Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Martingale hiệu yếu đa trị và ứng dụng trong kinh tế

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của Luận án nhằm đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng thay đổi của cổ phiếu trong tài chính. Qua đó chỉ ra cách nhìn khác về thị trường hiệu quả. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Martingale hiệu yếu đa trị và ứng dụng trong kinh tế

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lục Trí Tuyên MARTINGALE HIỆU YẾU ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9.46.01.12 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học 1: TS. Nguyễn Hắc Hải Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Nguyễn Văn Hùng Phản biện 1: ................................................ Phản biện 2: ................................................ Phản biện 3: ................................................ Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi ..... giờ ....’, ngày ..... tháng .... năm 2021. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của luận án Một trong ba giải Nobel kinh tế năm 2013 thuộc về Eugene F. Fama với các nghiên cứu của ông về thị trường tài chính mà nội dung chính là về lý thuyết thị trường hiệu quả. Một cách khái quát theo Fama, một thị trường tài chính được gọi là hiệu quả nếu • Mọi thông tin Ft ảnh hưởng đến một cổ phiếu đều ngay lập tức phản ánh vào giá cổ phiếu yt của nó. • Giá hiện tại là xấp xỉ tốt nhất cho giá trị thực tế của cổ phiếu đó tại thời điểm hiện tại. • Giá thay đổi là do những sự kiện không biết trước. • Giá phản ánh sai giá trị nội tại (mispricing) có thể xảy ra nhưng không nằm trong các mô hình có thể dự báo được. Điều này có nghĩa là rất khó (gần như không thể) dự báo được giá cổ phiêu trong ngắn hạn đối với một thị trường hiệu quả. Có 3 dạng kiểm định thị trường hiệu quả bao gồm • Kiểm định yếu: Là kiểm định dựa trên lịch sử về giá của cổ phiếu. • Kiểm định nửa mạnh (semi-strong): Là kiểm định dựa trên các thông tin liên quan đến cổ phiếu mà được công khai bao gồm lịch sử giá cổ phiếu cũng như các thông tin công khai khác về công ty. • Kiểm định mạnh: Là kiểm định dựa trên mọi thông tin. Một trong các kiểm định giả thiết thống kê phổ biến liên quan đến kiếm định yếu cho thị trường hiệu quả là kiểm định martingale, nghĩa là E[yt+1 |Ft ] = yt (ở đây E là ký hiệu kỳ vọng của biến ngẫu nhiên). Do rất khó xây dựng công thức toán học cho kiểm định martingale, các mô hình thống kê thường được xây dựng để kiểm định hiệu mar- tingale (MDH) cho dãy tăng trưởng (returns) dt của cổ phiếu, nghĩa là E[dt+1 |Ft ] = 0, trong đó dt+1 = ln yt+1 − ln yt ≈ (yt+1 − yt )/yt . Dãy
2 biến ngẫu nhiên tuân theo MDH thể hiện khả năng không thể dự báo được giá tương lai dựa vào giá lịch sử. Tuy nhiên, thực tế cho thấy có những thị trường được kiểm định ủng hộ MDH (tức là khó dự báo được giá của cổ phiếu) nhưng các mô hình dự báo giá cổ phiếu trong ngắn hạn vẫn luôn được các nhà nghiên cứu phát triển và cho thấy mô hình sau tốt hơn mô hình trước. Đặc biệt là các mô hình dự báo dựa trên mô hình Markov ẩn (HMM) và mô hình chuỗi thời gian mờ (FTS) đang là xu thế gần đây. Theo các tài liệu tham khảo, mô hình dự báo HMM và FTS về bản chất như sau. Chia tập nền của dãy giá trị cần dự báo d1 , d2 , ..., dt , ... ∈ u1 ∪ u2 ∪... ∪ uk , trong đó Ai , i = 1, · · · , k là các tập mờ đại diện |{z} |{z} |{z} A1 A2 Ak cho các trạng thái của dãy {dt }. Khi đó, dãy trạng thái D1 , D2 , ...Dt , ... là một dãy biến ngẫu nhiên đa trị hình thành từ dãy {dt } nhận giá trị là các khoảng thực. Dựa vào thống kê lịch sử, ma trận xác suất chuyển [pi j ] hay các luật mờ dạng  p ij Ai −→ Aj A −fuzzy rules i −−−−− → A j , Ak , · · · được tìm thấy. Kết quả dự báo có được dựa vào giá trị giải mờ từ các luật này. Như vậy, các luật này chính là thể hiện xu hướng thay đổi của {dt }. Các luật này ổn định (dự báo được) thì chất lượng dự báo mới tốt. Luận án hướng tới xây dựng tiêu chuẩn kiểm định khả năng dự báo được của các xu hướng này. Như vậy, thực tế nói trên chứng tỏ kết quả kiểm định MDH không nói lên khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu. Trong khi đó, chưa có tiêu chuẩn nào đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu hay của một chỉ số kinh tế nào đó tương tự như tiêu chuẩn MDH cho đánh giá khả năng dự báo được
3 của giá cổ phiếu. Điều này liên quan đến khái niệm hiệu martingale trong đa trị, khái niệm mà không thể định nghĩa bằng cách mở rộng trực tiếp từ hiệu martingale đơn trị. Luận án này nghiên cứu khái niệm tương tự hiệu martingale trong đơn trị cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị. Từ tính chất đặc trưng của nó, luận án đề xuất một phương pháp đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu dựa trên khái niệm này. 2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án Thứ nhất, nghiên cứu khái niệm hiệu martingale cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị (sau đó sẽ được gọi là hiệu martingale yếu đa trị). Chỉ ra các ví dụ thực tế liên quan đến hiệu martingale yếu đa trị đồng thời tìm hiểu các tính chất toán học của hiệu martingale yếu đa trị. Thứ hai, trên cơ sở lý thuyết đã được chứng minh ở nội dung thứ nhất, luận án sẽ sử dụng khái niệm hiệu martingale trong đa trị để đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng thay đổi của cổ phiếu trong tài chính. Qua đó chỉ ra cách nhìn khác về thị trường hiệu quả. 3. Các nội dung nghiên cứu chính của luận án Các nội dung chính luận án nghiên cứu như sau • Nghiên cứu các định lý giới hạn của hiệu martingale đơn trị trong không gian Banach. Các kiến thức cơ sở về biến ngẫu nhiên đa trị và các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên đa trị. • Nghiên cứu khái niệm hiệu martingale yếu đa trị và chứng minh các tính chất toán học quan trọng của nó. • Đề xuất phương án đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng của cổ phiếu thông qua khái niệm kiểm định giả thiết hiệu martingale yếu đa trị (WSMDH). Tiêu chuẩn này sau đó được áp dụng trên một số chuỗi chỉ số chứng khoán và tỉ giá ngoại tệ của một số thị trường.
4 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Giới thiệu Như đã phân tích trong chương Mở đầu, để kiểm định được khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu thì khái niệm liên quan đến hiệu martingale trong đa trị cần được nghiên cứu. Để phát triển được khái niệm này trong đa trị như trong đơn trị, các kiến thức cơ sở về biến ngẫu nhiên đa trị cũng như các dạng hội tụ của nó sẽ được luận án trình bày khái quát trong chương này. 1.2. Một số ký hiệu và định nghĩa Trong suốt mục này ta ký hiệu (Ω, F, P) là một không gian xác suất đầy đủ, (X, k · kX ) là không gian Banach khả li. Khi không cần phân biệt chuẩn giữa các không gian thì k · kX viết đơn giản thành k · k. Biến ngẫu nhiên đơn trị f trên X là hàm đo được f : Ω −→ X. Ký hiệu E[ f ], E[ f |A] lần lượt là kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện của f với A ⊆ F. Ký hiệu L1 [Ω; X] (nếu X = R thì viết gọn là L1 ) là tập tất cả các biến ngẫu nhiên khả tích Bochner nhận giá trị trên X. Với 1 ≤ p < ∞ ký hiệu L p [Ω, F, P; X] = L p [Ω; X] là không gian Banach các hàm đo được f : Ω −→ X sao cho chuẩn Z 1/p k f kp = k f (ω)kXp , 1 ≤ p < ∞, Ω là hữu hạn. Còn L p [Ω, F, P] = L p là ký hiệu thông thường trong không gian Banach các hàm thực với moment bậc p hữu hạn. Ký hiệu K(X) là không gian các tập con đóng của X. Tương tự, các tiền tố c, bc, kc, wkc trong Kc (X), Kbc (X), Kkc (X), Kwkc (X) biểu thị tính lồi, lồi bị chặn, lồi compact, lồi compact yếu của K(X). Các không gian này gọi là các siêu không gian của không gian Banach X. Ký hiệu U[Ω, F, P; K(X)] là họ các biến ngẫu nhiên đa trị và L1 [Ω, F, P; K(X)]
5 là họ các biến ngẫu nhiên đa trị khả tích bị chặn trong K(X). Ký hiệu k · kK là chuẩn Hausdorff. Định nghĩa 1.2.1 (Martingale và hiệu martingale). Dãy biến ngẫu nhiên { fn , Fn , n ≥ 1} trong L1 [Ω; X] thỏa mãn: (i) ∀n ≥ 1, E[ fn+1 |Fn ] = fn , h.c.c. thì được gọi là một martingale. (ii) ∀n ≥ 1, E[ fn+1 |Fn ] = 0, h.c.c. thì gọi là một hiệu martingale. Định nghĩa 1.2.2 (Biến ngẫu nhiên đa trị). Ánh xạ tập F : Ω → K(X) được gọi là đo được mạnh nếu, với mỗi tập con đóng C của X, F −1 (C) ∈ F. Một ánh xạ đa trị F : Ω → K(X) được gọi là đo được yếu nếu, với / ∈ F. mỗi tập con mở O của X, F −1 (O) = {ω ∈ Ω : F(ω) ∩ O 6= 0} Ánh xạ đo được yếu nhận giá trị tập còn được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị (tập ngẫu nhiên hoặc hàm đa trị). Định nghĩa 1.2.3 (Lát cắt (selection) của biến ngẫu nhiên đa trị). Một hàm nhận giá trị trong X, f : Ω → X được gọi là một lát cắt của ánh xạ tập F : Ω → K(X) nếu f (ω) ∈ F(ω) với mọi ω ∈ Ω. Với 1 ≤ p ≤ ∞ ta ký hiệu SFp = { f ∈ L p [Ω; X] : f (ω) ∈ F(ω) h.c.c} là tập các lát cắt khả tích bậc p của biến ngẫu nhiên đa trị F. Định nghĩa 1.2.4 (Tích phân Aumann). Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị F, tích phân Aumann của F được định nghĩa bởi Z Z FdP = f dP : f ∈ SF , Ω ω Định nghĩa 1.2.5 (Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đa trị). Cho F ∈ U[Ω; K(X)] với SF 6= 0. / Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên F được định nghĩa bởi Z E[F] = cl FdP. Ω
6 Định nghĩa 1.2.6 (Kỳ vọng điều kiện của BNN đa trị). Cho F ∈ U[Ω; K(X)] với SF 6= 0. / Thì tồn tại duy nhất một biến ngẫu nhiên đa trị A-đo được của U[Ω, A, P; K(X)], ký hiệu là E[F|A] sao cho SE[F|A] (A) = cl {E[ f |A] : f ∈ SF } , (1.2.1) trong đó bao đóng được lấy trên L1 [Ω; X]. Biến ngẫu nhiên E[F|A] thỏa mãn (1.2.1) được gọi là kỳ vọng điều kiện của F với điều kiện A. Định nghĩa 1.2.7 (Hội tụ trong siêu không gian). Cho {An , A} ⊂ K(X). (1) An được gọi là hội tụ đến A theo khoảng cách Hausdorff, ký hiệu là (H) : An → A hoặc (H) : lim An = A, nếu lim H(An , A) = 0. n→∞ n→∞ (2) An được gọi là hội tụ Mosco đến A, ký hiệu là (KM) : An → A hoặc (KM) lim An = A, nếu w-lsAn = A = s-liAn n→∞ Trong đó: w-lsAn = {x = w- lim xm : xm ∈ An(m) , An(m) là dãy con của An } và s-liAn = {x = s- lim xn : xn ∈ An , n ∈ N} Trong đó, s- lim xn = x nghĩa là ||xn − x||X và w- lim xm = x nghĩa là xm hội tụ yếu đến x. Định nghĩa 1.2.8 (Martingale đa trị). {Xn , Fn : n ∈ N} được gọi là một martingale đa trị nếu: (1) Xn thuộc U[Ω, Fn , P; K(X)] và khả tích với mọi n ∈ N, (2) Với bất kỳ n ∈ N, Xn = E[Xn+1 |Fn ] a.e (P).
7 1.2.1. Một số định lý Định lý 1.2.1 (Tính đóng của kỳ vọng điều kiện). (i) Nếu X có tính RNP, F ∈ L1 [Ω, F, P; Kkc (X)] và A0 = σ (U ) với U đếm được sinh thì tập {E[ f |A0 ] : f ∈ SF1 } là đóng trong L1 [Ω, X]. (ii) Nếu X là không gian Banach có tính phản xạ, F ∈ L1 [Ω, F, P; Kc (X)] và A0 = σ (U ) với U đếm được sinh thì tập {E[ f |A0 ] : f ∈ SF1 } là đóng trong L1 [Ω, X]. Định lý 1.2.2 (Luật mạnh số lớn cho BNN đa trị độc lập). Cho {X, Xn : n ∈ N} là các biến ngẫu nhiên i.i.d trong L1 [Ω, F, P; Kkc (X)] với E ||X||2K < ∞ . Khi đó: ! 1 n lim H n→∞ ∑ Xk , E[X] = 0, h.c.c. n k=1 Định lý 1.2.3 (Luật số lớn theo nghĩa hội tụ Mosco). Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên đa trị độc lập cùng phân phối trong U(Ω, F, P, K(X)) và SF1 6= 0, / thì 1 n (KM) cl ∑ Xi → coE[F1 ], h.c.c. n i=1 1.3. Kết luận Chương này luận án đã trình bày các kiến thức tổng quan về lĩnh vực mà luận án nghiên cứu cũng như những kiến thức cơ sở có tính trọng tâm trong việc phát triển đề tài của luận án.
8 CHƯƠNG 2. HIỆU MARTINGALE YẾU ĐA TRỊ VÀ TÍNH CHẤT 2.1. Giới thiệu Kiểm định hiệu martingale (MDH) cho giá cổ phiếu nhằm đánh giá khả năng dự báo được của giá cổ phiếu như đã trình bày ở phần Mở đầu. Mô hình dự báo dựa trên xu hướng như HMM hay FTS gợi ý cho ta kết quả tương tự bằng kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu thông qua khái niệm hiệu martingale trong đa trị. Tuy nhiên, Định lý 2.1.72 trong sách của Molchanov (Theory of random sets, 2017) khẳng định đối với dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Dn , Fn , n ≥ 1} thỏa mãn E[Dn |Fn−1 ] = {0}, ∀n ≥ 2 (kỳ vọng theo tích phân Aumann) thì {Dn } = {ξn } trong đó {ξn } là dãy biến ngẫu nhiên đơn trị. Khi đó, tất cả các lát cắt của Dn suy biến về một lát cắt hiệu martingale (MDS). Do đó, việc định nghĩa trực tiếp hiệu martingale đa trị như trong đơn trị là không có ý nghĩa. Chính vì vậy chương này chúng tôi nghiên cứu dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Dn , Fn , n ≥ 1} thỏa mãn 0 ∈ E[Dn |Fn−1 ], ∀n ≥ 2 nhằm tìm ra tính chất đặc trưng cũng như ý nghĩa của nó trong thực tế. 2.2. Một số định nghĩa và kết quả cơ sở Ta biết rằng một dãy biến ngẫu nhiên { fn , n ≥ 1} nhận giá trị trong không gian Banach khả li p-trơn X được gọi là có xác suất đuôi bị chặn đều bởi xác suất đuôi của biến ngẫu nhiên thực dương f ∈ L p , p > 0 (ký hiệu ( fn ) ≺ f ) nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với mọi x > 0 và n = 1, 2, · · · , ta có P (k fn k > x) ≤ C.P ( f > x) . Khái niệm này gợi ý cho ta một định nghĩa tương tự đối với dãy biến ngẫu nhiên đa trị.
9 Định nghĩa 2.2.1. Một dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Xn , n ≥ 1} trong L1 [Ω; K(X)] được gọi là các phân phối đuôi bị chặn bởi xác suất đuôi của biến ngẫu nhiên đa trị X ∈ L1 [Ω; K(X)] (ký hiệu (Xn ) ≺ X) nếu với mọi fn ∈ SX1 n (Fn ) tồn tại một lát cắt f ∈ SX1 của X sao cho ( fn ) ≺ k f k. Định lý sau đây khẳng định tầm quan trọng của tính chất RNP đối với sự hội tụ của martingale trong không gian Banach X. Định lý 2.2.1 (Kết quả của Chatterji (1969)). Cho không gian Banach X và không gian xác suất (Ω, F, P) thì các khẳng định sau là tương đương khi đúng cho mọi martingale { fn , Fn , n ≥ 1} nhận giá trị trong X: (1) Nếu sup k fn k p < ∞, p > 1 thì tồn tại f∞ ∈ L p [Ω; X] sao cho n≥1 lim k fn − f∞ k p = 0. n→∞ (2) Nếu fn khả tích đều thì tồn tại f∞ ∈ L1 [Ω; X] sao cho lim k fn − f∞ k1 = 0. n→∞ (3) Không gian X có tính RNP tương ứng với (Ω, F, P). Sự cần thiết của tính p-khả trơn của không gian Banach X cho sự hội tụ của hiệu martingale được thể hiện bởi định lý dưới đây. Định lý 2.2.2 (Kết quả của Pisier (1975)). Cho 1 ≤ p ≤ 2, khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) X là một không gian Banach p- khả trơn. ! n n (ii) Tồn tại hằng số dương C p sao cho E || ∑ d j || p ≤ C p ∑ E (||d j || p ) j=1 j=1 với mọi hiệu martingale d1 , d2 , ..., dn có moment bậc p nhận giá trị hữu hạn trong X. (iii) Với mọi hiệu martingale d1 , d2 , ..., dn nhận giá trị trong X, điều ∞ E||d j || p 1 n kiện ∑ p < ∞ kéo theo ∑ d j → 0 (h.c.c) khi n → ∞. j=1 j n j=1
10 Điều kiện (iii) trong Định lý 2.2.2 về sự hội tụ của một hiệu mar- tingale X-giá trị được gọi là luật mạnh số lớn dạng Brunk và được ∞ E||d j || pq chứng minh dưới dạng tổng quát bởi điều kiện ∑ pq+1−q < ∞, 1 ≤ j=1 j p ≤ 2, q ≥ 1 bởi W. A. Woyczinsky năm 1980. Một dạng luật số lớn khác cho hiệu martingale trong không gian Banach được gọi là luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund cũng được Woyczinsky chứng minh bởi định lý sau đây. Với hướng tiếp cận này, tính chất p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) đối với sự hội tụ của một Martingale X giá trị là cần thiết. Định lý 2.2.3 (Kết quả của Woyczynski (1982)). Cho { fn , Fn , n ≥ 1} là một Martingale X-giá trị và dn = fn − fn−1 , ∀n ≥ 1. (i) Nếu (dn ) ≺ d ∈ L log+ L và X có tính phản xạ thì fn = o(n) h.c.c. fn (nghĩa là lim = 0, h.c.c) n→∞ n (ii) Nếu (dn ) ≺ d ∈ L p , 1 < p < r ≤ 2 và X là r-khả trơn thì 1 fn fn = o(n p ) h.c.c (nghĩa là lim 1/p = 0, h.c.c) n→∞ n Bổ đề 2.2.1 (Chứng minh trong [A2]). Cho { fn } là một dãy biến ngẫu nhiên X-giá trị thỏa mãn ( fn ) ≺ f0 ( f0 là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương). (a) Nếu f0 ∈ L p với 1 ≤ p < 2, đặt fn0 = fn I k fn k ≤ n1/p thì với mọi r > p ta có ∞ Ek fn0 kr ∑ r/p < ∞. n=1 n (b) Nếu f0 ∈ L log+ L, đặt fn00 = fn I (k fn k > n) thì ∞ Ek fn00 k ∑ n < ∞. n=1
11 (c) Nếu f0 ∈ L p với p > 1, đặt fn00 = fn I k fn k > n1/p thì ∞ Ek fn00 k ∑ 1/p < ∞. n=1 n 2.3. Hiệu martingale yếu đa trị và tính chất liên quan Định nghĩa sau về hiệu martingale yếu đa trị (WSMD) được chúng tôi định nghĩa lại từ định nghĩa hiệu martingale đa trị của Ezzaki (Ez- zaki Fatima, 1996) theo tên khác nhằm tránh hiểu lầm với khái niệm hiệu martingale đa trị, khái niệm mà suy biến thành đơn trị như đề cập ở phần giới thiệu. Định nghĩa 2.3.1. (i) Dãy biến ngẫu nhiên đa trị {Dn , Fn : n ∈ N} được gọi là một hiệu martingale yếu đa trị nếu 1 0 ∈ SE[Dn |Fn−1 ] (Fn−1 ) h.c.c, ∀n ≥ 2 (hay 0 ∈ E[Dn |Fn−1 ]). (ii) Dãy các biến ngẫu nhiên X-giá trị { fn , Fn : n ∈ N} được gọi là một lát cắt hiệu martingale của {Dn } nếu { fn , Fn : n ∈ N} là một hiệu 1 (F ). martingale và ∀n ≥ 1, fn ∈ SDn n (iii) Dãy các biến ngẫu nhiên X-giá trị { fn , Fn0 : n ∈ N} được gọi là một lát cắt hiệu martingale với lọc tự nhiên của {Dn } nếu { fn , Fn0 : n ∈ N} 1 (F ). Trong đó, là một maringale hiệu và ∀n ≥ 1, fn ∈ SDn n Fn0 = σ (Dn , Dn−1 , · · · , D1 ) là σ -trường sinh bởi Dn , Dn−1 , · · · , D1 . Lớp các biến ngẫu nhiên đa trị thỏa mãn tính chất này có rất nhiều trong thực tế, nhất là trong kinh tế và tài chính đã được trình bày trong luận án. Bản tóm tắt này chúng tôi tập trung trình bày tính chất toán học đặc trưng của nó.
12 Định lý 2.3.1. (Tính chất đặc trưng của WSMD) Cho X là không gian Banach khả li, có tính phản xạ, {Dn , Fn , n ≥ 1} là một dãy biến ngẫu nhiên đa trị trong L1 [Ω, F, P; K(X)]. Ta có các khẳng định sau: (i) Nếu {Dn , Fn , n ≥ 1} có một lát cắt hiệu martingale thì {Dn , Fn , n ≥ 1} là một hiệu martingale yếu đa trị. (ii) Nếu {Dn , Fn , n ≥ 1} là một hiệu martingale yếu đa trị thì tồn tại một lát cắt hiệu martingale với lọc tự nhiên. Định lý này là mở rộng kết quả của Ezzaki (Ezzaki Fatima, 1996) nhưng với điều kiện lỏng hơn. Chứng minh của Định lý 2.3.1 sử dụng kết quả của Định lý 1.2.1 đã được trình bày chi tiết trong bản chính luận án và một phiên bản khác với điều kiện như của Ezzaki nhưng áp dụng trực tiếp Định lý 1.2.1 được trình bày trong [A2]. Định lý 2.3.2 (Luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund). Cho X là không gian Banach khả ly và r-trơn đều, (1 < r ≤ 2). Giả sử {Dn , Fn , n ≥ 1} là một hiệu martingale yếu đa trị trong L1 [Ω, F, P; K(X)] sao cho (Dn ) ≺ D ∈ L1 [Ω, F, P; K(X)]. Nếu với mọi f ∈ SD 1 (F), (i) f ∈ L log+ L thì 1 n 0 ∈ s-li ∑ Dk , h.c.c. n k=1 (ii) f ∈ L p , 1 < p < r ≤ 2 thì n 1 0 ∈ s-li ∑ Dk , h.c.c. n1/p k=1 Chứng minh định lý này dựa trên Bổ đề 2.2.1, chi tiết trong bài báo [A2] và trong bản đầy đủ của luận án.
13 2.4. Kết luận Chương này chúng tôi đã nghiên cứu khái niệm hiệu martingale yếu đa trị trong đó kỳ vọng điều kiện luôn chứa 0. Tính chất đặc trưng (Định lý 2.3.1) cho thấy rằng tập các lát cắt hiệu martingale (MDS) của nó là khác rỗng. Nếu tập tất cả các lát cắt của nó đều là MDS thì định nghĩa tương đương với khái niệm hiệu martingale đa trị (E[Dn |Fn−1 ] = {0}, h.c.c). Nhưng khái niệm này thực chất suy biến về MDS. Vì vậy, để đánh giá khả năng dự báo được của xu hướng tăng trưởng của cổ phiếu trong thực hành, ta kiểm tra tập các lát cắt MDS của nó đủ giàu làm cơ sở để kết luận cho đặc trưng hiệu martingale. Hơn nữa, Định lý 2.3.2 cho thấy sự ổn định quanh giá trị 0 của một hiệu martingale yếu đa trị. Do đó, WSMD cũng giúp ta nhận định về một thị trường cân bằng theo sự thay đổi của xu hướng. Một phần kết quả những nghiên cứu này đã được nghiên cứu sinh công bố trong bài báo [A2].
14 CHƯƠNG 3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT HIỆU MARTINGALE YẾU ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG 3.1. Giới thiệu Như đã giới thiệu ở phần Mở đầu, kiểm định giả thiết hiệu mar- tingale (MDH) là một kiểm định quan trọng trong kiểm định yếu của thị trường hiệu quả. Kết quả ủng hộ MDH có nghĩa thị trường rất khó dự báo giá của tài sản trong ngắn hạn. Ngược lại, bác bỏ MDH cho phép nhìn nhận thị trường kém hiệu quả và có thể dự báo được giá của tài sản. Các mô hình dự báo dựa trên xu hướng gần đây dựa trên các quy luật thay đổi của xu hướng tăng trưởng của tài sản tài chính. Các xu hướng này được số hóa bởi các tập mờ trên các khoảng con của R tạo nên một dãy biến ngẫu nhiên đa trị. Kết quả lý thuyết của Chương 2 gợi ý cho ta phương pháp kiểm định khả năng dự báo được của xu hướng này bằng cách kiểm định giải thiết hiệu martingale yếu đa trị (WSMDH). Chương này chúng tôi sử dụng các tiêu chuẩn kiểm định MDH áp dụng trên một tập các lát cắt ngẫu nhiên của dãy biến ngẫu nhiên đa trị được mờ hóa từ dãy giá tài sản. Kết quả kiểm định làm cơ sở để kết luận cho giả thuyết WSMDH. 3.2. Các tiêu chuẩn kiểm định hiệu martingale (MDH) đơn trị đã biết Cho In = {dn , dn−1 , ...} là các thông tin tại thời điểm n và Fn là σ -trường sinh bởi In của quá trình ngẫu nhiên {dn , n ≥ 1}. Quá trình hiệu martingale có nghĩa rằng dn không thể dự báo được theo nghĩa hồi quy dù cho biết bất cứ thông tin tuyến tính hay phi tuyến w (In−1 ) nào trong quá khứ. Kiểm định MDH nghĩa là E[dn |In−1 ] = µ, h.c.c, ∀n ≥ 2 với µ là hằng số.
15 Mặt khác, E[dn |In−1 ] = µ, h.c.c, µ ∈ R ⇔ E[(dn − µ)w(In−1 )] = 0, nên kiểm định MDH thông qua tính kỳ vọng theo mẫu quan sát để so sánh với 0. Do không thể thực hiện kiểm định trên mọi hàm w(·), kiểm định MDH chỉ có thể thực hiện thông qua một số hàm tuyến tính hoặc phi tuyến được lựa chọn cho w(·). Vì lý do đó, chỉ có các tiêu chuẩn kiểm định điều kiện cần cho MDH. Với mỗi hàm w(·) được chọn, cặp giả thiết đối thiết cho kiểm định là H0 : E[(dn − µ)w(In−1 )] = 0, ∀n ≥ 2 và H1 là các trường hợp còn lại. Chúng tôi sử dụng một số tiêu chuẩn kiểm định điều kiện cần cho MDH phổ biến dưới đây và áp dụng vào số liệu thực tế. Tất cả các tiêu chuẩn này đã được tích hợp sẵn trong gói lệnh vrtest trong phần mềm R. Dữ liệu cho kiểm định luận án sử dụng bao gồm 5 dãy tăng trưởng của các tỉ giá ngoại tệ (Canadian Dollar (CAN), Pound GBP(£), Euro (EUR), Japanese Yen YEN(U) và Vietnamese Dong (VND) so với đồng US dollar) và 5 dãy tăng trưởng chỉ số chứng khoán (VN- Index VNI(Vietnam Stock Index), S&P500, DJIA(Dow Jones Indus- trial Average), FTSE(Financial Times Stock Exchange 100 Index) và HSI(Hong Kong Hang Seng Index)). 3.2.1. Kiểm định MDH dựa trên độ đo tuyến tính Trường hợp độ trễ hữu hạn, thống kê phổ biến được sử dụng là kiểm định Ljung và Box LB p = N(N + 2) ∑ pj=1 (N − j)−1 ρb2j . Trong đó ρb j = γbj /γb0 với γbj = (N − j)−1 ∑Nn=1+ j (dn −Y )(dn− j −Y ), và Y là trung bình mẫu. Trong trường hợp độ trễ vô hạn, Escanciano và Lobato đã chỉnh sửa thống kê Box-Pierce sử dụng kiểm định Neyman tương thích dưới dạng NN = Q pe trong đó pe = min{m : 1 ≤ m ≤ pN ; Lm ≥ Lh , h = 1, 2, ..., pN },
16 L p = Q p − π(p, N, q), pN là một chặn trên tiến tới vô cùng với N và 
√  p log N, if max