Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

81
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án là nghiên cứu các điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp tại từng điểm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Nguyễn Hải Sơn ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHÔNG CÁCH BIỆT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐƯỢC CHO BỞI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH Ngành: TOÁN HỌC Mã số: 9460101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. TS. Nguyễn Thị Toàn 2. TS. Bùi Trọng Kiên Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát Phản biện 2: PGS. TS. Cung Thế Anh Phản biện 3: TS. Nguyễn Huy Chiêu Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi …….. giờ, ngày ….. tháng ….. năm ……… Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
Mở đầu Lý thuyết điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ học và các lĩnh vực khoa học khác. Nó được phát triển mạnh mẽ và có hệ thống từ những năm cuối của thập niên 50, khi hai nguyên lý cơ bản được thiết lập: nguyên lý cực đại Pontryagin và nguyên lý quy hoạch động Bellman. Cho đến nay, lý thuyết ĐKTƯ đã phát triển theo nhiều hướng khác nhau như ĐKTƯ không trơn, ĐKTƯ rời rạc, ĐKTƯ được cho bởi phương trình vi phân thường (ODEs), ĐKTƯ được cho bởi phương trình đạo hàm riêng (PDEs),... Trong những thập kỉ gần đây, rất nhiều tác giả nghiên cứu định tính cho bài toán ĐKTƯ được cho bởi ODEs, PDEs và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Một trong những kết quả đó là việc đưa ra các điều kiện tối ưu cho bài toán ĐKTƯ. Điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình elliptic là một chủ đề hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu. Chủ đề này có giá trị về cả lý thuyết và ứng dụng. Các điều kiện cần bậc hai không những cung cấp các tiêu chuẩn để loại đi các điểm dừng nhưng không là điểm cực trị, mà nó còn giúp chúng ta trong việc xây dựng các điều kiện đủ cho một điểm dừng là điểm cực trị của bài toán. Các điều kiện đủ bậc hai đóng vai trò quan trọng trong giải số cho bài toán tối ưu phi tuyến, phân tích các thuật toán bậc hai tuần tự và nghiên cứu tính ổn định của ĐKTƯ. Chúng ta sẽ điểm lại một số kết quả về chủ đề này. Đối với bài toán điều khiển phân tán, tức là biến điều khiển chỉ tác động trong miền Ω của không gian Rn , E. Casas, T. Bayen và các cộng sự đã đưa ra các điều kiện cần và đủ bậc hai cho bài toán với ràng buộc thuần nhất điều khiển, tức là a(x) ≤ u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ω, (1) với u là biến điều khiển và các ràng buộc thuần nhất trạng thái. Đặc biệt, E. Casas đã thiết lập điều kiện đủ bậc hai cho bài toán điều khiển Dirichlet và bài toán điều khiển Neumann với ràng buộc (1) khi hàm mục tiêu không chứa biến điều khiển u. Hơn nữa, C. Meyer và F. Tr¨oltzsch đã đạt được các điều kiện đủ bậc hai cho bài toán Robin với ràng buộc hỗn hợp ở dạng tuyến tính a(x) ≤ λy (x)+u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ω với y là biến trạng thái và hữu hạn các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Đối với bài toán điều khiển biên, tức là biến điều khiển u chỉ tác động trên biên Γ của miền Ω, E. Casas, F. Tr¨oltzsch và các cộng sự đã đưa ra điều kiện cần và đủ bậc hai với ràng buộc thuần nhất điều khiển tại từng điểm, tức là a(x) ≤ u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Γ. Năm 2006, A. R¨osch và F. Tr¨oltzsch đã đưa ra điều kiện đủ bậc hai cho bài toán với ràng buộc hỗn hợp tuyến tính một phía c(x) ≤ u(x) + γ (x)y (x) h.k. x ∈ Γ. 1
Lưu ý rằng trong các kết quả trên, các hàm a, b thuộc không gian L∞ . Bởi vậy, biến điều khiển u cũng thuộc L∞ . Điều này dẫn đến các nhân tử Lagrange phải thuộc không gian đối ngẫu (L∞ )∗ . Tuy nhiên, chúng ta biết rằng việc miêu tả không gian đối ngẫu (L∞ )∗ không hiển như không gian đối ngẫu (Lp )∗ , 1 ≤ p < ∞. Gần đây, B. T. Kien và các cộng sự đã thiết lập điều kiện cần bậc hai của bài toán điều khiển phân tán Dirichlet với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái ở dạng a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x) a.e x ∈ Ω, a, b ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ và các ràng buộc thuần nhất trạng thái. Điều này thúc đẩy chúng ta nghiên cứu và phát triển các bài toán sau: (OP 1) : Thiết lập các điều kiện cần bậc hai của bài toán điều khiển biên Robin với ràng buộc hỗn hợp điều khiển–trạng thái ở dạng a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Γ, ở đây a, b ∈ Lp (Γ), 1 < p < ∞; (OP 2) : Đưa ra các điều kiện đủ bậc hai của bài toán ĐKTƯ với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái khi hàm mục tiêu không phụ thuộc vào biến điều khiển. Giải các bài toán (OP 1) và (OP 2) là mục tiêu đầu tiên của luận án. Sau khi các điều kiện cần và đủ bậc hai được thiết lập, chúng sẽ được so sánh với nhau. Theo J. F. Bonnans, nếu sự khác nhau giữa các điều kiện cần và điều kiện đủ bậc hai chỉ là tính chặt và không chặt của các bất đẳng thức thì ta nói rằng điều kiện tối ưu không cách biệt là đạt được. Việc đưa ra các điều kiện tối ưu bậc hai mà không có khoảng cách giữa các điều kiện cần và điều kiện đủ là một bài toán khó. Năm 1998, J. F. Bonnans đã thiết lập các điều kiện tối ưu bậc hai không cách biệt cho một bài toán ĐKTƯ với ràng buộc thuần nhất điều khiển và hàm mục tiêu là toàn phương theo cả biến trạng thái y và biến điều khiển u. Kết quả này được đưa ra dựa trên tính chất đa diện (polyhedric) của tập ràng buộc và lý thuyết về các dạng Legendre. Tuy nhiên, bài toán sau chưa có lời giải: (OP 3) : Tìm các điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp từng điểm. Giải bài toán (OP 3) là mục tiêu thứ hai của luận án. Tính ổn định nghiệm của các bài toán ĐKTƯ cũng là một chủ đề quan trọng trong tối ưu và phương pháp số. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm là đánh giá các tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm theo tham số, như là tính nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, liên tục H¨older, liên tục Lipschitz... Theo hướng này, chúng ta xét bài toán sau:  F (y, u, µ) → inf, P (µ, λ) (2) (y, u) ∈ Φ(λ), 2
ở đó y ∈ Y, u ∈ U lần lượt là các biến trạng thái và điều khiển; µ ∈ Π, λ ∈ Λ là các tham số, F : Y × U × Π → R là hàm mục tiêu trên không gian Banach Y × U × Π và Φ(λ) là tập ràng buộc (tập chấp nhận được) của bài toán. Chúng ta biết rằng nếu hàm mục tiêu F (·, ·, µ) là lồi mạnh, và tập ràng buộc Φ(λ) là lồi, thì ánh xạ nghiệm của bài toán (2) là đơn trị. Hơn nữa, A. Dontchev đã chỉ ra rằng dưới một số điều kiện, thì ánh xạ nghiệm là liên tục Lipschitz theo tham số. Bằng việc sử dụng kĩ thuật của định lý hàm ẩn, K. Malanowski đã chứng minh rằng ánh xạ nghiệm của bài toán (2) cũng là một hàm liên tục Lipschitz theo tham số nếu các điều kiện tối ưu bậc hai yếu và các ràng buộc chuẩn tắc được thỏa mãn tại điểm tham chiếu. Khi các điều kiện trên không được thỏa mãn, ánh xạ nghiệm nói chung không đơn trị. Trong trường hợp này, chúng ta phải sử dụng các công cụ của giải tích đa trị và giải tích biến phân để giải bài toán. Năm 2012, B. T. Kien và các cộng sự đã đạt được tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm cho bài toán ĐKTƯ chứa tham số trong trường hợp hàm mục tiêu là lồi theo cả hai biến và tập ràng buộc là lồi. Gần đây, tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm đã được đưa ra bởi B. T. Kien và V. H. Nhu cho các bài toán, mà ở đó hàm mục tiêu có thể không lồi theo cả hai biến và tập ràng buộc không lồi. Chú ý rằng các tác giả mới chỉ xét các bài toán được cho bởi phương trình vi phân thường và phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều khiển phân tán. Từ đó, chúng ta nhận thấy cần nghiên cứu bài toán sau: (OP 4) : Thiết lập các điều kiện đủ cho ánh xạ nghiệm của bài toán điều khiển biên chứa tham số là nửa liên tục trên và liên tục. Đưa ra lời giải cho bài toán (OP 4) là mục tiêu thứ ba của luận án. Tóm lại, mục tiêu của luận án là nghiên cứu các điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp tại từng điểm. Cụ thể, nội dung chính của luận án tập trung vào: (i) Thiết lập các điều kiện cần bậc hai cho bài toán điều khiển biên với biến điều khiển thuộc Lp (Γ), 1 ≤ p < ∞; (ii) Thiết lập các điều kiện đủ bậc hai của bài toán điều khiển phân tán và bài toán điều khiển biên khi hàm mục tiêu có dạng toàn phương theo biến điều khiển, và chỉ ra điều kiện tối ưu không cách biệt là đạt được trong trường hợp này; (iii) Đưa ra các điều kiện đủ bậc hai cho bài toán điều khiển phân tán và bài toán điều khiển biên khi hàm mục tiêu độc lập với biến điều khiển u, và chỉ ra rằng điều kiện tối ưu không cách biệt là chưa đạt được trong trường hợp này; 3
(iv) Đưa ra các điều kiện đủ cho một bài toán điều khiển biên chứa tham số sao cho ánh xạ nghiệm là nửa liên tục trên và liên tục theo tham số. Ngoài lời nói đầu và danh mục các tài liệu tham khảo, luận án gồm bốn chương: • Chương 0 trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả về giải tích biến phân, không gian Sobolev và phương trình đạo hàm riêng; • Chương 1 trình bày kết quả về các điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán điều khiển phân tán; • Chương 2 trình bày kết quả về các điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán điều khiển biên. Các kết quả trong Chương 1 và Chương 2 là câu trả lời cho các bài toán (OP 1), (OP 2) và (OP 3); • Chương 3 trình bày các kết quả về tính nửa liên tục trên và tính liên tục của ánh xạ nghiệm cho bài toán điều khiển biên chứa tham số. Đây là lời giải cho bài toán (OP 4). Các kết quả chính của luận án là nội dung của ba bài báo được công bố trong các tạp chí SIAM Journal on Optimization, Set-Valued and Variational Analysis và Optimization. Các kết quả đó được trình bày tại: • Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, 11-2016. • Hội nghị Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XV, Ba Vì, 04-2017. • Hội nghị Tính toán Hiệu năng cao lần thứ 7, tại Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM), 03-2018. • Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang, 08-2018. • Xê-mi-na "Tối ưu và Điều khiển" tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 4
Chương 1 Điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán điều khiển phân tán Cho Ω là một miền bị chặn trong RN với N ≥ 2 và biên Γ thuộc lớp C 2 . Chúng ta xét bài toán điều khiển phân tán: Tìm một hàm điều khiển u ∈ Lp (Ω) và một hàm trạng thái y ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) làm cực tiểu hóa hàm mục tiêu Z F (y, u) = L(x, y (x), u(x))dx, (1.1) Ω (DP ) sao cho − ∆y + h(x, y ) = u trong Ω, y=0 trên Γ, (1.2) a(x) ≤ g (x, y (x)) + λu(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ω, (1.3) ở đây L : Ω ×R×R → R và g : Ω ×R → R là các hàm Carathéodory; h : Ω ×R → R là một hàm liên tục thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai sao cho h(x, 0) = 0 và hy (x, y ) ≥ 0 h.k. x ∈ Ω và mọi y ∈ R; a, b ∈ Lp (Ω) và λ 6= 0 là một hằng số. Chúng ta giả sử rằng p > N2 . 1.1 Điều kiện cần bậc hai 1.1.1 Bài toán tối ưu Cho U là không gian Banach và E là không gian Banach khả ly với các không gian đối ngẫu U ∗ và E ∗ tương ứng. Chúng ta xét bài toán sau (P ) min f (u) sao cho G(u) ∈ K, u∈U ở đó, K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong E ; G : U → E và f : U → R là các hàm khả vi Frechét bậc hai trên U . Kí hiệu Φad := G−1 (K ) là tập ràng buộc của bài toán (P ). Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u¯ ∈ Φad được gọi là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ) nếu tồn tại ε > 0 sao cho f (u) ≥ f (¯ u) ∀u ∈ BU (¯ u, ) ∩ Φad . Với điểm u¯ ∈ Φad cho trước, ta nói bài toán (P ) thỏa mãn điều kiện Robinson tại ¯ nếu tồn tại ρ > 0 sao cho u BE (0, ρ) ⊂ ∇G(¯ u)(BU ) − (K − G(¯ u)) ∩ BE . (1.4) 5
Trong trường hợp này, ta nói rằng u¯ là điểm chính quy. Xét hàm Lagrange của bài toán (P ): L(u, e∗ ) = f (u) + he∗ , G(u)i với e∗ ∈ E ∗ . u) là tập gồm các nhân tử e∗ ∈ E ∗ thỏa mãn Kí hiệu Λ(¯ u, e∗ ) = ∇f (¯ ∇u L(¯ u)∗ e∗ = 0, e∗ ∈ N (K, G(¯ u) + ∇G(¯ u)). Tập Λ(¯u) là một tập lồi, khác rỗng và compact yếu* trong E ∗ . Để thiết lập các điều kiện bậc hai, chúng ta cần nón tới hạn tại u¯: C (¯ u) := {d ∈ U | h∇f (¯ u)d ∈ T [ (K, G(¯ u), di ≤ 0, ∇G(¯ u))}. Tập K được gọi là đa diện tại z¯ ∈ K nếu với bất kì v ∗ ∈ N (K, z¯), ta có T [ (K, z¯) ∩ (v ∗ )⊥ = cl[cone(K − z¯) ∩ (v ∗ )⊥ ], ở đó (v ∗ )⊥ = {v ∈ E | hv ∗ , vi = 0}. Hơn nữa, bài toán (P ) được nói là thỏa mãn điều kiện đa diện mở rộng mạnh (strongly extended polyhedricity) tại u¯ ∈ Φad nếu tập C0 (¯ u) là trù mật trong C (¯ u), ở đó C0 (¯ u) := {d ∈ C (¯ u) | ∇G(¯ u)d ∈ cone(K − G(¯ u))}. Bổ đề 1.1.3.1 Giả sử rằng u¯ là điểm chính quy, mà tại đó điều kiện polyhedricity mở rộng mạnh được thỏa mãn. Nếu u¯ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán u), tồn tại một nhân tử e∗ ∈ Λ(¯ (P ), thì với mỗi d ∈ C (¯ u) sao cho u, e∗ )(d, d) = ∇2 f (¯ ∇2uu L(¯ u)(d, d) + he∗ , ∇2 G(¯ u)(d, d)i ≥ 0. 1.1.2 Điều kiện cần bậc hai cho bài toán điều khiển tối ưu Cặp (¯ ¯) thỏa mãn các ràng buộc (1.2)–(1.3), được gọi là chấp nhận được của bài y, u toán (DP ). Với một cặp (¯ ¯) cho trước, các kí hiệu g [x], h[x], L[x], Ly [x], L[·], ..., y, u lần lượt thay thế cho g (x, y¯(x), u¯(x)), h(x, y¯(x)), L(x, y¯(x), u¯(x)), Ly (x, y¯(x), u¯(x)), L(·, y¯(·), u ¯(·)),... Definition 1.1.4. Một cặp chấp nhận được (¯ ¯) được gọi là một nghiệm tối ưu địa y, u phương của (DP ) nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi cặp chấp nhận được (y, u) thỏa mãn ky − y¯kW 2,p (Ω) + ku − u¯kLp (Ω) ≤ , ta có F (y, u) ≥ F (¯ ¯). y, u 1 J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York. 6
Chúng ta đưa ra một số giả thiết sau cho bài toán (DP ). (A1.1) L : Ω × R × R → R là một hàm Carathéodory thuộc lớp C 2 đối với (y, u), L(x, 0, 0) ∈ L1 (Ω) và với mỗi M > 0, tồn tại số dương kLM và hàm rM ∈ L∞ (Ω) sao cho |Ly (x, y, u)| + |Lu (x, y, u)| ≤ kLM |y| + |u|p−1 + rM (x), |Ly (x, y1 , u1 ) − Ly (x, y2 , u2 )| ≤ kLM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |), X |Lu (x, y, u1 ) − Lu (x, y, u2 )| ≤ kLM |u1 − u2 |p−1−j |u2 |j , j=0,p−1−j>0
Lyy (x, y1 , u1 ) − Lyy (x, y2 , u2 )
≤ kLM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |),
Lyu (x, y1 , u1 ) − Lyu (x, y2 , u2 )
≤ kLM (|y1 − y2 | + ε|u1 − u2 |p−1 )
với ε = 0 nếu 1 < p ≤ 2 và ε = 1 nếu p > 2 và  = 0 nếu 1 < p ≤ 2, |Luu (x, y, u1 ) − Luu (x, y, u2 )| ≤ kLM P j=0,j 2 với h.k. x ∈ Ω và mọi y, ui , yi ∈ R thỏa mãn |y|, |yi | ≤ M , i = 1, 2. (A1.2) Hàm g là liên tục và thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai và thỏa mãn các tính chất: g (·, 0) ∈ Lp (Ω) và với mọi M > 0, tồn tại hằng số Cg,M > 0 sao cho