intTypePromotion=1

Tạp chí Khoa học và Công nghệ Việt Nam số 6B năm 2019

Chia sẻ: Thien Tu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:84

0
3
lượt xem
1
download

Tạp chí Khoa học và Công nghệ Việt Nam số 6B năm 2019

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của tạp chí bao gồm các bài viết: Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích q-sai phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet; Một số vấn đề về giao của các mặt cong áp dụng trong vẽ kỹ thuật; Nghiên cứu điều chế vật liệu bentonite lai vô cơ/hữu cơ và ứng dụng xử lý phenol đỏ, Mn(II) trong nước; Phát triển mô hình Delta cảnh báo xâm nhập mặn các sông vùng hạ lưu lưu vực Vu Gia - Thu Bồn...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Tạp chí Khoa học và Công nghệ Việt Nam số 6B năm 2019

  1. Khoa học Tự nhiên Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích q-sai phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet Phạm Ngọc Hoa*, Nguyễn Xuân Lai Khoa Toán, Trường Cao đẳng Hải Dương Ngày nhận bài 29/6/2018; ngày chuyển phản biện 2/7/2018; ngày nhận phản biện 1/8/2018; ngày chấp nhận đăng 14/8/2018 Tóm tắt: Trong bài báo này, các tác giả thiết lập một số kết quả tương tự Định lý thứ hai của Ritt cho tích q-sai phân dạng fnf(qz+c) với f là hàm phân hình trên một trường không-Acsimet. Từ khóa: Định lý Ritt, Giả thuyết Hayman, hàm phân hình, toán tử sai phân, trường không-Acsimet. Chỉ số phân loại: 1.1 Ritt’s second therorem and uniqueness problems for differential and q-difference polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field Ngoc Hoa Pham*, Xuan Lai Nguyen Department of Mathematics, Hai Duong College Received 29 June 2018; accepted 14 August 2018 Abstract: In this paper, the authors consider linear composition polynomials of meromorphic functions in a non-Archimedean field of the form fnf(qz+c) and establish some versions of Ritt’s second theorem. Keywords: difference operators, Hayman conjecture, meromorphic functions, non-Archimedean field, Ritt’s decomposition. Classification number: 1.1 Mở đầu Định lý cơ bản của lý thuyết số phát biểu rằng mọi số nguyên n ≥ 2 đều biểu diễn duy nhất dưới mk dạng tích các số nguyên tố có dạng n = pm 1 ...pk , với k ≥ 1, ở đó các thừa số nguyên tố p1 , ..., pk đôi 1 một phân biệt và các số mũ tương ứng m1 ≥ 1, ..., mk ≥ 1 được xác định một cách duy nhất theo n. Ritt là người đầu tiên xét tương tự định lý này đối với các đa thức. Để mô tả kết quả của Ritt, ta ký hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) là tập các hàm phân hình (tương ứng, nguyên) trên C và ký hiệu L(C) là tập các đa thức bậc 1. Đặt E, F là các tập con khác rỗng của M(C), khi đó một hàm phân hình F (z) được gọi là không phân tích được trên E× F nếu bất kỳ cách viết thành nhân tử F (z) = f ◦ g(z) với f (z) ∈ E và g(z) ∈ F đều kéo theo hoặc f là tuyến tính hoặc g là tuyến tính. Năm 1922, Ritt [1] đã chứng minh định lý sau. Định lý A (Định lý thứ nhất của Ritt). Cho F là tập con khác rỗng của C[z] \ L(C). Nếu một đa thức F (z) có hai cách phân tích khác nhau thành các đa thức không phân tích được trên F× F : * F liên Tác giả =ϕ ◦ ϕ2 ngochoa577@gmail.com hệ:1 Email: ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , thì r = s, và bậc của các đa thức ψ là bằng với bậc của các đa thức ϕ nếu không tính đến thứ tự xuất hiện của chúng. 61(6) 1 Cũng trong [1], Ritt đã6.2019 chứng minh định lý sau: Định lý B (Định lý thứ hai của Ritt). Giả sử rằng a, b, c, d ∈ C[x] \ C thỏa mãn a ◦ b = c ◦ d và gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1. Khi đó tồn tại các hàm tuyến tính lj ∈ C[x] sao cho
  2. Để mô tả kết quả của Ritt, ta ký hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) là tập các hàm phân hình (tương ứng, nguyên) trên C và ký hiệu L(C) là tập các đa thức bậc 1. Đặt E, F là các tập con khác rỗng của M(C), khi đó một hàm phân hình F (z) được gọi là không phân tích được trên E× F nếu bất kỳ cách Khoathành viết học Tựnhânnhiêntử F (z) = f ◦ g(z) với f (z) ∈ E và g(z) ∈ F đều kéo theo hoặc f là tuyến tính hoặc g là tuyến tính. Năm 1922, Ritt [1] đã chứng minh định lý sau. Định lý A (Định lý thứ nhất của Ritt). Cho F là tập con khác rỗng của C[z] \ L(C). Nếu một đa thức F (z) có hai cách phân tích khác nhau thành các đa thức không phân tích được trên F× F : F = ϕ1 ◦ ϕ2 ◦ · · · ϕr = ψ1 ◦ ψ2 ◦ · · · ψs , thì r = s, và bậc của các đa thức ψ là bằng với bậc của các đa thức ϕ nếu không tính đến thứ tự xuất hiện của chúng. Cũng trong [1], Ritt đã chứng minh định lý sau: Định lý B (Định lý thứ hai của Ritt). Giả sử rằng a, b, c, d ∈ C[x] \ C thỏa mãn a ◦ b = c ◦ d và gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1. Khi đó tồn tại các hàm tuyến tính lj ∈ C[x] sao cho (l1 ◦ a ◦ l2 , l2−1 ◦ b ◦ l3 , l1 ◦ c ◦ l2 , l4−1 ◦ d ◦ l3 ) có một trong các dạng (Fn , Fm , Fm , Fn ) hoặc (xn , xs h(xn ), xs h(x)n , xn ), ở đó m, n > 0 là nguyên tố cùng nhau, s > 0 là nguyên tố cùng nhau với n, và h ∈ C[x] \ xC[x], lj−1 là hàm ngược của lj ; Fn , Fm là các đa thức Chebychev. Ở đây, phép phân tích F (z) = f ◦ g(z) chính là phép hợp thành F (z) = f (g(z)). Do đó, ta thấy rằng Định lý thứ hai của Ritt mô tả các nghiệm của phương trình a(b) = c(d), ở đó a, b, c, d là các đa thức và bậc của các đa thức là nguyên tố cùng nhau. Rõ ràng phương trình đa thức được Ritt nghiên cứu là trường hợp riêng của phương trình hàm P (f ) = Q(g), ở đó P, Q là các đa thức và f, g là các hàm phân hình. Để ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề xác định duy nhất đối với hàm phân hình - một ứng dụng của lý thuyết phân bố giá trị. Vấn đề xác định duy nhất đã được nghiên cứu lần đầu tiên bởi R. Nevanlinna. Từ đó, vấn đề xác định duy nhất đã được nghiên cứu liên tục với nhiều hướng nghiên cứu và đã nhận được các kết quả sâu sắc. Hayman là người đầu tiên khởi xướng một hướng nghiên cứu khi ông xem xét tập xác định duy nhất đối với các đa thức vi phân. Năm 1967, Hayman đã chứng minh một kết quả nổi tiếng rằng một hàm phân hình f trên trường số phức C không nhận giá trị 0 và đạo hàm bậc k của f , với k là số nguyên dương, không nhận giá trị 1 thì f là hàm hằng. Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau: Giả thuyết Hayman [2] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện f n (z)f  (z) = 1 với n là số nguyên dương và với mọi z ∈ C thì f là hàm hằng. Giả thuyết này đã được chính Hayman kiểm tra với n > 1 và được Clunie kiểm tra với n ≥ 1. Các kết quả này và các vấn đề liên quan đã hình thành một hướng nghiên cứu được gọi là sự lựa chọn của Hayman. Công trình quan trọng thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc về Yang-Hua [3], hai ông đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình và đơn thức vi phân của nó có dạng f n f  . Hai ông đã chứng minh được rằng, với f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n là số nguyên, n ≥ 11 nếu f n f  và g n g  cùng nhận giá trị phức a tính cả bội thì hoặc f, g sai khác nhau một căn bậc n + 1 của đơn vị, hoặc f, g được tính theo các công thức của hàm mũ với các hệ số thỏa mãn một điều kiện nào đó. Mục đích của bài báo này là thiết lập các kết quả đối với vấn đề duy nhất của tích q -sai phân dạng n f f (qz + c). Vũ Hoài An - Phạm Ngọc Hoa [4], Vũ Hoài An - Phạm Ngọc Hoa - Hà Huy Khoái [5], Hà Huy Khoái - Vũ Hoài An [6] và Hà Huy Khoái - Vũ Hoài An- Nguyễn Xuân Lai [7] đã có các kết quả theo hướng nghiên cứu này. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chứng minh các kết quả sau: Định lý 1. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K, n là số nguyên dương với n ≥ 13, q, c ∈ l K, |q| = 1. Giả sử rằng f n f (qz + c) và g n g(qz + c) nhận 1 có tính bội. Khi đó f = với ln+1 = 1, hoặc g f = hg với hn+1 = 1. Định lý 2. Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng trên K, n là số nguyên dương với n ≥ 25, q, c ∈ l K, |q| = 1. Giả sử rằng f n f (qz + c) và g n g(qz + c)1 nhận 1 không tính bội. Khi đó f = với ln+1 = 1, g hoặc f = hg với hn+1 = 1. Vấn đề nhận giá trị của tích sai phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet Trước hết, chúng tôi trình bày một số định nghĩa và một số kết quả liên quan. Ký hiệu K là một trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ đối với một giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu bởi | . |. Định nghĩa 2.1. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n là hai số nguyên dương. Hàm phân hình trên K được xác định bởi công thức f n (z)f m (qz + c) với z ∈ K được gọi là tích q -sai phân của f . 61(6) 6.2019 2 Bổ đề 2.2. Cho f và g là các hàm nguyên khác hằng trên K và   F = 1 , G = 1 , L = F  − G .
  3. nh Định lý 2. lý Cho 2. Cho f, gĐịnh f, làgĐịnh Định hai là lý lý haihàm 2.lý2.hàm phân Cho Cho 2. Cho phân hình f,f, ggf,là làgkhác hình hai hai làkhác hai hàmhằng hàm hàm phân hằng trên phân phân K hình trên , hình hình n ,là Kkhác n số khác khác nguyên hằng làhằngsố hằng trên trên nguyên KK dương trên , ,nK dương nvới ,là là nsố số là với ≥ n nguyên n 25, nguyên số nguyên ≥ 25, cq,∈dương q,dương dươngc ∈với nn≥≥ vớivới n25, 25, ≥ 25, q,q,ccq,∈∈c ∈ l lbội.lbội. l l l n+1 = 1. |q| = Giả 1. Giả sử rằngKK,rằng ,|q|f,n= |q| K f= |q|f(qzn1. 1.= + Giả 1. Giả f (qz c) Giả +sử và sử gvànrằng rằng c)rằng sử g(qz nn gfnfg(qz nff+ n c) + (qz (qz f+ +nhận (qz c)c)c) +nhận và và c) 1 gvàgn1nng(qz không g(qzn tính gkhôngg(qz++c) +bội. c) nhận c) nhận Khi nhận đó 11Khikhông 1 đó không f =ftính không tính với tính bội. n+1 Khi Khi =đó Khi n+1 đó1, f1, =fđó ==f =với l ln+1 vớivới n+1ln+1 ==1,1, = 1, sử tính bội. g= g với l g g g fặc=f hg hn+1 với với =hoặc 1f= f. == hg n+1 Khoa học Tự nhiên = hg hhoặc hoặc n+1 1f.hg = với hg vớivới hhn+1 n+1 hn+1 ==11= . . 1. đề n đề nhận nhận giágiá trị Vấn Vấn của Vấn trị đềđề của tích đềnhận nhận nhận tích saigiá giáphân sai giá trị trị phân của trị củacủa của hàm tích tích của tích hàm phân sai sai saiphân phân phân hình phân của của hình trên của hàm hàmtrên một hàm phân phân một trường phân hình hình trường hình không-Acsimet trên trên trên một một không-Acsimet một trường trườngtrường không-Acsimet không-Acsimet không-Acsimet ước hết, chúng Trước hết, chúngTrước tôi trình Trước tôiTrước trình bày hết, hết,hết, một chúng chúng bày chúng số mộttôisốtôitôiđịnh trình trình định nghĩa trình bày bày nghĩa bàyvàmột mộtvà một một số sốmột sốđịnh định số sốkết định quả nghĩa nghĩa kếtnghĩa quảliên và và liên quan. một một và một số số kết quan. Kýkết số Ký hiệu kếtquả quảhiệu K quả liên liênK là liênmột quan. quan. là quan. một Ký Ký Ký hiệu hiệu hiệuKK làK là mộtmột là một gờngđóng đại số đặc trường trường số trường 0, đóng đóng đầy đóng đạiđủ đại đối số đạisố đặc sốvới đặc số đặc một số 0,0, số đóng đại số đặc số 0, đầy đủ đối với một giá trị tuyệt đối không-Acsimet ký hiệu bởi | . |. giá đầy đầy0, trị đầy đủ đủ tuyệt đối đối đủ với đối đối với một với không-Acsimet một một giá giá trị trị giá tuyệt tuyệt trị ký tuyệt đối đối hiệu bởi không-Acsimet không-Acsimet đối | không-Acsimet . |. ký ký hiệu hiệu ký bởi bởi hiệu | | bởi. . |. |. | . |. nh nghĩa Định nghĩa 2.1.2.1.Cho Định Định Cho fĐịnh làfnghĩa hàm nghĩa lànghĩa hàm phân 2.1. 2.1.phân2.1.hình ChoCho Cho hìnhfkhác f làlàfkhác hàm hằng hàm là hàm phân hằng trên phân phân K,hình hình hình trên q, Kkháckhác ,m cK cq,∈khác , |q| ∈hằng hằng Khằng =trên , trên |q| 1, = K trênK m, n K q,c,là 1,, ,q, m, n∈∈ cq, cKK hai là số ∈,haiK|q|,nguyên ,|q| =nguyên |q| = số 1,1, =m,m, nlàlà 1, nm, hai nhai là hai sốsốnguyên nguyên số nguyên .ơng. Hàm phân hình dương. dương. trên dương. Hàm K Hàm được Hàm phânphân xác phân hình hình định hình trên trên bởi K trên Hàm phân hình trên K được xác định bởi công thức f (z)f (qz + c) với z ∈ K được gọi là tích K côngK được được thức được xác xác f xác định n (z)f định định bởi nbởi (qz bởim + công công công c) thức thức vớif thức fnzn n ∈ (z)f (z)f f n K m (z)fmmđược (qz (qz m (qz + +gọi c)c) + là với c) với tích zz với∈ ∈z KK ∈ K được được được gọi gọi là gọi là tích tích là tích phân của f . ai phân của f q. q-sai -saiq -sai phân phân phân củacủa của ff. . f . ổBổ đề đề 2.2.2.2. ChoCho f và BổBổ g là đề f và glà cácCho Bổ đề các 2.2. đề 2.2. hàm 2.2. Cho nguyên Cho ff và và f gvà gkhác làlàgcáclàhằng các các hàmhàm trên hàm nguyên nguyên K và nguyên khác Kkhác vàkhác hằng hằng hằng trên trên KKvà trên K và và  hàm nguyên khác     hằng   trên 1 1 F111 1  G 11 1 F G = F f=−1f,−1 1G = , G g−1 = g−1 , 1FLF, = =F L fF= =ff  F −1 − , ,G G− ,= G.Gg−1 = = g−1 . , , LL,== 1 L F=F F F  − G .  − − G G  .  . −1−1fF−1  G Gg−1g−1 F  F GG F G G Nếu E (1) 1. Nếuf Ef (1) =g E= E (1)1. 1.g (1)Nếuvà Nếu 1. Nếu L và E≡  EfLff(1) 0 (1) thì E≡f (1) == 0 thì E E=gg(1) (1) gEg (1) và và L L ≡  và≡L0≡thì 0 thì 0 thì 1 1 1 1 1 1 1 11 1 ) ≤ N (r, f ) + TT N(r, (r, T (r, f(r,f) ) ≤ f ≤ ) N +N ≤ N (r,N (r, (r, f f (r, )) g) +f+ )N + N+ N (r, (r, N (r, (r,) ) ++ )) − NN + log (r, (r, N r g)g) (r,+ + +O(1), g) N N+ (r, (r, N ))−−)log (r, log − logrr++rO(1),O(1), + O(1), r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, gf g ) − log r + O(1), 2 2 2 2 f f ) + N2 (r, g) + N 2 2 2 2 2 2 2 2 ff2 (r, 2 2 2 2 2 22 2 gg g ng cũng có bất có bấtđẳng đẳng thức vàcũng và cũng và thức tương cũng có cóbất tương tự bấtbất có đốiđẳng đẳng tự vớithức đẳng đối T thức thức với (r, g) tương tương T ; g)tự (r,tương ;tựđối đốiđối tự vớivới với TT(r, (r, Tg) g); ;g); (r, Nếu E (1) = 2. Nếuf E f (1) =g 2. E (1) 2. E gNếu (1)và Nếu 2. Nếu L và E E fL ≡ 0 (1) ff(1) thì E≡f (1)= = 0 thì một E E=gg(1) (1)trong E g (1) gmột và vàtrong ba L Lvà≡Lba ≡trường 0 0≡thì thì 0 một trường hợp một thì một sau trong trong hợp đây trong sau bađây ba xảy trường trường ba ra: hợp trường xảy hợphợp ra: sausau sau đâyđây đây xảyxảy xảy ra:ra: ra: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ti) T f(r,) ≤ (r, f )N ≤1 (r, N1f(r,)i)i)+ fTT N )(r, i)+ T1 (r, (r, fNf))(r, (r, 1f ≤ f≤)N +N N+11f(r, (r, ≤1)1(r, 1N f))+ (r, N g) f+)N 1 (r, g) +N N +11(r, 1N+ 11(r, (r, N f (r,)1)(r, f g ++ f ))N −N+)1log 1(r, N 1− r(r, (r,1log g) g)++rg) +O(1), NN + +1O(1), ))−−)log (r,1 (r, 1(r, 1N g g g log − logrr++rO(1), O(1), + O(1), f g ng cũng có bất có bấtđẳng đẳng thức vàcũng và cũng và thức tương cũng có cóbất tương tự bấtbất có đốiđẳng đẳng tự vớithức đẳng đối T thức thức với (r, g) tương tương T ; g)tự (r,tương ;tựđối đốiđối tự vớivới với TT(r, (r, Tg) g); ;g); (r, f g ≡ 1; ii) f g ≡ 1; ii) ii) fii) fg≡ g ≡ f g1;≡ 1; 1; f ≡f g. )iii) ≡ g. iii) iii) f f iii) ≡ ≡fg.g. ≡ g. ổBổ đề đề 2.3.2.3. ChoCho f làBổ Bổmột f làBổ đềđề mộtđềhàm 2.3. 2.3. hàm phân 2.3. Cho Cho Cho phân hình f flàlà khác một fmột hình là một hàm khác hằng hàm hàmphân hằng trên phân phân hình trên K hình hình và Kkhác n, khác vàkháckn, làk các hằng hằng hằng làtrên các K sốtrên trên sốKvà nguyên K vàn, nguyên n,dương, và kkn,làdương, là kcác làncác các > số số 2k. nguyên nnguyên số > nguyên 2k. dương, dương, dương, nn>> n2k. 2k. > 2k. ó, có i đó, có Khi Khi Khi đó,đó, đó, cócó có f n−k f n−k n (k) ffn−kn−k f n−k n−k (n − 2k)T (r, 1. (n − 2k)T (r, f1.) +f ) + 1. kN(n (n 1.kN (r, − − (n2k)Tf (r, ) 2k)T − f2k)T + N )(r,(r,(r, + fN f (r, ) ) (r, + + f )nkN kN +(k)kN ) (r, ≤ (r, f(r, f) )≤T )+ +(r, f )TN+N (f(r, (r, (r, ) ) N(f(r,n)nn(k) n +(k))O(1); )+)≤≤ )TT O(1); (r, ≤(r, T(f (fnnn(f (r, (k) ))(k)n )(k) (k) ) ++)O(1); O(1); + O(1); (f (f ) n )(k) (f (f (f )(k) ) ) n (k) (k) f n−k f n−k ffn−k n−k f n−k n−k N (r, 2. N (r, ) ≤ kT 2.2. (r, N ) ≤ kT (r,(f N 2. f (r,(r, N ) + (r, f(f)nnn(f kN + 1 (r, kN))≤≤ f)kT)kT ≤+(r, kTO(1). (r, f))+ f(r, f+)kN kN + 1kN (r,1f(r, 1(r, f))+ f+)O(1). O(1). + O(1). (f n(f )(k) n )(k) (k) ))(k) n (k))(k)1 (r, f ) + O(1). 1 ổBổ đề đề 2.4.2.4. ChoCho f làBổ f một Bổ là Bổ đềđềmột hàm 2.4. đề 2.4. hàm phân 2.4. Cho Cho phân hình Chof flàlà khác fmột hình một là một hằng hàm hàm khác hàmphân hằng trên phân phân K hình hình hình trên và q, khác Kkhác cq,hằng vàkhác cK∈ ∈hằng ,K hằng|q| trên trên = KK trên , |q| 1. =và K Khi và 1.q, vàq, Khicđó ∈∈đó cq, cKK K|q| ∈, ,|q| ,= =1.1. |q| =Khi KhiKhi 1. đó đó đó f (qz + c) f (qz + c)1.1.O(1); f f (qz(qz f (qz + + c)c) + c) m(r, 1. m(r, f (z) ) = ) m(r, =1.m(r, m(r, O(1); ))==)O(1); O(1); = O(1); f (z) ff(z)(z)f (z) f (z)f (z)) = ff(z)(z)f (z) m(r, 2. m(r, 2.2. ) O(1); = m(r, m(r, 2. m(r, O(1); ))==)O(1); O(1); = O(1); f (qz + c) f (qz + c) ff(qz (qz ++c)c) f (qz + c) T3.(r, T f(r,(qz + c)) f (qz + c))=3.3. T=T(r, T(r, 3.T(r, f(r, T f(z)) f(qz (r, f(qz f+ (z))++O(1); (qz +c)) c)) +O(1); ==TT c)) =(r,(r, Tf(r, f(z)) (z)) f (z)) ++O(1); O(1); + O(1); 1 1 1 111 1 1 1 1 N4.(r, N (r, )= )N 4.4. N = N(r, 4. (r, N(r, N(r, (r, ) +)O(1); +))c) ==)NN O(1); =(r, N (r, ))++)O(1); (r, O(1); + O(1); f (qz + c) f (qz + c) fff(z)(qz (qz ff(z) ++c)c) (qz + ff(z) (z) f (z) N5.(r, N f(r,(qz + c)) f (qz + c))=5.5.N =N5.N(r, N(r, (r, Nf(r, (z)) f(qz f(r, f(qz ++O(1). f(z)) (qz c)) + c)) +O(1). ==NN c)) =(r, (r, Nf(r, f(z)) (z)) f (z))++O(1). O(1). + O(1). ổBổ đề đề 2.5.2.5. ChoCho f BổlàBổ mộtBổđềđề hàm đề2.5. 2.5. phân 2.5. f là một hàm phân hình khác hằng trên Cho Cho Chohình f f làlàf khác một một là mộthàmhằng hàm hàm phân trên phân phân K,hình hình hình |q| K, khác khác =khác |q| 1, hằng = và hằng hằng 1, n, trên và m, trên K, trên n, K, d, k|q| m, |q| K, d,làk= =các |q| là1,1, =các sốvànguyên 1, và n,m, n, và số m, d,kkd,làlà n, d, m, nguyên các k các là các sốsốnguyên nguyên số nguyên ơngsaosaochocho m> d, dương mdương d,≥dsao >ddương 1,≥nsao sao cho 1, m >n 2k. cho m cho > m2k. d >Khi m>d,d, > Khi dd,≥≥ dđó d1,1, đó ≥nn1,>> n2k. 2k. > 2k. KhiKhi Khi đó đó đó (m − d)T (r, f ) ≤ T 1. (r, (m f − (z)f d)T (r,(qz f ) + ≤ c))T + (r, mm O(1); f m m ddd(qz (z)f d + c)) + O(1); 1. (m − d)T (r, f1. ) ≤(m 1.T (m − d)T (r, f− d)Tm (r, f(r, (z)f )(qz d ≤f )T+ ≤(r, Tf(r, c)) +(z)f fO(1); (z)f (qz (qz + c)) ++ c))O(1);+ O(1); m d mm m ddd(qz (n − 2k)(m − d)T 2. (r, 2. (n (n 2.f −) − (n + 2. (n − 2k)(m − d)T (r, f ) + kN (r, f (z)f (qz + c))+ − 2k)(m kN 2k)(m (r, 2k)(m −− f d)T d)T− (z)fd)T m (r, (r, f(qz f (r, ) )d++ f +) kN kN+c))+ kN(r, (r, f f (r, m(z)f (z)f f (z)f(qz d + c))+ (qz + c))+ + c))+ (f m(f(z)f m d (qzd (qz (z)f + c)) + n−k mm (f c))(fn−k m (f m ddd(qz (z)f (z)f (qzd (qz (z)f ++ nm +n−k c)) c)) n−k n−k c)) n−k nd (k)nm nd (k) N (r, N (r, nd (qzN N (r, (r, N (r, ) ≤ ) T ≤ (r, T (f (r, (f(z)f nm (z)f)(qz )≤ nd T+ ≤)(qz T c)) (r, ≤(r, T(f + (f (r,nm c)) )nm (f+nm (z)f (k) ) nd O(1); (z)f(z)f + nd + c))(k) nd(qz (qz O(1); (qz + c)) (k))(k) + c))) ++)O(1); O(1); + O(1); (f nm (z)f + c)) (k) (f (f nm (z)f nd (qz +(fc))(f nm nm nm (z)f nm nd nd (qz nd (z)f(z)f(qz (qz (k) nd + c)) + c)) (k) (k) + c)) (k) (k) (f m(f(z)f m d (z)f(qzd (qz + c)) + n−k mm (f c)) (fn−k m (f m ddd(qz (z)f (z)f (qzd (qz (z)f +n−k ++c)) c)) n−k n−k c)) n−k N (r, 3. N (r, 3. 3. N N (r, (r, 3. N (r, ) ≤ k(m )≤ k(m+ d)T + (r, d)T f ))+ (r, f≤ )≤ )+ k(m++d)T ≤ k(m )k(m d)T (r,f(r, + d)T (r, f)+ )+f )+ (f nm (f(z)f nd nm (z)f(qz + c)) nd (qz +(f (k) (f nm nm nm (f c))nm (z)f (z)f (k) nd nd (z)f (qz +c)) nd (qz (qz nd + c)) +(k)(k) c)) (k) (k) m d mm m≤dddk(m d + kNkN 1 (r, f (z)f m (qzd + kNc)) kN1kN +1f(r, 1(r, 1(r, fO(1) m(z)f +(z)f fO(1) (z)f(qz (qz ++c)) ≤ (qz +d++ c)) d2)T + c)) O(1)(r,≤≤ O(1) +2)T O(1)f(r,)k(m + k(m ≤ O(1). ++O(1). f )k(mdd+++d2)T 2)T (r,f(r, + 2)T (r, f))+f+)O(1). O(1). + O(1). 1 (r, f (z)f (qz + c)) k(m + + Bây giờ, cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K thỏa mãn E f (1) = E g (1). Cho a là một không điểm của f − 1 với bội µ0f −1 (a), và là không điểm của g − 1 với bội µ0g−1 (a). Ta ký hiệu 1 N1 (r, f −1 ; µ0f −1 (a) > µ0g−1 (a)) là2 hàm đếm các không điểm của f − 1, mà µ0f −1 (a) > µ0g−1 (a) và những 2 212 2 0 không điểm đó được đếm với bội 1, ký hiệu N1,2 (r, f −1 ; µf −1 (a) = µ0g−1 (a)) là hàm đếm các không điểm của f − 1, mà µ0f −1 (a) = µ0g−1 (a) ≥ 2, và mỗi không 3điểm đó được đếm với bội 1. Bằng cách tương tự, 161(6) 06.2019 1 ta định nghĩa: N1 (r, g−1 ; µg−1 (a) > µ0f −1 (a)), N1,2 (r, f −1 ; µ0g−1 (a) = µ0f −1 (a)). Bổ đề 2.6. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng trên K. Nếu E f (1) = E g (1), thì một trong
  4. Khoa học Tự nhiên Bây Bây BâyBây Bây giờ, giờ, giờ, Bây giờ, giờ,cho cho cho giờ, cho ffchofvà fvà và vàvà fggggBâylà và glà là làhai là ghai hai giờ, hai là hàmhàm hàm hàm hai chohàm phân hàm fphân phânphânphân vàphân gBây hình hình hình hình hình là khác hai giờ, khác hình kháckhác khác hàm cho hằng kháchằng hằnghằng hằngfphân trên và trên hằng trên ghình trên K KK là trên BâyK thỏa hai thỏa thỏa K khác thỏa thỏagiờ,hàmmãnmãn thỏa mãnhằng mãn cho mãn E phân EE Bây mãn ff fE(1) trênfE(1) (1) và f(1) hình fgiờ, E fK (1) = g=(1) =cho E là= E= thỏaE khác g=ghai(1) E g(1) fE (1)gE (1) mãn (1) .ghằng .hàm và g.ChoCho (1).Cho E g.Cho afCho phân Cho trên .là aa(1) alàK làlà hai alà a= hình hàmlàlàE gkhác thỏa (1)mãn phân . Cho hằng E f (1) hình atrkl 0000 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 một một mộtmột không không không một khôngkhông khôngđiểm điểm điểm điểm của điểmcủa của của của một ff−− ffcủa f− − 1− không1f1với −1với với với điểm 1bội bội bội với bội µµbội µ µ của ff−1 µ f−1một f−1 (a) −1 (a) µ f (a) f −1f −1(a) ,− (a) không , , và, và 1 , và (a) vàvà là với ,là là là vàđiểm không là không không bội không không là µ của không điểm điểm f −1 điểm f(a) một điểm −của , của điểm 1 củavàkhông của của g với g g là của − −g g− bội không1 −1− 1 điểm một g với1µ với − 1 với với 1 với bội không f −1 của điểm bộibội với(a) bội µ bội µf , µ bội g−1củaµ và − điểm g−1 g−1 µ (a). g−1 (a). µ g−11 (a). làg g−1 (a). với − của(a). không Ta Ta (a).1 Ta bội Tafký vớiký Ta − ký Ta µ điểm ký hiệu bội 1 hiệu ký hiệu ký f −1 g−1hiệu với(a) µ hiệu của hiệu , bội (a). g và − µ là 1Ta f −1 (a) không với ký , bội hiệ vàđi 1111 1 00 10µ0(a) 0000 0 10 0 0 1 0 0 1 0 000 00 10 00 000 0 0 0 0 0 NNN11(r, N(r, 1(r,(r, 1N (r, 1−1 fff−1 (r, f−1−1 ;;µ;µ f −1ff−1 µ; f−1f−1 ; −1 (a) µ 0(a) (a) f −1f −1 g−1 > >>>N µ (a) >µ µ 1µ (r, g−1>µ g−1 g−1 (a)) g−1 (a)) µ (a)) f −1 (a)) g−1 f −1 ; µ là là (a))là hàm là hàmhàm hàm(a) hàm là đếm hàm> đếmN đếm đếm µ đếm 1 (r,cáccác đếm các các g−1f −1 (a)) các không ; không không các µ không khônglà f −1 không (a) điểm hàm điểmđiểm điểm điểm >đếmcủa điểmcủa µN củacủa f f các 1 (r, f của g−1 f −1 − − (a)) f− 1,− 1, không f 1, là mà1, 1, −; màmà µ N hàm mà 1, mà µ f −1 µ điểmµ (r, mà 1ff−1 (a) µ µ đếm f−1−1 (a) fff−1(a) µcủa(a) −1> −1 (a) (a) >; µ > các f −1 g−1 µ f >(a)µ > f −1− µ >µ không g−1 (a)) g−1>µ g−1 1, (a)µ (a) g−1 (a) µ g−1(a) mà >(a) là (a) điểm và g−1 fg−1 và µ vàhàm (a) và những những −1 và những(a) (a)) của vànhững đếm những f > những là −µ các hàm1, (a) không mà g−1 đếm µvà0fđiểm −1 (a)kc nhữn các 111 11 0100 00 0 000 00 10 0 0 1 0 0 1 0 không không không không không khôngđiểm điểm điểm điểm điểm đóđó điểm đóđó được được được được đó được không đếm đếm đếm được đếm đếm với với đếmvới điểm vớibộibội bội với bội 11,1bội đó ,1được ,ký ký ký ,ký 1ký ,không hiệu hiệu hiệu kýđếm hiệu hiệu N NN hiệu N 1,2N với 1,2 1,2(r, điểm 1,2(r, N(r, 1,2 (r, bội(r, 1,2 ff−1 đóf−1 1f;−1 (r, f−1 ,;được µ;µ ký −1ff−1 µ ;;f−1 µfµ−1 f;f(a) hiệu −1 (a) đếm µ −1 −1 (a) (a) không =N f −1 (a) == vớiµ= 1,2 µg−1 µ(r, µg−1 điểm bội g−1= g−1 (a)) (a)) (a)) fµ−1 g−1 1g−1 (a)) ,(a)) đó không ;kýµ(a)) làlàlàfđược hàm hiệu −1là hàm là hàm (a) hàm điểm làhàm N đếm đếm hàm = đếm đếm đó 1,2 µ(r, đếm với các các đếm g−1 các được các (a)) bội f −1các không cáckhông ;đếm không 1µkhông không là ,fkhông ký −1 điểm hàm điểm với(a) điểmhiệu điểm = điểm đếm bội điểm Nµ11,2,các g−1 (r, ký (a))không hiệu là; µhàm f −1 Nf1,2 −1(( điểm 000 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 00 0 của của củacủa fffcủaf− − − f−1, − 1,1, f1,mà 1, mà − mà mà 1, µµfµmà fµ f−1 −1 −1 f(a) −1 (a) µ(a) −1(a) của (a) == f −1 (a)g−1 =f=µ= − µ µg−1 =µ1,g−1 g−1 (a) (a) µmà(a) (a) g−1 (a) ≥≥ µ≥≥2, f≥ 2, −12, 2,và ≥2, (a) và củavà và và mỗi 2, mỗif= mỗimỗi và −µkhông mỗi 1,không không không mỗi g−1 không (a) mà không µ≥ điểm điểm điểm điểm fđiểm 2,điểm −1 (a) đó đó và đóđó = được của được mỗi được đó µfg−1 được − không đếmđếm được đếm (a) 1, đếm đếm vớimà với đếm ≥ củavới điểm với 2, vớiµ bội bộifvới bộifvà − bội đó −1 1.1.1. bội (a) 1, mỗi bội 1. Bằng được 1. Bằng Bằng mà=Bằng 1. không Bằng µ đếm Bằng µcách cách g−1 fcách −1 cách(a)(a) cách với điểm tương tương cách tương ≥tương bội 2, =tương đó µtự, tương 1. tự, và g−1tự, được tự,(a) Bằngmỗi tự, tự,đếm ≥không 2, với cách vàtương bội 1. điểm mỗi tự khđ 1111 1 01000 0 0 0000 0 10 0 111 110 010010 0 0 000 00 10 0 0 1 0 0 11 000 00 1 ta ta tađịnh định tađịnh định định ta nghĩa: nghĩa: nghĩa: định nghĩa: nghĩa: NNN nghĩa: 11(r, N 1(r, (r, (r, 1N (r, ta g−1 1g−1 g−1 g−1 ;;µ định (r, g−1g−1 ;;µµg−1 ;g−1 µnghĩa: g−1 g−1 (a) (a) µ(a) ;g−1 (a) g−1 (a) >>> N µ> µ1fµµf(r, fµ > −1fta −1 f(a)) −1 −1 (a)) µ −1(a)) g−1 (a)) định (a)) ,;,µN f −1 (a)) ,N N N N ,nghĩa: ,g−11,2 1,21,2 (r, (a) ,1,2(r, (r, N 1,2 (r,(r, 1,2> ff−1 Nf−1(r, µ;(r, ff1−1 −1 ;µ −1 f;µ µ;−1 f−1 g−1 µ g−1 (a)) g−1 g−1 ;(a) ta g−1(a) µ;(a) µ,(a) định g−1 =N== g−1 (a) µ= 1,2= µ (a)fµ(r, nghĩa: f−1fµ =µ−1 −1 f>(a)). fta (a)). µ f−1 (a)). −1 µ(a)). N fđịnh −1 (a)). −1f;−1 µ (r, 1(a)).g−1(a)) nghĩa: (a) g−1 1,2 ,N ;= µN g−1µ(r, 1f(r, (a) −1f (a)). >; ;µµµfg−1 g−1 g−1 −1 −1(a) (a)) (a)=,>N µµf1,2−1(r, f −1 (a)). (a)) ; µ0 f −1, Ng1 Bổ Bổ Bổ Bổ Bổ đề đề đềđềđề Bổ 2.6. 2.6. 2.6. đề 2.6. ChoCho Cho 2.6. Cho Cho fCho fffvà fvà và Bổ vàvà gfggđề là và glàhai là là 2.6. hai ghai hai là hàm hàm hàm hàm hai Cho hàm phân phân hàm fphân phân phân Bổ và hình hình phân gđề hình hình hình làkhác 2.6. khác hai khác hình khác khác hàm hằng hằng Cho khác hằnghằng hằng ftrên phân trên hằngtrên vàtrên K.K. gK.là Bổ hình trên K. K. NếuNếu đề NếuK. hai khácNếu Nếu ENếu 2.6. E E hàm fE (1) fE fhằng (1) Bổ (1) fCho Ef(1) (1) = phân f= = trên đề(1) E= fE=E (1) E hình và g2.6. g= gK. (1) E (1) gE (1) gg,,Nếu(1) g,thì khác làthì Cho (1)thì , ,thì hai một E ,một fhằng thì một thìfmột(1) hàm và một trong trong trong một = gtrên trong phân là Ehai trong trong gK.(1) hìnhNếu , thìkhác hàm E f (1) một phân hằng= tron hình các các cáccáchệ hệhệ hệhệ các thức thức thức thứchệthức sau sausau thức sau xảy xảy xảy sau xảy ra: các ra: ra: ra:ra:hệ xảy ra:thức sau xảycác ra: hệ thức sau xảy ra:các hệ thức các sau hệ xảythức ra: sau xảy ra: 1.1.1.TT 1. 1.TT(r, (r, (r, T(r,(r, 1. ffT)f)(r, )f≤≤ )≤fN ≤N)N ≤ 222(r, N2(r, (r, (r, 2N (r, fff2)f1.)(r, )+ )f+++)TN fN + N(r, 2)2(r, N2(r, + (r, f2N )f1f12)f≤ (r, 11 1 )(r, +)f++ N+ )NN +NN )(r, (r, N +(r, f22222 2 2 (r, (r, fN(r, g) 1.g) )g)g) ++Tg) (r,++ N (r, N + N + g)N22N (r, 2f(r, N2(r, + )2(r, ≤ 2(r, N1111 11 1 (r, ))+ fgg2g(r, N )+)+ )N 2(N + gg 2 g2) + (r, 2(N +2(N (r, 2(N f11(r, )2(N 1(r, g)+ (r, 11.(r, f+Nf1)fT)N+)f(r, 2(r,+(r,+ 2))N(r, fN+ + N 1 1 111 11 1 f(r, f1)1+ N)1N )(r,+)≤ (r, g 11 N(r, + (r, N f1. ))N f1f(r, 2(N )) 2)) Tf(r, 2+ + )) (r, +)) f f1)) Ng) N+(r, N+f11(r, N + )1(r, N 1≤ (r, f+ N (r, g) )1g) N(r, +21g) N (r, + 2g) + N(r, 2+g)N 1 1 1 111 1 11 1 1N (r,+ N (r, )+(r, g 1f1f g) N+1) (r, (r, N )+ 1f2(N + N(r, ))N g1g1gN )(r,− )2g− )(r, + 2− 1(r, )(r, N − (r, )g) gg1) − − (r, ff)+ )+g) +NN N+21(r, 2N (r,1g1(r, (r, 1 1 ))) +g+ fg) + 2( )N− 222log log 2log log rr2rr+ + + logr+O(1), O(1), +rO(1), O(1), + O(1), 2 log r + O(1), 2 log r + O(1), 2 log r + O(1), 2 log r + O(1), và và vàvàcó cócócóvà bất cóbất bấtbất cóbấtđẳng đẳng đẳng bấtđẳng thức thức đẳng thức thức tương và tương tương tương thức tương cótương tự bất tựtựđối tự đối đẳng đốitựđối vớivớivới với đối thức vớiTTTvới (r, T(r,T(r, (r, và (r, g) g) tương T g)g) có ;g) ;(r, ;;bất ;g) tự;đẳng đối với thức T (r, tương g) và; cótựbất đốiđẳng với và Tcó thức(r,bất g)tương;đẳng tự thức đốitương với Ttự (r,đối g); với T (r, g); 2.2.2.f2. 2. ffgfgg2. gf≡≡g≡ ≡ f1;1; g1;≡ 1; 1; 2. f g ≡ 1; 2. f g ≡ 1; 2. f g ≡ 1; 2. f g ≡ 1; 3.3.3.f3. 3. fff≡ ≡ ≡f≡ g. 3. f ≡ g.≡ g. g. g. 3. f ≡ g. 3. f ≡ g. 3. f ≡ g. 3. f ≡ g. Áp Áp Áp Áp Áp dụng dụng dụng dụng Áp dụng các các dụng các các bổ bổ bổ các bổđề đề đề đề bổ đề trên, trên, trên, Áptrên, trên, đề dụng ta ta trên, tachứng tachứng chứng chứng cácchứng ta bổ chứng minh minh minh minh đề minh Áp được trên, minhđược được được được dụng ta mộtmột được mộtmột chứng mộtcác kiểu kiểu mộtkiểu kiểu bổ kiểu minh của của kiểuđề của của Định trên, Định Định được của Áp Định Định ta lýlý Định dụng một lýthứ chứng lý lý thứ thứ thứ lý thứ kiểu các hai haihai thứÁpminh haihai của bổ của của của của dụng hai đềcủa Ritt Định được Ritt Ritt của trên, RittRitt các như như Rittmột lý như ta bổnhư thứ như sau: sau: chứng kiểu sau: đề như sau:haisau: trên,của sau: của minh taĐịnh Ritt được chứng lý như thứ một sau: minh hai kiểu của được củ Bổ Bổ Bổ Bổ Bổ đề đề đềBổđềđề 2.7. 2.7. 2.7. đề 2.7. Cho Cho 2.7.Cho Cho Cho fCho fffBổvà fvàvà vàvà fggđề glà glà2.7. là và hai làghaihai hai là hàmhàm Cho hàm hàm hai hàm phân fphân phân hàmphânBổphân vàphân đề hình ghình hình hình là2.7. hình kháckhác hai hình khác khác khác Cho hàm hằng hằng khác hằng hằng fhằng phân trên trên và trên Bổ trên K ghìnhKK trên ,đề là ,K K,q,q,,q, hai,K c2.7. khác cq,q,c,∈∈ ∈ cq, cBổ hàm K ∈Kc∈ hằngK ,Cho ,∈K K ,|q| |q| phân đề K ,|q| |q| ,trên=f|q| ,= =|q| 2.7. 1, và = 1,= hình K= 1, cg1,,c1, cCho == q, là c=c0, khác 1, = 0, c0, hai = ∈f= 0, và hằng vàK0,0, hàm và ,cho và cho |q| gvà chovàtrên cho phân là = cho hai cho K 1,hình cq,=c khác ,hàm ∈ 0, phân K và,hằn|q ch hì m, m, m,m,nnnm, là lànlàcác là là các các cáccác số số số nguyên sốnguyên nguyên nguyên nguyên m, n dương dương dương dương n là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n > m. Khi đó dương là cácthỏa thỏa thỏa thỏa số mãn mãn nguyên mãn mãn mãn m, điều điều điều điều điềun dương kiện kiện là kiện kiện kiện các n n n thỏa >n>n số > > m.>m.m. m. nguyên mãn m. Khi Khi Khi Khi điều Khi m, đó đó dương đó đó n kiện là n thỏa các > m,m. mãn số n nguyên Khi điều là cácđó kiệndương số n nguyên > thỏa m. mãn Khi dương đó điều thỏa kiện mãn n > điều m. Khi kiện llnm l ll l n+m n l m n+m l i) i)i)i)Nếu Nếu i) NếuNếu Nếu i) ffNếunnn n nmm f(z)ff(z)f (z)ff(z)f mmm m (qz (z)f (qz (qz (qz (qz++ + i)+ (qz c).g + c).g c).g Nếu +nn(z)g c).g n nn n (z)g f(z)g c).g (z)g (z)fmmm mmm m (qz (z)g (qz(qz (qz (qz(qz +++ +c) (qz + c) i)+ c)c)=c) = c).g Nếu + == 1c) =11với 1nvới =f1vớin mm (z)g với 1(z)f vớimọimọi mọi vớimọi mọi (qz zzmọi z∈∈ (qz z+∈K ∈KzKthì + c) K ∈c).g = i) thìthì K thì 1fnfthì fNếu = (z)g với= ff=f= f= mọi (z)f với = (qz vớivới i)vớizvới llNếum +ln+m ∈ n+m với(qz lc)lKn+m n+m l=f= + n n+m = thì 1(z)f = 1c).g ,1= ,f,với l=1l= lm 1,∈ ∈,1∈ K l(z)g (qzKK ,l∈ mọi K l.∈.với .+K ∈ z.(qz.l∈. K Kc).g +n (z)g c) thì== 1fm l∈ , 1= (qz vớiK+với.c) l=n+m mọi z 1∈ ggg gg g g g ii) ii) ii)ii)ii) Nếu Nếu Nếu Nếu ii)Nếu ffNếunnn n nmm f(z)ff(z)f (z)ff(z)f m mm m (qz (z)f(qz (qz (qz (qz + + ii) + + c) (qz +c)c)= Nếu c) + ==gc) gfngnn(z)g = nn n g(z)g = (z)f (z)g (z)g g mm(z)g (z)g mm mm m (qz (qz (qz (qz (qz(qz ++ ii) +++c) (qz +c) c) Nếuc)c)c) với + = với với fvới với c) gmọinn mọi (z)f (z)g mọimọi với mọi zzmọi zm∈ m ∈ ∈ zz(qz K (qz K ∈zKthì K ++ thì ∈ thì K c) c) ii) fff= thì = Nếu=ff=glg với thì =fnmọi lg = lg(z)g fvới =lgn mn+m lg với (z)f với lg ll∈ zvới với ii) ln+m (qz vớin+m NếulK mn+m n+m l(qz + l== n+m thì =fc)1+n =1,=1f(z)f c) ,với,l= 1l= 1,∈ l∈ =,1∈ lmọiK m n ,l∈ lg K K g(qz K l.∈.với ∈ zK .(z)g .+K∈.ln+m .c) m K(qz =thì =g+n1f(z)g ,c)= l vớim ∈lg K(qz. +ln+m với mọi zc)∈ Chứng Chứng Chứng Chứng Chứng minh: minh: Chứng minh:minh:minh: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: Chứng minh: i). i). i).i).   i). Từ i). Từ Từ Từ ffnfTừ Từ nn n nmm (z)f f(z)f (z)f f(z)f m n(z)f mm m (qz (qz (qz (qz (qz ++ ++i). (qz c).g + c).g c).g Từ +nn(z)g c).g n nn n (z)g f(z)g c).g (z)g (z)fmmm n(z)g mmm m (qz (qz (qz (qz (qz (qz +++ + c) (qz+ c) +c) c) i). =c) +=c).g = = Từ 1c) =11ta 1nta f1ta = n mm (z)g ta có ta (z)f 1cócócócó(qz ta có(qz ++ c) c).g =i).1Từ n (z)g ta fcónm(z)f (qz i).m +Từ (qz c) f= +n 1c).g (z)f tam n có(z)g (qz + m (qzc).g+n (z)g c) =m1(qz ta +cóc) = 1 nnn n  m mm m mm n m n m n m m fff(z)g(z) f(z)g(z) (z)g(z) (z)g(z) f (z)g(z) f f (qz f (qz (qz (qz f (qz f (z)g(z) f (qz + c)g(qz + c) = 1.(1) + +++ c)g(qz + c)g(qz fc)g(qz c)g(qz (z)g(z) c)g(qz + + + c) + c) c) c) f (qz = = == 1.(1) =1.(1) +1.(1) 1.(1) 1.(1) fc)g(qz (z)g(z) + c) f (qz = +1.(1) c)g(qz f (z)g(z) + c) f = f (qz (z)g(z)1.(1) + c)g(qz f (qz + +c) c)g(qz = 1.(1)+ c) = 1.(1) Đặt Đặt ĐặtĐặt lllĐặt= l= == l f=ffl(z)g(z). f(z)g(z). (z)g(z). f (z)g(z). = f (z)g(z). TaTa Ta Ta Đặt Tachứng chứng chứng chứng Ta l =chứng chứng fminh minh (z)g(z). minhminh llllàlàllà minh làhằng. là hằng. Talhằng. Đặt hằng. hằng. là chứng lGiả hằng. = Giả Giả GiảGiảfsử (z)g(z). minh sử sử Giả sửtrái sử trái tráisử l lại, trái trái là lại, lại, trái Ta lại, lại, lllkhác hằng. lkhác chứng khác Đặt lại, khác lGiả lkhác hằng.= hằng. hằng. minh sử hằng.f (z)g(z). hằng. trái Khi hằng. KhilKhi Đặt là Khi Khi lại, đó lđó đó hằng. Khi = đólTa từđó từtừfđó khác (z)g(z). (1) từ (1) chứng từ Giả(1) từ (1)ta (1) hằng. ta ta sửcó: (1) ta có: minhta có:trái có: Ta ta Khi có: l đó lại, chứng có: làl hằng. từ khác minh (1)hằng. Giả tal làcó: sửhằng. Khitráiđó lại, Giả từl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 llnnln(z) nn n (z) (z) l(z) (z) l= == (z) = m=m m ,,với ,,lvới n với ,(z) với vớimọi ,mọi mọi với =mọi zzmọi z∈∈z∈K∈ K zKK ..K .. .K.,lnvới ∈ (z)mọi = zm ∈ K. , vớilnmọi (z) = z ∈mKl.n (z) =, với mọi z ∈, với K. mọi z ∈ K. llmml (qzl(qz (qz (qz l ++ + + c) (qz + c) c)c)c) + c) lm (qz + c) l (qz + c) l (qz + c) lm (qz + c) Từ Từ Từ Từ đây đây đâyđây Từ đây và và và vàvà đây từ từ từvà Bổ từ Bổ Bổ Bổ từ đềđề đềđề Bổ đề 2.4 Từ 2.4 2.4 2.4 đề2.4 tađây ta ta ta 2.4suy tasuy suy và suy ta rara từ rara suy BổrađềTừ 2.4đây ta suy và từ ra Bổ đề 2.4Từ tađây suy và ra từ TừBổ đây đềvà 2.4từtaBổ suy đềra2.4 ta suy ra nnnn n n n    11111 1n   1 n  1n   1   1 TTT(r, (r, (r, T(r,(r, llT ll)(r, )l)= =)= lnT =nT )nT nT =(r,(r, (r, (r, nT(r, l)l) l) l)+ + l) (r,++TO(1) +O(1) (r, O(1) l) O(1) +l O(1) =)== =T= TTnT r, =Tr,r, r,(r, Tr, m m mm l) r, m +T (r, O(1) l ) == == = mT=TmTmT nT mT mT = r,(r, (r, (r, (r, mT (r, m (r, l(qz l(qz l) l(qz +l(qz (r, + + O(1)+ T l(qz c)) + c)) (r, c)) c)) +c)) + = l +=+ ) c))O(1) T + O(1) +mT O(1) = O(1) +O(1) r, nT T(r, = O(1)= m = (r, (r, l(qz mT =mT =mT l l) mT =) mT (r, ++ (r, =(r, mT (r, l) c)) O(1)l) nT(r, l) +(r, + l) = + (r,l)O(1). + O(1). =mT l)O(1) O(1). + l) O(1). +T +O(1). (r, r, O(1).= O(1)l(qz m mT + = (r,c)) Tl)r,+ + O(1) O(1). = mT=(r,ml m llll(qz l(qz (qz (qz (qz l +++ m + (qzc) + c)c)c) c) + c) l (qz + c) l (qz + c) l (qz + c) l (qz + c) Điều Điều Điều Điều này này này Điều này này mâu mâu mâu này mâu thuẫn thuẫn thuẫn mâuthuẫnthuẫn Điều với thuẫnvới với với với giả giả giả này giả với giảthiết thiết thiết mâu giả thiết nnn thiết >> thuẫn n> >m > m mm nĐiều m ..>với .. .mnày giả . thiết mâu thuẫn n > mvới . Điều giảnày thiếtmâu n >thuẫn Điều m này . với mâugiả thuẫn thiếtvới n> giảmthiết . n > m. nnn n nmm mmm m nnnn n n mm mmmm m nn mm n n m m n m n m n ii). ii). ii). ii). ii). TừTừ TừTừ ii).TừfffTừ (z)f f(z)f (z)ff(z)f (qz (z)f (qz (qz (qz (qz++ + + ii). (qz c)+ c)c)Từ =c) +==gc) = gfg(z)g g(z)g = (z)f (z)g (z)g (z)g g (z)g (qz (qz (qz (qz (qz(qz+ii). ++ ++ (qzc) + c)c) c) Từc)c) ta + = ta tata fcó c)tagcócó có (z)f (z)g có ta có (qz (qz + + c) c) = ii). ta Từ gcó(z)g f (z)f ii). (qzTừ (qz +fc) +(z)f c) = ta có g(qz(z)g + c)(qz = g+(z)g c) tam (qz có + c) t fff (z) f(z) (z) (z) f (z)                            f (z)ff(qz nn n n f(qz n (qz f (qz + f+ ++ (qzc)+ c)c) c)c) +fc)m mm m (z) m m n f (qz + c) f (z) m n f (qz + c) m f (z) n f (qz f (z) + c) f (qz + c)n m m ===1.(2) =1.(2) 1.(2) 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) = 1.(2) g(z) g(z) g(z) g(z) g(z) g(z)g(qz g(qz g(qzg(qz + ++ g(qz+c) + c)c) c)c) +g(z) c) g(qz + c) g(z) g(qz + c) g(z) g(qz g(z) + c) g(qz + c) ff(z) f(z) (z) f (z) f (z) f (z) ff(qz ff(qz (qz f(qz(qz + f++ +c) (qz + c)c)c) c) + c) f (z) f (qz + c) f (z)fn(qz n nn+nf c)(z) 111 1 11 nf (qz + c) f1(qz +nc) Đặt Đặt ĐặtĐặt l(z) l(z) l(z) l(z) Đặt l(z) == == = .. .Khi l(z) . Đặt Khi Khi Khi Khi .đó đó đó đó Khi l(z) l(qz đó l(qz l(qz đól(qz =++ +c) l(qz + c)c)= c) + == . c) = =Khi Đặt= đó l(z) l(qz ..=.Từ .+ Từ . Từ Từ Từ c) đây .đây đây Từ = . và đây đây Khi vàvàvà đây (2) (2) Đặt (2) đóvà(2) tatal(qz ta l(z) (2) nhận tanhận. ta nhận + nhận Từ nhận=nhận c) được được đây Đặt được= được được l.llnKhi l(z) và được (z) (z) l(z) (2)l= (z)l(z) = = đó= ta(z) .=Từ =nhận l(qz =.mKhi +đây được c)đóvà =..l.Lập l(qz Lập.(z) (2) Lập . . Lập Lập + ta =c) Lập nhận =. Từ được đâyl. và (z. Lậ g(z) g(z) g(z) g(z) g(z) g(z) g(qz g(qz g(qz g(qz g(qz + +++ g(qz c)+ c)c)c)c)+ c) g(z) g(qz + c) g(z)g(qz + c) g(z) llmlmm (qz l(qz lm(qz (qz lm + (qz ++ (qz c)+c)c) +c) +c) g(qz c) + lc) m (qz g(qz+ c)+ c) luận luận luận luận tương tương tương luậntươngtương tươngtự tự tựnhưtựnhư như như tự chứng chứng chứng chứng nhưluận chứng chứng minh tương minh minh minh phần minhphần tự phần phần phầnnhư i)i)i)i)ta phần chứng luận i) tata tanhận ta i)nhận nhận nhận tương nhận ta minh được được nhận đượcđượcđược tựphần kết đượckết như kết kết kết quả quả i)quảchứng kết quả quả tacủa của luận nhận của quả của minh ii). ii). ii). tương của được ii). ii).ii). phần tựkếtnhư luận i)quả tachứng tương nhận củatự ii). được minh như chứng kết phần quả i) minh của ta nhận ii). được phần i) ta kết nhận quả đ Bổ Bổ Bổ Bổ Bổ đề đề đềBổ đề 2.8. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên K, q, c ∈ K, |q| = 1, m, n là hai số nguyên đề đề 2.8. 2.8. 2.8. 2.8. ChoCho Cho Cho Cho f ff f làf làBổ là là một là mộtmột đề một hàm hàm 2.8. hàm hàm phân Cho phân phân phân phân f hình hình hìnhBổ hìnhlà hình khác một đề khác khác khác khác 2.8. hàm hằng hằnghằng hằng hằng Cho phân trên trên trên trên f trên KK hìnhK, là ,K q, , q, q, , Bổ một c c q, khác c ∈ ∈ c∈ đềhàmK K ∈ ∈ K , hằng , K |q|K , 2.8.|q| |q| ,, phân|q| |q| = = Bổ = Cho trên 1,=1,= 1,m, hình đềK1, m,m, 1, f , m, n q, m, n là n khác 2.8. làcnlà một là n ∈hai là Chohai hai làK hằng hai hàm,số|q| hai số f số số = nguyên trên nguyên làphân nguyên số 1, nguyên một K m, nguyên , hìnhq, hàm n c là∈ khácK hai phân , |q| hằng sốhình = nguyê1, trên khá m dương dương dương dương dương dươngthỏa thỏa thỏa thỏa thỏa mãn mãnmãn thỏa mãn nn≥≥ nmãn ≥ n ≥ m≥m nm dương m+ ≥m + + +4m + 4thỏa .4..Khi 4+Khi Khi . 4Khimãn .đó đó đó đóđó Khi ffnnffnđó nnn nmmm ≥ (z)f f(z)f (z)f (z)f dươngfm (z)f (z)fmm m +(qz (qz(qz 4(qz thỏa (qz . +Khi ++ (qz + c)+ c)c)c) mãn c) đó nhận +nhận n nhận f≥ nhận c)nhận n (z)f mọi nhậnmọim dương mọi mọi +m giá giá mọi(qz 4giá giá .trị + thỏa trị Khitrị giá aac) trị trị ađó aakhác mãn kháckhác dương trị nhận fakhác khác n n(z)f không không khác không mọi≥ thỏakhông m khôngm không(qz giá thuộc+ thuộc mãn thuộc 4trị thuộc + thuộc .thuộcnK c) KhiKaK ≥ ..K .m khác nhận Kđó.K.+ .fkhông4n .(z)f mọi Khi giá m (qz thuộc đótrịfa+ K n .c) nhận (z)f khác m (qzm khôn nnn nn nmmmmmm n m Chứng Chứng Chứng Chứng Chứng minh. minh. minh.minh. DoDo Do Do Dofff f f khác khác khác khác Chứng khác hằng hằng hằnghằng minh. và Chứng minh. Do f khác hằng và Bổ đề 2.4 ta có f (qz + c) khác hằng. Đặt F = f (z)f (qz + c). Tavà và và Bổ vàBổ Do Bổ Bổ Bổ đềđềf đề đề đề 2.4khác Chứng 2.42.4 2.42.4 ta tata ta hằng có ta có minh. có cóf có f (qz f (qz f(qz f và (qz (qz + Do Bổ+ + c)+c) fc) đề c) khác khác khác 2.4 khácChứng ta hằng. hằng hằng. hằng. cóhằng. hằng. fminh. Đặt và (qz Đặt Đặt Bổ Đặt Đặt + FF Chứng F Do c) đề = F =F = f=f khác 2.4 =f (z)f f khác minh. (z)f f ta(z)f (z)f hằng. (z)f có hằng Do (qz f(qz (qz (qzĐặt(qz f + (qz + và ++c) khác + c) Fc) c) Bổ.+ . c)= Ta . Tac) khác đề Ta . hằng f Ta . 2.4 Ta(z)f hằng. và ta Bổcó(qz Đặtf đề (qz + F 2.4c)+.= taTc thấy thấy thấy thấy rằng rằng rằng thấy rằng rằng mọi mọi rằng mọi mọi cực cực cực mọi cực điểm điểm điểm điểm thấy cực điểm của điểm củacủa của rằngcủa FFcủa Fhoặc Fhoặc mọi hoặc F hoặc cựclà làlà hoặc điểm làcực là cựcthấy cực cựccực là điểm điểm cựccủa rằng điểm điểm điểm Fcủa của của điểm mọi củacủa ffcủa hoặc ,f,cực fhoặc ,fhoặc ,hoặc ,làfhoặc điểm hoặc,cực là hoặc thấy làlà cực là của điểm cựccực cực là rằng điểm điểmF điểm của cực điểm điểmhoặc fcủa mọi của điểm của thấy, của fcực hoặc của là fcủa (qz fcực (qz (qz ffđiểm rằng (qz (qz + làf+ + điểm c) cực (qzmọi+c)c) + ;c) ;của mọic) ;điểm + mọi củacực mọi ;c) ;mọiF;mọi fkhông không của hoặc không điểm mọi , không hoặc fcủa không không(qz là điểm điểmđiểm làcực F+ điểm cực điểm c) điểm hoặc điểm ;điểmmọi của là cựcf ,fđiểm của không (qz hoặc điểm +c của của củacủa FFFcủaFhoặcF hoặc hoặc hoặc hoặc F làlàlàkhông hoặc là không không không không là điểm của không điểm điểm điểm F điểm điểm của hoặc củacủa của ffcủa,flà ,fhoặc , hoặc không hoặc ,hoặcfhoặc , là làlà của hoặc làkhông điểm là không Flà không không không hoặc của khôngđiểm điểmđiểm flà,điểm điểm điểm của không hoặc của củacủacủa ffcủa(qz flà (qz f(qz điểm(qz+ không của f++ (qzc) F+ c) c) của ..c)c) hoặc + điểm Áp .Áp .f.c)Áp Áp ,Ápdụng .dụng hoặc củalà dụng của Áp dụng dụng Fdụng không flà ĐịnhĐịnh(qz Định Định không hoặc Định + điểm lýlýlý Định làc)chính lýchính lý chính điểm .của không chính lýÁp chính fdụng thứ chính thứ củathứ ,điểm thứ hoặchai thứfthứ hai hai(qz Định haivà là củavà hai và+ hai và không c) flývà ,vàchính .hoặc Áp điểmdụng làthứ của không hai Địnhfv( kết kết kếtkếthợp hợp hợphợp kết hợp với với vớivới hợp với Bổ Bổ Bổ với Bổđềđềđề Bổ đề 2.5 2.5 2.5 2.5kết đề2.5 ta ta ta ta 2.5 hợp nhận ta nhận nhận nhậnta nhận với được được nhận được Bổ được đề 2.5 được kếttahợp nhận với được Bổ đề 2.5 ta kếtnhận hợp được với kết Bổ đề hợp2.5 vớitaBổ nhận đề 2.5 được ta nhận được  11 11  111111    nnnnn nmmmm m m n m n1 1 m 1 n m 1 n 1 TTT(r, (r, (r, T(r,(r, ffT f)f)(r,)f==)=f(n−m)T = (n−m)T (n−m)T (n−m)T (n−m)T (r, (r, (r, T (r, (r, f f f)+O(1) )+O(1) ) = (n−m)T (r, f )+O(1) ≤ T (r, f (z)f (qz +c))11≤ )+O(1) f ) )+O(1) = (n−m)T ≤ ≤ ≤≤ T≤T T(r, T (r, T(r, (r, T (r, f (r, f f (r, f(z)f f(z)f f (z)f f)+O(1) (z)f (z)f ) = (qz (qz(qz (n−m)T (qz (qz +c)) ≤ +c))+c))+c)) +c)) T ≤ ≤ (r, ≤(r,N≤ fN N T f (r, N(z)f (r, )+O(1) (r, (r, F (r,Ff 1 11N1 (r, F1)+N F)+N) )+NF(qz F )+N= )+N)+N ≤ (n−m)T +c)) T 1T1 (r,r, r, r, (r, ≤ r, r, f 11 1f )r,=1 (n−m)T N +N (r, +N (z)f +N (r,+N f +N 11+N )+O(1) F r, 1 1 1 1 r, r, (qz )+N r, r, r, +c)) (r, ≤ r, 1 f )+O(1) ≤ T− − − (r, N − − 1 − 1≤ T (r,1 f+c)) +N f (r, (z)f F )+N r, (qz r,(z)− 111  F F F F F F F F F − − F − Fa − a F a − a − F a a F − aF 111   11 1 1 1    111 11 11  1 1  1    1 log log loglog r+O(1) r+O(1) r+O(1) r+O(1) log r+O(1) r+O(1) ≤ ≤≤N ≤NN 11≤(r, N 1(r, (r, (r, 1N (r, F FF1F)+N log )+N )+N F)+N (r, r+O(1) )+N F1)+N 1(r, 1(r, (r, 1 (r, f≤ ff1(qz+c))+N (qz+c))+N (qz+c))+N f(qz+c))+N (r, (qz+c))+N (r,log Nf1(qz+c))+N F )+N 1111r, r+O(1) 1r, 1r, r, (r, r, fr, ≤ +N +N(qz+c))+N +N +N N+N 111+N (r, r,11r, r,Fr, )+N log r,1r+O(1) 1r,(r, f+N +N (qz+c))+N +N +N ≤ log+N +N 1111+NN r,1r,r, 1r, r+O(1) (r,r, 1r,F r,1)+N ≤ r,−log−log N −log 1 (r, 1−log (r,−log +N +N r+O(1) fr+O(1) −log r+O(1) F (qz+c))+N 1r+O(1) 1)+Nr+O(1) r,r, r+O(1) 1≤ ≤≤≤ (r, f≤ 1≤−log r, +N (qz+c))+N r+O(1) +N1 r, 1 r, ≤ ff1fff f ff1(qz f(qzf(qz (qz+ f ++(qzc) + c)c)f c) + c) c) FF fF− −F (qz F −a− a− F a+a−c) af a fF(qz − a+ c) f F−   1111 1    1   1   1  1  1 4T 4T 4T(r, 4T (r, (r,(r, (r, 4Tfff)f))(r, )+ f+ ++)N fN +N )11N +1 r,1r, N r,r, 1 4T r, (r,−f− −)log −log+log − rNrr+ log 1+ log r+O(1); r,+ O(1); rO(1); O(1);+4TO(1); O(1); (r, f− )+ logNr1 +r,O(1); 4T (r, − flog ) +r + N 4T1O(1); (r,r, f ) + N1 −r,log r + O(1); − log r + O(1); FF F− − F−−a− aaa a− a F F −a F −a F −a F −a Suy Suy SuySuy ra rara rara ra Suy Suy ra Suy ra Suy ra Suy ra  11111   1   1   1  1  1 (n (n (n (n− − (n−−m m− m m −m− − − 4)T 4)T 4)T 4)T(r, (n − m − 4)T (r, f ) + log r11≤ (r, (r, (r, (r, f ff ) f )) ) + f (n + + + ) log + − log log log rmr r≤ ≤− r ≤ N ≤N4)T N N r,(r, r,r, 11 1N1 r, r,r,f ) (n + −log − m− −r − −≤ log loglog log 4)T log r N r − log r+1 +rr +(r, O(1). r, + +O(1). O(1). f O(1). ) r + O(1). + (n log − −r ≤ m log − N r 14)T+ (nr, O(1).− (r, mf ) −+ − log 4)T log r (r, ≤ r f )+ N + 1 O(1). r, log r ≤ N 1 − r, log r+O FFFF− F−− −a−aaaa− a F F −a F −a F −a F −a 61(6) 6.2019 4 33333 3 3 3 3
  5. của F hoặc là không điểm của f , hoặc là không điểm của f (qz + c). Áp dụng Định lý chính thứ hai và kết hợp với Bổ đề 2.5 ta nhận được Trường hợp 2. A.B = 1 tức là f n f (qz + c).g n g(qz + c) =  1  1  T (r, f ) = (n−m)T (r, f )+O(1) ≤ T (r, f n (z)f m (qz ln+1 +c)) = 1. ≤ N1 (r, F )+N1 r, +N1 r, −  1 Trường1hợp  3. A =  B tức F là f n f (qz F+ − c) a = g n g(qz + c). 1 Khoa học Tự nhiên log r+O(1) ≤ N1 (r, F )+N1 (r, f (qz+c))+N1 r, +N hn+1 1 r,= 1. +N1 r, −log r+O(1) ≤   f f (qz + c) F −a 1   Chứng minh Định lý 2. m + 4 suy ra4T N1(r,r,f ) + N r, tiến 1ra ∞ − khilog r rtiến + ra ∞. Vậy f n (z)f m (qz + c) nhận giá trị a. O(1); F − a1 Ta dùng các ký hiệu trong Định lý 1. F −a minh các định Suy ra lý chính Áp dụng Bổ đề 3.6 [5] cho A, B ta chỉ cần xét các trường hợ ng minh Định lý 1.  1   1 (n − m − 4)T (r, f ) + log r ≤ N1 r, − log r + Trường O(1). hợp 1. T (r, A) ≤ N2 (r, A) + N2 r, + N2 (r, B) + N = f n f (qz + c) và B = g n g(qz + c). Áp dụng Bổ đề 3.2F[7] − ta a có các trường hợp sau:   A  1      1  1 +11N 1(r, B) + N r, N (r, B) 1 +nN1 mr,nn 1 n m − 2m log r +raO(1). n≤ − f nn(z)f ng hợp 1. T (r, A)nTừ N (r, m TừTừ Từ ≥ ≥≥nm m≥ m 2+++m 444A)+ suysuy suy+ 4rasuy N ra raN2N N r, ra r, 1 11 A 1 Nr, r, r, Từ tiến 2 n tiến tiếnra ≥ ∞m ra tiến ra + ∞ khi∞ 4 ra 2 suy r ∞ khi khi tiến ra khira N B 1 F −faVậy rr tiến tiến r1 1log ∞. r, tiến ra raVậy r∞. ∞. ra+ O(1). ∞. Vậy(z)f ff Ta tiến Vậy ra (qzBf∞ (z)f (z)f có m +(z)fkhi c)(qz (qz r+ nhận tiến (qz + c) c)+nhận giá c)∞.anhận nhận trị Vậy . giá giá trị giá trị aatrị .. a m(qz + c) nhận .   F − FF − a − Faa − a    , A) = N2 r,Chứng n f fChứng (qz minh + c)minh ≤ N (r, địnhf lýn ) +chính N2chính r, f (qz minh + c) các ≤ 2N Đánh giá tương tự như + c)trong ≤ Định  lý 1 ta có Chứng Chứng  minh minh cáccác các định các định 2định lý lý chính chính lý Chứng 3 1 (r,lýf )chính định +N r, f (qz 1 + T r, f (qz + c)Chứng Chứng Chứng+ O(1) Chứng minh minh = minh 2T minhĐịnh (r, Định Định f Định) lýlý + lý 1. 1.T1. (r, f ) + lý 1. Chứng minh Định O(1) = 3T (r, f ) + O(1); N lý 1. 2 (r, A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N 2 r, ≤ 3T (r, f ) + O(1). 1   1 nnn n    1 n nn Đặt  1 + c) và B = g nng(qz   1 + c). Áp dụng Bổ   A  1 đề 3.2 [7]1ta có các trường hợp sau: n A = f nnf(qz r, = N2 r, Đặt Đặt ĐặtĐặt A AA= ==A fff= f(qz fff(qz (qzf+≤+ (qz + c)N c) c)2+và và B vàc)B r, = B và= g=Bg(qzg= g=g(qz g(qz N g+2 g(qz c) r,++ . Áp c) c)+ c). dụng .. dụng ÁpÁp Áp dụng Bổ dụng đềBổ Bổ ≤ 3.2đề đề Bổ 2N [7] N 3.2 13.2 đề ta (r, r,[7] có 3.2 [7] B) các tata [7] ≤ = có trường có 3Tta Ncác các có  (r, r,fcác trường hợp trường )  + trường sau: O(1); hợp hợpNhợp sau: sau: sau: ≤ 3T (r, f ) + O(1). r,≤ A n f f (qz + c) f n  n f f1(qz 1+      1 c)1  2  f1    n 11 1f1 f (qz + c)2 1 Trường NT2+ (r,N A) ≤2B) N (r, A) +N r,N 22r,r, +rrlog N+ 22(r, B)O(1). +Ta B N22có r, có − log r + O(1). + O(1). Trường Trường Trường Trường hợp hợp hợp1.hợp 1.T T 1. (r, T1. (r, (r, A) TA) A)≤≤ (r, N≤A)2N N≤ (r, 22(r, A) (r,N2A) + A) (r,N+ +A) 2 N Nr,+ 22 hợp Nr,r,2+1.r, + (r, N B) + Mặt22(r, (r, + N N B)(r, khác,222+ + B) r, NtaN+ 22có − r, 2log r− − log + − O(1). log + Ta rO(1). O(1). + có Ta có Ta   n nn n    nA nnA A A n   B  B B BA        B    ự ta có N2 (r, (r, A) = N n r, f nf(qz + c) ≤ N (r, f nnn) + N r, f(qz + c) ≤ 2N (r, f) + N r, f( NN222(r, (r, (r, NA) A) 2 A) (r,==A) =   N NN2= 22r,N r,r, f 2fff(qz r,ff f    (qz (qz + f c) (qz + + c) ≤ c)+ N≤≤ c) 22NN ≤ 2f 2(r, (r,N) f + 2 f (r,N )) f+ 2 +22r,)NN + f(qz 2 2 N r, r, 2f +N f (qz(qz r, c) 1 (r, f ≤ (qz ++A) c) c) 2N + ≤ 1  ≤ ≤ N c) (r, (r, 2212N f) 2N≤ f + 112N (r, (r, N) + f 1f(r, r, ))  N f(qz +22+f1 )N r, N ++fr, r, N(qz c) ff (qz (qz r, ≤ + f c) (qz + + c)= c)+ N≤ ≤ 111 (r,≤ c) f ) + N 1 r, f , B) ≤ 3T (r, 2T f2T) 2T(r,+ (r, 2Tf)O(1); ff(r, ))+++ fTT)T+ r,r, Tff(qz r,f(qz (qz r, + f+ (qz +c)c) c)+++ O(1) c) + O(1)O(1) +=O(1) 2T 2T = (r, =(r, 2T 2T f) =f) (r, + (r, 2T T +ff(r,T))(r,r, + +fTf(qz )f) T+ (r, (r, + f≤ +TfO(1) c) (r, )) ++ + Tf(r,O(1) )= O(1) O(1) +3TfO(1) )(r, + = =f)= T3T2T 3T=+ (r, r,(r, (r, 3T f) f f(qz O(1);f(r, )) +++ T (r, c)+ O(1); f O(1); )O(1); f) + O(1) = 3T (r, + O(1) = T (r, f ) + T (r, f ) + O(1) f) + O(1); 1  1 11 1     1 11 1     1 1     1 11 1 1 1  11 1   111   11 1   11   11 1 1  r, ≤ 3T (r, f )N + N222 r,O(1). Nr,2 r,== r, =NN N ≤ N≤ ≤ r,≤ r,2==r, NN222= =r,r,N r, n ≤ ≤≤NN 221 1r,r, ≤≤ ≤= +N 212 1r, ≤ 2N 2T11(r,r,f )≤ ≤+=O≤ B 2= 22r,N r, r,2n nr, 22 N N 22 N r, N= 22 N r,12 r, r, 2N r, 2N2N 11= 2N r, r, NN r,r,==N N= r, N r, nr, AAA A f fff(qz nfff (qzn fc) (qz + +(qz + c) c)+ c) A f n ffnn f n ffnnnf(qz f(qz ff+ +ffc) nn Af(qz c)(qzf + (qz + c) c)+ c)ffnnfn ff ffnnff(qz (qz + +ffc)c)nfff(qznf + (qz (qz + c)c)+ fc) bất đẳng thức trên và Bổ đề 2.5 ta nhận được 3T (r, f) + O(1). 3T3T 3T(r, 3Tf) (r, ff(r, ))+++ fO(1).+ O(1). O(1). )O(1). Tương tự, ta có 1)T (r, f ) ≤ T (r, A) + O(1) ≤ 6T (r, f ) + T (r, Tương g) −tựlog ta rcó+ O(1);  1 Tương Tương Tương Tương tự tự tựta ta tatự cócócó ta có 1)T (r, g) ≤ T (r,N ≤≤ T (r, g)N2− N (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N 1 r, ≤ 2T (r, f ) + O(1). NB) +B) O(1) 6(r, f)Tff(r,(r, ffO(1); ))O(1); + O(1); log B) r≤+3TO(1). 1 222(r, (r, (r, N B) 2 B) (r, ≤≤ ≤3T B) 3T 3T (r,(r, 3T +)) + O(1); + + 2(r,  1 (r, f) + O(1); B ó   1 11 1  Từ các bất đẳng thức trên, ta có r, N  ≤ 3T (r, f) 1) T (r, f ) + T NN (r, 22g) 2 N r,r, r, ≤ ≤≤ 3T 3T 3T ≤ (r, (r, (r, 2≤ T (r, A) + T (r, B) + O(1) ≤3T f) ff+ (r, )) +O(1). + f O(1). ) O(1). + O(1). 22 r, 12 T (r, f ) + T + O(1). (r,(ng)− − 1)T 2 (r, logfr)+≤O(1); 14T (r, f ) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1),  BB B B B 13) T (r, f ) + TừTừ Từ T các các Từ cácg) (r, bất các bất bất+ đẳng bất đẳng đẳng logđẳng thức rthức ≤ trên thức thức trên O(1). trên vàtrênvà và BổBổ Bổ đề và đề Từ 2.5 đề Bổ2.5 các ta 2.5 đề bất nhận ta 2.5 ta nhậnđẳng nhận ta được nhận thứcđược được được trên (n và − Bổ1)T đề (r, 2.5 g) ta  ≤nhận 14T được(r, f ) + 10T  (r, g) − 2 log r + O(1).       (n− (n −− (n1)T 1)T 1)T−(r, (r, 1)T )≤ (r,f)ff(r,)≤ ≤ TT≤ fT )(r, (r, (r, A) TA)A)(r, + O(1) ++A)O(1) +≤O(1) O(1) (n 6≤ ≤T6(r, − 1)T 6≤TTf) 6(r, (r, (r, +TffTf) (r, ))(r, + + ≤ f g)T T )T+ (r,(r, (r, −Tg) A) g) log (r, + − r−+log g) O(1) − log O(1); ≤ rrlog+ 6 +rO(1); T O(1); (r,  + O(1); f) + T (r, g) − log r + O(1); 13 nên ta gặp mâu thuẫn.    Do đó    (n− (n −− (n1)T 1)T 1)T−(r, (r, 1)T (r,g)g) g) ≤≤ (r, ≤ TT≤ Tg)(r, (r, (r, B) TB) B)(r, + O(1) ng hợp 2. A.B = 1 tức là f n f (qz + c).g n g(qz + c) = 1. Theo Bổ đề 2.7i) suy ra f = ++ B)O(1) O(1)+≤O(1) 6(n ≤ ≤T− 6≤1)T 6(r, TTf) 6(r, (r, (r, + TffTg) (r, ))(r, + +≤ f g))TT+ T (r, (r, (r, −Tg) B) g)(r,+ log − r−+ g) O(1) log− log O(1). ≤ rrlog++6rO(1). T +(r, O(1). f)l + T (r, g) − log r + O(1). O(1). với DoDo Do đó, đó, Do đó,có có đó, có có Do đó, có   g              . (n− (n −− (n1) 1)1)−TT T 1) (r, (r, (r, f) T f f(r,) +) ++Tf (r, T )T + (r, (r, g) T g)g)≤ (r, T≤ ≤ g) (r,TT ≤A) (r, (r, (n T + A) A) − (r, T + 1) (r, +A) T TT+ B) (r,(r, (r, + T B)f) B)(r, O(1) ++ B) TO(1) ≤ (r, O(1)+ 12 g)≤ O(1) ≤ T ≤ (r, 12 12≤T f) (r, TT12 + A) (r, (r, TT f + (r, f (r, )) T + g) +f (r, T )T −+B) (r, (r, 2T + g) log g)(r, O(1) r−− g) + 2 2 ≤ − O(1); log log 12 2 rr log+T + (r, r f) O(1); O(1); + + O(1); T (r, 4 g) − 2 log  n   n   ng hợp 3. A = (n B (n− −tức − (n13) 13) 13)−làT13)f(r, TT (r,ff) (r, T(qz ff(r, + )) + T+ + f(r,)Tc) T +(r, (r, g)T =g) g)+glog (r, + g)+ g(qz log log r+ ≤(n r+ rlog − ≤ O(1).≤ c).r13) O(1).≤ O(1). Theo (r, Bổ TO(1). f) +đềT (r, 2.7ii)g) +suy logra r ≤f O(1). = hg với 1. DoDo nDo Do n≥ ≥≥n13 13 13 ≥nên 13tanên nên nên ta tagặp gặp gặptamâu gặp mâu mâu thuẫn. mâuthuẫn. thuẫn. thuẫn.Do n ≥ 13 nên ta gặp mâu thuẫn. ng minh Định lý 2. nA.Bn = 1 tức là f nnf(qz + c).g nng(qz + c) l= 1. Theo ll l dùng các ký hiệuTrường Trường Trường trong Trường hợp hợp hợp2.hợp Định 2.A.B 2. lý A.B 1.A.B 2. = A.B == 1 tức 11=tứctức 1 ftức là là ffTrường làn f(qz nn là fff(qz+ n hợp (qz fc).g +nc).g (qz + +2. nc).g c).g g(qz g(qz +g(qz c)g(qz + = + c) 1c).+Theo = = c)11= .. Bổ 1.đềTheo Theo Theo 2.7i) Bổ Bổ đề Bổ đề suy2.7i) 2.7i) đềra 2.7i)fsuy = suy suy ra ravớiffra= =f =Bổ vớiđề với với2.7i) suy ra g gg g n+1 dụng Bổ đề 3.6 lln+1 n+1 n+1[5]n+1 l==cho = 1.1.=A, 1. 1. B ta chỉ cần xét các ltrường n+1 = 1.hợp sau:  1  n 1 nn n nn  1  nn ờng hợp 1. T (r,n+1 A)Trường Trường Trường ≤ Trường N hợp hợp (r,hợp A) 3. hợp 3.3. + AN AA3. == = B A r, B B = tức tức B tức +là N flà tức n nnTrường f(qz là (r, fflàB)fff(qz +n+fc)N (qz (qz ++= hợp c) c)+ g= r, 3. = c)A g(qz gg=+ = g(qz + g(qz Bg(qz g2c). +tức + Theo c). c). (r, là Bổ + A) fc). Theo Theo + f(qz đề Theo N Bổ + đề 2.7ii) Bổ c) Bổ đềsuy = đềg+ 2.7ii) 2.7ii) g(qz fsuy ra2.7ii) suy =+suyhg ra rac).fvới Theo fra ==f hghg =Bổvới đề với hg với 2.7ii) suy ra n+1 n+1 2 2 2 n+1n+1 = 1. 2 N 1 1 r,  1 hh h= n+1 ==111..= . 1. A h B A ) + N1 r, − 2 log r +minh Chứng Chứng Chứng Chứng minh minh O(1). minhĐịnhĐịnh Định Định lýlý lý 2. 2. 2.lý 2. Chứng minh Định lý 2. B Ta Tadùng Ta dùng Ta dùng dùng cáccáckýcác các ký ký hiệu hiệu kýtrong hiệu hiệu trong trong Định trong Định Định lýĐịnh Ta1. 1.lý lý dùng 1. lý 1. các ký hiệu trong Định lý 1. á tương tự như trong Định lý 1 ta có Áp Áp Ápdụng dụng Áp dụng dụng Bổ  đềđề Bổ Bổ đề Bổ 13.6 3.6 3.6 đề [5][5] chocho 3.6 [5] cho [5] A, cho A, B A,ta B BA, ta chỉ taÁpBchỉ cần chỉ tadụng cầnBổ cần xét chỉ xét các cần xét đềtrường các3.6 các xét các [5]hợp trường trường cho trường A, sau:hợp hợp Bhợp ta sau: sau: chỉsau: cần xét các trường hợp sau:                1   , A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r, A ≤ 3T (r, f ) + O(1). 1 11 1 1 11 1 1    1       11 1  Trường Trường Trường Trường hợp hợphợp 1.T T 1. 1.hợp (r, T1. (r, (r, A) TA)A) ≤≤ (r, N≤ A) 2NN≤ (r, 22(r, A)+N (r, N2A) A) (r,+Trường + 2A) NNr,+ 22 N hợp r, r,2+N 1. r,2+ T(r, +N (r, NB)+N + A) 22(r, (r, N2B)≤ B) (r,N 2 + +2r,(r, 2B)NN+ A)+N 22 N r, +r,22 r, 22N1+ r,(r,22A)+N + +N +N N211(r,(r, N (r, 221 1 A) A) B)+N (r, r, ++A)NN+ 11+22Nr,r, r,1 r, + + + +2 N11(r, A)+N 1 A A A A  B BB B A A AB A A , B) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2r,1  11  ≤ 1 3T (r, f ) + O(1). 1 N N N11(r,NB) (r, B) 1B)(r, + ++ B) N N N + 1 11 r,N r, r, 1 B r, − − − 2 log22− log log r 2+rrlog +rN O(1). + 11(r, O(1). O(1). + O(1).B) + N11 r, − 2 log r + O(1). c, ta có BB B B B    , A) ≤N1 (r, Đánh fĐánh Đánh n Đánh ) +giágiá giá1tương N tương giá tương r, f tương (qztựtự tự+như như nhưtựtrong c) như trong = trongNĐịnh trongĐịnh Định 1 (r, f lýĐánh Định1lý lýta11có giá lý tar,1tương ta có có fta(qz cótự như trong Định lý 1 ta có ) + 1 N  1  11 1   + c)  1 ) + T r, f (qz + N c) N222(r, + (r, (r, NA) A) 2 (r,≤≤ O(1) A) ≤A)3T= 3T 3T ≤ (r,T(r, (r, 3T (r,ff(r, f) +f)) )+ f+O(1); O(1); + T +(r, )O(1); NO(1); 2N fNr,)22+N N r,O(1) r, (r, 222≤r,3T A) ≤≤(r,3T = ≤ 2T 3T3T ≤ (r, f)(r, 3T(r, f) +ffO(1). )) + (r, + +f O(1). O(1); )O(1); O(1). + O(1). N 22 r, ≤ 3T (r, f) + O(1).      A  1   AA A  A  r, 1 ≤ N1 r, N 1 + N r,3T 1 ≤ 2T (r, fN )222+ 11  1  O(1). 1 nN (r, (r,N (r, B)B)B) 1≤ (r, ≤≤ B) 3T 3T ≤ (r, (r, (r, 3T f) f f(r, +)) +O(1); +f O(1); ) O(1); + N O(1); NN r, N r, r, (r, ≤ r, B) 3T ≤ ≤ (r, ≤3T 3T≤3T f) (r, (r,(r,ffO(1). 3T + f) (r, ) ) ++ + f O(1); O(1). )O(1). + O(1). N22 r, ≤ 3T (r, f) + O(1). A f 222 2 f (qz + c) 2 22 B B B B B ự, ta có Mặt Mặt MặtMặt khác, khác, khác, khác,ta ta tacócócó Mặt khác, ta có ta có 1 n nn n       nn          NN , B) ≤ 2T (r, f ) + 11O(1); (r, (r, (r, N A)A)A) (r,≤ ≤ ≤A)N NN ≤ (r, (r, (r, N f ff)(r,+) ) f +N + N ) N r, + f(qz N r, r, ff (qz (qz r, + N fc) 1+ (r, (qz + = c) A) c) +N = ≤ c) = (r, NN f) = 1 (r, (r, (r, N + ffN f (r,))) ++ r, f N ) N f(qz+1 r, N r, r,f(qz +ff (qz c)(qz r, f+ + (qz + c)c) c) + = c)N 1 (r, f) + N 1 r, f(qz + c) 1 1 N1 r,  1 11 1 ≤ 2T1(r,11f ) 1+ O(1). 1 1  111 1 1  111 1 1 1 ≤ ≤ ≤ TT≤ (r, (r, (r,Tf) ff(r, ))++ +fTT)T+ r,r, r,TffB(qz f(qz (qz r,+ f+ (qz + c) c) c)+ + O(1) +c) + O(1) O(1)+= ≤O(1) TT== (r, (r,TTf) f) =(r, (r,+ T +ff(r,T)T)(r, +r, +fT f(qz )f) T +(r, (r, f+ +TfO(1) ))c) (r, ++ f O(1) )=++2T O(1) O(1)O(1) (r, ==f) =2T 2T=T+(r,(r, (r, 2T fff) O(1); (r, )) ++f TO(1);(r,O(1); )O(1); + f) + O(1) = 2T (r, f) + O(1); bất đẳng thức trên, ta  có       111 1    1 11 1   1 11 1 1   1 1 1)T (r, f ) ≤ 14T (r, NN N r,r, r, 111 f )1+ 10T (r,r, ≤ ≤ ≤ N N N ≤ r, 1 11g) − N r, r, r,+ 1 2 log 1r + N ++ NN r, + N r, 11 O(1),r, N 1 1 r, 1 r, ≤ ≤2T N ≤ ≤(r, 11 2T 2Tr, ≤ f) (r, (r, +2T O(1). ff (r, ) + ) ++ N f O(1). )O(1). 1 1 + r, O(1). ≤ 2T (r, f) + O(1). AAA A f nffnn f n f(qzff(qz (qzfc)+ + A c) (qz + c)+ c) f nn f(qz + c) 1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1). Tương tự, ta có Tương Tương Tương Tương tự, tự, tự,ta ta tự, tacócócóta có  1  1   11  1  NN111(r, (r, (r, NB) B) (r,≤≤ B) ≤2T B) 2T 2T ≤ (r,(r,(r, 2T f)ff(r, +)) + O(1); +f O(1); )O(1); +NO(1); 1N Nr,11 N N r, (r, r,111 ≤r,2T≤ B) ≤(r,2T≤ 2T≤2T f)(r, (r,(r, 2T +ffO(1).)5) + f) (r, + + O(1); f O(1). )O(1). + O(1). N 11 r, ≤ 2T (r, f) + O(1). 1 61(6) 6.2019 B B B B B TừTừ Từ các các Từ cácbất các bất bấtđẳng bất đẳng đẳng đẳng thức thức thức trên, thức trên, trên, tatrên, ta có ta có cótaTừ có các bất đẳng thức trên, ta có (n− (n −− (n1)T 1)T 1)T−(r, (r, 1)T )≤ (r,f)ff(r,)≤ ≤ f14T)14T 14T≤(r,14T (r, (r, f) f+ )4)10T f(r, ++ f 10T )10T +(n (r, g) (r,− 10T (r, −g)g)1)T 2− (r, −g) log (r, 22r−f) log log +2O(1), ≤ rrlog +14T + (r,O(1), rO(1), O(1), + f) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1),
  6. Đánh giá tương tự như trong Định  lý 1 ta có  1 1  ≤ 3T (r, f ) + O(1). N 2 (r, A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N 2 r, N2 (r, A) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N2 r, A ≤ 3T (r, f ) + O(1).   A 11  N22 (r, B) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N22 r, B ≤ N (r, B) ≤ 3T (r, f ) + O(1); N r, ≤ 3T 3T (r, (r, ff )) + + O(1). O(1). Khoa học Tự nhiên B Mặt khác, ta Mặt khác, ta có có     n N 1 (r, A) ≤ N 1 (r, f n ) + N1 r, f (qz + c) = N1 (r, f ) + N1 r, f (qz + c) N1 (r, A) ≤N1 (r, f ) +N1 r, f (qz + c) = N1 (r, f ) + N1 r, f (qz + c) ≤ ≤ T (r, T (r,ff )) + + T T r,r, ff (qz (qz + + c)c) + + O(1) O(1) = =T T (r, (r, ff )) + + T T (r, (r, ff )) + + O(1) O(1) = = 2T 2T (r, (r, ff )) + + O(1); O(1);  1    1    1   1 ≤ N1 r, 1 1 N1 r, N 1 r, A ≤ N1 r, f n + +N N11 r,r, f (qz + c) ≤ ≤ 2T2T (r, (r, ff )) + + O(1). O(1). A fn f (qz + c) Tương Tương tự, tự, tata có có   1   1 N1 (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N1 r, B ≤ N 1 (r, B) ≤ 2T (r, f ) + O(1); N 1 r, ≤ 2T 2T (r, (r, ff )) + + O(1). O(1). Từ các bất đẳng thức trên, ta có B Từ các bất đẳng thức trên, ta có (n − (n − 1)T (r, ff )) ≤ 1)T (r, ≤ 14T 14T (r,(r, ff )) ++ 10T 10T (r, g) − (r, g) − 22 log log rr ++ O(1), O(1), (n − 1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) (n − 1)T (r, g) ≤ 14T (r, f ) + 10T (r, g) − 2 log r + O(1). − 2 log r + O(1). Do Do đó đó   (n − 25) T (r, f ) + T (r, g) + 4 log r ≤ O(1). Mà n ≥ 25 nên trường hợp này không xảy ra. 44 n n l Trường hợp 2. A.B = 1 tức là f f (qz + c).g g(qz + c) = 1. Theo Bổ đề 2.7i) suy ra f = với g ln+1 = 1. Trường hợp 3. A = B tức là f n f (qz +c) = g n g(qz +c). Theo Bổ đề 2.7ii) suy ra f = hg với hn+1 = 1. TÀI TÀI LIỆU LIỆU THAM THAMKHẢO KHẢO [1] [1]J. J. RittRitt (1922), “Prime and (1922), composite "Prime compositeTrans. andpolynomials”, Amer. Math. Soc., polynomials", 23(1), pp.51-66. Trans. Amer. Math. Soc., 23(1), pp.51-66. [2] W.K. Hayman (1967), Research problems in Function Theory, The Athlone [2] W.K. Hayman (1967), Research problems in Function Theory, The Athlone Press University of London, London. Press University of London, [3] C.C. London. Yang, X.H. Hua (1997), “Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 22, pp.395-406. [3] C.C. Yang, X.H. Hua (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann. [4] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), A version of the Hayman conjecture for p-adic several variables difference polynomials, Interactions Acad. real between Sci.andFenn. complex Math., analysis,22, Sci. pp.395-406. Technics Publ. House, Hanoi, pp.152-161. [4] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa (2012), "A version of the Hayman conjecture for p-adic several vari- [5] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa, and Ha Huy Khoai (2017), “Value sharing problems for differential and difference polynomials of ables difference meromorphic functionspolynomials", Interractions in a non-Archimedean between field”, Adic Numbers, real andAnalysis Ultrametric complex analysis, Sci. and Applications, Technics Publ.House, 9(1), pp.1-14. Hanoi, pp.152-161. [6] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), “Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials”, [5] Vu Hoai An,Ukranian PhamMath. Ngoc J., 64(2), Hoa,pp.147-164. and Ha Huy Khoai (2017), "Value sharing problems for differential and[7]difference polynomials of meromorphic Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), functions in a non-Archimedean “Value sharing problem and Uniquenessfield", p-Adic for p-adic Numbers, meromorphic Ul- functions”, Ann. Univ. Sci.Analysis trametric Budapest., Sect. andComp., 38, pp.71-92. Applications, 9(1), pp.1–14. [6] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), "Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math. J., 64(2), pp.147-164. [7] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Ann. Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp., 38, pp.71-92. 61(6) 6.2019 6
  7. Khoa học Tự nhiên Một số vấn đề về giao của các mặt cong áp dụng trong vẽ kỹ thuật Nguyễn Thu Hương* Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Ngày nhận bài 22/4/2019; ngày chuyển phản biện 25/4/2019; ngày nhận phản biện 21/5/2019; ngày chấp nhận đăng 31/5/2019 Tóm tắt: Vẽ giao tuyến của hai mặt cong là một vấn đề quan trọng cần giải quyết trong vẽ kỹ thuật. Có hai dạng bài toán: trường hợp đặc biệt, khi một trong hai mặt cong là trụ chiếu và trường hợp tổng quát khi hai mặt cong là bất kỳ. Về nguyên tắc, cần tìm các hình chiếu của một số điểm cần thiết, sau đó nối giao tuyến theo dạng đã xác định. Việc nối giao tuyến theo thứ tự nào là bài toán khó. Trong nghiên cứu này, tác giả đề xuất quy tắc cách nối giao tuyến của lớp bài toán giao của trụ chiếu với một số mặt cong. Ngoài ra, bài báo còn chỉ ra cách vận dụng bài toán lý thuyết giao hai mặt cong và quy tắc xét thấy - khuất vào thực tế vẽ hình xuyên đơn. Từ khóa: hình xuyên đơn, nối giao tuyến, xét thấy - khuất. Chỉ số phân loại: 1.1 Giới thiệu Some issues on the intersection Giao tuyến của các mặt cong là vấn đề hết sức quan of curved surfaces applied trọng, nó là cơ sở để vẽ hình biểu diễn của các vật thể. Trong các sách hình học họa hình [1-6] chỉ đưa ra cách xác định in technical drawing các điểm của giao tuyến và một vài điều cần lưu ý khi vẽ các Thu Huong Nguyen* hình chiếu của giao tuyến mà không trình bày nguyên tắc Hanoi University of Science and Technology nối giao tuyến. Do đó, khi nối giao tuyến, thường dùng trực quan và kinh nghiệm, khiến việc nối giao tuyến gặp khó Received 22 April 2019; accepted 31 May 2019 khăn và dễ mắc sai lầm. Bài báo này dựa trên cơ sở suy luận logic và các định lý về giao tuyến để phát biểu thành quy tắc nối giao tuyến. Giới hạn nghiên cứu của quy tắc này là: chỉ Abstract: áp dụng cho các trường hợp giao của một mặt trụ chiếu với Drawing the intersection of two curved faces is an mặt nón, mặt cầu và mặt trụ chiếu khác. important issue in technical drawing. There are two Một vấn đề nữa mà chúng tôi muốn đề cập là áp dụng types of problem: a special case when one of the two bài toán giao hai mặt cong vào thực tế vẽ hình xuyên đơn. curved surfaces is a cylinder and a general case with any Hiện tại, chưa có tài liệu nào đề cập đến đề vấn đề này. Bài two curved surfaces. In principle, it is necessary to find báo dựa vào suy luận logic và các phép toán Boolen để đưa the projections of some necessary points, then connect ra các quy tắc liên hệ giữa lý thuyết giao hai mặt cong và bài the intersection line according to the defined form. The toán vẽ hình xuyên đơn. connection of the line in any order is a difficult problem. The article presents the rule of how to connect the line of Quy tắc nối giao tuyến the problem of a cylinder intersecting with a number of curved surfaces. In addition, the article also shows how Phát biểu quy tắc to apply the theoretical problem of assigning two curved Bài toán đặt ra là vẽ giao tuyến của hai mặt cong, trong surfaces and the observed - hidden rule in the practice đó ít nhất một mặt cong là mặt trụ chiếu đứng hoặc chiếu of drawing a single-cross shape. bằng. Ta gọi mặt trụ chiếu là mặt cong thứ nhất, mặt cong Keywords: line connection, observed - hidden, single- kia là mặt cong thứ hai. cross shape. Một đường sinh của mặt cong thứ nhất có thể không cắt Classification number: 1.1 mặt cong thứ hai, hoặc tiếp xúc với mặt cong thứ hai, hoặc cắt mặt cong thứ hai tại 2 điểm. Nếu 1 đường sinh của mặt cong thứ nhất cắt mặt cong thứ hai tại 2 điểm, ta thêm vào ∗ Email: huong.nguyenthu@hust.edu.vn 61(6) 6.2019 7
  8. Khoa học Tự nhiên tên giao điểm thứ hai dấu nháy “’”. Ví dụ, giao điểm thứ Trên hình 2, hình chiếu đứng của giao tuyến giữa mặt trụ nhất là A thì giao điểm thứ hai là A’ và phải đặt theo cùng và mặt nón là đoạn cung tròn có bán kính bằng bán kính trụ, một quy luật về thứ tự (trên - dưới, trái - phải). đi từ 11 đến 51 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Theo nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần lượt sẽ là Quy tắc nối hình chiếu của giao tuyến được phát biểu 1→2→3→4. Đến đây, gặp điểm 4 nằm trên đường bao hình như sau: dựa vào hình chiếu đã biết của giao tuyến, nối một chiếu đứng của mặt nón, theo hướng ngược chiều kim đồng cách lần lượt, không bỏ qua điểm nào, theo 1 chiều tùy ý. hồ vẫn còn điểm để nối, vì vậy ta đi tiếp nhưng sẽ đổi dấu Khi giao tuyến gặp 1 đường bao của mặt cong thứ hai, nếu (nối với điểm có dấu nháy): 4→5’→6. Đến đây, theo hướng theo chiều đã chọn mà vẫn có thể đi tiếp thì vẫn tiếp tục nối, ngược chiều kim đồng hồ không còn điểm để nối, vì vậy ta nếu theo chiều đã chọn không thể đi tiếp vì đã hết điểm thì quay về nhưng sẽ đổi dấu: 6→5’→4. Theo nguyên tắc trên, quay lại. Trong cả hai trường hợp đi tiếp hay quay lại đều tại đây ta sẽ đi tiếp, nhưng đổi dấu: 4→3→2→1. Giao tuyến phải đổi dấu điểm. Khi quay lại, nếu gặp điểm nằm trên đã khép kín và không còn điểm nào chưa được nối nên quá đường bao của mặt cong thứ hai thì giao tuyến vẫn phải nối trình nối giao tuyến hoàn tất. với điểm đó. Khi giao tuyến đã khép kín mà vẫn còn điểm chưa được nối thì phải khởi tạo một chu trình nối thứ hai, bắt đầu từ 1 điểm bất kỳ chưa được nối và vẫn theo quy tắc trên. Các ví dụ minh họa Trên hình 1, hình chiếu đứng của giao tuyến giữa mặt trụ và mặt cầu là đoạn cung tròn có bán kính bằng bán kính trụ, đi từ 11 đến 61 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Theo nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần lượt sẽ là 1→2 →3→4→5→6. Đến đây, gặp điểm 6 nằm trên đường bao hình chiếu đứng của mặt cầu, theo hướng ngược chiều kim đồng hồ không còn điểm để nối, vì vậy ta quay về nhưng sẽ đổi dấu (nối với điểm có dấu nháy): 6→5’ →4’→3’→2’→1. Giao tuyến đã khép kín và không a) Hình a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo còn điểm nào chưa được nối nên quá trình nối giao tuyến Hình 2. Minh họa 2 về nguyên tắc nối giao tuyến. Hình 2. Minh a) họaHình2 về nguyên chiếu đứng vàtắcbằng nối giao tuyến. b) Hình chiếu trục đo hoàn tất. Hình Hình 3 mô tả việc áp dụng nguyên tắc nối giaotrình tuyến trình g sẽ đổi dấu (nối với điểm Lưu có khidấu nóinháy): 65’ 4’3’2’1. Giao tuyến Hìnhđã3 2.mô tả việc Minh họa 2ápvềdụng nguyên nguyên tắc nốitắc nốituyến. giao giao tuyến bày ở trên. Thứ tự nối nhưng sẽ đổi dấu (nối vớiý,điểm có rằng: dấu nối65’ nháy): lần lượt 1→2→3→4→5→6 4’3’2’1. Giao tuyến bày đã ở trên. Thứ tự nối như sau: 1→2→3→4→5→6’→1. kín và không còn điểm nào chưa được nối nên quá trình nối giao tuyến hoàn tất. Hình 3 mô tả việc áp dụng nguyên tắc nối giao tuyến trình bày ở trên.mà như sau: 12 3456’1. Đến đây giao tuyến đã khép kín vẫn còn có khép kín và không→5’→4’→3’→2’→1 còn điểm nào chưa được là nối trong nối nên quákhông gian, trình nối cần giao hiểuhoàn tuyến là tất.Đến đây giao tuyến đã khép kín mà vẫn còn có điểm chưa Thứ tự nối điểm chưa như được 12 3456’1. Đến đây giao tuyến đã khép kín mà vẫn nguyên nối nên phải khởi vào một chu trình nối mới và vẫn theo còn có tắc Lưu ý, khi nói rằng: nối lần lượt đứng 1234565’4’3’2’1 sẽ nối lần lượt 11→21→31→41→5là nốisau:đượcđượcnốinối nênnên phải khởi tạo một chu trìnhnối nốimới mới và vẫn Lưu ý, khi trên hình nói rằng: chiếu nối lần lượt 1234565’4’3’2’1 1 → trên:12’2 là nối 3’4’5612’. Việc nối giao tuyến hoàn tất. điểm chưa phải khởi vào một chu trình và vẫn theo nguyên tắc không gian, 6cần hiểu →5’ →4’là →3’trên →2’hình chiếu đứng sẽchiếunối lần lượt 1lần 1 theo nguyên tắc trên: 2’→3’→4’→5→6→1→2’. Việc nối trong không gian, 1 cần 1 hiểu 1 là 1 trên 1→1 hình1, trên chiếuhình đứng sẽ bằngnối sẽlầnnối lượttrên:112’ 2 3’4’5612’. 1 Việc nối giao tuyến hoàn tất. 4151615’ 1 4’ lượt 1 →213’→3 12’ →4 11→51, trên →6 hình →5’2chiếu bằng →2’ →4’chiếu →3’ sẽ nối →1lần. lượt giao tuyến hoàn tất. 3141516 15’21 4’ 2 13’ 2 12’2 11 2 1, 2trên hình 2 2bằng 2sẽ nối2 lần lượt 22 324252625’2 4’23’22’212. 1222 324252625’2 4’23’22’212. a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo a) Hình chiếu đứng và bằng b) Hình chiếu trục đo a) Hìnha)chiếu Hìnhđứng và đứng chiếu bằng và bằngb) Hình chiếu trục chiếu b) Hình đo trục đo 1. Minh họa 1 về nối giao tuyến. Hình 1. Minh họa 1 về nối giao tuyến. Trên hình 2, hìnhHìnhchiếu1.đứng Minhcủa họagiao 1 vềtuyến nối giao giữatuyến. mặt trụ và mặt nón là đoạn Hình Hình cung 3. a) Minh 3. Hình Minh họachiếuhọa 3 về 3 về nguyên nguyên đứng vàtắcbằngtắc nối giao nối giao tuyến. tuyến. b) Hình chiếu trục đo Trên hình 2, hình chiếu đứng của giao tuyến giữa mặt trụ và mặt nón là đoạn cung có bán kính bằng bán kính trụ, đi từ 11 đến 51 theo hướng ngược chiều kim đồng Áp dụng vẽ giao tuyến hai mặt cong vào thực tế bài toán xuyên đơn tròn có bán kính bằng bán kính trụ, đi từ 11 đến 51 theo hướng ngược Hình chiều 3. kim đồng Minh họa 3 về nguyên tắc nối giao tuyến. heo nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần lượt sẽ là 12 34. Đến hồ. Theo nguyên tắc trên, đường giao tuyến được nối lần lượt sẽ là 12 34.Nguyên Đến tắc chung gặp điểm 4 nằm trên đường bao hình chiếu đứng của mặt nón, theo hướng đây, gặp điểm 4 nằm trên đường bao hình chiếu đứng của mặt nón, theo Áphướng dụng ngượcvẽ giao tuyến hai mặt cong vào thực tế bài toán xuyên đơn ngược kim đồng hồ vẫn còn điểm để nối, vì vậy ta đi tiếp nhưng sẽ đổi dấu (nối với chiều kim đồng hồ vẫn còn điểm để nối, vì vậy 6.2019 ta đi tiếp nhưng sẽ đổi dấu (nối với Nguyên tắc chung có dấu nháy): 45’6. Đến đây, theo hướng 61(6)ngược chiều kim đồng hồ không 8 điểm có dấu nháy): 45’6. Đến đây, theo hướng ngược chiều kim đồng hồ không iểm để nối, vì vậy ta quay về nhưng sẽ đổi dấu: 65’4. Theo nguyên tắc trên, còn điểm để nối, vì vậy ta quay về nhưng sẽ đổi dấu: 65’4. Theo nguyên tắc trên, y ta sẽ đi tiếp, nhưng đổi dấu: 4321. Giao tuyến đã khép kín và không còn tại đây ta sẽ đi tiếp, nhưng đổi dấu: 4321. Giao tuyến đã khép kín và không còn
  9. Khoa học Tự nhiên Áp dụng vẽ giao tuyến hai mặt cong vào thực tế bài toán xuyên đơn Nguyên tắc chung Các nội dung chính khi vẽ hình xuyên đơn là: giao của các mặt; vẽ các đường bao, các cạnh; xét thấy - khuất của các đường bao và các cạnh. Bài báo đề cập các vấn đề: quy trình vẽ; xét thấy - khuất của giao tuyến; vẽ đường bao hình chiếu của các mặt cong. Giới hạn nghiên cứu là khối trụ, nón, hoặc cầu cắt bởi một mặt trụ chiếu. Quy trình đưa ra để giải bài toán xuyên đơn như sau: giải bài toán giao của hai mặt cong, xét thấy - khuất giao của hai mặt cong → Xác định bài toán xuyên đơn: xuyên trừ (tạo lỗ), xuyên cộng hay lấy phần giao → Xét lại thấy - khuất giao tuyến nếu bài toán xuyên đơn là xuyên trừ → Xét thêm, bớt đường bao hình chiếu của mặt cong. Xét thấy - khuất của giao 2 mặt cong được thực hiện theo nguyên tắc: một điểm trên giao tuyến là điểm thấy chỉ khi nó là điểm thấy xét theo cả hai mặt cong. Xét lại thấy - khuất Hình 4. Vẽ giao tuyến của hai mặt cong. khi áp dụng vào vẽ hình xuyên trong trườngHìnhhợp4. Vẽ giao xuyênHình trừtuyến 4. Vẽcủa giaohai tuyến mặt của cong. hai mặt cong. theo nguyên tắc: trước hết, trên hình chiếu cần xét,Hìnhbỏ4.điVẽ giao tuyến của hai mặt cong. các đoạn đường bao hình chiếu của mặt cong đã bị cắt mất. Nếu sau khi đã bỏ đi các đoạn đường bao hình chiếu của mặt cong mà có 1 đoạn giao tuyến khuất của 2 mặt cong trở thành đường ngoài cùng của hình chiếu thì đổi thành thấy. Việc thêm, bớt 1 đoạn đường bao hình chiếu của mặt cong phụ thuộc bài toán hình xuyên đó là cộng, trừ hay lấy phần chung. Trường hợp xuyên trừ: thêm vào các đường bao hình chiếu của mặt cong là lỗ, bỏ đi phần đường bao hình chiếu của mặt cong tương ứng là lỗ nằm ngoài mặt cong kia. Trường hợp xuyên cộng: thêm vào các đường bao hình chiếu của các mặt cong phần nằm ngoài mặt cong kia; bỏ đi phần đường bao hình chiếu của mặt cong này nằm trong mặt cong kia. Trường hợp lấy phần giao của hai khối: thêm vào các phần đường bao hình chiếu của mặt cong này nằm trong mặt Hình 5. Bài Hình toán hình 5. Bàixuyên toán cộng. hình xuyên cộng. cong kia; bỏ đi phần đường bao hình chiếu của mặt cong này nằm ngoài mặt cong kia. Hình 6 minhHình họa kết 6 minh quả của họa bài kết toán quả của xuyên bàiđơn toántrừ. xuyên Trênđơn hình trừ.chiếu Trêntahình đã bỏ chiếu đi ta đã một phầnHình đường5. Bài một phầntoán bao Hình hình hình 5. Bài đường chiếu baoxuyên toán của hình cộng. hình mặt xuyên chiếu cầu củacộng. phần mặt đường cầu bao phầnhình đường chiếu baocủa hình mặtchiếu trụ và của mặt Các ví dụ minh họa kết quả là đoạn kết Hìnhgiao quả làtuyến 6 minh đoạn22giao họa 4kết tuyến 252quả 4’ 23’ của222bài 22’ 4trở 25toán 24’ thành 23’ 22’ đường xuyên 2 trở đơnthành ngoài đường cùnghình trừ. Trên của ngoài hình cùng chiếu chiếu củabỏhình ta đã đi Hình 4 mô tả một bài toán vẽ giao tuyến giữa mặt một trụ đường Hình phần 6 minh họa kết quả của bài toán xuyên đơn trừ. bao hình chiếu của mặt cầu phần đường bao hình chiếu của mặt trụ và và mặt cầu. Hình 5 minh họa kết quả của bài toán Trên hình chiếu ta đã bỏ đi một phần đường bao hình chiếu kết xuyên quả là đoạn giao tuyến 2242524’23’22’2 trở thành đường ngoài cùng của hình chiếu đơn trong trường hợp xuyên cộng. So sánh với hình 4, trên của mặt cầu phần đường bao hình chiếu của mặt trụ và kết hình chiếu đứng ta đã bỏ đi phần đường bao hình chiếu của quả là đoạn giao tuyến 2242524’23’22’2 trở thành đường ngoài mặt cầu nằm trong mặt trụ; trên hình chiếu bằng, ta đã bỏ cùng của hình chiếu bằng, theo nguyên tắc trên, nó được đổi đi phần đường bao hình chiếu của mặt trụ nằm trong mặt thành nét thấy. Đoạn đường bao hính chiếu bằng của mặt cầu và phần đường bao hình chiếu của mặt cầu nằm trong trụ, phần nằm trong mặt cầu 222’2 được giữ lại với vai trò mặt trụ. đường bao của lỗ trụ. 61(6) 6.2019 9
  10. Khoa , theo nguyên tắchọc Tự nó trên, nhiên được đổi thành nét thấy. Đoạn đường bao hính chiếu Hình 6. Bài toán hình xuyên trừ. của mặt trụ, phần nằm trong mặt cầu 222’2 được giữ lại với vai trò đường bao của ụ. Hình 7 là kết quả của bài toán hình xuyên lấy phần chung của hai khối cầ áp dụng các nguyên tắc đã trình bày ở trên. Hình 7. Bài toán hình Hình xuyên 7. Bài lấyxuyên toán hình phần lấygiao. phần giao. h 6. Bài toánHình hình6. xuyên Bài toán trừ. hình xuyên trừ. Hình 7 là kết quả của7 bài Hình toán là kết quảhình của xuyên bài toánlấy phần hình chung xuyên của haiTÀIkhối lấy phần LIỆU cầu THAMvà trụ KHẢO ụng các nguyên tắc đã trình bày ở trên. [1] R. Gary Bertoline, N. Eric Wiebe (2000), Technical Graphics chung của hai khối cầu và trụ áp dụng các nguyên tắc đã communication. trình bày ở trên. [2] Nguyễn Đình Điện (2015), Hình học họa hình, Nhà xuất bản Giáo dục. Kết luận [3] André Chevalier (2003), Guide du dessinateur industriel, Hatchette. Bài báo này đã giải quyết các vấn đề: đưa ra quy tắc nối [4] P. Durot (1993), Dessin technique et construction mécanique hình chiếu của giao tuyến, đồng thời đề xuất quy trình để normalisés, Dunod. áp dụng bài toán giao của hai mặt cong vào thực tế vẽ hình [5] Thomas French, Charles Vierck, Robert Foster (1993), xuyên. Bài báo giới hạn nghiên cứu ở lớp bài toán các mặt Engineering Drawing and Graphic Technology, McGraw-Hill Science. cong đơn giản, nhưng thông dụng nên chúng được áp dụng [6] C.J. Walsh (2014), Engineering Drawing and Descriptive nhiều trong thực tế. Geometry, Harvard University Press. h 7. Bài toán hình xuyên lấy phần giao. 61(6) 6.2019 10
  11. Khoa học Tự nhiên Nghiên cứu điều chế vật liệu bentonite lai vô cơ/hữu cơ và ứng dụng xử lý phenol đỏ, Mn(II) trong nước Bùi Văn Thắng*, Trần Việt Dũng, Trần Thị Xuân Mai Khoa Sư phạm Lý - Hóa - Sinh, Trường Đại học Đồng Tháp Ngày nhận bài 16/10/2018; ngày chuyển phản biện 19/10/2018; ngày nhận phản biện 19/11/2018; ngày chấp nhận đăng 23/11/2018 Tóm tắt: Trong bài báo này, nhóm tác giả đã nghiên cứu phát triển vật liệu hấp phụ mới trên nền bentonite có khả năng loại bỏ đồng thời các chất hữu cơ và cation kim loại trong nước. Bentonite lai vô cơ/hữu cơ được điều chế bằng cách trao đổi cation vô cơ hydrate lớp xen giữa của sét bentonite bằng tác nhân cetyltrimethylammonium bromide (CTAB) và polyoxocation nhôm. Cấu trúc và đặc trưng tính chất của vật liệu bentonite và bentonite biến tính được xác định bằng phổ XRD, FTIR, BET, TG-DTG. Kết quả cho thấy, CTAB và polyoxocation nhôm đã chèn với lớp giữa của bentonite. Kết quả đánh giá khả năng xử lý của vật liệu CTAB/Al-Bentonite bước đầu cho thấy chúng có khả năng xử lý đồng thời phenol đỏ và Mn(II) trong nước. Từ khóa: bentonite, CTAB/Al-bentonite, Mn(II), phenol đỏ. Chỉ số phân loại: 1.4 Đặt vấn đề Với khả năng đó, bentonite biến tính đồng thời cation hoạt động bề mặt và polyoxocation vô cơ có thể loại bỏ đồng thời Ngày nay, sự phát triển vượt bậc của khoa học và công các chất hữu cơ và cation kim loại hoặc anion vô cơ trong nước. nghệ đã thúc đẩy các ngành công nghiệp và nông nghiệp phát Trong nghiên cứu này, bentonite biến tính bởi tác nhân vô cơ/ triển mạnh. Bên cạnh những thành quả đạt được, xã hội cũng đang đối mặt với thách thức lớn là vấn đề ô nhiễm môi trường hữu cơ được điều chế bằng cách trao đổi cation vô cơ hydrate do các ngành gây ra, đặc biệt là chất thải từ các nhà máy lọc giữa lớp sét bentonite bằng cả CTAB và polyoxocation nhôm. dầu, dược phẩm, chất dẻo, sơn, mỹ phẩm, dệt nhuộm, thuốc Vật liệu biến tính được đánh giá khả năng xử lý phenol đỏ và bảo vệ thực vật... Hiện nay, nguồn nước bị ô nhiễm bởi các Mn(II) trong nước. chất hữu cơ và các kim loại nặng đang là vấn đề cấp bách Nội dung và phương pháp nghiên cứu cần được giải quyết [1-3]. Trong các phương pháp xử lý nước thải chứa chất hữu cơ và kim loại thì hấp phụ được xem là Nguyên liệu phương pháp đầy hứa hẹn và đang được nhiều nhà khoa học Trong nghiên cứu này, nguồn bentonite được sử dụng là quan tâm nghiên cứu [2-6]. Trong số các vật liệu hấp phụ hiệu quả, bền hóa lý, giá thành rẻ, hàm lượng phong phú trong tự bentonite Di Linh (Lâm Đồng) đã qua tinh chế. Sau khi làm nhiên thì khoáng bentonite được xem là loại vật liệu thiết thực, sạch, bentonite đạt được một số tiêu chí sau: hàm lượng có khả năng xử lý tốt chất ô nhiễm và đã được nghiên cứu montmorillonite (MMT) trong bentonite khoảng 40-50%, kích ứng dụng rộng rãi trong phục hồi môi trường ô nhiễm [1, 7-9]. thước hạt nhỏ hơn 10 μm, dung lượng trao đổi cation là 57 Do sự thay thế đồng hình nguyên tử trong lớp bentonite bằng mlđlg/100 gam bentonite khô. Thành phần hóa học (phần trăm các cation có hóa trị thấp hơn dẫn đến lớp aluminosilicate có khối lượng) chủ yếu gồm: SiO2 (58,95%), Al2O3 (20,54%), điện tích âm trên bề mặt và được bù đắp bởi các cation vô cơ MgO (3,27%), CaO (2,06%), Fe2O3 (7,78%), Na2O (1,09%), hydrate (ví dụ Na+, K+, Ca2+, Mg2+…) nằm ở lớp xen giữa sét K2O (1,38%) và một số oxide khác [11]. bentonite. Các cation vô cơ hydrate liên kết lỏng lẻo với lớp sét aluminosilicate có thể được thay thế bằng các cation hữu cơ Tác nhân biến tính được sử dụng trong nghiên cứu này kỵ nước thu được vật liệu bentonite hữu cơ có khả năng xử lý là CTAB (Sigma-Aldrich). Đặc tính cơ bản của phân tử chất hữu cơ hiệu quả [1, 6] hoặc thay thế bằng polyoxocation CTAB được chỉ ra trong bảng 1. Một số hóa chất khác gồm kim loại kích thước lớn tạo ra loại vật liệu bentonite chống có Al(NO3)3.6H2O, Na2CO3, HCl, NaOH, AgNO3, phenol đỏ, khả năng xử lý các cation kim loại trong nước đạt hiệu quả cao MnCl2.4H2O (Trung Quốc) đều ở dạng tinh khiết, không cần [2, 7, 8, 10]. chế hóa bổ sung. ∗ Tác giả liên hệ: bvthang@dthu.edu.vn 61(6) 6.2019 11
  12. Khoa học Tự nhiên lấy 3 g bentonite Di Linh (Bent-DL) phân tán trong 300 ml nước cất dưới điều kiện khuấy mạnh trên máy khuấy từ với tốc A study on synthesis độ 600 vòng/phút trong 2 giờ thu được huyền phù bentonite. of an inorganic/organic-modified Thêm đồng thời dung dịch polyoxocation nhôm và dung dịch CTAB vào huyền phù bentonite, hỗn hợp được khuấy mạnh bentonite materials to treat ở 60oC trong 5 giờ, sau đó giữ ở nhiệt độ phòng trong 24 giờ. phenol red and Mn(II) in water Sản phẩm được lọc tách và rửa vài lần bằng 4 nước cất để loại bỏ hết ion Cl- dư (thử bằng dung dịch AgNO3 0,1M) và sấy mẫu ở- 110oC trong 10 giờ thu được vật liệu CTAB/Al-Bent. Với o Van Thang Bui*, Viet Dung Tran, Thi Xuan Mai Tran Cl dư (thử bằng dung dịch AgNO3 0,1M) và sấy mẫu ở 110 C trong 10 giờ thu mục đích so sánh, mẫu bentonite biến tính bằng polyoxocation Faculty of Physics - Chemistry - Biology Teacher Education, vậtnhôm liệuđược CTAB/Al-Bent. Dong Thap University điều chế theoVớicáchmục tươngđích tự màsokhông sánh,thêm mẫuCTABbentonite biến tính và sản phẩm nhôm polyoxocation được được ký hiệu là chế điều Al-Bent. Mẫu tương theo cách bentonite tự màhữu cơ thêm CTAB v không Received 16 October 2018; accepted 23 November 2018 cũng được điều chế bằng cách trao đổi cation vô cơ hydrate phẩm được ký hiệu là Al-Bent. Mẫu bentonite hữu cơ cũng được điều chế bằng Abstract: giữa lớp bằng CTAB và sản phẩm được ký hiệu là CTAB-Bent. trao đổi các Trong cation vô cơ trường hydrate hợp, nồng độgiữaCTAB lớp bằng CTAB sử dụng và lần là 1,0 sản sophẩm được ký hi In this article, we studied to develop novel bentonite- với CEC của sét bentonite và tỷ lệ mol Al3+/bentonite là 10 based sorbents that could simultaneously remove CTAB-Bent. mmol/g. Trong các trường hợp, nồng độ CTAB sử dụng là 1,0 lần so với CEC both organic compounds and metal cations from sét bentonite và tỷ lệ mol Al3+/bentonite là 10 mmol/g. water. These materials were prepared by the exchange Các phương pháp nghiên cứu đặc trưng vật liệu Các phương pháp nghiên cứu đặc trưng vật liệu between inorganic cations in the interlayer of bentonites Xác định khoảng cách lớp cơ bản của bentonite và using cetyltrimethylammonium bromide (CTAB) bentonite Xác định khoảng cách lớp cơ bản của bentonite và bentonite biến tính bằng biến tính bằng phổ nhiễu xạ tia X (XRD) trên máy and aluminium polyoxocation. The structures and nhiễu D8 Advance-Bruker xạ tia X (XRD) trên (Đức) máysửD8dụng bức xạ 40 kV, Advance-Bruker 300 sử (Đức) mA,dụng bức xạ 40 kV characterisation of the materials were determined by quét từ 1-500, khoảng o cách lớp được xác định qua mặt 001 XRD, FTIR, BET and TG-DTG methods. The results mA, quét từ 1-50 , khoảng cách lớp được xác định qua mặt 001 của giản đồ XR của giản đồ XRD; sự mất khối lượng của vật liệu theo nhiệt showed that CTAB and aluminium polyoxocation were mất độ khối đượclượng của trên xác định vật thiết liệu theo nhiệt bị phân độnhiệt tích đượcLabsys xác định trên thiết bị phân tích TG/DTG inserted to the interlayer of bentonites. As a result, the SETARAM (Pháp) với tốc độ nâng nhiệt 100C/phút trong môi Labsys TG/DTG SETARAM (Pháp) với tốc độ nâng nhiệt 10oC/phút trong môi tr obtained CTAB/Al-Bentonite could simultaneously trường không khí từ 30 đến 9000C. Phổ hồng ngoại (FTIR) o remove the phenol red and Mn(II) in water. không khí từ 30nguyên của bentonite 900ovà C đến liệu C.bentonite Phổ hồngbiến ngoại tính(FTIR) củađịnh được xác bentonite nguyên liệ Keywords: bentonite, CTAB/Al-bentonite, Mn(II), bentonite trên máybiến GX-PerkinElmer tính được xác(Mỹ). định Diện tích bề trên máy mặt BET của các GX-PerkinElmer (Mỹ). Diện tích bề phenol red. mẫu được xác định từ đường đẳng nhiệt hấp phụ - khử hấp phụ BET của các mẫu được xác định từ đường đẳng nhiệt hấp phụ - khử hấp phụ nitr nitrogen tại 77K trên thiết bị Micromeritics TriStar 3000 (Mỹ). Classification number: 1.4 tại 77K trên thiết bị Micromeritics TriStar 3000 (Mỹ). Khảo sát hấp phụ phenol đỏ và Mn(II) trên vật liệu điều chếKhảo sát hấp phụ phenol đỏ và Mn(II) trên vật liệu điều chế Lấy 0,1 gg vật Lấy 0,1 vật liệu liệucho chovào vào100 100mlmldung dungdịch dịch phenol phenol đỏđỏ hoặc Mn(II) có nồn hoặc Bảng 1. Một số đặc tính cơ bản của phân tử CTAB. Mn(II) 100 mg/l có đặtnồng độ 100 trên máy mg/ltừđặt khuấy vớitrên tốcmáy khuấy độ 300 từ với tốc vòng/phút độ độ phòng trong ở nhiệt 300 vòng/phút ở nhiệt độ phòng trong 120 phút. Mẫu được lấy Ký hiệu Công thức Cấu tạo ion CTA+ Độ dài mạch ankyl phút. Mẫu được lấy trong khoảng thời gian xác định và ly tâm lấy dung dịch để trong khoảng thời gian xác định và ly tâm lấy dung dịch để phân tử (Å) [12] phân tích tíchđộnồng nồng độ phenol phenol đỏ cònđỏlạicòn lại phổ bằng bằngUV-Vis phổ UV-Vis UV2650 UV2650 (Labomed, Mỹ) với CH3 (Labomed, Mỹ) với bước sóng 432 nm [13] và phân tích nồng sóng 432 nm [13] và phân tích nồng độ Mn(II) còn lại bằng phổ ICP-MS trên CTAB C19H42NBr C16H33 25,3 độ Mn(II) còn lại bằng phổ ICP-MS trên máy iCAP Q (Thermo N + iCAP Q (Thermo Scientific, Scientific, Mỹ) với nguồn cảmMỹ) ứng với nguồn cao tầncảm ứng (ICP). plasma cao tần plasma (ICP). H3C CH3 Dung Dung lượng lượng hấp hấp phụ phụ (q (qt)) được được tính tính từ từ công công thức thức (1): (1): t Phương pháp điều chế (C  Ct ) qt  0 .V (1) Dung dịch polyoxocation nhôm được điều chế bằng phương m pháp thủy phân nhiệt khi thêm từ từ dung dịch Na2CO3 0,2M Trong đó C Trong đó và C Co và Ctt (mg/l) (mg/l) làlà nồng nồng độ độ ban ban đầu đầu và và ởở thời thời điểm điểm t (phút); V là th vào dung dịch Al(NO3)3 0,2M dưới điều kiện khuấy mạnh ở t (phút); V là thể tích dung dịch (l); m là khối lượng chất hấp dung dịch (l); m là khối lượng chất hấp phụ (g); qt (mg/g) là dung lượng chất b nhiệt độ 60oC cho đến khi tỷ lệ mol OH-/Al3+ là 2,4. Dung phụ (g); qt (mg/g) là dung lượng chất bị hấp phụ trên 1,0 g chất hấptrên dịch sau phản ứng được già hóa 12 giờ ở nhiệt độ phòng thu phụ phụ. 1,0 g chất hấp phụ. được dung dịch polyoxocation nhôm. Cân một lượng xác định Kết quả và thảo luận CTAB cho vào 100 ml nước ở nhiệt độ 60oC dưới điều kiện Kết quả và thảo luận khuấy mạnh trong 1 giờ thu được dung dịch CTAB. Phân Phân tích tích nhiễu nhiễu xạ xạ tia tia XX Quy trình điều chế CTAB/Al-Bent được tiến hành như sau: Giản đồ XRD của mẫu bentonite và bentonite biến tính bởi 61(6) 6.2019 12
  13. Khoa học Tự nhiên polyoxocation nhôm, CTAB, hỗn hợp CTAB/Al được chỉ ra Sự sắp xếp của lớp xen giữa trong bentonite và bentonite trong hình 1. Trong mẫu Bent-DL có chứa thành phần chính biến tính được chỉ ra trong hình 3. Mẫu Bent-DL với bề dày lớp là MMT với các pic đặc trưng ở d = 15,26Å; 4,48Å; 2,56Å. sét bentonite là 9,6Å (hình 3A), nên lớp cation vô cơ hydrate Từ giá trị d001 = 15,26Å cho thấy, bentonite Di Linh thuộc loại nằm ở lớp giữa là 5,66Å. Từ hình 1 cho thấy, giá trị d001 của bentonite kiềm thổ chứa chủ yếu cation vô cơ hydrate giữa lớp mẫu CTAB-Bent xuất hiện với pic đặc trưng ở 19,21Å; gần là Ca2+, Mg2+… Kết quả này phù hợp với nghiên cứu của L.G. với tổng chiều cao của đầu amin phân cực (5,1Å, hình 2A), bề Yan [14]. Bên cạnh các pic phổ đặc trưng của MMT, còn một dày 1 lớp sét bentonite (9,6Å, hình 3A) và chiều cao của đuôi số pic của các tạp chất khác như quartz với d = 4,26Å và 3,35Å; alkyl (4,6Å, hình 2A) chỉ ra rằng, mạch alkyl sắp xếp kiểu 1 calcite với d = 2,46Å. lớp parafin trong khoảng không gian lớp giữa của bentonite hữu cơ như chỉ ra trong hình 3B, góc hợp bởi mạch alkyl của phân tử CTAB và lớp sét bentonite (α) được tính từ phương trình (2) [12]: d h (2) sin Trong đó: d là khoảng cách lớp, h là bề dày của lớp sét bentonite (9,6Å) và l là chiều dài của phân tử CTAB (bảng 1) là 25,3Å. Áp dụng phương trình (2) tính được giá trị α của mẫu CTAB- Bent là 22o, kết quả này phù hợp với các nghiên cứu trước đây Hình 1. Giản đồ XRD của các mẫu bentonite nguyên liệu và [3, 4]. Giá trị d001 của mẫu Al-Bent (hình 1) là 19,01Å, gần với bentonite biến tính. tổng bề dày của lớp bentonite (9,6Å, hình 3A) và chiều cao của polyoxocation nhôm (khoảng 8,6Å, hình 3G) chỉ ra rằng, Khi cation vô cơ hydrate nằm ở giữa lớp sét bentonite lớp polyoxocation nhôm đã được đưa vào trong vật liệu (hình được thay thế bằng tác nhân CTAB làm tăng khoảng cách lớp 3C) [4, 8]. Mẫu CTAB/Al-Bent với khoảng cách lớp cơ bản là giữa của bentonite hữu cơ. Sự gia tăng khoảng cách này được 18,90Å, điều này cho thấy có một lượng hạn chế CTAB được tính toán từ giản đồ phổ XRD dựa theo định luật Bragg (nλ = chèn vào trong mẫu CTAB/Al-Bent và lượng CTAB không đủ 2dsinθ). Để hiểu rõ hơn sự sắp xếp mạch alkyl của tác nhân để mở rộng lớp xen giữa (hình 3D). Mặt khác, mẫu CTAB/Al- CTAB trong bentonite biến tính cần xem xét cấu hình phân tử Bent còn có 1 pic phổ nằm ở góc 2θ nhỏ (d = 37,01Å) cho thấy của chúng. Nghiên cứu của H. He [15] cho biết, phân tử CTAB rằng trong khoảng giữa lớp có chứa cả CTAB và polyoxocation tồn tại ở 2 dạng cấu hình cơ bản: (i) dạng cấu trúc zíc-zắc của nhôm (hình 3E). các nguyên tử carbon trong phân tử CTAB với chiều cao của 7 đầu amin phân cực và chiều cao của mạch alkyl đuôi lần lượt là 5,1Å và 4,6Å; (ii) dạng cấu trúc thẳng của các nguyên tử carbon trong phân tử CTAB với chiều cao của đầu amin phân 18,90Å cực và chiều cao của mạch alkyl đuôi lần lượt là 6,7Å và 4,1Å như chỉ ra trong hình 2. (A) (D) (B) (E) CTA+ CTAB Polyoxocation nhôm (C) (G) Hình 3. Sơ đồ mô tả sự sắp xếp của CTAB và polyoxocation nhôm trong Hình 3. Sơ đồ mô tả sự sắp xếp của CTAB và polyoxocation nhôm trong bentonite bentonite biến tính.biến tính. Phổ FTIR Phổ FTIR Phổ FTIR của mẫu CTAB, Bent -DL, CTAB-Bent, Al-Bent và CTAB/Al -Bent Hình 2. Cấu tạo phân tử của CTAB: (A) dạng zíc-zắc và (B) dạng chỉ raPhổ trongFTIR hình 4.của Pic ởmẫu CTAB, vị trí 3423 cm -1Bent-DL, CTAB-Bent, đặc trưng cho Al-Bent dao động hóa trị của nhóm- thẳng [15]. và CTAB/Al-Bent được chỉ ra trong hình 4. Pic ở vị trí 3423 NH trong phân tử CTAB tinh khiết (hình 4a). Ba pic dao động có cườngđộ mạnh xuất hiện ở vị trí 3015, 2920 và 2849 cm-1 đặc trưng cho dao động hóa trị của nhóm-CH2 trong phân tử CTAB. Một số pic dao động ở các vị trí 1630, 1481 và 1468 cm-1 được 61(6) 6.2019 13 quy gán cho dao động hóa trị của nhóm-CN, dao động kéo của nhóm-CH2 và dao động biến dạng nhóm-OH của phân tử nước. Một số pic yếu xuất hiện trong vùng từ 600-1000 cm-1, đặc biệt là pic ở 963, 910, 725 cm-1 đặc trưng cho dao động hóa trị của +
  14. Khoa học Tự nhiên cm-1 đặc trưng cho dao động hóa trị của nhóm -NH trong phân phân tử CTAB đã trao đổi với các cation vô cơ hydrate nằm ở tử CTAB tinh khiết (hình 4a). Ba pic dao động có cường độ lớp giữa của sét bentonite; do đó, pic dao động hóa trị bất đối mạnh xuất hiện ở vị trí 3015, 2920 và 2849 cm-1 đặc trưng cho xứng của nhóm -CH2 từ 2849 cm-1 (CTAB) chuyển dịch về vị trí dao động hóa trị của nhóm -CH2 trong phân tử CTAB. Một số 2851 cm-1 (trong mẫu CTAB-Bent, CTAB/Al-Bent). Điều này pic dao động ở các vị trí 1630, 1481 và 1468 cm-1 được quy gán cho thấy rằng, CTAB ở lớp giữa của vật liệu bentonite biến tính cho dao động hóa trị của nhóm -CN, dao động kéo của nhóm có liên kết yếu với bề mặt sét và xuất hiện một số biến dạng của -CH2 và dao động biến dạng nhóm -OH của phân tử nước. Một mạch alkyl [17, 18]. số pic yếu xuất hiện trong vùng từ 600-1000 cm-1, đặc biệt là Phân tích trọng lượng nhiệt pic ở 963, 910, 725 cm-1 đặc trưng cho dao động hóa trị của nhóm amin bậc 4 [RN(CH3)3]+ và dao động của nhóm -CH2 Đường TG-DTG của mẫu CTAB, mẫu bentonite và bentonite [16]. biến tính được chỉ ra trong hình 5 và hình 6. Sự mất khối lượng và điểm nhiệt độ của các mẫu bentonite, bentonite biến tính và CTAB chia thành ba giai đoạn và được tóm tắt trong bảng 2. %T (e) CTAB/Al-Bent 1472 Vùng I, giai đoạn mất khối lượng đầu tiên trong vùng từ 30- 3698 529 1384 469 914 2851 2920 3622 1032 3649 200oC được quy gán cho sự mất nước hấp phụ, nước hydrate. (d) Al-Bent Trong khoảng nhiệt độ này, lượng nước mất lớn trong mẫu Bent- 3649 3672 426 1630 915 DL và Al-Bent cho thấy có một lượng lớn nước trong các mẫu với khối lượng giảm lần lượt là 14,03 và 11,09%. Nước hấp phụ 3026 1032 (c) CTAB-Bent 1472 3698 1481 2851 914 3624 và nước tham gia liên kết yếu bị mất trong khoảng nhiệt độ thấp, 2922 3649 1032 nước hydrate các cation của lớp giữa liên kết chặt chẽ bị mất ở 3437 (b) Bent DL 696 780 1637 1456 426 471 nhiệt độ cao hơn (~125oC). Mặc dù bentonite hữu cơ được xen 3699 3649 914 1034 giữa bằng tác nhân ưa hữu cơ như CTAB, nước hấp phụ vẫn xuất hiện ở bề mặt ngoài tinh thể và dọc bề mặt của lớp sét và phụ 1630 (a) CTAB 3423 thuộc vào độ ẩm của không khí [5, 12]. Trong mẫu Al/CTAB- 1402 910 3015 725 Bent với khối lượng bị mất (4,21%) so với CTAB-Bent (3,92%). 963 1481 1468 2920 2849 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 Vùng II, giai đoạn mất khối lượng xuất hiện từ 200-500oC. cm-1 Đối với mẫu CTAB tinh khiết có một pic rộng mất khối lượng xuất hiện ở 277,63oC (hình 5B), mẫu Bent-DL có khối lượng mất không đáng kể. Phần trăm khối lượng giảm trong giai đoạn Hình 4. Phổ FTIR của mẫu CTAB và các mẫu bentonite biến tính. này là do mất chất hoạt động bề mặt xen giữa lớp sét thay đổi Trong mẫu Bent-DL (hình 4b) xuất hiện các pic phổ đặc từ 15,46% (pic ở 294,2oC) và 8,11% (pic ở 484,8oC) đối với trưng ở 3699 và 3649 cm-1 đặc trưng cho dao động hóa trị của mẫu CTAB/Al-Bent; đối với mẫu CTAB-Bent thay đổi từ nhóm -OH liên kết với các kim loại bát diện (Al3+, Fe3+, Mg2+....) 9,08% (pic ở 275,7oC) và 4,92% (pic ở 488,7oC). Khi biến tính trong lớp sét. Dao động hóa trị và dao động biến dạng nhóm -OH