Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án nhằm đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach tương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 9460106 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, năm 2018
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Lê Văn Thành 2. GS. TSKH. Nguyễn Duy Tiến Phản biện 1: PGS.TS. Ngô Hoàng Long Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: TS. Lê Hồng Sơn Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh Phản biện 3: PGS.TS. Phan Đức Thành Hội Toán học Nghệ An Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Trường Tại Trường Đại học Vinh Vào hồi 8h00’ ngày 30 tháng 01 năm 2019 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin – Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng định trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối hội tụ theo một nghĩa nào đó về kì vọng của các biến ngẫu nhiên đó. Trong nhiều năm gần đây, luật số lớn vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và nhiều lĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. 1.2. Logic tự nhiên của sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong những hướng tổng quát đó là từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử nhận giá trị trong không gian Banach, hoặc từ các kết quả đã có đối với dãy mở rộng sang các kết quả đối với mảng hai hay nhiều chỉ số các phần tử ngẫu nhiên. Có rất nhiều câu hỏi được đặt ra như “từ các kết quả cho dãy một chỉ số đã có, liệu rằng có thể thiết lập được các kết quả tương tự cho mảng nhiều chỉ số không?”, “phương pháp chứng minh các kết quả cho dãy một chỉ số có vận dụng được trong trường hợp mảng nhiều chỉ số không?”,... Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li. Các kết quả thu được đối với mảng hai chỉ số có thể tổng quát thành mảng nhiều chỉ số bằng phương pháp hoàn toàn tương tự. 1.3. Bên cạnh các dạng hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, trong lý thuyết xác suất ta còn xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình. Hội tụ đầy đủ theo trung bình là một dạng hội tụ mạnh hơn
2 hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình. Tuy nhiên, các kết quả về sự hội tụ này chưa thật phong phú. 1.4. Xác suất trên không gian Banach là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết xác suất. Có rất nhiều định lý giới hạn đúng trong không gian thực nhưng không còn đúng trong không gian Banach. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach”. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach tương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2). Trong trường hợp không gian Banach không là không gian Rademacher dạng p, chúng tôi chứng minh được hội tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn. Luận án cũng nghiên cứu điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Cuối cùng, chúng tôi trình bày các dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển và ứng dụng một trong các bất đẳng thức đó để chứng minh rằng luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, độc lập không cùng phân phối và độc lập đôi một cùng phân phối nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li. 4. Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ theo trung bình và sự hội tụ đầy đủ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
3 gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập và độc lập đôi một. Đồng thời, luận án cũng nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức cổ điển như các bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi vận dụng dạng tổng quát của bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theo nhóm dưới sự chủ trì của thầy hướng dẫn, và trao đổi với các nhà khoa học trong và ngoài nước. Các công cụ chủ yếu sử dụng trong luận án là các bất đẳng thức cực đại như bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức đối xứng yếu, bất đẳng thức đối xứng mạnh. Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con, phương pháp xấp xỉ, và phương pháp đối xứng hóa để chứng minh các kết quả về luật số lớn và sự hội tụ của mảng các phần tử ngẫu nhiên. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu về luật số lớn, sự hội tụ đầy đủ, và sự hội tụ đầy đủ theo trung bình đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan về luận án Luật số lớn đầu tiên được Bernoulli công bố vào năm 1713. Về sau kết quả này được mở rộng bởi Poisson, Chebyshev, Markov và Khintchin. Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn được Borel phát hiện và kết quả này được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1933. Sau đó kết quả này đã được mở rộng bởi Marcinkiewicz và Zygmund. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị
4 thực, năm 1973 Smythe đã thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov. Sau đó, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng nhiều chỉ số cũng được nghiên cứu bởi Gut năm 1978, Klesov năm 1985. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach bất kì. Cụ thể hơn, chúng tôi đã đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau. Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm này được đưa ra đầu tiên bởi Chow năm 1988 cho trường hợp dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky, Thành và Volodin đã thiết lập sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Trong luận án, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p. Đối với không gian Banach bất kì, chúng tôi chứng minh được từ Smn /(mn)(p+1)/p , p ≥ 1 hội tụ đầy đủ theo trung bình về 0 kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng nghiên cứu về điều kiện cần và đủ của sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số của các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một. Các bất đẳng thức đánh giá xác suất đuôi của tổng các biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất. Chúng là chìa khóa để thiết lập luật số lớn cũng như các định lý giới hạn khác. Từ các bất đẳng thức cổ điển Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen, năm 1991 Etemadi đã chứng minh được các bất đẳng thức này cho trường hợp mảng d chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Sau đó, năm 2013 các tác giả Li và Rosalsky đã thiết lập dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển trên. Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu dạng tổng quát của các bất đẳng thức cổ điển này cho trường hợp mảng hai chỉ số. Sau đó, chúng tôi vận dụng kết quả này để chứng minh rằng luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn. 7.2. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần Một số kí hiệu thường dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận
5 chung và kiến nghị, Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương. Chương 1 được dành để nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả li. Cụ thể hơn, chúng tôi đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập tương đương với nhau. Chương 2 nghiên cứu sự hội tụ đầy đủ và hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Chương 2 gồm hai mục. Mục 2.1 đưa ra một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p. Bên cạnh đó, trong mục 2.1, chúng tôi chứng minh được rằng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → 0 h.c.c. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra hai phản ví dụ để minh họa cho các kết quả chính. Phản ví dụ thứ nhất chỉ ra hội tụ đầy đủ và hội tụ theo trung bình không kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình. Phản ví dụ thứ hai chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3, chúng ta không thể làm yếu giả thiết độc lập bởi giả thiết độc lập đôi một. Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một. Ở mục này, chúng tôi cũng đưa ra ví dụ để chỉ ra rằng trong Định lý 2.2.2, ta không thể thay thế giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối bởi giả thiết độc lập, bị chặn ngẫu nhiên bởi một phần tử ngẫu nhiên bị chặn. Các kết quả chính của chương là Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3 và Định lý 2.2.2. Chương 3 được dành để nghiên cứu dạng tổng quát của một số bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani và Hoffmann-Jørgensen đối với mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sau đó, chúng tôi trình bày sự vận dụng dạng tổng quát của bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn. Các kết quả chính của chương là các Định lý 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 và Định lý 3.3.2.
6 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Chúng tôi đưa ra các điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau. Các kết quả chính của chương được viết dựa trên bài báo [1] Trong luận án này, nếu không nói gì thêm ta luôn giả sử rằng X, V, Xmn , Vmn , Xn ... là các phần tử ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị trong không gian Banach thực, khả li E. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên, ta luôn kí hiệu m X X n Smn = Xij , m ≥ 1, n ≥ 1. i=1 j=1 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị Mục này, trình bày một số kiến thức chuẩn bị và các bổ đề để làm công cụ để nghiên cứu nội dung chính của chương như: Định nghĩa các dạng hội tụ của mảng, chuỗi hai chỉ số các số thực, các dạng hội tụ của các phần tử ngẫu nhiên... Trong mục này, chúng tôi giới thiệu bổ đề Borel-Cantelli hai chỉ số cho trường hợp độc lập đôi một. 1.1.1 Bổ đề. (Bổ đề Borel-Cantelli cho mảng hai chỉ số) Giả sử {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố. Khi đó ta có các khẳng định sau.
7 P∞ P∞ (i) Nếu m=1 n=1 P(Amn ) < ∞, thì P(lim sup Amn ) = 0. (ii) Nếu {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến cố độc lập đôi một và ∞ X X ∞ P(Amn ) = ∞, m=1 n=1 thì P(lim sup Amn ) = 1. Định nghĩa sau trình bày về không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2). 1.1.2 Định nghĩa. Giả sử {rj , j ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng 1 phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = . 2 Không gian Banach E được gọi là không gian Rademacher dạng p (p ≥ 1) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi i ≥ 1 và với mọi vj ∈ E (1 ≤ j ≤ i), i !1/p i !1/p X p X E rj vj ≤C kvj kp . j=1 j=1 1.1.3 Định nghĩa. (i) Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bản sao độc lập của phần tử ngẫu nhiên X nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với X . 0 (ii) Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là hai mảng các phần 0 tử ngẫu nhiên. Khi đó {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là bản sao độc lập của 0 {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} nếu {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập với {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}, và 0 với mọi m ≥ 1, n ≥ 1, {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} cùng phân phối với {Xij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}. 1.2. Luật số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Mục này trình bày các kết quả chính của chương. Định lý 1.2.1 và Định lý 1.2.5 đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn tương đương với nhau, tương ứng cho trường hợp độc lập không cùng phân phối và độc lập cùng phân phối.
8 Trường hợp một chỉ số của Định lý 1.2.1 được chứng minh bởi de Acosta năm 1981. 1.2.1 Định lý. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. (i) Giả sử rằng ∞ X ∞ X EkXmn kp < ∞ với 1 ≤ p ≤ 2. (1.2.1) mαp nβp m=1 n=1 Khi đó, Smn P → 0 khi m ∨ n → ∞ (1.2.2) mα nβ nếu và chỉ nếu Smn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. (1.2.3) mα nβ (ii) Giả sử rằng ∞ X ∞ X EkXmn k2p < ∞ với p > 1. (1.2.4) m2αp+1−p n2βp+1−p m=1 n=1 Khi đó, luật yếu số lớn (1.2.2) và luật mạnh số lớn (1.2.3) là tương đương. Chứng minh của Định lý 1.2.1 gồm nhiều bước. Vì vậy để chứng minh định lý chúng tôi sẽ chia nhỏ từng bước bằng việc chứng minh ba bổ đề. Bổ đề đầu tiên đảm bảo rằng trong Định lý 1.2.1 ta chỉ cần chứng minh cho mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} với giả thiết là các phần tử ngẫu nhiên đối xứng. 0 1.2.2 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là 0 hai mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập sao cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là bản sao độc lập của {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}. Khi đó Smn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ (1.2.5) mα nβ nếu và chỉ nếu Pm Pn 0 i=1 j=1 (Xij − Xij ) → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞, (1.2.6) mα nβ và Smn P → 0 khi m ∨ n → ∞. (1.2.7) mα nβ
9 Bổ đề thứ hai chỉ ra rằng nếu kXmn k ≤ mα nβ h.c.c., m ≥ 1, n ≥ 1 thì luật yếu P Smn số lớn Smn /(mα nβ ) → 0 khi m ∨ n → ∞ tương đương với → 0 trong Lp với mn mọi p > 0. 1.2.3 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng sao cho kXmn k ≤ mα nβ h.c.c. với mọi m ≥ 1, n ≥ 1. Nếu Smn P → 0 khi m ∨ n → ∞, (1.2.8) mα nβ thì với mọi p > 0, Smn → 0 trong Lp khi m ∨ n → ∞. (1.2.9) mα nβ Chúng ta sử dụng bất đẳng thức Lévy cho mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng làm chìa khóa để chứng minh bổ đề sau đây. 1.2.4 Bổ đề. Cho α > 0, β > 0 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng. Khi đó, Smn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ (1.2.10) mα nβ nếu và chỉ nếu P2m −1 P2n −1 i=2m−1 j=2n−1 Xij → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. (1.2.11) 2mα 2nβ Bằng phương pháp chứng minh tương tự đã sử dụng trong chứng minh của Định lý 1.2.1, ta thu được Định lý 1.2.5. Kết quả này là một dạng của luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li. Định lý 1.2.5 được chứng minh bởi Giang năm 1995 và Mikosch, Norvaiˇsa năm 1987. Tuy nhiên, cách chứng minh của chúng tôi trình bày ở đây hoàn toàn khác với cách chứng minh của các tác giả trên. 1.2.5 Định lý. Cho 1 ≤ p < 2 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối sao cho E(kX11 kp log+ kX11 k) < ∞. Khi đó, Smn P → 0 khi m ∨ n → ∞ (1.2.12) (mn)1/p
10 nếu và chỉ nếu Smn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. (1.2.13) (mn)1/p Kết luận của Chương 1 Trong chương này, luận án đã đạt được những kết quả sau: - Đưa ra được điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li bất kỳ tương đương với nhau. - Trình bày cách chứng minh mới cho luật mạnh số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p.
11 CHƯƠNG 2 SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p và sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên. Chúng tôi đưa ra một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p liên quan đến sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p. Trong trường hợp không gian Banach khả li tùy ý, chúng tôi chứng minh được rằng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /(mn) → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Chúng tôi cũng trình bày sự hội tụ đầy đủ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối. Các kết quả chính của chương được viết dựa trên hai bài báo [2,3]. 2.1. Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Năm 1988, Chow giới thiệu sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0) cho dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực. Năm 2006, các tác giả Rosalsky, Thanh và Volodin đã thiết lập sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach. Kết quả của Rosalsky, Thanh và Volodin về sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (1 ≤ p ≤ 2) đã đưa ra một đặc trưng của không gian Banach Rademacher loại p. Trong mục này, chúng tôi sẽ mở rộng Định lý 1 và Định lý 3 của ba tác giả trên sang trường hợp mảng hai chỉ số các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Sự mở rộng của Định lý 1 sang trường hợp mảng hai chỉ số sử dụng kĩ thuật hoàn toàn tương tự
12 như trường hợp một chỉ số, trong khi đó sự mở rộng của Định lý 3 sang trường hợp hai chỉ số phức tạp hơn rất nhiều. Sự mở rộng này đòi hỏi phải chuyển một loạt các kết quả về luật số lớn từ một chỉ số sang hai chỉ số. Trước tiên, chúng tôi giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên. 2.1.1 Định nghĩa. Cho p > 0. Mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} được gọi là hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đến phần tử ngẫu nhiên X nếu ∞ X X ∞ EkXmn − Xkp < ∞. m=1 n=1 c,Lp Khi đó ta kí hiệu Xmn → X. c,Lp c Lp Dễ thấy rằng nếu Xmn → X thì Xmn → X và Xmn → X khi m ∨ n → ∞. Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng. Trong mục này, chúng tôi đưa ra ví dụ chỉ ra rằng tồn tại mảng các phần tử ngẫu nhiên {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa c Lp c,Lp mãn Vmn → X và Vmn → X khi m ∨ n → ∞, nhưng Vmn 9 X . Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày kết quả về sự mở rộng Định lý 1 của ba tác giả trên sang trường hợp mảng hai chỉ số. Kết quả này đưa ra một đặc trưng của không gian Rademacher dạng p. 2.1.2 Định lý. Cho 1 ≤ p ≤ 2 và E là không gian Banach thực khả li. Khi đó các khẳng định sau là tương đương. (i) E là không gian Rademacher dạng p. (ii) Với mỗi mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập, kì vọng 0 nhận giá trị trong E, điều kiện ∞ X ∞ X EkXmn kp
13 Định lý tiếp theo là kết quả chính của mục này. Trong định lý này, ta chỉ ra Smn c,Lp Smn rằng (p+1)/p → 0 với p ≥ 1 kéo theo → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. Chúng (mn) mn ta nhấn mạnh rằng trong định lý này không có giả thiết không gian Banach E là không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2). 2.1.3 Định lý. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập. Nếu Smn c,Lp → 0 với p ≥ 1, (2.1.3) (mn)(p+1)/p thì Smn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. (2.1.4) mn 2.1.4 Nhận xét. Năm 2006, Rosalsky, Thanh và Volodin thiết lập Định lý 2.1.3 cho trường hợp một chỉ số với 1 ≤ p ≤ 2. Như đã đề cập, phép chứng minh cho trường hợp mảng hai chỉ số phức tạp hơn nhiều so với trường hợp một chỉ số. Đặc biệt, chúng tôi phải sử dụng bất đẳng thức cực đại Etemadi đối với mảng hai chỉ số. Chứng minh của Định lý 2.1.3 bao gồm nhiều bước. Vì vậy chúng ta sẽ chia nhỏ nó ra hai bổ đề. Bổ đề đầu tiên đưa ra điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn Smn /(mn) → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ trong đó {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng. 2.1.5 Bổ đề. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng. Khi đó Smn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ (2.1.5) mn khi và chỉ khi ∞ X ∞ 2m 2n ! 1 X X X Xij > εmn < ∞ với mọi ε > 0. (2.1.6) P mn m=1 n=1 i=m+1 j=n+1 Bổ đề tiếp theo cũng đưa ra điều kiện cần và đủ để luật mạnh số lớn Smn /(mn) → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập nhưng không có giả thiết đối xứng.
14 2.1.6 Bổ đề. Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach E. Khi đó, Smn → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞ (2.1.7) mn khi và chỉ khi Smn P → 0 khi m ∨ n → ∞ (2.1.8) mn và ∞ X ∞ 2m 2n ! 1 X X X Xij > εmn < ∞ với mọi ε > 0. (2.1.9) P mn m=1 n=1 i=m+1 j=n+1 2.1.7 Nhận xét. Năm 2014, Son, Thang và Dung đã chứng minh một kết quả về sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mà không có giả thiết độc lập. Cụ thể hơn, các tác giả trên đã chứng minh được rằng với mảng các phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} nhận giá trị trong không gian Banach thực khả li, điều kiện 1 c,Lp max kSkl k → 0 với 1 ≤ p ≤ 2 (mn)(p+1)/p k≤m, l≤n kéo theo 1 max kSkl k → 0 h.c.c. khi m ∨ n → ∞. mn k≤m, l≤n Kết quả của các tác giả trên và kết quả của chúng tôi là không so sánh được với nhau. Chứng minh của chúng tôi cũng hoàn toàn khác với chứng minh ba tác giả trên. Hơn nữa, trong mục này chúng tôi cũng chỉ ra rằng trong Định lý 2.1.3, giả thiết mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} các phần tử ngẫu nhiên độc lập không thể làm yếu hơn bằng giả thiết mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một. 2.2. Sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một nhận giá trị trong không gian Banach Trong mục này, chúng tôi trình bày sự hội tụ đầy đủ của mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một. Kết quả chính của mục này là Định lý 2.2.2. Trước khi trình bày kết quả về sự hội tụ đầy đủ của tổng kép có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, chúng ta phát biểu và chứng minh một kết
15 quả tương ứng cho mảng các biến ngẫu nhiên. Sau đó, dùng phương pháp xấp xỉ và kết quả về các biến ngẫu nhiên, ta thu được kết quả tương ứng cho các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. 2.2.1 Mệnh đề. Giả sử 1 ≤ p < 2 và {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X . Khi đó, nếu E |X|p log+ |X| < ∞, (2.2.1) thì với mọi ε > 0, ta có
∞ X ∞ l k X ! X
X