Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quát chứa tham số trong không gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự. Sau đây là bản tóm tắt luận án.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016
Mục lục 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 4 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. . . . . . . . . . . . 4 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. . . . . 6 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc. . . 6 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach. . . . . . . . . . 7 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 9 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. . . . . . . . . . 9 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach. . . . . . 10 3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 11 3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị. . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.2 Bậc tôpô tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu. . . . . . . . 13 3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình. . . . . . . . . . . 14 3.2.2 Khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm: . . . . . . . . . . . 14 3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.1 Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng. . . 17 1
MỞ ĐẦU Lí thuyết về các không gian Banach có thứ tự và các phương trình trong chúng được hình thành từ những năm 1940 trong các công trình của M.G.Krein và M.A.Rutman, được phát triển mạnh mẽ và đạt được những kết quả sâu sắc trong giai đoạn 1950–1980 trong các công trình của M.A.Krasnoselskii và các học trò, của E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn,.... Lý thuyết này tiếp tục hoàn thiện cho đến tận hôm nay với những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; các phương trình xuất phát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) và các lĩnh vực mới (Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học,...). Trong thời gian tới, Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự có lẽ sẽ đi theo hai hướng: một mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho các lớp phương trình mới trong không gian thứ tự, mặt khác, tìm ứng dụng vào giải quyết các bài toán của các lĩnh vực khác mà ban đầu có thể không liên quan đến các phương trình trong không gian thứ tự. Luận án của chúng tôi sẽ trình bày các nghiên cứu theo hai hướng nêu trên. Cụ thể, theo hướng thứ nhất chúng tôi nghiên cứu các phương trình xạ đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự; ở hướng thứ hai chúng tôi sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự. I. Sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu các phương trình. Không gian với metric nón hoặc chuẩn nón (cũng còn gọi là không gian K-metric, không gian K-chuẩn) là một mở rộng tự nhiên của các không gian metric, định chuẩn thông thường khi metric hoặc chuẩn nhận giá trị trong nón dương của một không gian có thứ tự. Chúng được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950 và được ứng dụng trong Giải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động,... trong các công trình của Kantorovich, Collatz, P.Zabreiko và nhà toán học khác. Ta có thể thấy sự hữu ích của việc sử dụng không gian với chuẩn nón qua ví dụ sau. Giả sử ta có không gian định chuẩn thông thường (X; q) và ta muốn tìm điểm bất động của ánh xạ T : X ! X. Trong một số trường hợp ta có thể tìm được không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón K E; ánh xạ tuyến tính dương liên tục Q : E ! E và chuẩn nón p : X ! K sao cho q (x) = kp (x)k và p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] , x; y 2 X: (1) Từ (1) ta suy ra 9k > 0 : q (T (x) T (y)) kq (x y) , x; y 2 X (2) Nếu chỉ làm việc trong (X; q) với tính chất (2) thì ta có được ít thông tin hơn khi làm việc với (1) vì từ (1) ta có thể sử dụng các tính chất của ánh xạ tuyến tính dương đã được tìm ra trong Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự. Gần đây, các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với nón metric sôi động trở lại. Tuy nhiên, các kết quả ở giai đoạn sau này không sâu và không có những ứng dụng mới so với các nghiên cứu ở những giai đoạn trước. Ngoài ra các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với metric nón ở giai đoạn trước và gần đây cũng chỉ tập trung vào Nguyên lí Cacciopoli-Banach và các mở rộng của nó. Trong chương 1 của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả về định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S trong không gian với chuẩn nón. Các kết quả này được chúng tôi ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trên [0; 1) cho một bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach với kì dị yếu. Độ đo phi compact với giá trị trong nón được định nghĩa và có các tính chất tương tự như độ đo phi compact với giá trị trong R. Nó được sử dụng, tuy chưa nhiều, để chứng minh sự tồn 2
tại nghiệm của các phương trình. Mối liên hệ giữa độ đo phi compact và phương trình trong không gian có thứ tự được thể qua ví dụ sau đây. Giả sử ta có không gian Banach X và ánh xạ f : X ! X, ' là độ đo phi compact xác định trên một họ M các tập con của X và nhận giá trị trong nón K của không gian có thứ tự E. Giả sử tồn tại ánh xạ tăng A : K ! K sao cho '[f (Y )] A [' (Y )] ; 8Y 2 M mà ta muốn chứng minh f là cô đặc theo độ đo '. Nếu có Y 2 M thoả mãn ' [f (Y )] ' (Y ) thì ta có ' (Y ) A [' (Y )]. Như vậy phần tử ' (Y ) 2 K là một nghiệm dưới của phương trình u = A (u) và ta có thể sử dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng A để chứng minh ' (Y ) = 0. Trong chương 2 của luận án chúng tôi đã đưa ra một số điều kiện để ánh xạ là cô đặc theo một độ đo phi compact với giá trị trong nón và áp dụng vào một phương trình vi phân có chậm dạng x0 (t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] ; 0 h (t) t1= : Các kết quả chính đạt được trong chương 1 và chương 2 đã được nhận đăng trong tạp chí Fixed Point Theory, số 2(2016). II. Phương trình đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự. Nghiên cứu về phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng x = A ( ; x) trong không gian có thứ tự đã thu được các kết quả sâu sắc, bắt đầu từ định lý Krein-Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương mạnh, tiếp theo là các nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm của phương trình trong các bài báo của Krasnoselskii, Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann,... Krasnoselskii sử dụng bậc tôpô kết hợp với giả thiết về chặn dưới đơn điệu đã chứng minh rằng tập nghiệm S1 = fx j 9 : x = A ( ; x)g là liên tục theo nghĩa trên biên của mọi tập mở, bị chặn chứa đều có điểm của S1 . Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann đã sử dụng bậc tôpô kết hợp với một định lý về tách các tập compact liên thông để chứng minh sự tồn tại thành phần liên thông không bị chặn trong tập S2 = f( ; x) j x 6= , x = A ( ; x)g. Một cách tự nhiên, chúng ta xét bao hàm thức x 2 A ( ; x) và muốn thiết lập các kết quả về tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của nó. Chương 3 luận án chúng tôi giới thiệu các kết quả về một số lớp phương trình đa trị trong không gian có thứ tự. Chúng tôi chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii của tập nghiệm của phương trình có chặn dưới đơn điệu; nhận được kết qủa về tồn tại khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm. Các kết quả này được chúng tôi áp dụng để nghiên cứu bài toán dạng điều khiển và bài toán giá trị riêng của ánh xạ đa trị tăng, thuần nhất dương. Đối với một số lớp ánh xạ đặc biệt chúng tôi chứng minh được một số tính chất mà Krein-Rutman đã thiết lập cho ánh xạ tuyến tính dương mạnh như tính bội đơn, sự duy nhất. 3
Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian thứ tự sinh bởi nón, các tôpô và khái niệm đầy đủ trên không gian với K-chuẩn được sử dụng. Trong Mục 1.2, Mục 1.3 chúng tôi chứng minh định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho tổng hai toán tử trên không gian với K-chuẩn trong các trường hợp. K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach (Định lý 1.1), K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn (Định lý 1.3), hoặc bởi họ lân cận của (Định lý 1.5). Tiếp theo, ở mục 1.4 chúng tôi trình bày ứng dụng kết quả trên để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho hai lớp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach, bài toán không nhiễu và bài toán nhiễu. 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. Cho (E; ) là không gian tôpô tuyến tính thực, với là tôpô tương thích với cấu trúc đại số trên E. Tập K E gọi là nón trên E nếu: (i) K là tập lồi, đóng, khác rỗng; (ii) K K cho tất cả 0; (iii) K \ ( K) = f g. Trong E với nón K quan hệ thứ tự là: x y , y x 2 K: Khi đó ta gọi bộ ba (E; K; ) là không gian có thứ tự. Định nghĩa 1.4 Cho (E; K; ) là không gian với thứ tự sinh bởi nón K và X là không gian tuyến tính thực. Một ánh xạ p : X ! E được gọi là K-chuẩn trên X nếu (i) p (x) E 8x 2 X và p (x) = E nếu và chỉ nếu x = X , ở đây E , X lần lượt là phần tử không của E và X, (ii) p ( x) = j j p (x) 8 2 R, 8x 2 X, (iii) p (x + y) p (x) + p (y) 8x; y 2 X. Nếu p là K-chuẩn trên X thì cặp (X; p) sẽ gọi là không gian K-chuẩn. Không gian này nếu được xét với tôpô thì được ký hiệu bởi (X; p; ). 4
1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Ba- nach. Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn. Chúng ta sử dụng hai tôpô được định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.5 1) Ta định nghĩa lim xn = x nếu và chỉ nếu lim p (xn x) = trong E và chúng ta gọi n!1 n!1 một tập con A của X là tập đóng nếu A = ? hoặc A có tính chất: Với dãy bất kỳ fxn g A mà lim xn = x thì x 2 A. Ta có thể thấy rằng, 1 = G X : XnG đóng là một tôpô trên n!1 X: 2) Ta gọi 2 là tôpô trên X được xác định bởi họ các nửa chuẩn ff p : f 2 K g. Định nghĩa 1.6 Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn. Giả sử là một tôpô trên X 1) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mọi dãy bất kỳ fxn g X mà P 1 chuỗi p (xn+1 xn ) hội tụ trong E thì dãy fxn g hội tụ trong (X; p; ). n=1 2) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich nếu một dãy bất kỳ fxn g thoả p (xk xl ) an với mọi k; l n, fan g K, lim an = E (1.1) n!1 thì fxn g hội tụ trong (X; p; ). Chú ý rằng dãy fan g trong (1.1) phụ thuộc vào fxn g : Định lý 1.1 Cho (E; K; k:k) là không gian Banach thứ tự, (X; p; ) là không gian K-chuẩn đầy đủ theo Weierstrass với = 1 hoặc = 2 . Giả sử rằng C là một tập lồi, đóng trong (X; p; ) và S,T : C ! X là các toán tử thoả mãn các điều kiện sau (i) T (x) + S (y) 2 C 8x; y 2 C; (ii) S là liên tục và S (C) là tập compact đối với tôpô ; (iii) tồn tại toán tử tuyến tính dương, liên tục Q : E ! E với bán kính phổ r (Q) < 1 sao cho: p (T (x) T (y)) Q [p (x y)] với mọi x; y 2 C: Khi đó toán tử T + S có điểm bất động trong các trường hợp sau: (C1 ) = 1 , K là nón chuẩn. (C2 ) = 2 . 5
1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. Cho (E; K; ) là không gian lồi địa phương Hausdorff với thứ tự bởi nón K; tôpô xác định bởi họ các nửa chuẩn có tính chất x y ) ' (x) ' (y) 8' 2 : (1.2) Không gian (X; p; ) với K-chuẩn p nhận giá trị trong E, tôpô sinh bởi sự hội tụ của lưới theo nghĩa fx g ! x khi và chỉ khi p (x x) ! E . Định lý 1.3 Cho không gian có thứ tự (E; K; ) với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn ; đầy đủ theo dãy và (X; p; ) là không gian với p là K-chuẩn và tôpô được xác định tương ứng. Giả sử (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass, C là tập lồi, đóng trong X và các ánh xạ T; S : C ! X thoả mãn các điều kiện sau (1) T liên tục đều trên C, S liên tục, T (C) + C C, S (C) C và S (C) là compact tương đối. (2) Tồn tại dãy các ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N thoả các tính chất P1 (2a) Chuỗi n=1 Qn ( ) hội tụ trong E, 8 2 K; (2b) Với mỗi ' 2 và mỗi số " > 0 thì tồn tại > 0 và số r 2 N để cho (8x; y 2 C, 'p (x y) < + " ) ' [Qr p (x y)] < " ) (2c) Với mỗi z 2 C thì p (Tzn (x) Tzn (y)) Qn [p (x y)] 8n 2 N , x; y 2 C: Khi đó ánh xạ T + S có điểm bất động trong C: 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc. Định nghĩa 1.8 Cho (E; K; ) là không gian tuyến tính tôpô với tôpô và thứ tự sinh bởi nón K: 1) Một tập con M của E gọi là chuẩn tắc nếu như 2 K; 2 M thoả thì 2 M: 2) Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự (E; K; ) có tính chất chuẩn tắc nếu nó có cơ sở lân cận của gốc là họ gồm các tập lồi, cân đối, chuẩn tắc và nếu V , W thuộc thì V \ K + W \ K cũng là tập chuẩn tắc. Định nghĩa 1.9 Cho (E; K; ) là không gian lồi địa phương có thứ tự và có cơ sở lân cận của gốc gồm các tập lồi, cân đối, chuẩn tắc. Giả sử X là một không gian tuyến tính bất kỳ và p : X ! K là một K-chuẩn trên X như đã trình bày ở Định nghĩa 1.4. Với mỗi x 2 X ta định nghĩa họ 1 x = x+p (W ) : W 2 ; 1 x = V 2 X : 9W 2 và x + p (W ) V 6
Ta ký hiệu là tôpô (duy nhất) trên X nhận họ x làm hệ lân cận tại x và do đó nhận họ x là một cơ sở lân cận tại x 2 X. Định lý 1.5 Giả sử (E; K; ) là không gian lồi địa phương có thứ tự, đầy đủ theo dãy, có tính chất chuẩn tắc và không gian (X; p; ) được xây dựng ở Định nghĩa 1.9 là đầy đủ theo Weierstrass (hoặc Kantorovich). C là tập lồi, đóng trong X và các ánh xạ T , S : C ! X thoả mãn các điều kiện sau đây (1) Tz (x) = T (x) + z 2 C cho mọi x 2 C; (2) Tồn tại dãy các ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N có các tính chất P1 (2a) 2 K thì Qn ( ) hội tụ, n=1 (2b) V 2 thì tồn tại W 2 và r 2 N để cho Qr (W + V ) V , (2c) Với z 2 C thì p (Tzn (x) Tzn (y)) Qn p (x y) với mọi n 2 N và x; y 2 C; (3) S liên tục, S (C) C và S (C) là compact tương đối. Khi đó ánh xạ T + S có điểm bất động trong C: 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach. Trong mục này chúng tôi áp dụng các định lý trừu tượng nhận được trong các mục 1.2, 1.3 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach. Cho f(Fs ; k:ks ) : s 2 (0; 1]g là họ các không gian Banach có tính chất Fr Fs ; kxks kxkr 8x 2 Fr nếu 0 < s < r 1: Đặt F = \s2(0;1) Fs . Giả sử R; x0 2 F1 , f; g : F ! F là các ánh xạ thoả mãn điều kiện f; g : (F; k:kr ) ! Fs liên tục 8 0 < s < r 1: Xét bài toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] ; t 2 ; x (0) = x0 (1.3) Chúng tôi xét hai trường hợp: Trường hợp g (t; x) = , ta có bài toán không nhiễu. Trường hợp g (t; x) 6= ; ta gọi là bài toán có nhiễu. 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu. Xét bài toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] ; t 2 := [0; M ] ; x (0) = x0 2 F1 (1.4) trong đó hàm f : F ! F thoả mãn (A1) Với 0 < s < r 1 thì f là liên tục từ (F; k:kr ) vào Fs và ( Cku vkr kf (t; u) f (t; v)ks r s 8u; v 2 Fr ; t 2 ; B kf (t; )ks r s ; 7
trong đó B; C không phụ thuộc vào r; s; u; v; t: Ta ký hiệu 4 = f(t; s) : 0 < s < 1; 0 < t < a (1 s)g trong đó a > 0 là số đủ nhỏ và E là không gian các hàm u (t; s) thoả mãn hàm t 7! u n h trên [0; ia (1 s)) 8s o2 (0; 1) và (t; s) liên tục kuk := sup ju (t; s)j : a(1t s) 1 : (t; s) 2 4 < 1: Ta có E là không gian Banach, trong E ta xét thứ tự sinh bởi nón K gồm các hàm không âm. Đặt X là tập hợp các hàm x 2 \ {([0; a(1 s)); Fs ) sao cho 0 sg. Định lý 1.7 Giả sử f , g thoả các điều kiện (A1-A2) thì phương trình (1.3) có nghiệm. 8
Chương 2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN Trong chương này chúng tôi sử dụng độ đo phi compact với giá trị trong nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình. Trong nghiên cứu tính chất cô đặc của ánh xạ theo độ đo phi compact với giá trị trong không gian có thứ tự có thể sử dụng các định lý điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian này. Nhờ đó chúng tôi chứng minh được ánh xạ là cô đặc và do đó có điểm bất động. Áp dụng kết quả này chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm của một bài toán Cauchy có chậm. 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. Định nghĩa 2.1 Cho không gian Banach X và tập sắp thứ tự bộ phận (Q; ) và họ M 2X có tính chất: nếu 2 M thì co ( ) 2 M: Ánh xạ ' : M ! Q được gọi là một độ đo phi compact trên M nếu ' (co ) = ' ( ) cho tất cả các tập 2 M: 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. Định nghĩa 2.2 Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach có thứ tự, X là một không gian Banach và ' : M 2X ! K là một độ đo phi compact. Một ánh xạ liên tục f : D X ! X được gọi là '-cô đặc nếu như với D thoả 2 M, f ( ) 2 M và ' [f ( )] ' ( ) thì dẫn đến là compact tương đối: Định lý 2.2 Cho (E; K; k:k) là một không gian Banach có thứ tự, X là không gian Banach và ' : M 2X ! K là một độ đo phi compact chính qui và có tính chất ' (fxn : n 1g) = ' (fxn : n 2g). Giả sử rằng D X là một tập khác rỗng, lồi, đóng và f : D ! D là một ánh xạ liên tục và tồn tại ánh xạ A : K ! K thoả các giả thiết 9
(H1 ) ' [f ( )] A [' ( )] với D, 2 M, f ( ) 2 M, (H2 ) nếu x0 2 K, x0 A (x0 ) thì x0 = : Khi đó f có điểm bất động trong D. Hệ quả 2.2 Giả sử độ đo compact chính quy ' và ánh xạ f thoả giả thiết (H1 ) và 00 (H2 ) 1) Ánh xạ A là tăng và dãy fA (xn )g hội tụ nếu fxn g là dãy tăng trong K, 2) A không có điểm bất động trong Kn f g. Khi đó f có điểm bất động trong D. 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach. Chúng tôi xét bài toán Cauchy x= (t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] ; x (0) = u0 : (2.1) Trong trường hợp f không phụ thuộc biến thứ hai, phương trình (2.1) đã được nghiên cứu. Cho B (u0 ; r) là quả cầu mở tâm u0 bán kính r trong Y , f : [0; b] B (u0 ; r) B (u0 ; r) ! Y là một ánh xạ liên tục đều, bị chặn và h : [0; b] ! R là một hàm liên tục thoả (f 1 ) 9m; l > 0, 9 2 (0; 1] : ' [f (t; L; M )] l' (L) + m [' (M )] với tất cả những tập L; M B (u0 ; r) ; (f 2 ) 0 h (t) t1= : Khi đó chúng tôi nhận được sự tồn tại ngiệm địa phương của bài toán (2.1) phát biểu bởi định lý dưới đây. Định lý 2.3 Cho các giả thiết (f 1 ),(f 2 ) được thoả. Khi đó tồn tại số b1 2 (0; b] để cho (2.1) có nghiệm trên [0; b1 ] : Ở đây chúng tôi sử dụng độ đo phi compact 'c được xây dựng như sau. Cho (Y; j:jY ) là một không gian Banach. Giả sử ' là một độ đo phi compact với giá trị thực (có các tính chất chính quy, nửa thuần nhất, nửa cộng tính, bất biến qua tịnh tiến) và xác định trên họ các tập con bị chặn M của Y: Trong không gian các hàm liên tục X = C ([a; b] ; Y ) ; xét chuẩn kxk = sup fjx (t)jY : t 2 [a; b]g. Với mỗi tập bị chặn X và t 2 [a; b] ta ký hiệu (t) = fx (t) : x 2 g và định nghĩa hàm 'c ( ) : [a; b] ! R định bởi 'c ( ) (t) = ' [ (t)] : 10
Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Trong chương này, Ở các mục 3.1.1, 3.1.2 chúng tôi trình bày các khái niệm nửa liên tục, khái niệm bậc tôpô tương đối cho ánh xạ đa trị compact (một trường riêng của ánh xạ cô đặc) và quan hệ " (k) " giữa hai tập hợp. Mục đính chính trong chương này là mở rộng định lý Krasnoselskii về tính liên tục của tập nghiệm của phương trình dạng x 2 F (x). Ngoài hai mục 3.1.1, 3.1.2 chuẩn bị, các mục còn lại trình bày các kết quả chính của chúng tôi, bao gồm. 1. Tính bậc tôpô tương đối cho ánh xạ đa trị compact thông qua chặn dưới là ánh xạ tuyến tính (Định lý 3.1, Định lý 3.2) hay xấp xỉ của nó tại , tại 1 (Định lý 3.4) và áp dụng vào bài toán điểm bất động (Định lý 3.5, Định lý 3.6), 2. Bằng phương pháp chặn dưới đơn điệu kết hợp với bậc tôpô tương đối chúng tôi mở rộng định lý Krasnoselski về tính liên tục của tập nghiệm cho ánh xạ đa trị (Định lý 3.7), 3. Đánh giá khoảng giá trị của tham số cho phương trình có nghiệm (Định lý 3.8), 4. Ứng dụng kết quả Định lý 3.7 và Định lý 3.8 cho bài toán biên phụ thuộc hàm điều khiển là ánh xạ đa trị (Định lý 3.9), 5. Ứng dụng Định lý 3.7, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại giá trị riêng, véctơ riêng dương của toán tử đa trị tăng, thuần nhất dương hoặc quá trình lồi (Định lý 3.10, Định lý 3.11), đánh giá giá trị riêng dương của chúng (Định lý 3.12, Định lý 3.13). 6. Đánh giá giá trị riêng qua các đại lượng tương tự bán kính phổ của ánh xạ (Định lý 3.14). Chứng minh một số tính chất đặc biệt của cặp riêng dương của ánh xạ đa trị như tính bội đơn, tính duy nhất tương tự như các tính chất đã được Krein, Rutman chứng minh cho ánh xạ tuyến tính (Định lý 3.15, Định lý 3.16). 7. Trong trường hợp ánh xạ không tăng, nhưng có thêm giả thiết compact, dùng định tách các tập lồi chúng tôi chứng minh sự tồn tại và công thức tính giá trị riêng dương của ánh xạ đa trị lồi (Mệnh đề 3.9). 11
3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc. 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị. 3.1.2 Bậc tôpô tương đối. 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động. (k) Ta xây dựng quan hệ " " (k = 1; 2; 3) giữa hai tập hợp trong không gian Banach thứ tự sinh bởi nón (X; K; k:k) và khái niệm ánh xạ đa trị (k)-tăng như sau: Định nghĩa 3.3 a. Cho A và B là các tập con khác rỗng của X: Ta định nghĩa (1) 1) A B , (8x 2 A; 9y 2 B sao cho x y) (nghĩa là A B K). (2) 2) A B , (8y 2 B; 9x 2 A sao cho x y) (nghĩa là B A + K). (3) 3) A B , 8x 2 A; 8y 2 B thì x y (nghĩa là B x + K; 8x 2 A). b. Một ánh xạ F : E X ! 2X n f?g gọi là (k) tăng, k = 1; 2; nếu x, y 2 E và x y (k) (3) dẫn đến F (x) F (y); và F gọi là (3) tăng nếu x, y 2 E và x < y dẫn đến F (x) F (y). Định lý 3.1 Cho là tập mở, bị chặn và chứa gốc của không gian Banach thứ tự (X; K; k:k), A : K K \ ! 2 n f?g là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact và có giá trị lồi đóng. 1) Nếu tồn tại ánh xạ L (đơn trị) tuyến tính dương, liên tục có bán kính phổ r (L) 1 và thoả (1) A (u) Lu và u 2 = A (u) 8u 2 K \ @ (3.1) thì iK (A; ) = 1: 2) Giả sử X = K K và tồn tại ánh xạ L (đơn trị) tuyến tính, hoàn toàn liên tục, u0 dương trên K; có bán kính phổ r (L) 1 và thoả (2) Lu A (u) và u 2 = A (u) 8u 2 K \ @ : (3.2) Khi đó iK (A; ) = 0. Định lý 3.2 Cho là tập mở, bị chặn chứa điểm gốc ; ánh xạ đa trị T : K ! 2K n f?g là nửa liên tục trên, compact, lồi và nhận giá trị đóng, đồng thời không có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1. Khi đó: 1) iK (T; ) = 0 nếu T có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn hơn 1; 2) iK (T; ) = 1 nếu T không có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng lớn hơn 1. Định nghĩa 3.5 Cho các ánh xạ đa trị F; ' : K ! 2K n f?g. Với mỗi x 2 K ta ký hiệu kF (x) ' (x)k0 = sup fky y 0 k : y 2 F (x) ; y 0 2 ' (x)g và nói rằng cặp ánh xạ (F; ') kF (x) '(x)k0 1) thoả điều kiện (c0 ) nếu lim kxk = 0; x2K;kxk!0 12
kF (x) '(x)k0 2) thoả điều kiện (c1 ) nếu lim kxk = 0: x2K;kxk!1 Định lý 3.4 Cho (X; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và F; ' : K ! 2K n f?g là các ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi đóng, 2 F ( ), đồng thời ' không có trong K véctơ riêng ứng với giá trị riêng bằng 1 và ' là 1-thuần nhất dương (theo nghĩa ' ( x) = ' (x) ; 8 > 0). Khi đó có đẳng thức iK (F; Br ( )) = iK ('; Br ( )) (3.3) trong các trường hợp sau: (i) (F; ') thoả (c 0 ), số r đủ nhỏ, (ii) (F; ') thoả (c 1 ), số r đủ lớn. Định lý 3.5 Cho (X; K; k:k) là không gian Banach thứ tự, X = K K và A : K ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng: Giả sử 1 , 2 là các tập mở, bị chặn, 2 1 ( 2 và thoả các điều kiện: (i) Tồn tại các ánh xạ tuyến tính P , Q : K ! K hoàn toàn liên tục, lần lượt có bán kính phổ là r (P ), r (Q) ; với P là u0 dương, và có một trong hai trường hợp sau: (2) (1) 1 2 Px A (x) 8x 2 K \ @ ; A (x) Qx 8x 2 K \ @ (3.4) hoặc (2) (1) 2 1 Px A (x) 8x 2 K \ @ ; A (x) Qx 8x 2 K \ @ ; (3.5) (ii) 0 < r (Q) < r (P ) : Khi đó với 2 (r (Q) ; r (P )) thì phương trình x 2 A (x) có nghiệm trong Kn f g. Với mỗi ánh xạ đa trị ' : K ! 2K n f?g ta ký hiệu: r (') = sup > 0 : 9x 2 Kđể x 2 ' (x) ; quy ước sup ? = 0; r (') = inf > 0 : 9x 2 Kđể x 2 ' (x) ; quy ước inf ? = 1: Định lý 3.6 Cho (X; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và A : K ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng. Giả sử tồn tại các ánh xạ đa trị lồi P , Q : K ! 2K n f?g compact, nửa liên tục trên, có giá trị đóng, 1-thuần nhất dương và thoả mãn các điều kiện sau (i) (A; P ) thoả điều kiện (c 0 ), (A; Q) thoả điều kiện ( c1 ); (ii) 0 < r (P ) < r (Q) < 1 hoặc 0 < r (Q) < r (P ) < 1: Khi đó nếu 2 (r (P ) ; r (Q)) hoặc 2 (r (Q) ; r (P )) thì phương trình x 2 A (x) có nghiệm trong Kn f g. 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu. Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và ánh xạ đa trị F : K ! 2K n f?g : Trong mục này chúng tôi trình bày kết quả nghiên cứu của mình về tính liên tục không bị chặn của tập nghiệm của phương trình 13
x 2 F (x) (3.6) 3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình. Tập nghiệm của (3.6) được định nghĩa là tập hợp S = fx 2 Kn f g : 9 = (x) > 0; x 2 F (x)g : (3.7) Chúng tôi khảo sát tính liên tục và không bị chặn của tập nghiệm theo nghĩa Krasnoselskii dưới đây. Định nghĩa 3.6 Một tập S X gọi là liên tục, không bị chặn xuất phát từ nếu với mọi tập mở ; bị chặn, chứa thì S \ @ là tập khác rỗng. Định lý 3.7 Cho (X; K; k:k) là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K và ánh xạ F : K ! K 2 n f?g là nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới đồng thời F là compact với giá trị lồi, đóng. Giả sử tồn tại G : K ! 2K n f?g là ánh xạ (2) tăng và thoả mãn (2) (i) F (x) G (x) cho mọi x 2 K; (2) (ii) tồn tại u 2 Kn f g và các số dương a,b sao cho G (tu) atu 8t 2 [0; b] : Khi đó tập S = x 2 Kn f g : 9 > 0 thoả x 2 F (x) là liên tục, không bị chặn xuất phát từ . 3.2.2 Khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm: Trong nội dung này chúng tôi khảo sát miền giá trị của tham số để phương trình x 2 F (x) có nghiệm. Với mỗi x 2 Kn f g ta ký hiệu (x) = f 2 R+ n f0g : x 2 F (x)g và ký hiệu Kr = K \ Br ( ) : Định lý 3.8 Giả sử ánh xạ F : K ! 2K n f?g nửa liên tục trên, compact nhận giá trị lồi, đóng và thoả các điều kiện (i) 2 = F (x) với mọi x 2 Kn f g ; (ii) Tập S = x 2 Kn f g : 9 > 0 thoả x 2 F (x) là liên tục, không bị chặn, xuất phát từ ; (iii) Có ít nhất một trong các trường hợp sau: Trường hợp 1. a = lim+ sup [ (x) < b = lim inf [ (x) (3.8) r!0 x2Kr \S r!1 x2S;kxk r Trường hợp 2. a = lim sup [ (x) < b = lim+ inf [ (x) (3.9) r!1 x2S;kxk r r!0 x2Kr \S Khi đó với 2 (a; b) thì phương trình x 2 F (x) có nghiệm dương. 14
3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển. Xét bài toán biên phụ thuộc hàm điều khiển: x00 (t) + (t) f (x (t)) = 0; t 2 [0; 1] ; x (0) = x (1) = 0; (t) 2 F (t; x (t)) ; t 2 [0; 1]: Giả sử các hàm f; F thoả mãn các điều kiện sau đây (a1) f : R+ ! R+ là hàm liên tục. (a2) F : [0; 1] R+ ! 2R+ n f?g có giá trị lồi, compact và là hàm Caratheodory trên theo nghĩa 8x 2 R+ ; hàm t 7! F (t; x) là hàm đo được, nghĩa là 8y 2 R hàm D (t) = inf fjy zj : z 2 F (t; x)g là đo được, Đối với hầu hết t 2 [0; 1] ; hàm x 7! F (t; x) là nửa liên tục trên. 8r > 0, tồn tại hàm 'r 2 L1 [0; 1] sao cho supx2[0;r] F (t; x) 'r (t) hkn (hầu khắp nơi) trên [0; 1]. Bài toán trên tương đương với bài toán tìm các hàm x; thoả mãn hệ 8 Z 1 < x (t) = G (t; s) (s) f (x (s)) ds; (3.10) : 0 (t) 2 F (t; x (t)) 8t 2 [0; 1] ; với G : [0; 1] [0; 1] ! R+ là hàm Green tương ứng Ta ký hiệu = [0; 1]: Đặt X = C ( ) là không gian các hàm số liên tục trên với chuẩn kxk = maxt2 jx (t)j và nón các hàm không âm. Với mỗi u 2 K ta ký hiệu Fu = x 2 L1 ( ) : x (t) 2 F (t; u (t)) hkn trên : Z 1 Au = y 2 K : 9x 2 Fu ; y (t) = G (t; s) x (s) f [u (s)] ds . 0 Chúng tôi đưa (3.10) về phương trình u 2 A (u) : (3.11) Cùng với (3.11) ta cũng xét bài toán phụ thuộc tham số tương ứng u 2 A (u) : (3.12) Sử dụng kết quả của Định lý 3.7 và Định lý 3.8 chúng tôi nhận kết quả sau. Định lý 3.9 Giả sử các hàm F; f thoả mãn các điều kiện (a1), (a2) và điều kiện sau (a3) Tồn tại hàm tăng g : R+ ! R+ và các số dương s1 ; s2 ( s1 < s2 ), a; b ( a > b) sao cho (2) (i) F (t; s) f (s) g (s) 8s 2 R+ , g (s) as 8s 2 [0; s1 ] ; (1) (ii) F (t; s) f (s) bs 8s 2 [s2 ; 1): 15
Khi đó 1) Tập nghiệm S của bài toán (3.12) là liên tục, không bị chặn, xuất phát từ : 2) Với mỗi 2 10 a ; 10 b thì bài toán (3.12) có nghiệm dương, nói riêng, nếu b < 1 0 0 : A (u) u: Khi đó tồn tại ( 0 ; x0 ) 2 (0; 1) K là cặp-riêng-dương của A với kx0 k = 1 và 0 : Định lý 3.11 Cho A : K ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị 1-thuần nhất dương, compact, nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng và thoả các điều kiện (i) A là (2) tăng, (2) (ii) Tồn tại u 2 Kn f g sao cho số = inf > 0 : 9x u; A (x) x là dương: Khi đó tồn tại ( 0 ; x0 ) là cặp riêng dương của A thoả 0 và kx0 k = 1: Định lý 3.12. Cho A : K ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị 1-thuần nhất dương, compact, nửa liên tục trên với giá trị lồi đóng thoả i) A là ( 2)-tăng, (2) ii) Số (A) = supu2K;kuk=1 inf > 0 : 9x u; A (x) x là dương. Khi đó 1) A có giá trị riệng 0 với 0 (A) ; 2) Nếu A là ( 3)-tăng thì (A) là một giá trị riêng của A. Định lý 3.13 Cho (X; K; k:k) là không gian Banach thứ tự. Giả sử A : X ! 2X n f?g là ánh xạ nửa liên tục trên, compact, và thoả mãn (i) A là quá trình lồi, (2) (ii) 8x 9u 2 A (x) : u (hay A (x) 8x ); (2) (iii) 9u 2 Kn f g ; 9 > 0 : A (u) u: 16
Khi đó A có cặp riêng dương ( 0 ; x0 ) 2 [0; 1) Kn f g với kx0 k = 1 và 0 : Trường hợp ánh xạ không có tính chất tăng. Trong mục này ta chứng minh sự tồn tại cặp riêng dương cho một lớp ánh xạ không có tính chất tăng. Bù lại, ta phải tăng thêm tính compact cho ánh xạ. Chúng tôi có kết quả Mệnh đề 3.9 Cho F : S ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị lồi, nửa liên tục trên, có giá trị đóng và thoả các điều kiện sau: (i) F (S) là tập compact tương đối, (ii) 8p 2 S+ và mọi x 2 S thì (F (x) ; p) > 0, (1) (iii) Tồn tại u 2 S và số dương để cho u F (u) : Khi đó 1 hp; xi 1) Với số 0 xác định bởi = sup inf . Thì tồn tại x0 2 S để 0 x0 2 0 p2S+ x2S (F (x) ; p) F (x0 ) và 1 hp; x0 i = sup ; 0 p2S+ (F (x0 ) ; p) 2) Nếu số > 0 và x 2 S thoả x 2 F (x) thì 0: 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng. Chúng tôi mở rộng các khái niệm u0 dương, u0 dương mạnh, dương mạnh, nửa dương mạnh và một số đại lượng liên quan đến bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa 3.9 Cho K là nón trong không gian Banach X và ánh xạ đa trị A : K !2K n f?g, u0 2 K: 1) A được gọi là u0 dương nếu 8x 2 K thì (2) (1) hu0 i+ A (x) hu0 i+ hay nói tương đương 8x 2 K; 8y 2 A (x) 9 ; > 0 : u0 y u0 : (2) (1) 2) A được gọi là u0 dương mạnh nếu 8x 2 K thì 9 ; > 0 để cho u0 A (x) u0 : Định nghĩa 3.10 F : X ! 2X n f?g gọi là dương mạnh nếu F (K) int(K) và gọi là nửa dương mạnh nếu (2) tồn tại g 2 K để cho: hg; F (x)i > 0 = hg; xi với mọi x 2 Knint(K) : Định nghĩa 3.11 Cho (X; K; k:k) là không gian Banach thứ tự và ánh xạ đa trị A : K ! 2K n f?g : 1) Với x 2 K, ta định nghĩa các tập con của K K (x) = ff 2 K : hf; xi > 0g ; S (x) = ff 2 K : hf; xi = 1g và các số (x) = inf fhf; zi : (f; z) 2 S (x) A (x)g ; 17
(x) = sup fhf; zi : (f; z) 2 S (x) A (x)g ; 2) Ta định nghĩa các số r (A) = sup (x) ; r (A) = inf (x) . x2Knf g x2Knf g Nếu intK 6= ? ta định nghĩa các số or (A) = sup (x) ; or (A) = inf (x) : x2intK x2intK Định lý 3.14 Giả sử ánh xạ đa trị A : K ! 2K n f?g là 1-thuần nhất dương, compact, nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng và A là (2) tăng với số r (A) > 0: Khi đó A có cặp riêng dương ( 0 ; x0 ) với 0 r (A) : Hơn nữa, 1) nếu thêm A là (1) tăng thì a) r (A) 0 r (A) nếu A là u0 dương mạnh. b) x0 2intK và r (A) 0 or (A) nếu A là nửa dương mạnh: 2) Nếu thêm A là nửa liên tục dưới, nửa dương mạnh và A là (3) tăng thì r (A) = 0 = r (A). Định nghĩa 3.12 Cho ánh xạ đa trị A : K !2K n f?g ; và u0 2 K ta định nghĩa (2) 1) A được gọi là u0 tăng nếu như x y dẫn đến hu0 i+ [A (y) A (x)] \ K hay nói tương đương: 8v 2 A (y) ; 8u 2 A (x) nếu v u 2 K thì 9 > 0 thoả v u u0 : 2) Ta nói A là nửa tăng mạnh nếu như tồn tại g 2 K sao cho nếu x y 2 KnintK thì ta có hg; x yi = 0 và hg; ui > 0 cho mọi u 2 A (x) A (y) (3.13) Định nghĩa 3.13 1) Giả sử ( 0 ; x0 ) là cặp riêng dương của A. Ta nói 0 có bội đơn nếu như từ 0x 2 A (x) với x 2 K dẫn đến x 2 hx0 i+ . 2) Ta nói rằng cặp riêng dương ( 0 ; x0 ) của A là duy nhất nếu như với bất kỳ cặp riêng dương ( ; x) của A thì = 0 và x 2 hx0 i+ : Định lý 3.15 Giả sử ánh xạ đa trị A : K ! 2K n f?g là 1-thuần nhất dương, u0 dương, u0 tăng và ( 0 ; x0 ) là một cặp-riêng-dương của A: Khi đó 1) 0 có bội đơn. 2) Nếu A là (3) tăng thì ( 0 ; x0 ) là duy nhất. Định lý 3.16 Cho intK 6= ? và A : K ! 2K n f?g là ánh xạ đa trị nửa tăng mạnh, 1-thuần nhất dương. Giảsử ( 0 ; x0 ) là cặp riêng dương của A. Khi đó 1) 0 có bội đơn và nếu ( 1 ; x1 ) là một cặp riêng dương thì hoặc 1 = 0 hoặc x1 2 hx0 i+ . 2) Nếu A là (3) tăng thì ( 0 ; x0 ) là duy nhất. KẾT LUẬN 18
Luận án chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu theo hai hướng chính. Trong hướng thứ nhất, chúng tôi sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động và áp dụng các kết quả trừu tượng nhận được vào một số lớp phương trình vi phân. Ở hướng thứ hai, chúng tôi dùng bậc tôpô kết hợp với kĩ thuật sử dụng thứ tự để chứng minh một số kết quả có tính toàn cục về tập nghiệm của bài toán giá trị riêng cho ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số, trong không gian có thứ tự. Kết quả chính của luận án bao gồm: 1. Chứng minh các định lý điểm bất động của tổng hai ánh xạ trên không gian với chuẩn nón trong các trường hợp chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach hoặc trong không gian lồi địa phương. Ứng dụng các kết quả nhận được để chứng minh sự tồn tại nghiệm trên [0; 1) cho một bài toán Cauchy với kì dị yếu trên thang các không gian Banach. 2. Áp dụng một kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một lớp ánh xạ cô đặc theo một độ đo phi compact với giá trị trong nón. Sử dụng kết quả này và một độ đo phi compact với giá trị trong nón thích hợp để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp bài toán Cauchy có chậm. 3. Chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii của tập nghiệm của phương trình đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu và chứng minh tồn tại khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm. Áp dụng các kết quả trên để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán biên với hàm điều khiển đa trị. 4. Tính bậc tôpô tương đối của một lớp ánh xạ đa trị thông qua ánh xạ tuyến tính, ánh xạ đa trị lồi hay ánh xạ là xấp xỉ của nó tại ; tại 1 và áp dụng vào bài toán điểm bất động. 5. Chứng minh sự tồn tại cặp riêng dương cho lớp ánh xạ tăng, thuần nhất dương với đánh giá cận dưới cho giá trị riêng dương tương ứng. 6. Mở rộng khái niệm u0 -dương, u0 -tăng, dương mạnh cho các ánh xạ đa trị; chứng minh một số tính chất Krein-Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng dương của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự. Các hướng nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi là: 1. Tìm một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với chuẩn nón, đủ mạnh để có thể áp dụng vào bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach với kì dị kiểu Ovcjannikov. 2. Tìm cách ứng dụng đạo hàm của ánh xạ đa trị để mở rộng định lý Rabinowitz-Dancer về phân nhánh toàn cục nghiệm dương sang trường hợp đa trị. 3. Tìm các điều kiện không quá ngặt lên ánh xạ để có sự duy nhất của cặp riêng dương và tính cực đại của giá trị riêng dương tương ứng. 19