Tìm giới hạn dãy tổng

Chia sẻ: Cấn Duy Cát | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tìm giới hạn dãy tổng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm giới hạn dãy tổng

http://laisac.page.tl bi n đ i, khai tri n và ư c lư c đ tìm gi i h n dãy t ng laisac biên so n Trong các kì thi Oluympic , HSG ta thư ng th y có nhi u bài toán tìm gi i h n dãy t ng. Đôi lúc, đ gi i đư c d ng này ta ph i bi n đ i t đi u ki n gi thi t đã cho c a dãy, t đó khai tri n và ư c lư c đ đưa v dãy t ng c n tìm đơn gi n hơn , ta có th tính đư c gi i h n c a nó . Dư i đây là các bài toán c a tác gi và sưu t m l y t t p chí Toán H c và Tu i Tr đ minh h a cho chuyên đ này. 1 Bài 1:Xét dãy s (xn ) (n=1,2,3.....) đư c xác đ nh b i :x1 = 2 và xn+1 = (x2 + 1) v i 2n m i n =1,2,3... 1 1 1 Đ t Sn = + + .... + . 1 + x1 1 + x2 1 + xn Tính ph n nguyên c a S2009 và tính gi i h n c a Sn khi n tăng lên vô h n. HD:Ta có th t ng  quát bài toán như sau:  u1 = a u2 − (b + c)un + c2 Cho dãy un th a mãn  un+1 = n b−c n 1 1 1 Tính ch ng minh Sn = = − . i=1 ui + b u1 + c un+1 + c u2 − (b + c)un + c2 Th t v y, ta bi n đ i un+1 = n b−c u2 − (b + c)un + bc (un + b)(un + c) n ⇒ un+1 + c = = b−c b−c 1 1 1 1 1 1 ⇒ = − ⇒ = − un+1 + c un + c un + b un + b un + c un+1 + c Khai tri n và ư c lư c dãy: 1 1 1 = − u1 + b u1 + c u2 + c 1 1 1 = − u +b u2 + c u3 + c .2 . . 1 1 1 = − un + b un + c un+1 + c 1 1 Do đó Sn = − u1 + c un+1 + c V n d ng:Ta có th gi i bài toán trên b ng phép bi n đ i này (b=1,c=-1) 1 1 1 Khi đó Sn = − =1− u1 − 1 un − 1 un − 1 1 2 Mà un+1 − un = (un − 1) > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng ⇒ 2 = u1 ≤ u2 ≤ u3 ≤ .... 2 Gi s limun = a(a > 2) ⇒ 2a = a2 + 1 ⇒ a = 1 (vô lí) 1 V y limun = ∞ ⇒ lim =0 un − 1 1
1 Do đó ph n nguyên S2009 = 0 vì 0 < < 1 và limSn = 1 u2009 − 1 n1 u1 = 2009 Bài 2: Cho dãy un th a mãn: . Tính lim . un+1 = u2 − un + 1 i=1 un n HD: Ta có un+1 − un = (un − 1)2 > 0 , ∀n ∈ N ∗ ⇒ un là dãy tăng Gi s (un ) có gi i h n. Đ t limun = L(L > 2009) Ta có L = L2 − L + 1 ⇒ L = 1 (vô lí) 1 ⇒ limun = ∞ ⇒ lim = 0 un 2 Ta còn có un+1 = un − un + 1 ⇒ un+1 − 1 = un (un − 1) 1 1 1 1 ⇒ = = − un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 un 1 1 1 Vy = − un un − 1 un+1 − 1 Khai tri n và ư c lư c ta có : 1 1 1 = − u1 u1 − 1 u2 − 1 1 1 1 = − u u2 − 1 u3 − 1 .2 . . n1 1 1 1 1 1 Sn = = − ⇒ limSn = lim( − )= i=1 ui u1 − 1 un+1 − 1 2009 − 1 un+1 − 1 2008 Bài 3: Cho dãy s xn , n = 1, 2, 3... đư c xác đ nh như sau: x1 = 1 và xn+1 = xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + 1 v i n = 1, 2, ... n 1 Đ t yn = , (n = 1, 2, ....) .Tính gi i h n c a yn khi n d n đ n vô t n. i=1 xi + 2 HD: Ta có: xn+1 = (x2 + 3xn )(x2 + 3xn + 2) + 1 = t(t + 2) + 1 = (t + 1)2 = x2 + 3xn + 1 n n trong đó 0 < t = x2 + 3xn . n Xét xn+1 − xn = (xn + 1)2 > 0, ∀n ∈ N ∗ ⇒ (xn ) là dãy tăng Gi s :limxn = a(a > 1) ⇒ a = a2 + 3a + 1 , vô nghi m(vì a>1) ⇒ limxn = ∞ 1 1 1 1 1 1 1 =2 = − ⇒ = − xn+1 + 1 xn + 3xn + 2 xn + 1 xn + 2 xn + 2 xn + 1 xn+1 + 1 Khai tri n và ư c lư c ta có: 1 1 1 = − x1 + 2 x1 + 1 x2 + 1 1 1 1 = − x +2 x2 + 1 x3 + 1 .2 . . 1 1 1 ⇒ limyn = lim( − )= . x1 + 1 xn+1 + 1 2 a1 = 1; a2 = 3 Bài 4: Cho dãy s an xác đ nh b i: n=1,2,3... an+2 = 2an+1 − an + 1 1 1 1 Tính gi i h n t ng Sn = + + ... + . Khi n d n đ n vô t n. a1 a2 an n(n + 1) HD: Cách 1: Ta ch ng minh :an = . 2 Th t v y: Theo phương pháp qui n p. Ta nh n th y a1 , a2 đúng 2
k (k + 1) Gi s ak = 2 (k + 1)(k + 2) Ta có ak+1 = 2ak − ak−1 + 1 = . 2 Theo nguyên lí qui n p ta có đi u ch ng minh. n(n + 1) 1 1 1 V y:an = ⇒ = 2( − ) 2 an n n+1 1 2n ⇒ limSn = lim2(1 − ) = lim =2 n+1 n+1 Cách 2: T gi thi t suy ra an+2 − an+1 = an+1 + 1 . . . a3 − a2 = a2 − a1 + 1 c ng l i ta có:an = an−1 + n = (an−2 + n − 1) + n..... n(n + 1) ⇒an = 1 + 2 + 3 + ..... + n = 2 Bài 5: Cho dãy s (un ) đư c xác đ nh như sau: n1 u1 = 1 ∀n = 1, 2, 3....... Tính lim un+1 = 1 + u1 .u2....un i=1 ui HD: Ta có u1 = 1 ⇒ u2 = 2, un+1 = 1 + u1.u2...un−1.un = 1 + (un − 1).un ⇒ un+1 = u2 − un + 1 n Ch ng minh đư c (un ) là dãy tăng và limun = ∞ Ta còn có un+1 − 1 = un (un − 1)∀n ≥ 2 1 1 1 1 ⇔ = = − ∀n ≥ 2 un+1 − 1 un (un − 1) un − 1 un 1 1 1 ⇔ = − ∀n ≥ 2 un un − 1 un+1 − 1 1 1 1 1 T đó Sn = + + + ... + u1 u2 u3 un 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ Sn = + − + − + ... + − u1 u2 − 1 u3 − 1 u3 − 1 u4 − 1 un − 1 un+1 − 1 1 1 1 1 ⇔ Sn = + − =2− u1 u2 − 1 un+1 − 1 un+1 − 1 1 Do đó limSn = 2 vì lim =0 un+1 − 1 √ Bài 6: Cho dãy s un th a mãn u1 = 2009; un+1 = un ( un + 1)2 ;v i n= 1, 2, 3.... n 1 Tính lim √ ui + 1 i=1 √ √√ √ HD: Ta có un+1 = un ( un + 1)2 ⇒ un+1 = un ( un + 1) 1 1 1 1 1 1 1 ⇒√ =√ √ =√ −√ ⇒√ =√ −√ un+1 un ( un + 1) un un + 1 un + 1 un un+1 Khai tri n và ư c lư c ta suy ra k t qu 2008 2008 Bài 7: Cho dãy s (xn ) đ nh b i x1 = ,xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1); 2009 2009 n n=1,2,3... Tính lim x2 i i=1 2008 HD: Ta có xn+1 = (1 − xn )(1 − xn−1 )...(1 − x1) 2009 2 ⇒ xn+1 = (1 − xn ).xn ⇒ xn = xn − xn+1 3
Khai tri n và ư c lư c ta có: n 2008 x2 = x1 − xn+1 ⇒ limSn = Sn = i 2009 i=1 1 Bài 8: Cho dãy s (un ) có un = v i n = 1, 2, 3.... n(n + 1)(n + 2)......(n + 2008) n Tính lim ui i=1 (n − 1)! n + 2008 − n (n − 1)! n! 1 HD: S h ng un = . =[ − ]. (n + 2008)! 2008 (n + 2007)! (n + 2008)! 2008 1 1 n! Cho n = 1, 2, 3, .....2008 , r i c ng l i ta đư c. Sn = [ − ] 2008 2008! (n + 2008)! n! 1 Mà lim = lim =0 (n + 2008)! (n + 1)(n + 2).....(n + 2008) 11 n! 1 ⇒ Sn = lim [− ]= 2008 k ! (n + 2008)! 2008.2008! k i Bài 9: Cho dãy xk , v i xk = , k=1, 2, 3.... i=1 (i + 1)! √n Tính lim n x1 + xn + .... + xn 2 2009 k+1 HD: Vì xk+1 − xk = > 0. Do đó dãy trên tăng. Suy ra 0 < x1 < x2 < ..... < x2009 (k + 2)! hay xn < xn + xn + .... + xn < 2009xn 2009 1 √2 2009 2009 1 suy ra x2009 < n xn + xn + ... + xn < 2009 n x2009 (*) 1 2 2009 k 1 1 M t khác ta có: = − (k + 1)! k ! (k + 1)! 1 1 T đó suy ra xk = 1 − ⇒ x2009 = 1 − (k + 1)! 2010! 1 1 1 < xn + xn + ... + xn < 2009 n (1 − n Thay k t qu này vào (*) ta có: 1 − ) 1 2 2009 2010! 2010! 1 1 1 1 ) = lim 2009 n (1 − Nhưng vì lim(1 − )=1− . 2010! 2010! 2010! √ 1 V y theo đ nh lí k p ta có:lim n xn + xn + ... + xn = 1 − . 1 2 2009 2010! Bài c p s c ng. Bài 10: Cho x, y, z là ba góc th a mãn đi u ki n 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2π cos x + cos y + cos z = 0 sin x + sin y + sin z = 0 Ch ng minh r ng ba s x, y, z l p thành m t c p s c ng . cos x + cos y = − cos z HDT gi thi t c a h suy ra sin x + sin y = − sin z 1 Bình phương hai v tương ng , r i c ng l i ta có cos(x − y ) = − 2 1 Hoàn toàn tương t ta cũng có cos(y − z ) = cos(z − x) = − 2 2π 4π Vì 0 ≤ y − x; z − x; z − y ≤ 2π ⇒y-x, z-y, z-x nh n m t trong hai giá tr ;. 33 4
4π 2π nhưng vì z-x=(z-y)+(y-x) nên ch có th x y ra z − x = ;z − y = y − x = . 3 3 Suy ra đi u ph i CM. A B C Bài 11: Trong tam giác ABC có cot( ); cot( ); cot( ) l p thành m t c p s c ng. 2 2 2 Tìm góc l n nh t c a tam giác đó. B A C HD:Ta có 2cot( ) = cot( ) + cot( ). 2 2 2 A C Bi n đ i đưa v 3tan( ).tan( ) = 1 2 2 A C A A T đó cot( ).cot( ) = 3 ⇔ cot( )[cot( + 2] = 3 2 2 2 2 A Gi i phương trình này ta đư c m t nghi m thích h p cot( ) = 1. 2 V y góc l n nh t c a tam giác b ng 900 1 1 1 Bài 12: Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 6 + + 6b cos6 c cos a cos π Trong đó ba s a, b, c l p thành m t c p s c ng v i công sai b ng . 3 π π HD:Theo gi thi t thì a = b − và c = b + . 3 3 Đ t cos2 b = t, 0 < t ≤ 1 và cos3 b = m, 0 < m ≤ 1 thì π cos3 a = cos3 ( − b) = cos2 3b = m; 3 π cos3 c = cos3 ( + b) = cos2 3b = m; 3 Và (4cos3 b − 3cosb)2 = cos2 b(4cos2 b − 3)2 = m Hay phương trình 16t3 − 24t2 + 9t − m = 0, 0 < m ≤ 1 có các nghi m π π t1 = cos2 b, t2 = cos2 ( − b), t3 = cos2 ( + b) 3 3 Suy ra phương trình mu3 − 9u2 + 24u − 16 = 0 có các nghi m 1 1 1 u1 = , u2 = , u3 = . π π 2b cos cos2 ( − b) cos2 ( + b) 3 3 Khi đó P = u3 + u3 + u3 . S d ng h th c Vi-et và đ ng th c 1 2 3 u3 + u3 + u3 = (u1 + u2 + u3)3 − 3(u1 + u2)(u2 + u3)(u4 + u4), ta thu đư c: 1 2 3 93 9 9 9 P = ( ) − 3( − u1 )( − u2 )( − u3 ) m m m m 16 9 3 2 Hay P = P (x) = x − 8x + x, x = ≥ 9, (do0 < m ≤ 1). 3 m 16 Nh n xét r ng hàm s này có P’(x)== 3x2 − 16x + > 0,m i x≥ 9 nên P(x) đ ng bi n 3 trong [9; + ∝). Suy ra minP = P(9) = 129, đ t đư c khi m = 1 π Hay cos2 3b = 1 ⇔ sin3b = 0 ⇔ b = k . 3 π π Do đó a = (k − 1) , c = (k + 1) ,, k là s nguyên. 3 3 ht 5