SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI
------------ * * * -----------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
" SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC"
Môn: Toán
Người thực hiện : Vũ Thị Kim Oanh
Giáo viên môn Toán
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Năm học : 2011 – 2012
A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản của chương trình Đại
số và giải tích 11 nói riêng và chương trình Toán phổ thông nói chung. Có nhiều cách
để giải một phương trình lượng giác - một trong những cách thường sử dụng là:
Phương pháp đặt ẩn phụ. Trong Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành,
chưa hình thành rõ nét phương pháp đặt ẩn phụ khi giải các phương trình lượng giác
nên học sinh bước đầu còn khó khăn khi vận dụng. Song một số bài toán lượng giác
giải bằng phương pháp này sẽ đơn giản và tối ưu hơn các phương pháp khác, hơn nữa
trong các đề thi Đại học - Cao đẳng thường xuất hiện các loại toán này. Vì vậy, tôi viết
đề tài này để giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng
phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này tôi chia thành 3 nội dung chính cần làm rõ sau:
1. Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện.
2. Kết hợp nghiệm.
3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác .
Với mỗi nội dung được trình bày theo một hệ thống lô gíc chặt chẽ từ các bài toán
đơn giản, đến phức tạp phân tích vấn đề. Từ đó hình thành kĩ năng giải phương trình
lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các kiến thức về phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT .
IV. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM :
1. Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh 11 chương trình cơ bản.
2. Ôn thi ĐH.
V. PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU :
1. Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT số 2 Thành phố Lào Cai
2. Kế hoạch nghiên cứu:
- Thời gian bắt đầu: Tháng 09 năm 2011.
- Thời gian hoàn thành: Tháng 12 năm 2011.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài.
- Quan sát, điều tra.
- Tổng kết kinh nghiệm.
- Lập bảng biểu, thống kê …
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ KHOA HỌC
1. Cơ sở lý luận.
* Các công thức biến đổi lượng giác.
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb ; cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb ; sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
tan tan
tan( ) 1 tan .tan
ab
ab ab
b) Công thức nhân đôi:
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a ; sin2a = 2sinacosa
2
2tan
tan 2 ,
1tan 2 4 2
a
aakak
a
c) Công thức hạ bậc: 21cos2
cos 2
a
a
; 21cos2
sin 2
a
a
d) Công thức biến đổi:
- Tích thành tổng:
1
cos cos cos( ) cos( )
2
ab ab ab
1
sin sin cos( ) cos( )
2
ab ab ab
1
sin cos sin( ) sin( )
2
ab ab ab
- Tổng thành tích:
cos cos 2cos cos
22
ab ab
ab
cos cos 2sin sin
22
ab ab
ab
sin sin 2sin cos
22
ab ab
ab
sin sin 2cos sin
22
ab ab
ab
* Phương trình lượng giác cơ bản.
a) Phương trình sinx = a :
- Trường hợp 1a: Phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 1a:
Phương trình có các nghiệm là: 2()
2
xk kZ
xk
với sin a
Nếu số thực
thỏa mãn điều kiện 22
sin a
thì ta viết arcsina
. Khi
đó, phương trình có các nghiệm là: 2()
2
xk
kZ
xk
arcsina
arcsina
b) Phương trình cosx = a :
- Trường hợp 1a: Phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp 1a:
Phương trình có các nghiệm là: 2
x
k
()kZ
với ca
os
Nếu số thực
thỏa mãn điều kiện 0
ca
os thì ta viết arccosa
. Khi đó,
phương trình có các nghiệm là: 2
x
k
arccosa ()kZ
c) Phương trình tanx = a :
- Điều kiện của phương trình : 2
x
k
()kZ
Phương trình có các nghiệm là:
x
k
()kZ
với tan a
Nếu số thực
thỏa mãn điều kiện 22
tan a
thì ta viết arctana
. Khi
đó, phương trình có các nghiệm là:
x
k
arctana ()kZ
d) Phương trình cotx = a :
- Điều kiện của phương trình :
x
k
()kZ
Phương trình có các nghiệm là:
x
k
()kZ
với cot a
Nếu số thực
thỏa mãn điều kiện 0
cot a
thì ta viết arccota
. Khi đó,
phương trình có các nghiệm là:
x
k
arccota ()kZ
2. Cơ sở thực tiễn.
Phần lý thuyết về cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn
phụ trong sách giáo khoa hiện hành được viết lồng vào cách giải của một phương trình
lượng giác cụ thể nên chưa được tách biệt rõ. Các kiến thức có liên quan về phương
pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được trình bày khá đơn giản, hệ thống
ví dụ chưa phong phú. Chính vì vậy khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải
phương trình lượng giác các em học sinh còn lúng túng, việc định hướng còn gặp
nhiều khó khăn. Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít và không đa dạng nên gây khó
khăn cho học sinh khi ôn tập về dạng toán này đặc biệt là ôn thi Đại học – Cao đẳng.
Qua khảo sát thực tiễn đối với 40 học sinh lớp 11, kết quả đạt được như sau:
Kết quả Số học sinh Tỷ lệ
Điểm giỏi 1 2,5%
Điểm khá 5 12,5%
Điểm trung bình 13 32,5%
Điểm yếu 10 25%
Điểm kém 11 27,5%
II. MÔ TẢ, PHÂN TÍCH CÁC GIẢI PHÁP.
1. ĐẶT ĐIỀU KIỆN VÀ KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN.
- Đối với việc giải phương trình lượng giác bước đặt điều kiện cho phương trình là
một bước làm quan trọng không thể bỏ qua, nó quyết định việc tìm ra nghiệm là đúng
hay sai.
- Hầu hết các bài tập ta đều đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn. Song một số bài tập ta chỉ
cần đưa ra điều kiện trung gian mà không cần đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn vì điều đó
là không cần thiết hoặc phức tạp.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1cot
)sin(cos2
2cottan
1
x
xx
x
x
(1)
