đúng một nghiệm vì trên
sin ;A

. Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < 0 ( vì
0 < sinA – sinB < sinA – sinC).
Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có
1 1 2
n n
n n
n n
n n
.
Giải: Đặt
*
0;1 ,
nn
x n N
n
. BĐT cần chứng minh trở thành
1 1 2, 0;1
n n
x x x .