intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Toán cao cấp: Giải tích (Phần 1)

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:179

Thêm vào BST
Báo xấu
131
lượt xem 27
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 sau đây gồm nội dung 6 chương đầu: Chương 0 - Tập hợp và ánh xạ, chương 1 - Số thực, chương 2 - Dãy số thực, chương 3 - Giới hạn của hàm số, chương 4 - Hàm số liên tục, chương 5 - Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số. Đây là tài liệu tham khảo dành cho các bạn sinh viên đang học môn Toán cao cấp, phần Giải tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán cao cấp: Giải tích (Phần 1)

  1. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 3 Chöông 0 TAÄP HÔÏP VAØ AÙNH XAÏ A. TAÄP HÔÏP I. Khaùi nieäm Taäp hôïp laø moät yù nieäm nguyeân thuûy cuûa toaùn hoïc, khoâng ñònh nghóa. Ta moâ taû: moät soá vaät theå hôïp thaønh taäp hôïp; moãi vaät theå laø moät phaàn töû. + Cho moät taäp hôïp A vaø phaàn töû x . Neáu x laø phaàn töû cuûa A ta vieát x ∈ A . Ngöôïc laïi, ta vieát x ∈ A hay x ∉ A (x khoâng thuoäc A). Ví duï: Taát caû hoïc sinh cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Kinh teá laø moät taäp hôïp, moãi hoïc sinh laø moät phaàn töû. + Hoäp phaán laø moät taäp hôïp, moãi vieân phaán laø moät phaàn töû. II. Caùch dieãn taû Coù nhieàu caùch: 1) Lieät keâ: lieät keâ taát caû caùc phaàn töû trong 2 daáu { } Ví duï: Taäp hôïp caùc nguyeân aâm A = {a, e, i, u, o, y}. Ví duï: T = {baøn, gheá, con meøo, con gaùi, oâ mai}. 2) Tröng tính : (neâu tính chaát ñaëc tröng) Neáu moïi phaàn töû x cuûa taäp A ñeàu coù tính chaát b , ta vieát: A = { x x coù tính chaát b }. Ví duï: M = { x x laø soá nguyeân döông nhoû hôn 5} → M = {1, 2, 3, 4}. 3) Giaûn ñoà Venn a∈ A. X a b∈ A , 2∈A . c b 2 X c, −3,5 ∈ A . A X X X 5 X -3 III. Vaøi taäp hôïp thoâng duïng 1) ℕ = {0, 1, 2, 3, …}; ℕ ∗ = ℕ \ {0}. 2) ℤ = {0, ± 1, ± 2, …}.
  2. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 4 m 3) ℚ = {x = m ∈ Z, n ∈ Z*} laø taäp caùc soá höõu tyû. n 4) ℝ laø taäp caùc soá thöïc. ( a, b ) = { x ∈ ℝ a < x < b} . [ a, b] = { x ∈ ℝ a ≤ x ≤ b} . (− { 2,15 = x ∈ ℝ − 2 < x ≤ 15 . } IV. Chính soá, taäp troáng, taäp höõu haïn, taäp voâ haïn 1. Taäp höõu haïn: laø taäp hôïp coù soá phaàn töû höõu haïn. 2. Chính soá: Giaû söû A coù soá phaàn töû höõu haïn. Soá phaàn töû cuûa taäp A coøn ñöôïc goïi laø chính soá cuûa A (hay card A ). Kyù hieäu: ch.s A hay card A hay A . Ví duï: A = {−3,5, a, b} → card A = 4. 3.Taäp troáng: laø taäp hôïp khoâng coù phaàn töû naøo caû. Kyù hieäu: ∅ hay { }. Ghi chuù: {∅} ≠ ∅ . {0} ≠ ∅ . 4.Taäp voâ haïn: taäp khoâng höõu haïn ñöôïc goïi laø taäp voâ haïn. Ví duï: ℕ , ℤ , ℚ , ℝ , ( 0,1) laø nhöõng taäp hôïp voâ haïn. V. Taäp hôïp con, taäp hôïp baèng nhau 1. Taäp hôïp con: A laø taäp hôïp con cuûa B neáu moïi phaàn töû cuûa A ñeàu laø phaàn töû cuûa B . Kyù hieäu: A ⊂ B ( A chöùa trong B ). A ⊂ B ⇔ " ∀x , x ∈ A ⇒ x ∈ B " . Ví duï: A = {1, -5, 0}; B = {2, 3, 1, 8, 0, -5}; C = {1, -5, 0, 7, 3} A ⊂ B vaø C ⊄ B ( 7 ∈ C vaø 7 ∉ B ). Nhaän xeùt: ∀A , ta coù ∅ ⊂ A vaø A ⊂ A . 2. Taäp hôïp baèng nhau: A = B ⇔ A ⊂ B vaø B ⊂ A ⇔ " ∀x , x ∈ A ⇔ x ∈ B " . 3. Taäp hôïp taát caû taäp hôïp con cuûa E goïi laø taäp hôïp caùc phaàn cuûa E
  3. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 5 Kyù hieäu: P(E ) = {A A ⊂ E} . Ví duï: E = {a, b, c} P(E ) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{b, c},{c, a},{a, b, c}} . Heä quaû: Neáu card E = n → card P(E ) = 2 n (chöùng minh baèng truy chöùng). VI. Caùc pheùp toaùn treân taäp hôïp 1. Pheùp giao A ∩ B = {x x ∈ A vaø x ∈ B} . Ví duï: A = {-3, 5, - 2 }, B = {0, -3, 8, - 2 }, C = {1, 2, 3}. → A ∩ B = {-3, - 2 } vaø A ∩ C = {∅} . Tính chaát: A∩∅ = ∅∩ A = ∅ A∩ A = A A∩B = B∩ A ( A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C ) A∩B ⊂ A; A∩B ⊂ B 2. Pheùp hoäi A ∪ B = {x x ∈ A hay x ∈ B} . Ví duï: A = {a, b, c, d} ; B = {a, c, e, f } → A ∪ B = {a, b, c, d , e, f } . Tính chaát : A∪B = B∪ A ( A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C ) A∪∅ = ∅∪ A = A A∪ A = A ; A ⊂ A∪B; B ⊂ A∪B. Tính phaân boá cuûa pheùp giao vaø pheùp hoäi A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) 3. Pheùp hieäu: A \ B = {x x ∈ A vaø x ∉ B} .
  4. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 6 Ví duï: A = {a, b, c, d} ; B = {5, a, c, f , −3} ; C = {a, f , 7, d} A \ B = {b, d} ; B \ A = {5, f , −3} . ( A \ B) \ C = {b} ≠ A \ ( B \ C ) = {a, b, d} . Tính chaát: Neáu A ≠ B thì A \ B ≠ B \ A . Thoâng thöôøng ( A \ B ) \ C ≠ A \ ( B \ C ) . A\∅= A; A\ A=∅; A\B⊂ A. Baøi taäp : Chöùng minh A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) A \ (B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ) 4. Phaàn buø: Cho A ⊂ E , phaàn buø cuûa A ñoái vôùi E laø: A c = A = CE A = E \ A = {x x ∈ E vaø x ∉ A} . Tính chaát : CE ∅ = E ; CE E = ∅ ; CE A ∪ A = E CE A ∩ A = ∅ CE ( CE A ) = A ( A = A ) E C E ( A ∪ B ) = CE A ∩ C E B A C E ( A ∩ B ) = CE A ∪ C E B Ví duï: E = {a, b, c, d , e, f } ; A = {a, d} ; B = {a, e, f } CE A = {b, c, e, f } ; CE B={b,c,d} CE (A ∪ B)={b,c} ; CE (A ∩ B)={b,c,d,e,f} 5. Taäp hôïp tích: A × B = {( x , y ) x ∈ A vaø y ∈ B} . Ví duï: A = {1,2,3} ; B = {a, b} → A × B = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)} vaø B × A = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} . Ghi chuù: Neáu A ≠ B vaø A , B ≠ ∅ thì A × B ≠ B × A . Ví duï: (1, 4) ≠ (4, 1) - A×∅ = ∅× A = ∅ . - Neáu A , B höõu haïn, ta coù Card ( A × B ) = Card A .Card B Neáu A = B ta vieát: A × B = A × A = A2 . Ví duï: Maët phaúng toïa ñoä laø ℝ 2 = ℝ × ℝ = {( x , y ) x , y ∈ ℝ} .
  5. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 7 Töông töï ta coù : A1 × A2 × ... × An = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ Ai , ∀i = 1, n} = {( x1 , x2 ,..., xn ) x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 ,..., xn ∈ An} A × A × ...× A = A n = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ A, ∀i = 1, n}    n laàn Ví duï: ℝ n = {( x1 , x2 ,..., xn ) xi ∈ ℝ, ∀i = 1, n} (-5, 2, 7 , -8) ∈ ℝ 4 (-2, 1, 0, 3, 7) ∈ ℤ 5 ⊂ ℚ5 ⊂ ℝ 5 B. AÙNH XAÏ I. Ñònh nghóa: Cho 2 taäp hôïp X , Y khaùc troáng, moät pheùp lieân keát f töông öùng moãi phaàn töû x ∈ X vôùi duy nhaát phaàn töû y ∈ Y ñöôïc goïi laø moät aùnh xaï töø X vaøo Y . Kyù hieäu: f : X → Y x ֏ y = f (x) Khi ñoù, X : taäp hôïp nguoàn (mieàn xaùc ñònh) Y : taäp hôïp ñích (mieàn aûnh) Nhaän xeùt: f : X → Y laø moät aùnh xaï neáu moïi phaàn töû cuûa X ñeàu coù aûnh duy nhaát ( ∈ Y ). AÙnh xaï f : X → ℝ vôùi X ⊂ ℝ ñöôïc goïi laø một haøm soá thöïc vôùi bieán soá thöïc. Ví duï : f :ℝ → ℝ f ( x ) = 5 x 2 − 3 x laø moät aùnh xaï vaø laø moät haøm soá thöïc vôùi bieán soá thöïc. II. Nghòch aûnh: (aûnh ngöôïc, tieàn aûnh) Cho aùnh xaï: f : X → Y A ⊂ X , aûnh cuûa taäp A laø f ( A) = { f ( x ) ∈ Y x ∈ A} . Aûnh ngöôïc cuûa B ⊂ Y laø f −1 ( B) = {x ∈ X f ( x ) ∈ B} Ñaëc bieät khi B = {y} ⊂ Y ta vieát f −1 ({y}) = f −1 ( y ) = {x ∈ X f ( x ) = y} .
  6. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 8 x ∈ f −1 ( y ) ñöôïc goïi laø aûnh ngöôïc cuûa y . Ví duï: f : ℝ → ℝ f(x) = x2 B = {-5, 2, 4, 9, 0} f −1 (B ) = {± 2 , ± 2, ± 3, 0} f −1 (169) = {±13}; f −1 (−3) = ∅ f −1 (2) = {± 2 }; f −1 (−5) = ∅ III. Toaøn aùnh: Cho aùnh xaï f : X → Y , ta noùi f laø toaøn aùnh khi vaø chæ khi f ( X ) = Y . Ta coù: f ( X ) = Y ⇔ ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : f ( x ) = y ⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y = f ( x ) coù ít nhaát 1 nghieäm ⇔ ∀y ∈ Y , f −1 ( y ) ≠ ∅ . Ví duï : i) f : ℝ → ℝ f ( x ) = x 2 khoâng laø toaøn aùnh vì f −1 (−2) = ∅ (phöông trình x 2 = −2 voâ nghieäm). ii) f : ℝ → ℝ + f ( x ) = x 2 laø toaøn aùnh vì ∀y ∈ ℝ + , ta coù phöông trình f ( x ) = y ⇔ x 2 = y luoân coù nghieäm x = ± y Nhaän xeùt: Giaû söû f : X → Y laø toaøn aùnh vaø X , Y laø taäp hôïp höõu haïn thì card X ≥ card Y . Ghi chuù: Ñeå chöùng minh f laø toaøn aùnh ta chöùng minh ∀y ∈ Y phöông trình f ( x ) = y coù nghieäm. IV. Ñôn aùnh: Cho aùnh xaï f : X → Y f laø ñôn aùnh ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X vaø x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ X vaø f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2 ⇔ ∀y ∈ Y , phöông trình y = f ( x ) coù nhieàu nhaát laø một nghieäm. ⇔ ∀y ∈ Y , f −1 (Y ) = ∅ hay f −1 ( y ) coù ñuùng 1 phaàn töû . Ví duï: * f: ℝ → ℝ
  7. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 9 f (x) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh vì f (−2) = f (2) = 4 . * f: ℝ + → ℝ hay ℝ − → ℝ f ( x ) = x 2 laø ñôn aùnh * f: ℝ → ℝ 3x − 5 f (x) = 7 laø ñôn aùnh vì ∀x1 , x2 ∈ ℝ vaø f ( x1 ) = f ( x2 ) 3 x − 5 3 x2 − 5 ⇔ 1 = ⇔ x1 = x2 . 7 7 V. Song aùnh : Cho aùnh xaï f : X → Y . f laø song aùnh ⇔ f laø ñôn aùnh vaø f laø toaøn aùnh ⇔ ∀ y ∈ Y , phöông trình f ( x ) = y coù duy nhaát nghieäm ⇔ ∀ y ∈ Y , f −1 ( y ) coù duy nhaát moät phaàn töû. 3x − 5 Ví duï : f: ℝ → ℝ ; f (x) = laø song aùnh 7 3x − 5 Vì ∀y ∈ ℝ , phöông trình y = coù duy nhaát nghieäm 7 7y + 5 x= 3 f : ℝ → ℝ , f ( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh f : ℝ + → ℝ, f ( x ) = x 2 laø ñôn aùnh, khoâng laø toaøn aùnh f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = x 2 khoâng laø ñôn aùnh, laø toaøn aùnh ⇒ khoâng song aùnh f : ℝ → ℝ + , f ( x ) = x 2 laø song aùnh + f : ℝ − → ℝ + , f ( x ) = x 2 laø song aùnh VI. AÙnh xaï ngöôïc: Neáu f : X → Y x ֏ f ( x ) laø song aùnh thì aùnh xaïï f −1 : Y → X
  8. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 10 y = f ( x ) ֏ x = f −1 ( y ) ñöôïc goïi laø aùnh xaï ngöôïc cuûa f . Ví duï: f : ℝ+→ ℝ+ f ( x ) = x 2 ( y = x 2 ⇔ x = y , x, y ≥ 0 ) f −1 ( y ) = y ( x , y ≥ 0 ) hay f −1 ( x ) = x f: ℝ → ℝ ; f (x) = x 2 − + f −1 ( y ) = − y ; f −1 ( x ) = − x f: ℝ → ℝ + \ {0} ; f ( x ) = 3x f −1 : ℝ + \ {0} → ℝ ; f −1 ( x ) = log3 x  π π * f:  − 2 , 2  → [-1, 1]; f ( x ) = sin x  π π f −1 : [-1, 1] →  − ,  ; f −1 ( x ) = arcsin x  2 2 * f: [ 0,π ] → [-1, 1]; f(x) = cosx f −1 : [-1, 1] → [ 0, π ] ; f −1 ( x ) = arccos x  π π * f:  − ,  → ℝ ; f ( x ) = tg x  2 2  π π f −1 : ℝ →  − ,  ; f −1 ( x ) = arctg x  2 2 * f: ( 0, π ) → ℝ ; f ( x ) = cotg x f −1 : ℝ → ( 0, π ) ; f −1 ( x ) = arc cotg x 3x + 7 * f: ℝ → ℝ ; f (x) = 5 3x + 7 5y − 7 y= ⇔ x= 5 3 f −1 : ℝ → ℝ 5x − 7 f −1 ( x ) = 3
  9. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 11 * Cho X ⊂ ℝ , Y ⊂ ℝ , xaùc ñònh X , Y ñeå f laø song aùnh 5x − 3  −1  vôùi f : X → Y ; f ( x ) = ; X = ℝ\   2x +1 2 5x − 3 y= ⇔ y(2 x + 1) = 5x − 3 2x +1 ⇔ 2 xy + y = 5 x − 3 ⇔ x (2 y − 5) = − y − 3 (*) 5 Phöông trình (*) coù duy nhaát nghieäm ⇔ y ≠ . Ta coù 2 y+3 (*) ⇔ x = 5 − 2y  −1  5 Vaäy vôùi X = ℝ \   vaø Y = ℝ \   thì 2 2  f :X →Y 5x − 3 f (x) = laø một song aùnh 2x + 1 vaø f −1 : Y → X 5  1 f −1 : ℝ \   → ℝ \  −  2   2 x +3 f −1 ( x ) = 5 − 2x Ghi chuù: i) f : X → Y laø ñôn aùnh vaø X , Y laø 2 taäp höõu haïn thì card X ≤ card Y . ii) f : X → Y laø song aùnh vaø X , Y laø höõu haïn thì X =Y . iii) AÙnh xaï ngöôïc f −1 cuûa f chæ toàn taïi khi f laø song aùnh. VII. AÙnh xaï hôïp: (AÙnh xaï tích) Cho 2 aùnh xaï f : X → Y , vaø g : Y → Z . AÙnh xaï h : X → Z ñöôïc ñònh nghóa: h ( x ) = g  f ( x )  , ∀x ∈ X .
  10. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 12 Kyù hieäu: h = g f ñöôïc goïi laø aùnh xaï hôïp (aùnh xaï tích) cuûa f vaø g . Ví duï 1: f : ℝ → [ 5, +∞ ) f (x) = x2 + 5 g : [ 5, +∞ ) → ℝ − g( x ) = − x + 2 g f ( x ) = g ( x 2 + 5) = - x2 + 5 + 2 = - x2 + 7 2x + 5 Ví du 2ï: f , g : ℝ → ℝ ; f ( x ) = 3 x 2 − x ; g( x ) = 4 2 2 2(3 x − x ) + 5 6 x − 2 x + 5 g f ( x ) = g(3 x 2 − x ) = = 4 4  2x + 5  f g( x) = f    4  2  2 x + 5  2 x + 5 12 x + 52 x + 55 2 = 3  − =  4  4 16 Nhaän xeùt : i) Thoâng thöôøng, f g ≠ g f . (g f ) −1 ii) = f −1 g −1 (giaû söû f , g laø song aùnh). iii) f f −1 ( y ) = y , ∀ y ∈ Y ( f : X → Y laø song aùnh). f −1 f ( x ) = x , ∀ x ∈ X ( f : X → Y laø song aùnh). iv) Giaû söû ( f g ) h toàn taïi, ta coù ( f g) h = f ( g h) . VIII Ñònh nghóa : 1) Moät taäp A ñöôïc noùi laø höõu haïn vaø coù n phaàn töû neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp con {1,2,3,...., n} cuûa ℕ . Khi ñoù, ta vieát Card A = n hay A = n . 2) Neáu taäp A khoâng höõu haïn, ta noùi A voâ haïn.
  11. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 13 3) Hai taäp A vaø B ñöôïc noùi laø ñoàng löïc löôïng neáu toàn taïi moät song aùnh töø A vaøo B . 4) Moät taäp A ñöôïc noùi laø ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp con N cuûa ℕ . Khi ñoù, neáu N = ℕ thì ta noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc. Noùi caùch khaùc, ta noùi A laø taäp voâ haïn ñeám ñöôïc neáu toàn taïi moät song aùnh giöõa A vaø taäp ℕ .
  12. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 13 CHÖÔNG I SOÁ THÖÏC I. Moät thieáu soùt cuûa ℚ Meänh ñeà: phöông trình: x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ . Chứng minh: Giaû söû phöông trình: x 2 = 2 coù nghieäm trong ℚ m m laø x0 ⇒ x0 = vôùi m , n ∈ ℤ , n ≠ 0 vaø laø phaân soá toái giaûn n n ( m , n nguyeân toá cuøng nhau). 2 m m2 Khi ñoù   =2 ⇒ = 2 ⇒ m2 = 2n 2 (1) n n2 ⇒ m2 laø soá chaün ⇒ m laø soá chaün (vì neáu m laø soá leû thì m2 laø soá leû) ⇒ m = 2k ( k ∈ ℤ ) (2) (1) & (2) ⇒ ( 2k ) = 2n 2 ⇒ 2k 2 = n 2 ⇒ n 2 laø soá chaün 2 m 2k k ⇒ n laø soá chaün ⇒ n = 2h ( h ∈ ℤ ) ⇒ = = n 2h h m ⇒ laø phaân soá khoâng toái giaûn ⇒ maâu thuaãn vôùi giaû thieát . n Do ñoù phöông trình x 2 = 2 khoâng coù nghieäm trong ℚ . II. Tieân ñề Zorn: 1. Khaùi nieäm: Taát caû caùc soá höõu tyû vaø voâ tyû goïi chung laø soá thöïc. Taäp hôïp caùc soá thöïc kyù hieäu laøø ℝ . Treân ℝ coù caùc tính chaát veà pheùp coäng, nhaân vaø baát ñaúng thöùc nhö ñaõ bieát. 2. Ñònh nghóa: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅ . Ta noùi
  13. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 14 i) A ø bò chaän treân neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho: x ≤ k ,∀ x ∈ A . ii) A bò chaän döôùi neáu ∃ k ∈ ℝ sao cho x ≥ k , ∀ x ∈ A . 3. Tính chất ñược sắp hoàn chỉnh: Moïi taäp con cuûa ℝ khaùc ∅ bò chaän treân ñeàu toàn taïi chaän treân nhoû nhaát. Nhaän xeùt: Neáu A coù chaän treân nhoû nhaát thì chaän treân nhoû nhaát laø duy nhaát, kyù hieäu laø sup A . Chöùng minh: Giaû söû A coù 2 chaän treân nhoû nhaát laø k1 vaø k2 ta coù: k1 ≤ k2 (vì k1 laø chaän treân nhoû nhaát) k2 ≤ k1 (vì k2 laø chaän treân nhoû nhaát) ⇒ k1 = k2 . • M laø chaän treân nhoû nhaát cuûa A neáu vôùi moïi T laø chaän treân cuûa A thì M ≤ T . • m laø chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A neáu ta coù m ≥ t , ∀t laø chaän döôùi cuûa A. • Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ¯. Neáu A bò chaän treân thì A coù voâ soá chaän treân. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù voâ soá chaän döôùi. 3. Heâ quaû: Cho A ⊂ ℝ vaø A ≠ ∅. Neáu A bò chaän döôùi thì A coù chaän döôùi lôùn nhaát, kyù hieäu laø inf A . Chöùng minh: Ñaët B = {− x x ∈ A} . Vì A bò chaän döôùi neân toàn taïi m ∈ ℝ sao cho: m ≤ x , ∀x ∈ A ⇒ − x ≤ − m , ∀ − x ∈ B ⇒ B bò chaën treân, do tính chất ñược sắp hoàn chỉnh ta coù sup B toàn taïi. Ta coù ∀x ∈ A , − x ≤ sup B ⇒ − sup B ≤ x ⇒ − sup B laø moät chaän döôùi cuûa A.
  14. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 15 Ta seõ chöùng minh − sup B laø moät chaän döôùi lôùn nhaát cuûa A. Thaät vaäy, ∀t laø chaän döôùi cuûa A thì t ≤ x , ∀x ∈ A ⇒ − x ≤ −t , ∀ − x ∈ B ⇒ −t laø moät chaän treân cuûa B ⇒ sup B ≤ −t ⇒ t ≤ − sup B ⇒ inf A = − sup B . Ví duï: Vôùi A = {−7, 5, −2,1} thì sup A = 5 ; inf A = −7 . A = {−2,18} sup A = 18 ; inf A = −2 A = [ −7;12] sup A = 12 ; inf A = −7 A = ( −5, 2 ) sup A = 12 ; inf A = −5 • Nhaän xeùt: - sup A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu sup A ∈ A ta coù sup A = max A . - inf A coù theå thuoäc A hoaëc khoâng thuoäc A . Neáu inf A ∈ A ta coù inf A = min A . 5/ Meänh ñeà (ñaëc tröng cuûa sup) Cho A ⊂ ℝ , A ≠ ∅ . Khi ñoù: (i ) M laø moät chaän treân cuûa A M = sup A ⇔  (ii) ∀ ε > 0, ∃ x 0 ∈ A: M-ε < x 0 ≤ M Chöùng minh: ( ⇒ ) Giaû söû M = sup A , khi ñoù (i) laø hieån nhieân. ∀ ε > 0 ⇒ M – ε < M ⇒ M – ε khoâng laø chaän treân cuûa A . ⇒ meänh ñeà (∀ x ∈ A ; x ≤ M − ε ) laø sai . ⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ε < x0 ≤ M ⇒ (ii) thoûa.
  15. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 16 (⇐ ) Giaû söû M thoûa i) vaø ii) ⇒ M laø chaën treân. Giaû söû M khoâng laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A . Ta coù: sup A < M ⇒ sup A − M < 0 . Coi ε = M − sup A > 0 . Töø ii) ⇒ ∃ x0 ∈ A : M − ( M − sup A) < x0 ≤ sup A (vôùi ε = M − sup A ) ⇒ sup A < sup A : voâ lyù. Vaäy M phaûi laø chaën treân nhoû nhaát cuûa A . III. Vaøi öùng duïng cuûa tính chất ñược sắp hoàn chỉnh: 1. Meänh ñeà: (Tính chaát Archimeøde) ∀a, b ∈ ℝ vaø a > 0 luoân luoân toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b . Chöùng minh: Giaû söû khoâng toàn taïi n ∈ ℕ ñeå cho n.a > b ⇒ n.a ≤ b ∀ n ∈ ℕ . Ñaët A = {n.a n ∈ ℕ} , ta coù A ≠ ∅ vì A chöùa phaàn töû a = 1.a . Vì na ∈ A vaø na ≤ b neân A bò chaën treân bôûi b ⇒ sup A toàn taïi. Theo ñaëc tröng cuûa sup, vôùi ε = a > 0 0 thì ∃x0 ∈ A : sup A − a < x0 . Vì x0 ∈ A neân ∃n0 ∈ ℕ : x0 = n0 a . Do ñoù sup A − a < n0 a ⇒ sup A < n0 a + a = (n0 + 1)a ∈ A (vì n0 + 1∈ ℕ ) ⇒ voâ lyù. 1 2. Heä quaû: ∀ε > 0 , ε ∈ ℝ , ∃n ∈ ℕ* sao cho 1
  16. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 17 1 ⇒ 0 ta coù (supA + ε )2 ≤ 2 5 ⇒ supA + ε ∈ A (Vôùi 0 ≤ t2 ≤ 2 ⇒ t ∈ A) maø supA + ε > supA: voâ lyù. ii) Giaû söû (supA)2 > 2. Xeùt ε > 0, ta coù (supA - ε)2 = (supA)2 - 2.ε supA + ε2 > (supA)2 - 2.ε supA ≥ (supA)2 - 4.ε. 2 (sup A)2 − 2 Ñeå (supA) - 4.ε = 2 ta choïn ε = > 0. 4
  17. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 18 (sup A)2 − 2 Khi ñoù vôùi ε = > 0 ta coù (supA - ε)2 > 2. 4 Vaäy supA –ε laø moät chaën treân cuûa A ⇒ supA ≤ supA –ε ⇒ supA +ε ≤ supA (voâ lyù). Keát luaän (supA)2 = 2. IV. Giaù trò tuyeät ñoái . Nhò thöùc Newton : 1) Ñònh nghóa : Trò tuyeät ñoái cuûa moät soá thöïc a laø a neáu a ≥ 0 | a | = -a neáu a
  18. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 19 Ghi chuù: Khoaûng hôû (môû) taâm a baùn kính ε > 0 laø ( a-ε , a+ε ) coøn goïi laø laân caän taâm a baùn kính ε.
  19. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 20 CHÖÔNG II DAÕY SOÁ THÖÏC I. Khaùi nieäm: AÙnh xaï: f :ℕ → ℝ n ֏ un = f ( n ) ñöôïc goïi laø moät daõy soá thöïc. Kyù hieäu: u1, u2 ,..., un ,... hay {un , n ∈ ℕ} hay {un } . n: ñöôïc goïi laø chæ soá; un ñöôïc goïi laø soá haïng toång quaùt cuûa daõy. Ví duï: • Cho daõy 1, 2, 3, 4, ..., n, …. Ta coù soá haïng toång quaùt cuûa daõy laø: un = n. 1 • Cho daõy {un} coù soá haïng toång quaùt un = . Caùc 2n + 3 1 1 1 phaàn töû cuûa daõy laø , , ,... 5 7 9 • Cho daõy {un} vôùi u1 = a > 0 vaø un = a + un −1 3un −1 + 5 • Cho u1 = 2 vaø un = , caùc soá haïng cuûa daõy laø: un −1 11 43 u1 = 2; u2 = ; u3 = , ... 2 11 II. Söï hoäi tuï cuûa daõy soá: 1. Ñònh nghóa: Daõy {un} goïi laø hoäi tuï neáu toàn taïi soá a∈ ℝ thoûa: “∀ε > 0 cho tröôùc, luoân toàn taïi soá nguyeân döông N(ε) sao cho n > N(ε) ⇒ |un - a| < ε”. Khi ñoù ta noùi {un} hoäi tuï veà a vaø kyùù hieäu: un → a hay lim un = a . n →∞
  20. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 21 Nhaän xeùt : i) Vieát N(ε) nghóa laø N(ε) phuï thuoäc vaøo ε, N(ε) coù theå khoâng laø soá nguyeân cuõng ñöôïc. ii) |un - a| < ε ⇔ -ε < un - a < ε ⇔ a - ε < un < a + ε. iii) un → 0 ⇔ |un| → 0. iv) Ta coøn coù theå noùi {un} hoäi tuï veà a neáu vôùi moïi khoaûng môû V taâm a ta ñeàu coù N0 sao cho un ∈ V, ∀n > N0. (nghóa laø: ∀ε, luoân toàn taïi soá N0 sao cho un ∈ (a - ε, a + ε), ∀n > N0) 1 Ví duï: Chöùng minh daõy { } hoäi tuï veà 0. n ∀ε > 0, ta caàn chöùng minh toàn taïi N0 sao cho: 1 −0 < ε, vôùi moïi n > N0 . n 1 Vôùi ε > 0, theo tính chaát Archimeøde thì ∃ N0: N0 ta coù 0, ∃ N0: n > N0 ⇒ −0
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2