intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn toán - Bài tập phương trình mũ logarit - phần 2

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
128
lượt xem 32
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - bài tập phương trình mũ logarit - phần 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn toán - Bài tập phương trình mũ logarit - phần 2

  1. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH f ( x ) = 3x + 2 x − 3x − 2 ⇒ f '' ( x ) = 3x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 ⇒ ð th c a Xét hàm s hàm s này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghi m. (ð nh lí Rôn) x y e = 2007 − 2 y −1  Ch ng minh h phương trình  có ñúng hai nghi m th a mãn Ví d 5: e y = 2007 − x  x 2 −1  x > 0, y > 0. x HD: Dùng tính ch t 2 ñ ch ra x = y khi ñó xét hàm s f ( x ) = e x + − 2007 . x2 −1 ● N u x < −1 thì f ( x ) < e −1 − 2007 < 0 suy ra h phương trình vô nghi m. ● N u x > 1 dùng ñ nh lý Rôn và ch ra v i x 0 = 2 thì f ( 2 ) < 0 ñ suy ra ñi u ph i ch ng minh. b a  1  1 Cho a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng:  2a + a  ≤  2b + b  Ví d 6:  2  2   b 1  1 ln  2a + a  ln  2 + b   1  1 HD: B t ñ ng th c ⇔ b ln  2a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔  ≤  . 2 2  2  2 a b  1 ln  2 x + x  Xét hàm s f ( x ) =  2 v i x > 0, x Suy ra f’ ( x ) < 0 v i m i x > 0 nên hàm s ngh ch bi n v y v i a ≥ b > 0 ta có f(a) ≤ f ( b ) . Gi i các phương trình sau: Bài 1. 1) 3x + 4x = 5x 4 x − 3x = 1 7) ( ) ( ) 2) log 2 1 + x = log 3 x 8) log 2 x + 3log6 x = log 6 x 9) 3.25x − 2 + ( 3x − 10 ) 5x − 2 + 3 − x = 0 3) x log 2 9 = x 2 .3log2 x − x log 2 3 4) x 2 .3x + 3x (12 − 7x ) = − x 3 + 8x 2 − 19x + 12 5) 4 ( x − 2 ) log 2 ( x − 3) + log 3 ( x − 2 )  = 15 ( x + 1)   111 6) 5x + 4 x + 3x + 2x = + + − 2x 3 + 5x 2 − 7x + 17 2 x 3x 6 x Gi i các phương trình sau: Bài 2.
  2. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH x 1) 2x = 1 + 3 2 4) 25x − 2 ( 3 − x ) 5x + 2x − 7 = 0 5) 8 − x.2 x + 23− x − x = 0 3− x = − x 2 + 8x − 14 2) 2 l og 2 x + ( x − 1) log 2 x = 6 − 2x 3) log 2 x = 3 − x 6) 2 Bài t p rèn luy n. Gi i các phương trình sau: Bài 3. 1) 4x + 9 x = 25x ( x + 2 ) log 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = 0 2 2) 3) 9x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2x − 5 = 0 ( ) 4) x + log x 2 − x − 6 = 4 + log ( x + 2 ) ( x + 3) log3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log3 ( x + 2 ) = 16 2 5) DAÏNG 7. MOÄT VAØI BAØI KHOÂNG MAÃU MÖÏC Gi i phương trình: 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0 Bài 1. HD: phương trình 4x − 2.2 x + 2 ( 2x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + 2 = 0 ⇔ ( 2 x − 1) + 2 ( 2 x − 1) sin ( 2 x + y − 1) + sin 2 ( 2x + y − 1) + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0 2 ⇔ ( 2 x − 1) + sin ( 2x + y − 1)  + cos 2 ( 2 x + y − 1) = 0 2   ( 2x − 1) + sin ( 2 x + y − 1) = 0  ⇔ cos ( 2 + y − 1) = 0 x  Gi i phương trình: 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 . Bài 2. HD: phương trình 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + 2 y = 0 ⇔  2sinx − cos ( xy )  +  2 − cos 2 ( xy )  = 0 2 y    2 ≥ 1 y  ⇒  2 − cos 2 ( xy )  ≥ 0 Ta có  2sinx − cos ( xy )  ≥ 0 và  2 2 y     cos ( xy ) ≤ 1  Do ñó  2sinx − cos ( xy )  +  2 y − cos 2 ( xy )  ≥ 0 2    2sinx − cos ( xy ) = 0 2sinx = cos ( xy ) (1)   V y phương trình ⇔  y ⇔y 2 − cos ( xy ) = 0 2 − cos ( xy ) = 0 ( 2) 2 2  
  3. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH y = 0 2 y = 1   ( 2) ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ y = 0. cos ( x.0 ) = 1 cos ( xy ) = 1   Thay vào (1) ta ñư c x = kπ . 8 Gi i phương trình: 22x +1 + 23− 2x = Bài 3. . log 3 ( 4x − 4x + 4 ) 2 HD: Ta có 4x 2 − 4x + 4 = ( 2x − 1) + 3 ≥ 3 nên log 3 ( 4x 2 − 4x + 4 ) ≥ 1 2 8 ≤8 (1) Suy ra log 3 ( 4x − 4x + 4 ) 2 M t khác 22 x +1 + 23− 2x ≥ 2 22x +1.23− 2x = 2 22x +1+3− 2x = 8 (2) Gi i phương trình: log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2 . Bài 4. HD: ði u ki n x > 0. Phương trình log 3 ( x 2 + x + 1) − log 3 x = 2x − x 2  1 ⇔ log 3  x + 1 +  = − (1 − x ) + 1 2  x Ta có  1 1 1 ● x+ ≥ 2 ⇒ x + 1 + ≥ 3 ⇒ log 3  x + 1 +  ≥ 1  x x x ● − (1 − x ) + 1 ≤ 1 2   1 log 3  x + 1 + x  = 1 V y phương trình ⇔  ⇔ x = 1.   − 1 − x + 1 = 1 ( ) 2 x 2 + x + 1 2 x − x2 =3 Nh n xét: Bài toán tương ñương là gi i phương trình . x ( ) 1  x − 2 + 4 = log 3  + 8 . Gi i phương trình: log 2 Bài 5.  x −1  HD: ði u ki n x > 2 . ( ) x − 2 + 4 ≥ 4 ⇒ log 2 x−2 +4 ≥ 2 ● 1 1 x −1 ≥ 1 ⇒ ≤1 ⇒ +8 ≤ 9 ● V i x > 2 ta có x −1 x −1 1  + 8 ≤ 2 ⇒ log 3   x −1  Gi i phương trình: 4x + 8 2 − x 2 = 4 + ( x 2 − x ) .2x + x.2 x +1 2 − x 2 . Bài 6.
  4. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH HD: ði u ki n − 2 ≤ x ≤ 2 . ) ( 4 − x.2 ) ( x − 1 + 2 ( *) Phương trình ⇔ 2 − x2 = 0 x 3 2.2 = 4 . Do ñó (*) ⇔ x − 1 + 2 2 − x 2 = 0 . Ta có x ≤ 2 ⇒ x.2 ≤ 2.2 < x 2 2 Gi i phương trình: 5x + 6x 2 − x 3 − x 4 log 2 x = (x 2 − x) log 2 x + 5 + 5 6 + x − x 2 . Bài 7. x>0  ⇔ 0 < x ≤ 3. HD: ði u ki n  6 + x − x ≥ 0 2 ) ( x log 2 x − 5) ( ( *) Phương trình ⇔ 6 + x − x2 + 1 − x = 0 ( x log 2 x − 5) < 0 Do x ≤ 3 ⇒ x log 2 x ≤ 3log 2 3 < log 2 32 = 5 ⇒ ) ( Khi ñó (*) ⇔ 6 + x − x2 + 1 − x = 0 . Gi i phương trình: 3sin x + 3cos x = 2 x + 2− x + 2 . 2 2 Bài 8. x -x 2 2 HD: Phương trình ⇔ 3sin x + 31−sin =2 +2 +2 2 2 x 2 2 32sin x + 3 2 x -x 2 2 ⇔ −4= 2 +2 −2 2 2 2 3sin x (3 )( ) = 2 − 1 3sin x − 3 sin 2 x 2 2  x -x ⇔ −2   2 2 2 3sin x   Ta có 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 3sin ≤ 3 . Do ñó VT ≤ 0 ≤ VP . 2 x Gi i phương trình: 2 log 3 cot x = log 2 cos x . Bài 9. HD: ð t 2 log 3 cot x = log 2 cos x = t , ta có cos 2 x = 4 t cos x = 2 t cos 2 x = 4 t  2 2  4t cot x = 3 ⇔ cot x = 3 ⇔ sin 2 x = t t t 3 cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0  cos x > 0, cot x > 0    cos 2 x = 4 t cos 2 x = 4 t t  1 cos x =  4 ⇔  t + 4 =1 ⇔  t = −1 ⇔ t 2 3 cos x > 0, cot x > 0 cos x > 0, cot x > 0   cos x > 0, cot x > 0  π ⇔ x= + k2π . 3 T ng quát: D ng α .log a f ( x ) = β .log b g ( x ) ta ñ t t = α .log a f ( x ) = β .log b g ( x )
  5. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Gi i phương trình: 3x 2 − 2x 3 = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x. Bài 10. HD: ði u ki n x > 0 . ð t f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 , g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x ● Ta có f ( x ) = 3x 2 − 2x 3 ⇒ f ' ( x ) = 6x − 6x 2 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 . L p b ng bi n thiên ta th y f(x) ñ ng bi n trên (0,1) và ngh ch bi n trên (1, +∞ ) . Suy ra trên ( 0, +∞ ) , maxf ( x ) = f (1) = 1 hay f ( x ) ≤ 1, ∀x > 0.  x2 +1  1 ● Ta có g ( x ) = log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x = log 2   = log 2  x +  . V i x > 0 , ta có  x x  1 1 ≥ 2 ( côsi ) => log 2  x +  ≥ log 2 2 = 1. Suy ra g ( x ) ≥ 1, ∀x > 0. x+  x x 3x 2 − 2x 3 = 1  V y phương trình ⇔  log 2 ( x + 1) − log 2 x = 1 2  = ( x − 1) . Gi i phương trình: 2x −1 − 2 x −x 2 2 Bài 11. + (x2 − x) . HD: phương trình ⇔ 2 x −1 + ( x − 1) = 2 x −x 2 ð t u = x − 1; v = x 2 − x. Khi ñó phương trình có d ng 2u + u = 2v + v . Xét hàm s f ( t ) = 2 t + t , hàm này ñ ng bi n và liên t c trên ℝ . V y phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x − 1 = x 2 − x ⇔ x = 1 . Gi i phương trình: 2009x + 2011x = 2.2010x . Bài 12. HD: G i x 0 là m t nghi m c a phương trình ñã cho. Ta ñư c ( *) 2009x 0 + 2011x 0 = 2.2010 x0 ⇔ 2009 x0 − 2010 x0 = 2010 x0 − 2011x 0 Xét hàm s F ( t ) = t x0 − ( t + 1) 0 . Khi ñó (*) ⇔ F ( 2009 ) = F ( 2010 ) . x Vì F(t) liên t c trên [ 2009, 2010] và có ñ o hàm trong kho ng ( 2009, 2010 ) , do ñó theo ñ nh lí Lagrange t n t i c ∈ ( 2009, 2010 ) sao cho F ( 2010 ) − F ( 2009 ) x0 = 0 F' ( c ) = ⇔ x 0 . c x0 −1 − ( c + 1) 0  = 0 ⇔  x −1   x0 = 1 2010 − 2009 Th l i x 0 = 0, x 0 = 1 th y ñúng. V y nghi m c a phương trình là x 0 = 0, x 0 = 1 . Nh n xét: Bài toán tương t 1) 3cos x − 2cos x = co sx ⇔ 3cos x − 2cos x = 3co sx − 2 co sx .
  6. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 2) 4log3 x + 2log3 x = 2x . ð t u = log 3 x ⇒ x = 3u . Phương trình ⇔ 4u + 2u = 2.3u . y = f ( x ) liên t c trên ño n Lưu ý: Bài toán trên ta s d ng ñ nh lí Lagrange: N u hàm s [ a; b] ( a; b ) thì t n t i m t ñi m c ∈ ( a; b ) sao cho và có ñ o hàm trên kho ng f (b) − f ( a ) f ' (c) = . b−a x2 + x +1 = x 2 − 3x + 2 . Gi i phương trình: log 3 Bài 13. 2x − 2x + 3 2 HD: ð t u = x 2 + x + 1; v = 2x 2 − 2x + 3 ( u > 0, v > 0 ) . Suy ra v − u = x 2 − 3x + 2. u = v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u Phương trình ñã cho tr thành log 3 v ⇔ log 3 u + u = log 3 v + v . 1 Xét hàm s f ( t ) = log 3 t + t . Ta có f ' (t) = + 1 > 0, ∀t > 0 nên hàm s ñ ng bi n t.ln 3 khi t > 0 . Do ñó phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) suy ra u = v hay v − u = 0 t c là x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1, x = 2 . V y phương trình có nghi m x = 1, x = 2 . u = v − u, ( u > 0, v > 0, a > 1) ta thư ng bi n ñ i Lưu ý: V i phương trình d ng log a v f ( t ) = log a t + t ñ ng bi n khi t > 0 . log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v . Vì hàm s Suy ra u = v . Gi i phương trình: 2cos x + 2sinx = 3 . Bài 14. HD: Áp d ng BðT Becnuli m r ng: t α + (1 − t ) α ≤ 1 v i t > 0, α ∈ [ 0,1]   π T phương trình suy ra: s inx, cos x ∈ [ 0,1] . Suy ra x ∈  k2π; + k2π    2 Theo Becnuli: 2cos x + (1 − 2 ) cos x ≤ 1 2sinx + (1 − 2 ) sinx ≤ 1 Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ ( s inx + cos x ) + 2 Suy ra 2cos x + 2sinx ≤ min ( s inx + cos x ) + 2  = min ( s inx + cos x ) + 2     π Mà: min ( s inx + cos x ) = 1 v i x ∈  k2π; + k2π  .   2 sinx = 1 sinx = 0 Do ñó 2cos x + 2sinx ≤ 3 . D u '' = '' x y ra khi và chi khi  ho c  cosx = 0 cosx = 1
  7. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH  x = k2π ⇔ .  x = π + k2π  2 ---------- H T ----------
  8. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ – LOGARIT Ta có th dùng các phương pháp bi n ñ i như ñ i v i gi i phương trình và s d ng các công th c sau HAØM SOÁ MUÕ 0 < a a a (ngh ch bi n) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x ) a >1 ● ⇔ f (x) > g (x) f (x) g( x ) >a a (ñ ng bi n) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) HAØM SOÁ LOGARIT 0 < a ≠ 1  log a f ( x ) có nghĩa ⇔  ● f ( x ) > 0  log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b ● f ( x ) = g ( x )  log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  ● 0 < a ≠ 1  0 < a log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) < g ( x ) (ngh ch bi n) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≤ g ( x ) a >1 ● log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) > g ( x ) (ñ ng bi n) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ 0 < f ( x ) ≥ g ( x ) T ng quát ta có: a > 0   log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  > 0    a > 0   log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) > 0  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  ≥ 0   
  9. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ x − x −1 1 x 2 − 2x ≥  Gi i b t phương trình: Ví d 1. 3  3 L i gi i: - ði u ki n: x ≤ 0 hoÆc x ≥ 2 . - Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi x − x −1 x 2 − 2x ≥3 ⇔ x 2 − 2x ≥ x − x − 1 3 (1) + NÕu x ≤ 0 th× x − 1 = 1 − x , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 2x − 1 (®óng v× x ≤ 0) + NÕu x ≥ 2 th× x − 1 = x − 1 , khi ®ã bpt (1) ⇔ x 2 − 2x ≥ 1 x ≤ 1− 2 ⇔ x 2 − 2x − 1 ≥ 0 ⇔  x ≥ 1 + 2  KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x ≥ 1 + 2 . - ( ) log x 5x 2 − 8x + 3 > 2 Gi i b t phương trình: Ví d 2. L i gi i: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi        0 < x 3    x >1 5       2 x >1 x >1    5x 2 − 8x + 3 > x 2  2   4x − 8x + 3 > 0  1 3  x < 2 ∨ x > 2      Víi bÊt phương trình d¹ng log f ( x ) g ( x ) > a , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè Lưu ý: 0 < f ( x ) < 1 và 1 < f ( x ) . 3( log 3 x ) 2 + x log3 x ≤ 6 Ví d 3. Gi i b t phương trình: L i gi i: - ði u ki n: x > 0 ( ) Ta sö dông phÐp biÕn ®æi 3( log3 x ) = 3log3 x log3 x 2 = x log3 x . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng - víi x log3 x + x log3 x ≤ 6 ⇔ x log3 x ≤ 3 . ( ) LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: log 3 x log3 x ≤ log 3 3 ⇔ log 3 x.log 3 x ≤ 1 - 1 ( log3 x ) ⇔ ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ log 3 x ≤ 1 ⇔ ≤ x ≤ 3. 2 3 1 ≤ x ≤ 3. VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm - 3
  10. Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 1 + 2x   >0 Gi i b t phương trình: log 1  log 2 Ví d 4. 1+ x  3 L i gi i: - BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 1 + 2x  1 + 2x  x log 2 1 + x > 0  1+ x > 1 >0   x < −1 ∨ x > 0 1 + x   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x>0   1 + 2x 1 + 2x −1 x > −1   log  
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2