Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

Chia sẻ: Trần Văn Yan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án nhằm Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm vế phải. Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------------- NGUYỄN THANH HƯỜNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS. Đặng Quang Á Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Vũ Vinh Quang Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Tiến sĩ, họp tại Học viện Khoa học vàCông nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam vào hồi … giờ, ngày … tháng … năm ... Cóthể tì m hiểu Luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học vàCông nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của Luận án Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hình hóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau. Việc nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P. Agawarl, E. Alves, P. Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhós, Y.M. Wang, Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, Nguyễn Văn Đạo, Lê Lương Tài, ... Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm, phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trong các công trình của tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự (2006, 2010, 2016-2018). Tác giả Phạm Kỳ Anh (1982, 1986) cũng có một số công trình nghiên cứu về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm, các phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... của bài toán biên tuần hoàn. Sự tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầm được xét đến trong các công trình của T.F. Ma (2000, 2003, 2004, 2007, 2010). Lý thuyết và vấn đề giải số các bài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trong các tài liệu R.P. Agarwal (1986), Uri M. Ascher (1995), Herbert B. Keller (1987), M. Ronto (2000), ... Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâm lớn của các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong thực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, ... Ta có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương và phương trình vi phân cấp bốn không địa phương. Phương trình vi phân cấp bốn có chứa thành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không địa phương hoặc phương trình loại Kirchhoff. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình vi phân cấp bốn địa phương. Dưới đây, ta sẽ điểm qua một số phương pháp tiêu biểu khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn. Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương pháp phổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến. Ý tưởng 1
của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếm hàm. Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cực trị của phiếm hàm. Có rất nhiều công trình sử dụng phương pháp biến phân (xem T.F. Ma (2000, 2003, 2004), R. Pei (2010), F. Wang và Y. An (2012), S. Heidarkhani (2016), John R. Graef (2016), S. Dhar và L. Kong (2018), ...). Tuy nhiên phải để ý rằng, khi sử dụng phương pháp biến phân, với các giả thiết về điều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, các tác giả phần lớn chỉ xét sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán (có thể xét sự tồn tại duy nhất của nghiệm trong trường hợp phiếm hàm lồi) nhưng lại không có ví dụ nào về nghiệm tồn tại, đồng thời phương pháp giải bài toán cũng không được xét đến. Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới. Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toán biên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với một số giả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảng nghiệm trên và nghiệm dưới. Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệu với các xấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu của bài toán. Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểu trùng nhau thì bài toán có nghiệm duy nhất. Dưới đây là một số công trình tiêu biểu sử dụng phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn: J. Ehme (2002), Z. Bai (2004, 2007), Y.M. Wang (2006, 2007), H. Feng (2009), F. Minhós (2009), ... Từ các công trình trên ta thấy rằng, phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, xây dựng được dãy lặp hội tụ tới nghiệm nhưng một giả thiết không thể thiếu được là bài toán phải có nghiệm trên và nghiệm dưới, trong khi đó tìm được các nghiệm này không phải là việc dễ dàng. Ngoài ra ta còn cần các giả thiết khác đặt lên hàm vế phải như điều kiện tăng trưởng tại vô cùng hoặc điều kiện phức tạp như điều kiện Nagumo ... Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, các nhà khoa học còn dùng phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động trong nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến. Áp dụng phương pháp trên, người ta đưa bài toán đã cho về bài toán tìm điểm bất động của một toán tử, sau đó áp dụng các định lý điểm bất động đối với toán tử này. Ta có thể liệt kê rất nhiều công trình sử dụng phương pháp trên (xem R.P. Agarwal (1984), B. Yang (2005), P. Amster (2008), T.F. Ma (2010), S. Yardimci (2014), ...). Chú ý rằng, trong các công trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, phần lớn các tác giả sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm. Sử dụng các định lý về tồn tại điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder, Krassnosel’skii, ... đối với toán tử này ta chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm. Sử 2
dụng Định lý điểm bất động Bannach ta không những thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán mà còn đưa ra được phương pháp lặp hội tụ cấp số nhân tìm nghiệm. Tuy nhiên cũng phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử và xét toán tử này trên một không gian phù hợp sao cho các giả thiết đặt lên các hàm ràng buộc là đơn giản mà vẫn đảm bảo các điều kiện để áp dụng được các định lý điểm bất động trong nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài toán biên phi tuyến đóng vai trò vô cùng quan trọng. Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ nghiệm của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn là phương pháp sai phân hữu hạn (xem T.F. Ma (2003), R.K. Mohanty (2000), J. Talwar (2012), Y.M. Wang (2007), ...). Bằng cách thay thế các đạo hàm bởi các công thức sai phân, bài toán đã cho được rời rạc thành các hệ phương trình đại số. Giải hệ này ta thu được nghiệm xấp xỉ của bài toán tại các nút lưới. Chú ý rằng khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, nhiều công trình tiếp cận theo hướng công nhận sự tồn tại nghiệm của bài toán (không xét về mặt định tính), rời rạc hóa bài toán ngay từ ban đầu. Cách làm này có nhược điểm là khó đánh giá được sự ổn định, hội tụ của lược đồ sai phân và khó có thể đánh giá sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ. Khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, ngoài các phương pháp phổ biến được trình bày ở trên còn có thể kể đến một số phương pháp khác như phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier, phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, ... Có thể kết hợp các phương pháp nêu trên để nghiên cứu đầy đủ cả về mặt định tính lẫn định lượng của bài toán. Với sự phát triển không ngừng của khoa học, kỹ thuật, vật lý, cơ học, ... xuất phát từ những bài toán thực tế trong các lĩnh vực này, các bài toán biên mới được đặt ra ngày càng nhiều và phức tạp trong cả phương trình lẫn điều kiện biên. Mỗi tác giả sẽ có phương pháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác nhau với từng bài toán. Mỗi phương pháp đề ra sẽ có những ưu điểm và hạn chế riêng và khó có thể khẳng định phương pháp nào thực sự tốt hơn phương pháp nào từ lý thuyết cho đến thực nghiệm. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ hướng tới phương pháp nghiên cứu được toàn diện cả về mặt định tính lẫn định lượng của các bài toán sao cho các điều kiện được đặt ra là đơn giản và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của kết quả lý thuyết, so sánh được kết quả chúng tôi đạt được so với kết quả đã có của một số tác giả khác về một mặt nào đó. Đây chính là mục đích và lí do chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn". 3
2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của Luận án Đối với một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốn của dầm và của bản: - Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm vế phải. - Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán. - Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác. 3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu - Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sử dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và một số tính chất khác của nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn địa phương và không địa phương. - Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội tụ của phương pháp. - Đưa ra một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm. 4. Kết quả đạt được của Luận án Luận án đề xuất một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với các loại điều kiện biên khác nhau và hai bài toán biên cho phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian. Các kết quả đạt được là: - Thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán dưới các điều kiện dễ kiểm tra, trong đó bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn địa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp và bài toán biên cho phương trình song điều hòa, xét được tính dương của nghiệm. 4
- Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của phương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân. - Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp trong Luận án so với phương pháp của một số tác giả khác. - Đưa ra các thử nghiệm số kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm. Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A8] trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án. Luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại: 1. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013. 2. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015. 3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016. 4. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12- 13/11/2016. 5. Hội nghị Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10), Đà Nẵng, 17-18/8/2017. 6. The second Vietnam International Applied Mathematics Conference (VI- AMC 2017), Ho Chi Minh, December 15 to 18, 2017. 7. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ Thông tin, Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. 5
Chương 1 Kiến thức bổ trợ Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chương tiếp theo của Luận án. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu A.N. Kolmogorov và S.V. Fomin (1957), E. Zeidler (1986), A.A. Sammarskii (1989, 2001), A. Granas và J. Dugundji (2003), J. Li (2005), Đặng Quang Á (2009), R.L. Burden (2011). • Mục 1.1 trình bày một số Định lý điểm bất động: Định lý điểm bất động Brouwer, Định lý điểm bất động Schauder, Định lý điểm bất động Banach. • Mục 1.2 trình bày khái niệm hàm Green đối với bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp n và một số ví dụ cụ thể về cách xác định hàm Green của các bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai và cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau. • Mục 1.3 trình bày một số công thức tính gần đúng đạo hàm, tích phân với sai số cấp hai và cấp bốn. • Mục 1.4 trình bày công thức xấp xỉ phương trình Poisson với độ chính xác cấp bốn. • Mục 1.5 trình bày phương pháp khử giải hệ phương trình vô hướng ba điểm và phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm. 6
Chương 2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi thường phi tuyến cấp bốn Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biên khác nhau: điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên phi tuyến. Ở đây, Luận án sử dụng phương pháp đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sau đó xét trên một miền giới nội thích hợp cùng với một số điều kiện dễ kiểm tra, Luận án chứng minh được toán tử đó là co. Từ đó, sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán được thiết lập, đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm hội tụ. Các kết quả của chương được trình bày trong các bài báo [A2]-[A4], [A6]-[A8] trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án. 2.1. Bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn địa phương 2.1.1. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp Luận án trình bày chi tiết các kết quả của công trình [A4] đối với bài toán u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), 0 < x < 1, (2.1.1) u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu00 (1) + du000 (1) = 0, 0 00 000 ở đây a, b, c, d ≥ 0, ρ := ad + bc + ac > 0 và f : [0, 1] × R4 → R là hàm liên tục. 2.1.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến A : C[0, 1] → C[0, 1] được xác định như sau (Aϕ)(x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), (2.1.2) 7
trong đó u(x) là nghiệm của bài toán u(4) (x) = ϕ(x), 0 < x < 1, (2.1.3) u(0) = 0, u0 (1) = 0, au00 (0) − bu000 (0) = 0, cu00 (1) + du000 (1) = 0. Mệnh đề 2.1. Hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là ϕ(x) là nghiệm của phương trình toán tử ϕ = Aϕ khi và chỉ khi hàm u(x) xác định từ bài toán (2.1.3) là nghiệm của bài toán (2.1.1). Nếu ta đặt v(x) = u00 (x) thì bài toán (2.1.3) đưa được về hai bài toán cấp hai 00 00 v (x) = ϕ(x), 0 < x < 1, u (x) = v(x), 0 < x < 1, 0 0 av(0) − bv (0) = 0, cv(1) + dv (1) = 0, u(0) = 0, u0 (1) = 0. Khi đó toán tử A xác định ở (2.1.2) biểu diễn được trong dạng (Aϕ)(x) = f (x, u(x), y(x), v(x), z(x)), y(x) = u0 (x), z(x) = v 0 (x). Với M > 0, ta định nghĩa miền n o DM = (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ ρ1 M, |y| ≤ ρ2 M, |v| ≤ ρ3 M, |z| ≤ ρ4 M , 1 2ad + bc + 6bd 1 ad + bc + 4bd ở đây ρ1 = + , ρ2 = + , 24 12ρ 12 4ρ 1 a(d + c/2) 2 b(d + c/2) 1 ac ρ3 = + , ρ4 = + max(ad, bc) . 2 ρ ρ ρ 2 Kí hiệu B[O, M ] là hình cầu đóng tâm O bán kính M trong không gian C[0, 1]. Bổ đề 2.1. Giả sử tồn tại các hằng số M > 0, K1 , K2 , K3 , K4 ≥ 0 sao cho |f (x, u, y, v, z)| ≤ M với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DM . Khi đó toán tử A ánh xạ B[O, M ] vào chính nó. Ngoài ra, nếu |f (x, u2 ,y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )| (2.1.4) ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |y2 − y1 | + K3 |v2 − v1 | + K4 |z2 − z1 | với mọi (t, ui , yi , vi , zi ) ∈ DM (i = 1, 2) và q = K1 ρ1 + K2 ρ2 + K3 ρ3 + K4 ρ4 < 1 (2.1.5) thì A là toán tử co trong B[O, M ]. Định lý 2.1. Giả sử rằng tất cả các điều kiện trong Bổ đề 2.1 đều được thỏa mãn. Khi đó, bài toán (2.1.1) có duy nhất nghiệm u và kuk ≤ ρ1 M, ku0 k ≤ ρ2 M, ku00 k ≤ ρ3 M, ku000 k ≤ ρ4 M. 8
Kí hiệu n + DM = (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ ρ1 M, o 0 ≤ y ≤ ρ2 M, −ρ3 M ≤ v ≤ 0, −ρ4 M ≤ z ≤ ρ4 M . Định lý 2.2. (Tính dương của nghiệm) + Giả sử trong DM hàm f thỏa mãn 0 ≤ f (x, u, y, v, z) ≤ M và các điều kiện (2.1.4), (2.1.5) của Bổ đề 2.1 đều được thỏa mãn. Khi đó bài toán (2.1.1) có nghiệm không âm duy nhất. 2.1.1.2. Phương pháp giải Phương pháp lặp giải bài toán (2.1.1) được đề xuất như sau: Phương pháp lặp 2.1.1a i) Cho xấp xỉ đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0). ii) Biết ϕk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán k 00 k 00 (v ) (x) = ϕk (x), 0 < x < 1, (u ) (x) = v k (x), 0 < x < 1, av k (0) − b(v k )0 (0) = 0, cv k (1) + d(v k )0 (1) = 0, uk (0) = (uk )0 (1) = 0. iii) Cập nhật ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), (uk )0 (x), v k (x), (v k )0 (x)). qk Đặt pk = kϕ1 − ϕ0 k. Ta có kết quả sau: 1−q Định lý 2.3. Với các giả thiết của Bổ đề 2.1, Phương pháp lặp 2.1.1a hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân và với u là nghiệm đúng của bài toán (2.1.1) ta có kuk − uk ≤ ρ1 pk , k(uk )0 − u0 k ≤ ρ2 pk , k(uk )00 − u00 k ≤ ρ3 pk , k(uk )000 − u000 k ≤ ρ4 pk . Xét bài toán cấp hai 00 v (x) = g(x), x ∈ (0, 1), c0 v(0) − c1 v 0 (0) = C, d0 v(1) + d1 v 0 (1) = D, trong đó c0 , c1 , d0 , d1 ≥ 0, c20 + c21 > 0, d20 + d21 > 0, C, D ∈ R. Dựa trên các kết quả trong công trình [A8], Luận án xây dựng lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn giải bài toán trên như sau  c1  c0 v0 − (−25v0 + 48v1 − 36v2 + 16v3 − 3v4 ) = F0 ,   12h vi−1 − 2vi + vi+1 = Fi , i = 1, 2, ..., N − 1,  d v + d1 (25v − 48v  N −1 + 36vN −2 − 16vN −3 + 3vN −4 ) = FN ,  0 N N 12h 2 h2 h4 2 trong đó F0 = C, FN = D, Fi = h gi + Λgi + Λ gi , i = 1, 2, ..., N − 1. 12 360 9
Xét lưới đều ω h = {xi = ih, i = 0, 1, ..., N ; h = 1/N } trên [0, 1]. Kí hiệu V , U k , Φk là các hàm lưới. Với hàm lưới tổng quát V trên ω h ta kí hiệu Vi = V (xi ) k và Vi0 là các đạo hàm sai phân cấp một với độ chính xác cấp bốn. Luận án thu được phương pháp lặp ở mức rời rạc giải bài toán (2.1.1): Phương pháp lặp 2.1.1b i) Cho xấp xỉ đầu Φ0i = f (xi , 0, 0, 0, 0), i = 0, 1, 2, ..., N. ii) Biết Φk (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán b    aV0k − (−25V0k + 48V1k − 36V2k + 16V3k − 3U4k ) = 0,   12h h2 h4 2 k  k k k ΛVi = Φi + ΛΦi + Λ Φi , i = 1, 2, ..., N − 1,  12 360  cV k + d (25V k − 48V k + 36V k − 16V k + 3V k ) = 0,    N N N −1 N −2 N −3 N −4 12h  k  U0 = 0, h2 h4 2 k    ΛUik = Vik + ΛVik + Λ Vi , i = 1, 2, ..., N − 1, k k 12 360 k k k  25UN − 48UN −1 + 36UN −2 − 16UN −3 + 3UN −4 = 0.    12h iii) Cập nhật Φk+1 i = f (xi , Uik , (U k )0i , Vik , (V k )0i ), i = 0, 1, 2, ..., N. Luận án đưa ra các ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó một số ví dụ được phân tích cho thấy ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp trong H. Feng, D. Ji, W. Ge (2009): phương pháp trong Luận án khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, trong khi đó, theo phương pháp trong H. Feng, D. Ji, W. Ge (2009) ta không kết luận được gì về sự tồn tại nghiệm của bài toán. 2.1.2. Trường hợp điều kiện biên Dirichlet Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [A3] về bài toán u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), a < x < b, (2.1.6) u(a) = u(b) = 0, u0 (a) = u0 (b) = 0, 2.1.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến A : C[a, b] → C[a, b] được xác định như sau (Aϕ)(x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), (2.1.7) 10
ở đây u(x) là nghiệm của bài toán u(4) (x) = ϕ(x), a < x < b, (2.1.8) u(a) = u(b) = 0, u0 (a) = u0 (b) = 0. Mệnh đề 2.2. Nếu hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là, ϕ(x) là nghiệm của phương trình toán tử ϕ = Aϕ (2.1.9) thì hàm u(x) xác định từ bài toán (2.1.8) là nghiệm của (2.1.6). Ngược lại, nếu u(x) là nghiệm của bài toán (2.1.6) thì hàm ϕ(x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)) là điểm bất động của toán tử A được định nghĩa bởi (2.1.7) và (2.1.8). Như vậy việc tìm nghiệm của bài toán (2.1.6) được đưa về việc tìm nghiệm của phương trình toán tử (2.1.9). Với số M > 0, ta định nghĩa miền n DM = (x, u, y, v, z) | a ≤ x ≤ b, |u| ≤ C4,0 (b − a)4 M, o 3 2 |y| ≤ C4,1 (b − a) M, |v| ≤ C4,2 (b − a) M, |z| ≤ C4,3 (b − a)M , √ trong đó C4,0 = 1/384, C4,1 = 1/72 3, C4,2 = 1/12, C4,3 = 1/2. Bằng cách sử dụng Định lý điểm bất động Schauder và Định lý điểm bất động Banach đối với toán tử A, Luận án thiết lập các định lý về sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm của bài toán (2.1.6). Định lý 2.4. Giả sử f là hàm liên tục và tồn tại hằng số M > 0 sao cho |f (x, u, y, v, z)| ≤ M với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DM . Khi đó bài toán (2.1.6) có ít nhất một nghiệm. Định lý 2.5. Giả sử rằng tất cả các điều kiện của Định lý 2.4 đều được thỏa mãn. Thêm vào đó, giả sử tồn tại các hằng số K0 , K1 , K2 , K3 ≥ 0 sao cho |f (x, u2 , y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )| ≤ K0 |u2 − u1 | + K1 |y2 − y1 | (2.1.10) + K2 |v2 − v1 | + K3 |z2 − z1 |, với mọi (x, ui , yi , vi , zi ) ∈ DM (i = 1, 2) và 3 X q= Ki C4,k (b − a)4−k < 1. (2.1.11) k=0 Khi đó bài toán (2.1.6) có duy nhất nghiệm u và kuk ≤ C4,0 (b − a)4 M, ku0 k ≤ C4,1 (b − a)3 M, ku00 k ≤ C4,2 (b − a)2 M, ku000 k ≤ C4,3 (b − a)M. 11
Kí hiệu n + DM = (x, u, y, v, z) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ u ≤ C4,0 (b − a)4 M, o 3 2 |y| ≤ C4,1 (b − a) M, |v| ≤ C4,2 (b − a) M, |z| ≤ C4,3 (b − a)M . + Định lý 2.6. (Tính dương của nghiệm) Giả sử trong miền DM hàm f thỏa mãn 0 ≤ f (t, x, y, u, z) ≤ M và các điều kiện (2.1.10), (2.1.11) của Định lý 2.5 cũng được thỏa mãn. Khi đó bài toán (2.1.6) có duy nhất nghiệm không âm. 2.1.2.2. Phương pháp giải và ví dụ số Phương pháp lặp giải bài toán (2.1.6) được đề xuất như sau: Phương pháp lặp 2.1.2 i) Cho xấp xỉ ban đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x)R= f (x, 0, 0, 0, 0). b ii) Biết ϕk (x), (k = 0, 1, 2, ...) tính uk (x) = a G(x, t)ϕk (t)dt và các đạo hàm (m) uk (x) của uk (x). Các đạo hàm này có thể tính qua các tích phân Z b m (m) ∂ G(x, t) uk (x) = ϕk (t)dt (m = 1, 2, 3). a ∂xm iii) Cập nhật ϕk+1 (x) = f (x, uk (x), u0k (x), u00k (x), u000 k (x)). k q Đặt pk = kϕ1 − ϕ0 k. Ta có kết quả sau: 1−q Định lý 2.7. Dưới các giả thiết của Định lý 2.5, phương pháp lặp 2.1.2 hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân và với u là nghiệm chính xác của bài toán (2.1.6) ta có đánh giá kuk − uk ≤ C4,0 (b − a)4 pk , ku0k − u0 k ≤ C4,1 (b − a)3 pk , ku00k − u00 k ≤ C4,2 (b − a)2 pk , ku000 000 k − u k ≤ C4,3 (b − a)pk , Chú ý 2.1. Xét bài toán u(4) (x) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), a < x < b, 0 (2.1.12) u(a) = A1 , u(b) = B1 , u (a) = A2 , u0 (b) = B2 . Đặt v(x) = u(x) − P (x), trong đó P (x) là đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán và kí hiệu F (x, v(x), v 0 (x), v 00 (x), v 000 (x)) = f (x, v(x) + P (x), (v(x) + P (x))0 , (v(x) + P (x))00 , (v(x) + P (x))000 ). Khi đó bài toán (2.1.12) trở thành v (x) = F (x, v(x), v 0 (x), v 00 (x), v 000 (x)), (4) a < x < b, v(a) = v(b) = 0, v 0 (a) = v 0 (b) = 0. Do đó ta có thể áp dụng các kết quả đã trình bày ở phần trên đối với bài toán này. 12
Định lý 2.8. Giả sử hàm f là liên tục và tồn tại hằng số M > 0 sao cho với mọi (x, v0 , v1 , v2 , v3 ) ∈ DM ta có |f (x, v0 , v1 , v2 , v3 )| ≤ M , ở đây n DM = (x, v0 , v1 , v2 , v3 ) | a ≤ x ≤ b, |vi | ≤ max |P (i) (x)| x∈[a,b] o 4−i + C4,i (b − a) M, i = 0, 1, 2, 3 . Khi đó bài toán (2.1.12) có ít nhất một nghiệm. Luận án đưa ra nhiều ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó, một số ví dụ được phân tích rõ cho thấy ưu thế của phương pháp Luận án đề xuất so với phương pháp trong R.P. Agarwal (1984): phương pháp trong Luận án kết luận bài toán có duy nhất nghiệm hoặc có duy nhất nghiệm dương trong khi đó, phương pháp trong R.P. Agarwal (1984) chỉ kết luận được sự tồn tại nghiệm hoặc không thể kết luận gì về sự tồn tại nghiệm của bài toán. 2.1.3. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [A7] về bài toán ( u(4) (x) = f (x, u, u0 ), 0 < x < L, (2.1.13) u(0) = 0, u(L) = 0, u00 (0) = g(u0 (0)), u00 (L) = h(u0 (L)). Đặt u0 = v, u00 = w. Khi đó bài toán (2.1.13) đưa được về hai bài toán cấp hai đối với w và u  x (  w00 (x) = f x, R v(t)dt, v(x) , 0 < x < L,  u00 (x) = w(x), 0 < x < L, 0  w(0) = g(v(0)), w(L) = h(v(L)),  u(0) = 0, u(L) = 0. Từ hai bài toán trên ta thấy rằng nghiệm u(x) phụ thuộc vào hàm v. Do đó, đạo hàm u0 cũng phụ thuộc vào v. Như vậy ta có thể biểu diễn sự phụ thuộc này bởi toán tử T : C[0, L] → C[0, L] được xác định bởi T v = u0 . Kết hợp với điều kiện u0 = v ta thu được phương trình toán tử v = T v, tức là v là điểm bất động của toán tử T . Để xét tính chất của toán tử T ta đưa vào không gian n ZL o S = v ∈ C[0, L], v(t)dt = 0 . 0 Xét các giả thiết đặt lên các hàm ràng buộc trong bài toán (2.1.13) như sau: giả sử tồn tại các hằng số λf , λg , λh ≥ 0 sao cho với mọi u, u, v, v ta có |f (x, u, v) − f (x, u, v)| ≤ λf max |u − u|, |v − v|, (2.1.14) |g(u) − g(u)| ≤ λg |u − u|, |h(u) − h(u)| ≤ λh |u − u|. 13
Áp dụng Định lý điểm bất động Banach đối với toán tử T . Luận án thiết lập sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán đã cho. Mệnh đề 2.3. Với giả thiết (2.1.14), bài toán (2.1.13) có duy nhất nghiệm nếu L3 L L q= λf max , 1 + (λg + λh ) < 1. (2.1.15) 16 2 2 Phương pháp lặp giải bài toán (2.1.13) được đề xuất như sau: Phương pháp lặp 2.1.3 (i) Cho xấp xỉ đầu v0 (x), chẳng hạn v0 (x) = 0. (ii) Biết vk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán   w00 (x) = f x, R x v (t)dt, v (x) , 0 < x < L, ( k 0 k k u00k (x) = wk (x), 0 < x < L,  wk (0) = g(vk (0)), wk (L) = h(vk (L)), uk (0) = uk (L) = 0. (iii) Cập nhật vk+1 (x) = u0k (x). Định lý 2.9. Với giả thiết (2.1.14), (2.1.15), Phương pháp lặp 2.1.3 hội tụ và với u là nghiệm chính xác của bài toán (2.1.13) ta có đánh giá qk L 0 ku0k − u0 k ≤ kv1 − v0 k, kuk − uk ≤ kuk − u0 k. 1−q 2 Luận án đưa ra một số ví dụ trong trường hợp nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết để minh họa cho các kết quả lý thuyết. 2.2. Bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không địa phương 2.2.1. Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong công trình [A2] đối với bài toán Z L (4) u (x) − M c |u (s)| ds u00 (x) 0 2 0 (2.2.1) = f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), 0 < x < L, u(0) = u(L) = 0, u00 (0) = u00 (L) = 0. 2.2.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Với hàm ϕ(x) ∈ C[0, L], xét toán tử phi tuyến A : C[0, L] → C[0, L] được xác định như sau c(ku0 k2 )u00 (x) + f (x, u(x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)), (Aϕ)(x) = M (2.2.2) 2 14
ở đây k.k2 là chuẩn trong L2 [0, L], u(x) là nghiệm của bài toán u(4) (x) = ϕ(x), 0 < x < L, (2.2.3) u(0) = u(L) = 0, u00 (0) = u00 (L) = 0. Mệnh đề 2.4. Hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là ϕ(x) là nghiệm của phương trình toán tử ϕ = Aϕ khi và chỉ khi hàm u(x) xác định từ bài toán (2.2.3) là nghiệm của bài toán (2.2.1). Đặt v(x) = u00 (x) thì bài toán (2.2.3) đưa về hai bài toán cấp hai 00 00 v (x) = ϕ(x), 0 < x < L, u (x) = v(x), 0 < x < L, v(0) = v(L) = 0, u(0) = u(L) = 0. Lúc này toán tử A xác định ở (2.2.2) biểu diễn được trong dạng c(kyk2 )v(x) + f (x, u(x), y(x), v(x), z(x)), y(x) = u0 (x), z(x) = v 0 (x). (Aϕ)(x) := M 2 Với mỗi số dương R, ta xét miền n 5L4 R L3 R L2 R LR o DR := (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ L, |u| ≤ , |y| ≤ , |v| ≤ , |z| ≤ . 384 24 8 2 Kí hiệu B[O, R] là hình cầu đóng tâm O bán kính R trong không gian C[0, L]. 8 Bổ đề 2.2. Giả sử tồn tại các hằng số R > 0, 0 ≤ m ≤ 2 , λM c, K1 , K2 , K3 , K4 ≥ L 0 sao cho 2 mL |Mc(s)| ≤ m, |f (x, u, y, v, z)| ≤ R 1 − , 8 R 2 L7 với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DR và 0 ≤ s ≤ . Khi đó, toán tử A ánh xạ B[O, R] 576 vào chính nó. Ngoài ra, nếu |M c(s2 ) − M c(s1 )| ≤ λ c|s2 − s1 |, M |f (x, u2 , y2 , v2 , z2 ) − f (x, u1 , y1 , v1 , z1 )| ≤ K1 |u2 − u1 | + K2 |y2 − y1 | + K3 |v2 − v1 | + K4 |z2 − z1 |, R 2 L7 với mọi (x, ui , yi , vi , zi ) ∈ DR , 0 ≤ si ≤ (i = 1, 2) và 576 2 9 5L4 L3 L2 L mL2 λM cR L q = K1 + K2 + K3 + K4 + +
2.2.1.2. Phương pháp lặp và ví dụ số Phương pháp lặp giải bài toán (2.2.1) được đề xuất như sau: Phương pháp lặp 2.2.1 i) Cho xấp xỉ đầu ϕ0 (x), chẳng hạn, ϕ0 (x) = f (x, 0, 0, 0, 0). ii) Biết ϕk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán 00 00 vk (x) = ϕk (x), 0 < x < L, uk (x) = vk (x), 0 < x < L, vk (0) = vk (L) = 0, uk (0) = uk (L) = 0. c(ku0 k2 )u00 (x) + f (x, uk (x), u0 (x), u00 (x), u000 (x)). iii) Cập nhật ϕk+1 (x) = M k 2 k k k k qk Đặt pk = kϕ1 − ϕ0 k. Ta có định lý sau: 1−q Định lý 2.11. Với các giả thiết của Bổ đề 2.2, Phương pháp lặp 2.2.1 hội tụ và với u là nghiệm đúng của bài toán (2.2.1) ta có đánh giá 5L4 0 0 L3 00 00 L2 L kuk − uk ≤ pk , kuk − u k ≤ pk , kuk − u k ≤ pk , ku000 k − u000 k ≤ pk . 384 24 8 2 Luận án đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó một số ví dụ được phân tích rõ cho thấy ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp trong P. Amster, P.P. Cárdenas Alzate (2008): phương pháp trong Luận án khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, trong khi đó, theo phương pháp trong P. Amster, P.P. Cárdenas Alzate (2008) ta không kết luận được về sự tồn tại nghiệm của bài toán. 2.2.2. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến Luận án trình bày chi tiết các kết quả trong công trình [A6] đối với bài toán Z L (4) u (x) − M c |u (s)| ds u00 (x) = f (x, u(x)), 0 < x < L, 0 2 0 Z L (2.2.4) u(0) = u0 (0) = u00 (L) = 0, u000 (L) − M c |u0 (s)|2 ds u0 (L) = g(u(L)). 0 2.2.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm Đặt v(x) = u00 (x) − M c(||u0 ||2 )u(x), với k.k2 là chuẩn trong không gian L2 [0, L]. 2 Khi đó bài toán (2.2.4) được đưa về dãy hai bài toán cấp hai v 00 (x) = f (x, u(x)), 0 < x < L, v(L) = −M ku k2 u(L), v 0 (L) = g(u(L)) 0 2 00 0 2 u (x) = M ku k2 u(x) + v(x), 0 < x < L, c u(0) = u0 (0) = 0. 16
Thông qua biểu diễn nghiệm của hai bài toán trên ta thấy rằng u là nghiệm của bài toán (2.2.4) khi và chỉ khi nó là nghiệm của phương trình tích phân u(x) = (T u)(x), ở đây Z L h 0 2 (T u)(x) = G(x, t) M ku k2 u(t) c 0 Z L i 0 2 + G(t, s)f (s, u(s))ds + g(u(L))(t − L) − M ku k2 u(L) dt. c 0 Áp dụng Định lý điểm bất động Schauder và Định lý điểm bất động Banach đối với toán tử T , Luận án thiết lập được các định lý về sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm của bài toán (2.2.4). Định lý 2.12. Giả sử f, g, M c là những hàm liên tục và tồn tại các hằng số R, A, B, m > 0 sao cho |f (t, u)| ≤ A, ∀(t, u) ∈ [0, L] × [−L2 R, L2 R], |g(u)| ≤ B, ∀u ∈ [−L2 R, L2 R], c(s)| ≤ m, ∀s ∈ [0, L3 R2 ]. |M L2 Khi đó, nếu 2 A + LB ≤ R(1 − mL2 ) thì bài toán (2.2.4) có ít nhất một nghiệm. Định lý 2.13. Giả sử rằng tất cả các giả thiết của Định lý 2.12 được thỏa mãn. Ngoài ra giả thiết tồn tại các hằng số λf , λg , λM c > 0 sao cho |f (x, u) − f (x, v)| ≤ λf |u − v|, ∀(x, u), (x, v) ∈ [0, L] × [−L2 R, L2 R], |g(u) − g(v)| ≤ λg |u − v|, ∀u, v ∈ [−L2 R, L2 R], |M c(u) − M c(v)| ≤ λ c|u − v|, ∀u, v ∈ [0, L3 R2 ]. M 2 L4 Khi đó, nếu q = 4L5 R λM c + 2 λf + L3 λg + 2mL2 < 1 thì bài toán (2.2.4) có nghiệm duy nhất. 2.2.2.2. Phương pháp lặp và ví dụ số Phương pháp lặp giải bài toán (2.2.4) được đề xuất như sau: Phương pháp lặp 2.2.2 i) Cho xấp xỉ đầu u0 (x), chẳng hạn, u0 (x) = 0, trong [0, L]. ii) Biết uk (x) (k = 0, 1, 2, ...) giải liên tiếp hai bài toán vk00 (x) = f (x, uk (x)), 0 < x < L, vk (L) = −M kuk k2 uk (L), vk0 (L) = g(uk (L)), c 0 2 00 0 2 uk+1 (x) = vk (x) + M kuk k2 uk (x), 0 < x < L, c uk+1 (0) = u0k+1 (0) = 0. 17
Định lý 2.14. Với các giả thiết của Định lý 2.13, Phương pháp lặp 2.2.2 hội tụ và ta có đánh giá qk kuk − uk∞ ≤ Lku0k 0 − u k∞ ≤ L 2 ku00k 00 − u k∞ ≤L 2 ku001 − u000 k∞ , 1−q ở đây u là nghiệm đúng của bài toán ban đầu (2.2.4). Luận án đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó một số ví dụ được phân tích thể hiện ưu thế của Phương pháp lặp 2.2.2 so với phương pháp trong T.F. Ma (2003): phương pháp trong Luận án khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán, trong khi đó, theo phương pháp trong T.F. Ma (2003) ta chỉ suy ra được sự tồn tại nghiệm hoặc không kết luận được gì về sự tồn tại nghiệm. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Trong chương này, Luận án nghiên cứu sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biên khác nhau: điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên phi tuyến. Ở đây, Luận án sử dụng phương pháp đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sau đó xét trên một miền giới nội thích hợp cùng với một số điều kiện dễ kiểm tra, Luận án chứng minh được toán tử đó là co. Từ đó, sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán được thiết lập, đồng thời phương pháp lặp tìm nghiệm là hội tụ. Để minh họa cho các kết quả trong lý thuyết, Luận án đưa ra các ví dụ trong cả hai trường hợp biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng. Đặc biệt hơn, trong các ví dụ đó có những ví dụ được phân tích cụ thể cho thấy ưu thế của phương pháp Luận án đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác. 18