GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO
TOÁN NÂNG CAO:TÍCH PHÂN
I. Mục tiêu:
a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
-Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi
được của một vật.
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong.
- Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân
b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng
vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi
được của một vật
c) Về tư duy và thái độ :
-Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới .
- Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II. Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp.
- Phương tiện dạy học: SGK.
III. Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ.
+ Chuẩn bị của học sinh :
- Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.
- Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.
IV. Tiến trình tiết dạy :
1.Ổn định lớp :
2.Kiểm tra bài cũ : 5’
- Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp.
- Tính :
dxx )1(
- GV nhắc công thức :
0
0
0
'
0
lim xx
xfxf
xf xx
3.Vào bài mới
Tiết1:
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
1
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO
2
Tg
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
10’
2o’
I/Khái niệm hình thang cong
y
7 B
H
f(t)=t+1
3 A
1 D G C
-1 x
O 2 t 6
( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết
các đư
ờng thẳng: AB: f(x)=x+1,AD:
x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang ABCD
-Lấy t
6;2 . Khi đó diện tích hình
thang AHGDbằng bao nhiêu?
-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên
hệ như thế nào ?
-Tính S(6) , S(2) ? và S ABCD ?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình
thang cong và công thức tính d/t nó.
y
B
y= f (x)
A
x
O a b
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính di
ện
tích của hình thang cong aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên
tục y = f(x) , f(x)
0, trục Ox v
à các
đương thẳng x = a , x = b (a<b)
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk
-Kí hiệu S(x) là diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị (C)
của hàm số y = f(x), trục Ox và các
đường thẳng đi qua a, x và song
song Oy. Hãy chứng minh S(x) là
một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
S = 204.
2
37
S(t) = 4
2
)2(
2
13 2
t
t
t
t
t
6;2
S’(t) = t+1= f(t)
S(t) là nột
nguyên hàm của f(t) = t+1
S(6) = 20,S(2) = 0
và S ABCD = S(6)-S(2)
-Bài toán tích diện tích hình ph
ẳng
giới hạn bởi một đường cong có
thể đưa về bài toán tính diện tích
của một số hình thang cong
1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm
tích phân:
a) Diện tích hình thang cong
-Bài toán 1: (sgk)
y
y=f(x)
S(x)
x
o a x b
Hình 3
KH: S(x) (a bx
)
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO
3’
-Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định
thuộc (a ; b)
*Xét điểm x
(a ; b ]
-Diện tích h
ình thang cong MNEQ?
-Dựa vào hình 4 so sánh diện tích
SMNPQ , SMNEQ và SMNEF
*f(x) liên tục trên [ a; b ]
xf
xx 0
lim ?
- Suy ra
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
?
*Xét điểm x
[a ; b )
Tương tự
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
?
Từ (2) và (3) suy ra gì?
S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên
[ a; b ] ta biểu diễn S(x)?
* SMNEQ = S(x) – S(x0)
S =?
-Giáo viên củng cố kiến thức BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm số liên
tục và f(x)
0 trên [ a; b ]. Khi đó
diện tích của hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị (C) của hàm số
y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng
x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong
đó F(x) là một nguyên hàm bất kì
của hàm số f(x) trên [ a; b ]
SMNEQ = S(x) – S(x0)
SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
xf
xx 0
lim f(x0)
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
f(x0) (2)
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
f(x0) (3)
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
f(x0)
S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
y y=f(x)
F E
f(x)
f(x0) Q P
xo x
x
0 a M N b
Hình 4
*Xét điểm x
(a ; b ]
SMNEQ là S(x) – S(x0)
Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0)
f(x0)<
0
0
x-x
)S(x-S(x) <f(x) (1)
Vì
xf
xx 0
lim f(x0)
(1)
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
f(x0)(2)
*Xét điểm x
[a ; b )
Tương t
ự:
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
f(x0)(3)
Từ (2) và (3)ta có:
0
0)()(
lim
0xx
xSxS
xx
f(x0)
Hay S’ (x) = f(x0)
Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x
(a ; b )
nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x)
trên [ a; b ]
S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
= (F(b) +C) – (F(a) + C)
= F(b) – F(a)
3
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO
7’
-Giáo viên định hướng học sinh
gi
ải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập
số 1
-Tìm họ nguyên hàm của f(x)?
-Chọn một nguyên hàm F(x) của
f(x) trong họ các nguyên hàm đ
ã tìm
được ?
-Tính F(1) và F(2)
Diện tích cần tìm ?
-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên:
I = dxx
4=
5
5
xC ( C là hằng số)
Chọn F(x) =
5
5
x
F(1) =
5
1 , F(2) =
5
32
S = F(2) –F(1) = )(
5
31 dvdt
GIẢI:
I = dxx
4=
5
5
xC
Chọn F(x) =
5
5
x ( C là hằng số)
F(1) =
5
1 , F(2) =
5
32
S = F(2) –F(1) = )(
5
31 đvdt
Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
Tg
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
8’
5’
-Giáo viên định hướng học sinh
giải bài toán 2 (sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường đi được
của vật cho đến thời điểm t. Quãng
đường đi được trong khoảng thời
gian từ thời điểm t = a đến thời
điểm t = b là bao nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ như thế
nào?
+Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ như
thế nào?
+Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ như
thế nào?
+Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a)
và F(b)?
-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của f(t)?
+Lấy một nguyên hàm của F(t) của
f(t) trong họ các nguyên hàm đã
tìm được
+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi được trong
khoảng thời gian từ t1 =20 đến
t2=50 liên hệ như thế nào với
F(20) và F(50)
-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên
Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1)
v(t) = s’(t)
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t)
suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)
L= F(b)–F(a)
-Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên
I = Cttdtt
2
2
3
)23( 2
F(t) = tt 2
2
3
2
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
b, Quãng đường đi đượccủa1 vật
Bài toán 2: (sgk)
CM: Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1)
v(t) = s’(t)
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t)
suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2)
L= F(b)–F(a)
GIẢI:
I = Cttdtt
2
2
3
)23( 2
F(t) = tt 2
2
3
2
F(20) = 640 ; F(50) = 3850
Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
4
GIÁO ÁN GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO
Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân
Tg
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
7’
5’
15’
-Giáo viên nêu định nghĩa tích
phân (sgk)
-Giáo viên nhấn mạnh. Trong
trường hợp a < b, ta gọi
b
a
dxxf )( là
tích phân của f trên đoạn [a ; b ].
Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời
câu hỏi (H2)
Gợi ý:
-Gọi F(x) = g(x) +C là họ các
nguyên hàm của f(x)
-Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1
bất kì trong họ các nguyên hàm đó.
-Tính F1(a), F1(b)?
-Tính
b
a
dxxf )( ?
-Nhận xét kết quả thu được
-Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta
còn dùng kí hiệu F(x)|b
a để chỉ hiệu
số F(b) -F(a).
-Hãy dùng kí hiệu này để viết
b
a
dxxf )(
-Giáo viên lưu ý học sinh: Người
ta gọi hai số a, b là hai cận tích
phân, số a là cận dưới, số b la cận
trên, f là hàm số dưới dấu tích
phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu
tích phân và x là biến số lấy tích
phân
-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 3
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh tiến hành giải dưới sự
định hướng của giáo viên
Giả sử: F(x) =
b
a
dxxf )( = g(x)+C
Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì
F1(a) = g(a)+C1
F1(b) = g(b)+C1
b
a
dxxf )( = [g(b)+C1]-[g(a)+C1]
= g(b) – g(a)
Không phụ thuộc vào cách chọn
C1
đpcm
Học sinh tiếp thu , ghi nhớ
Giả sử F(x) là một nguyên hàm
của f(x) thì:
b
a
dxxf )( = F(x)| b
a
Học sinh giải quyết dưới sự định
hướng của giáo viên:
5
2/Khái niệm tích phân
Định nghĩa: (sgk)
Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| b
a
để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy
nếu F là một nguyên hàm của f
trên k thì :
b
a
dxxf )( = F(x)| b
a