Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của Luận án nhằm thiết lập các điều kiện đủ cho tính giải được, tính chính quy và tính ổn định/ổn định yếu của nghiệm, đồng thời xem xét tính giải được của bài toán giá trị cuối. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— LÂM TRẦN PHƯƠNG THỦY MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020
Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Trần Đình Kế Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Minh Trí Viện Toán học Phản biện 2: PGS. TS. Đỗ Đức Thuận Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Thị Kim Sơn Trường Đại học Thủ đô Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ .... ngày .... tháng .... năm ..... Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài Thuật ngữ “phương trình vi phân không địa phương” (nonlocal differential equa- tion) dùng để chỉ những phương trình vi phân mà trong đó đạo hàm của hàm trạng thái không xác định tại từng điểm mà xác định thông qua một công thức tích phân (gọi là đạo hàm “có nhớ”). Lớp phương trình không địa phương tiêu biểu sau đây mô tả các quá trình khuếch tán dị thường (anomalous diffusion) ∂t [k ∗ (u − u0 )] = ∆u, (1) trong đó u = u(t, x) là hàm trạng thái, k là một hàm khả tích địa phương, với ‘∗’ là ký hiệu tích chập Laplace, ∆ là toán tử Laplace theo biến không gian. Lớp phương trình này được nghiên cứu gần đây trong các công trình của Zacher và các cộng sự (2015, 2016). Đặc biệt, khi t−α k(t) = g1−α (t) = , 0 < α < 1, (2) Γ(1 − α) thì phương trình trên là phương trình vi phân phân thứ cấp α theo biến thời gian mô tả quá trình dưới khuếch tán (subdiffusion), là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong hai thập kỷ qua. Phương trình (1) với nhân k được cho bởi (2) chính là phương trình vi phân (đạo hàm riêng) phân thứ loại Caputo. Có thể thấy phương trình vi phân phân thứ là mô hình tiêu biểu của phương trình vi phân không địa phương, hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự. Các kết quả về tính ổn định Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ có thể tìm thấy trong các công trình của R. Agarwal, S. Hristova và D. O’Regan (2016), của N.D. Cong, D.T. Son và H.T. Tuan (2014), hoăc của tác giả I.M. Stamova (2016) và các tài liệu tham khảo trong đó. Liên quan đến tính ổn định trong thời gian hữu hạn cho các hệ vi phân phân thứ, có thể kể đến các kết quả gần đây trong các công trình của các nhà toán học M.P. Lazarevic và A.M. Spasic (2009), M. Li và J.R. Wang (2017), Y. Zhang và J.R. Wang (2016). Với các hệ vi phân phân thứ trong không gian vô hạn chiều, một số kết quả về tính ổn định tiệm cận yếu đã được thiết lập trong các công trình công bố bởi T. D. Ke và các cộng sự (2016, 2017). Năm 2015, các tác giả V. Vergara và R. Zacher đã xem xét các trường hợp khác nhau của phương trình (1) khi thay nhân k bởi các hàm khả tích, từ đó dẫn đến các mô hình khuếch tán nhanh (fast diffusion) hay khuếch tán siêu chậm (ultra-slow diffusion) và ý nghĩa vật lý của chúng. Những kết quả này gợi ý cho chúng ta những vấn đề nghiên cứu mới, trong đó đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân không địa phương nửa tuyến tính tổng quát trong các không gian Banach hoặc Hilbert dạng d [k ∗ (u − u0 )] = Au + f (u), (3) dt với A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, f là một hàm phi tuyến cho trước. Theo khảo sát của chúng tôi, những kết quả nghiên cứu định tính 1
cho phương trình (3) chưa được biết đến nhiều, các kết quả đã biết chủ yếu thiết lập cho trường hợp cụ thể khi A là toán tử elliptic mạnh. Những vấn đề cần nghiên cứu đối với lớp phương trình (3) bao gồm: • Tính giải được và tính chính quy của nghiệm; • Sự tồn tại các lớp nghiệm tuần hoàn, nghiệm tiêu hao; • Tính ổn định tiệm cận/ổn định tiệm cận yếu; • Tính ổn định/tính hút trong thời gian hữu hạn; • Bài toán giá trị cuối. Chú ý rằng ánh xạ nghiệm của (3) nói chung không có tính chất nửa nhóm nên việc sử dụng lý thuyết tập hút toàn cục để nghiên cứu dáng điệu nghiệm là không khả thi. Ngoài ra, phương pháp hàm Lyapunov cũng rất khó áp dụng để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận nghiệm do không gian pha (nói chung) là không gian vô hạn chiều và việc tính đạo hàm có nhớ trên phiếm hàm Lyapunov rất khó thực hiện. Đặc biệt, nếu trong (3) có sự xuất hiện của trễ thời gian sẽ dẫn đến nhiều khó khăn trong nghiên cứu tính ổn định của nghiệm. Do vậy, để nghiên cứu dáng điệu nghiệm, ta cần tìm những cách tiếp cận mới. Bên cạnh đó, bài toán ngược cho phương trình vi phân không địa phương cũng là một nội dung mới mẻ và có nhiều khía cạnh lí thú. Trên thực tế, khi mô hình hoá một bài toán bởi một hệ phương trình tiến hoá, có hai tình huống được xem xét. Tình huống đầu tiên là ta có thể xác định được các hệ số và dữ kiện ban đầu của hệ phương trình. Khi đó ta có thể giải hệ hoặc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm bằng các công cụ giải tích. Bài toán ứng với tình huống này gọi là bài toán thuận (forward problem). Tình huống thứ hai xảy ra khi ta không xác định được đầy đủ các hệ số trong phương trình hoặc không đo được dữ kiện ban đầu. Khi đó cùng lúc ta phải xác định các hệ số hoặc dữ kiện và nghiệm tương ứng của hệ dựa vào những ‘đo đạc’ bổ sung. Lúc này ta có bài toán ngược (inverse problem). Cần nhấn mạnh rằng, khác với bài toán thuận, bài toán ngược thường là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, có độ phức tạp cao và cần có cách tiếp cận phù hợp với từng trường hợp cụ thể. Chính vì vậy, các phương pháp giải bài toán ngược rất phong phú. Trong một thập kỷ qua, bài toán ngược đối với phương trình đạo hàm riêng phân thứ thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Bài toán xác định ngoại lực trong phương trình đạo hàm riêng phân thứ tuyến tính đã được đề cập trong nhiều bài báo, tiêu biểu là các kết quả của các tác giả F. AL-Musalhi và các cộng sự (2017), K. Sakamoto và M. Yamamoto (2011), T. Wei và Z. Zhang (2013), ở đó phương pháp khai triển Fourier được sử dụng. So với trường hợp tuyến tính, bài toán xác định ngoại lực với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp hơn rất nhiều và các kết quả liên quan còn ít được biết đến. Năm 2013, Y. Luchko và các cộng sự đã sử dụng nguyên lý cực trị để giải quyết bài toán xác định ngoại lực cho phương trình dưới khuếch tán nửa tuyến tính. Bài toán tương tự được giải quyết trong các công trình của M. Slodicka và K. Siskova (2016) cũng như của S. Tatar và S. Ulusoy (2017) bằng các phương pháp khác nhau như phương pháp rời rạc hoá (discretization method) hoặc phương pháp tối ưu (optimization method). Đối với bài toán không đo được dữ kiện ban đầu, dữ kiện bổ sung được cho tại thời điểm quan sát t = T dưới dạng u(T ) = g . Ta gọi bài toán này là bài toán giá trị cuối (final value problem/terminal value problem). Bài toán giá trị cuối 2
hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự bởi những ứng dụng của nó trong xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, địa vật lý,... Để cụ thể hóa từng vấn đề nghiên cứu, trước hết chúng tôi xét hệ sau đây: d [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0, (4) dt u(0) = u0 , (5) ở đây ẩn hàm u nhận giá trị trong không gian Hilbert tách được H , nhân k ∈ L1loc (R+ ), A là toán tử tuyến tính không bị chặn, và f : H → H là hàm cho trước. Cần lưu ý rằng, lớp phương trình này đã và đang được sử dụng làm mô hình cho nhiều bài toán khác nhau có liên quan đến các quá trình có nhớ (điều này có thể tham khảo trong các công trình của Ph. Clément và J. A. Nohe (1981) hoặc J. Pr¨ uss (1993)). Trong −α trường hợp đặc biệt, khi nhân k(t) = g1−α (t) := t /Γ(1 − α), α ∈ (0, 1), thì phương trình d (4) là phương trình vi phân phân thứ với [k ∗ (u − u0 )] là đạo hàm phân thứ Caputo dt bậc α, một đối tượng được nghiên cứu rộng rãi. Trong các trường hợp cụ thể, chẳng hạn như khi H = L2 (Ω), Ω ⊂ RN , và A = −∆ là toán tử Laplace với điều kiên biên Dirichlet/Neumann, phương trình (4) được dùng để mô tả các hiện tượng khuếch tán dị thường bao gồm khuếch tán chậm, siêu chậm, điều này đã được V. Vergara và R. Zacher viết vào năm 2015. Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì chưa có nghiên cứu nào về tính chính quy nghiệm của hệ (4)-(5). Ngoài ra, sự ổn định theo nghĩa Lyapunov cho (4) ít được biết đến. Đó là động lực cho chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán này. Trong trường hợp đặc biệt, khi k = g1−α , một số kết quả về tính ổn định được T. D. Ke và các cộng sự nghiên cứu (2015, 2017). Trong bài báo được công bố năm 2017, Vergara và Zacher nghiên cứu một mô hình cụ thể của phương trình (4), đó là một phương trình vi phân đạo hàm riêng nửa tuyến tính không địa phương. Sử dụng nguyên lý cực đại cho phương trình tuyến tính hóa, các tác giả đã chứng minh sự ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường cho phương trình này. Điều đáng chú ý là kỹ thuật được Vergara và Zacher không áp dụng được cho phương trình tổng quát (4). Chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính chính quy và tính ổn định tiệm cận của nghiệm đối với (4) bằng cách sử dụng một biểu diễn mới của nghiệm cùng bất đẳng thức kiểu Gronwall. Tiếp theo, chúng tôi xét một hệ phương trình không địa phương với ngoại lực f không chỉ phụ thuộc vào trạng thái của hệ mà còn phụ thuộc vào trạng thái lịch sử, tức là hệ có trễ thời gian. Sự xuất hiện của trễ trong trường hợp này là một đặc tính tự nhiên trong nhiều bài toán thực tế của vật lý, hóa học, sinh học... Cụ thể, chúng tôi xét hệ sau đây: Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn có ∂Ω trơn, xét phương trình ∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω, (6) với điều kiện ban đầu u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω, (7) ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , và điều kiện biên Dirichlet u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω. (8) Trong (6), nhân k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f là một hàm cho trước. Ở đó uρ (t, x) = u(t − ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) sao cho −h ≤ t − ρ(t) < t. 3
Chúng tôi sẽ nghiên cứu tính tiêu hao và ổn định cho hệ (6)-(8). Sự xuất hiện của trễ dẫn đến những khó khăn trong việc nghiên cứu tính ổn định, ví dụ khi thực hiện các ước lượng tiên nghiệm. Theo như chúng tôi biết, chưa có kết quả nào về tính giải được cũng như dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với (6). Do vậy chúng tôi đặt mục tiêu tìm các điều kiện thích hợp trên k , ρ và f , đảm bảo: • Sự tiêu hao của hệ, tức là sự tồn tại của một tập đóng hấp thụ tất cả các nghiệm; • Sự ổn định tiệm cận của nghiệm trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất; • Sự ổn định tiệm cận yếu (Định nghĩa 3.1) của nghiệm tầm thường trong trường hợp không duy nhất nghiệm. Để thu được những kết quả này, trước tiên, chúng tôi chứng minh một bất đẳng thức kiểu Halanay mới, đây là kết quả tổng quát cho trường hợp phương trình vi phân phân thứ đã by D.Wang, A. Xiao và H. Liu công bố năm 2015. Bất đẳng thức này được sử dụng trong việc nghiên cứu sự tiêu hao và tính ổn định tiệm cận. Để chứng minh tính ổn định tiệm cận yếu, chúng tôi sử dụng kỹ thuật được phát triển bởi T. D. Ke và các cộng sự (2016, 2017), dựa trên nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén. Cuối cùng, trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến bài toán giá trị cuối sau đây: Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn với biên ∂Ω trơn. Xét phương trình k ∗ ∂t u + (−∆)γ u = f (t, u), t ∈ (0, T ), x ∈ Ω, (9) với điều kiện cuối u(T, x) = g(u)(x), x ∈ Ω, (10) và điều kiện biên Dirichlet u(t, x) = 0, t > 0, x ∈ ∂Ω. (11) Trong phương trình (9), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f là một hàm cho trước. Ở đây (−∆)γ là toán tử Laplace phân thứ. Hàm g phụ thuộc u có ý nghĩa thực tế, rằng dữ kiện đo được tại thời điểm t = T có thể phụ thuộc vào ‘năng lượng’ của hệ. Với hệ (9)-(11), mục tiêu chính là dưạ vào trạng thái tại thời điểm hiện tại (t = T ), ta xác định các trạng thái trước đó. Không giống như bài toán giá trị đầu (u(0) = g(u), bài toán thuận), bài toán giá trị cuối là kiểu bài toán ngược, nói chung phức tạp hơn. Lý do cơ bản là do hiệu ứng trơn của bài toán thuận, tức là u(t), với t > 0, thuộc không gian chính quy hơn không gian chứa u(0). Khi đó, t = 0 có thể là điểm kì dị của u nếu giá trị cuối không đủ chính quy. Trường hợp k(t) = t−α /Γ(1 − α) và γ = 1, phương trình (9) chính là phương trình dưới khuếch tán với đạo hàm phân thứ Caputo cấp α. Bài toán giá trị cuối trong trường hợp này đã được nghiên cứu trong một số công trình công bố gần đây, có thể kể đến các công trình của N.H. Tuan và cộng sự (2017), của H. Zhang và X. Zhang (2017), với f và g không phụ thuộc u. Trong các công trình này, bài toán được chứng minh là đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm là không ổn định đối với dữ kiện cuối, từ đó cần một số phương pháp chính quy hóa để tìm nghiệm xấp xỉ. Sau đó, bài toán với f , g phụ thuộc u đã được nghiên cứu bởi N.H. Tuan và cộng sự (2018, 2019), các kết quả thu được đều dựa vào công thức nghiệm biểu diễn qua hàm Mittag-Leffler. Về phương diện kĩ thuật, các tác giả đã sử dụng phương pháp điểm bất động kết hợp với các ước lượng cho 4
hàm Mittag-Leffler. Đối với bài toán (9)-(11), chúng tôi xem xét bài toán giá trị cuối trong trường hợp tổng quát hơn, khi k là nhân Sonine, tức tồn tại một hàm khả tích địa phương l sao cho k ∗ l = 1. Khi đó phương trình (9) chứa các trường hợp riêng như phương trình khuếch tán chậm, khuếch tán siêu chậm, phương trình phân thứ đa thành phần, phương trình phân thứ có trọng,... được sử dụng để mô tả các quá trình khuếch tán có nhớ khác nhau. Lúc này, toán tử nghiệm chưa có biểu diễn tường minh theo các hàm đặc biệt đã biết. Do vậy, kĩ thuật của chúng tôi là dựa vào lý thuyết hàm hoàn toàn dương được G. Gripenberg, S.-O. Londen và O. Staffans (1990) phát triển và lý thuyết giải thức trình bày trong tài liệu tham khảo của Pr¨ uss (1993) kết hợp với nguyên lý điểm bất động. Cụ thể hơn, sử dụng tính parabolic của phương trình khuếch tán dị thường, chúng tôi thu được tính chính quy của giải thức và điều này cho phép chúng tôi giải bài toán trong trường hợp hàm phi tuyến không thỏa mãn điều kiện Lipschitz. So sánh với các kết quả đã có cho trường hợp phương trình phân thứ, chúng tôi giải quyết bài toán tổng quát hơn và đưa ra các điều kiện cụ thể hơn. Đối với bài toán này, chúng tôi thu được kết quả sau: • Đưa ra biểu diễn nghiệm nhẹ cho hệ (9)-(11) trong trường hợp tuyến tính bằng cách sử dụng lý thuyết giải thức; • Chứng minh sự tồn tại nghiệm dưới điều kiện về tính chính quy; • Chứng minh tính giải được cho hệ (9)-(11) trong không gian các hàm có thể gián đoạn tại t = 0. Các kết quả thu được của chúng tôi sẽ đóng góp một phần vào sự hoàn thiện của lý thuyết phương trình vi phân không địa phương. Từ những phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài luận án là: “Một số vấn đề định tính đối với lớp phương trình vi phân không địa phương”. 2. Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu của luận án 2.1. Mục đích nghiên cứu: Luận án tập trung vào các tính chất định tính của nghiệm đối với phương trình (3) và các mô hình liên quan. Mục tiêu chính là thiết lập các điều kiện đủ cho tính giải được, tính chính quy và tính ổn định/ổn định yếu của nghiệm, đồng thời xem xét tính giải được của bài toán giá trị cuối. 2.2. Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán với phương trình vi phân không địa phương không chứa trễ và có chứa trễ. 2.3. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu được thể hiện thông qua các nội dung sau. • Nội dung 1: Sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm tích phân của phương trình vi phân không địa phương; • Nội dung 2: Dáng điệu của nghiệm: tính tiêu hao, tính ổn định tiệm cận và ổn định tiệm cận yếu; • Nội dung 3: Bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương. 5
3. Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng các công cụ của lý thuyết toán tử, lý thuyết ổn định và lý thuyết điểm bất động. Ngoài ra, đối với các nội dung cụ thể, chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật tương ứng: • Sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm nhẹ của phương trình vi phân không địa phương: sử dụng lý thuyết toán tử, đặc biệt là lý thuyết giải thức cho phương trình tích phân và lý thuyết điểm bất động. • Dáng điệu của nghiệm: sử dụng lý thuyết ổn định, phương pháp điểm bất động. • Bài toán giá trị cuối cho phương trình vi phân không địa phương: sử dụng lý thuyết hàm hoàn toàn dương, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết giải thức. 4. Cấu trúc và các kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục công trình đã công bố và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm bốn chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2 chứng minh tính giải được, ổn định và chính quy cho một lớp phương trình vi phân không địa phương. Chương 3 đưa ra các điều kiện thích hợp để đảm bảo tính tiêu hao, ổn định tiệm cận của nghiệm trong trường hợp bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định tiệm cận yếu của nghiệm trong trường hợp không duy nhất nghiệm đối với lớp phương trình khuếch tán dị thường có trễ hữu hạn. Chương 4 với bài toán giá trị cuối cho phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính, chúng tôi chứng minh tính giải được trong cả hai trường hợp khi dữ kiện chính quy và không chính quy. 5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án Các kết quả thu được trong luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu định tính cho lớp phương trình vi phân không địa phương, có thể áp dụng cho lớp phương trình khuếch tán dị thường trong cả hai trường hợp không chứa trễ và có chứa trễ. 6
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kết quả về tính ổn định của các hệ vi phân, lý thuyết toán tử tuyến tính, một số nguyên lý điểm bất động, toán tử đạo hàm không địa phương, phương trình tích phân Volterra vô hướng và toán tử nghiệm của phương trình vi phân không địa phương trong không gian Hilbert. 1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số không gian hàm được sử dụng trong các chương sau, như là: Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞, Lploc (Ω), 1 ≤ p < +∞, C([a, b]; H), AC([a, b]), Lp (a, b; H), C γ ([a, b]; H), γ ∈ (0, 1). Chúng tôi trình bày Định lý Arzelà-Ascoli Theorem. Nội dung được thể hiện trong hai mục nhỏ. 1.1.1. Các không gian hàm quan trọng 1.1.2. Định lí Arzelà-Ascoli 1.2. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về lý thuyết ổn định Lyapunov và khái niệm ổn định yếu. 1.3. LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và tính chất liên quan đến toán tử tuyến tính đóng, toán tử tự liên hợp và lũy thừa của toán tử. Nội dung gồm các mục: 1.3.1. Toán tử tuyến tính đóng 1.3.2. Toán tử tự liên hợp 1.3.3. Lũy thừa của toán tử 1.4. MỘT SỐ NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Mục này trình bày nguyên lý ánh xạ co, nguyên lý điểm bất động Schauder và nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén. Các nội dung này được trình bày lần lượt trong các tiểu mục sau: 7
1.4.1. Nguyên lý ánh xạ co 1.4.2. Nguyên lý điểm bất động Schauder 1.4.3. Nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén 1.5. TOÁN TỬ ĐẠO HÀM KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG 1.5.1. Giới thiệu toán tử đạo hàm không địa phương Trong phần nhỏ này, chúng tôi đưa ra định nghĩa toán tử đạo hàm không địa phương. 1.5.2. Nhân hoàn toàn đơn điệu và cặp nhân Sonine Trong tiểu mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm nhân hoàn toàn dương và cặp nhân Sonine, cũng như nêu giả thiết về hàm nhân được sử dụng trong suốt luận án. (K) Hàm k ∈ L1loc (R+ ) không âm và không tăng, hơn nữa tồn tại một hàm l ∈ L1loc (R+ ) sao cho k ∗ l = 1 trên (0, ∞). Nội dung được thể hiện qua các đề mục: Cặp nhân Sonine Nhân hoàn toàn đơn điệu 1.5.3. Một số ví dụ điển hình 1.6. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA VÔ HƯỚNG 1.6.1. Phương trình Volterra vô hướng Ở đây chúng tôi giới thiệu các loại phương trình Volterra và đưa ra loại phương trình Volterra đặc biệt được sử dụng trong các chương sau. Nghiệm của hai phương trình này lần lượt được kí hiệu bởi s(·, µ) và r(·, µ). 1.6.2. Tính chất nghiệm của phương trình Volterra Trong mục này, chúng tôi trình bày về tính chất của s(·, µ) và r(·, µ) đề cập ở mục trên và trình bày bất đẳng thức kiểu Gronwall. 1.7. TOÁN TỬ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Trong mục này, chúng tôi xét bài toán: d dt [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = g(t), t ∈ (0, T ] với u(0) = u0 , với mỗi g ∈ C([0, T ]; H). Chúng tôi xây dựng biểu diễn nghiệm cho bài toán. 8
1.7.1. Biểu diễn nghiệm Mục này chúng tôi đưa ra biểu diễn nghiệm cho phương trình không địa phương dưới những giả thiết phù hợp của bài toán. Chúng tôi nêu giả thiết cho toán tử A, như sau: (A) Toán tử A : D(A) → H xác định trù mật, tự liên hợp và xác định dương với giải thức compact. Bằng cách sử dụng các giả thiết về không gian Hilbert H , toán tử A và nhân k , chứng tôi đưa ra các toán tử S(t) và R(t), từ đó nêu công thức nghiệm cho bài toán. Định nghĩa nghiệm nhẹ Tính chất cơ bản của toán tử giải thức Trường hợp cụ thể 1.7.2. Tính chính quy của toán tử S(t) và R(t) Trong mục này, chúng tôi đưa ra tính chính quy của các toán tử giải thức xuất hiện trong công thức nghiệm. Để có được tính khả vi của họ giải thức, chúng tôi thay thế (K) bằng giả thiết mạnh hơn. (K*) Giả thiết (K) được thỏa mãn với l là 2-chính quy và có tính chất θ-quạt với 0 < θ < π. 9
Chương 2 TÍNH CHÍNH QUY VÀ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp các phương trình vi phân không địa phương trong không gian Hilbert, đây là mô hình tổng quát cho một số phương trình khuếch tán dị thường. Bằng cách sử dụng lý thuyết phương trình tích phân với nhân hoàn toàn dương cùng với kỹ thuật ước lượng cục bộ, chúng tôi thu được một số kết quả về sự tồn tại, tính chính quy và tính ổn định của nghiệm. Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 1 trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 2.1. ĐẶT BÀI TOÁN Cho H là không gian Hilbert tách được, chúng tôi xét bài toán sau: d [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = f (u(t)), t > 0, (2.1) dt u(0) = u0 , (2.2) ở đây hàm u nhận giá trị trong H , nhân k ∈ L1loc (R+ ), A là toán tử tuyến tính không bị chặn, và f :RH → H là hàm cho trước. Kí hiệu ‘∗’ được hiểu là tích chập Laplace, tức là t (k ∗ v)(t) = 0 k(t − s)v(s)ds. Dựa vào biểu diễn nghiệm đã thiết lập, chúng tôi sẽ chứng minh nghiệm nhẹ của bài toán tuyến tính (khi f không phụ thuộc u) cũng chính là nghiệm yếu và nó trở thành nghiệm mạnh khi f liên tục H¨older. Tiếp theo, chúng tôi tìm các điều kiện đảm bảo sự tồn tại và liên tục H¨older của nghiệm nhẹ của bài toán nửa tuyến tính. 2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TUYẾN TÍNH 2.2.1. Tính giải được Cho trước g ∈ C([0, T ]; H), xét bài toán tuyến tính d [k ∗ (u − u0 )](t) + Au(t) = g(t), t ∈ (0, T ], (2.3) dt u(0) = u0 . (2.4) Khái niệm nghiệm nhẹ của bài toán tuyến tính này đã được trình bày trong Chương 1. Tiếp theo ta định nghĩa nghiệm yếu, nghiệm mạnh cho bài toán (2.3)-(2.4). Định nghĩa 2.1. Giả sử (A) và (K) được thỏa mãn, g ∈ C([0, T ], H) và u0 ∈ H cho trước. Hàm u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 1 ) được gọi là một nghiệm yếu của bài toán (2.3)-(2.4) 2 trên [0, T ] nếu và chỉ nếu u(0) = u0 và phương trình (2.3) thỏa mãn trong V− 1 . 2 10
Định nghĩa 2.2. Giả sử (A), (K) được thỏa mãn, g ∈ C([0, T ]; H) và u0 ∈ H cho trước. Hàm u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; D(A)) được gọi là một nghiệm mạnh của bài toán (2.3)-(2.4) trên [0, T ] nếu và chỉ nếu u(0) = u0 , và phương trình (2.3) thỏa mãn trong H . Định lí sau chỉ ra nghiệm nhẹ cũng là nghiệm yếu. Định lí 2.1. Nếu u là nghiệm nhẹ của bài toán (2.3)-(2.4) thì nó cũng là nghiệm yếu của bài toán này. Định lí dưới đây khẳng định tính duy nhất của nghiệm yếu. Định lí 2.2. Nghiệm yếu của bài toán (2.3)-(2.4) là duy nhất. 2.2.2. Tính chính quy nghiệm Sử dụng các kết quả về tính chính quy của các giải thức S(t) và R(t), ta thu được tính liên tục H¨older của nghiệm. Định lí 2.3. Giả sử (A) và (K* ) được thỏa mãn, g trong (2.3) thuộc không gian C γ ([0, T ]; H), và u là một nghiệm yếu của (2.3)-(2.4). Khi đó u ∈ C([0, T ]; H)∩C γ ([δ, T ]; H) với mọi 0 < δ < T , và u cũng là một nghiệm mạnh. 2.3. TÍNH GIẢI ĐƯỢC, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO BÀI TOÁN NỬA TUYẾN TÍNH 2.3.1. Tính giải được Trước tiên ta định nghĩa nghiệm nhẹ cho bài toán nửa tuyến tính. Định nghĩa 2.3. Hàm u ∈ C([0, T ]; H) được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (2.1)-(2.2) trên [0, T ] nếu và chỉ nếu Z t u(t) = S(t)u0 + R(t − s)f (u(s))ds, 0 với mọi t ∈ [0, T ]. Để giải bài toán ta sử dụng giả thiết sau cho hàm ngoại lực. (F) Hàm phi tuyến f : H → H có tính chất Lipschitz địa phương, tức là với mỗi ρ > 0 tồn tại một số không âm κ(ρ) thỏa mãn kf (v1 ) − f (v2 )k ≤ κ(ρ)kv1 − v2 k, ∀v1 , v2 ∈ Bρ , Trong đó Bρ là hình cầu đóng trong H với tâm tại gốc và bán kính ρ. Trong định lí tiếp theo, chúng tôi chứng minh tính giải được địa phương của bài toán. Định lí 2.4. Giả sử (A), (K) và (F) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại số t∗ > 0 sao cho bài toán (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm nhẹ xác định trên [0, t∗ ]. Hơn nữa, u(t) ∈ V 1 với 2 mọi t ∈ (0, t∗ ]. Bây giờ chúng tôi xét một số trường hợp, trong đó nghiệm tồn tại toàn cục. 11
Định lí 2.5. Cho (A) và (K) được thỏa mãn. Với T > 0 bất kì, nếu hàm phi tuyến f là Lipschitz toàn cục, tức là, κ(ρ) = κ0 là hằng số, thì bài toán (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm nhẹ toàn cục u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 1 ). Nếu thêm điều kiện κ0 < λ1 và 2 1 + l 6∈ L (R ), thì mỗi nghiệm nhẹ của (2.1) là bị chặn toàn cục và ổn định tiệm cận. Định lí sau đây cho ta kết quả chính của phần này. Định lí 2.6. Giả sử (A), (K) và (F) được thỏa mãn. Nếu f (0) = 0 và lim sup κ(ρ) = α ρ→0 với α ∈ [0, λ1 ), thì tồn tại δ > 0 sao cho với điều kiện ku0 k ≤ δ bài toán (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm nhẹ toàn cục u ∈ C([0, T ]; H) ∩ C((0, T ]; V 1 ). 2 2.3.2. Tính ổn định nghiệm Trong phần này chúng tôi chỉ ra tính ổn định của nghiệm tầm thường trong trường hợp bài toán nửa tuyến tính. Định lí 2.7. Giả sử các điều kiện của Định lí 2.6 thỏa mãn. Nếu l 6∈ L1 (R+ ), thì nghiệm tầm thường của phương trình (2.1) là ổn định tiệm cận. Bây giờ chúng tôi trình bày một kết quả ổn định tuyến tính hóa như là một hệ quả của Định lí 2.7. Hệ quả 2.1. Cho (A) và (K) được thỏa mãn. Giả sử hàm phi tuyến f là khả vi liên tục sao cho f (0) = 0 và A − f 0 (0) xác định dương. Khi đó, nghiệm tầm thường của (2.1) là ổn định tiệm cận. 2.3.3. Tính liên tục H¨ older của nghiệm nhẹ Chúng tôi chứng minh tính liên tục H¨older của nghiệm nhẹ của bài toán (2.1)-(2.2). Định lí 2.8. Giả sử (A), (K*) và (F) được thỏa mãn. Khi đó nghiệm nhẹ của bài toán (2.1)-(2.2) là liên tục H¨ older trên [δ, T ] với mỗi 0 < δ < T . 2.4. ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ RN là một miền bị chặn với ∂Ω trơn. Chúng tôi áp dụng kết quả thu được cho hệ vi phân đạo hàm riêng chứa cặp toán tử vi phân phân thứ theo thời gian sau đây: Z ∂tα u(t, x) + µ ∂tβ u(t, x) + (−∆)γ u(t, x) = F u2 (t, x)dx G(x, u(t, x)), (2.5) Ω với t > 0, x ∈ Ω, u(t, x) = 0, với t ≥ 0, x ∈ ∂Ω, (2.6) u(0, x) = u0 (x), với x ∈ Ω, (2.7) ở đó 0 < α < β < 1, µ ≥ 0, γ > 0, ∂tα và ∂tβ lần lượt là đạo hàm phân thứ Caputo bậc α và β theo t; ∆ là toán tử Laplace với miền xác định D(∆) = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Xét H = L2 (Ω) 12
Z với tích vô hướng (u, v) = u(x)v(x)dx. Đặt Ω k(t) = g1−α (t) + µ g1−β (t), (2.8) A = (−∆)γ , Z f (v)(x) = F v 2 (x)dx G(x, v(x)), v ∈ L2 (Ω). Ω Khi đó bài toán (2.5)-(2.7) là một trường hợp cụ thể của (2.1)-(2.2). Dễ thấy, nhân k là hoàn toàn đơn điệu, tức là (−1)n k (n) (t) ≥ 0 với t ∈ (0, ∞). Do vậy, k thỏa mãn điều kiện tồn tại nhân l sao cho k ∗ l = 1 trên (0, ∞) và trong trường hợp này, (1 ∗ l)(t) ∼ g1+α (t) khi t → ∞. Do vậy 1 s(t, µ) ≤ → 0 khi t → ∞, với mọi µ > 0. 1 + µ(1 ∗ l)(t) Gọi λ4 là giá trị riêng đầu tiên của −∆, nghĩa là λ4 = inf {k∇uk2 : kuk = 1}. Khi 1 u∈H0 (Ω) đó, giá trị riêng đầu tiên λ1 của toán tử A = (−∆)γ được cho bởi λ1 = λγ4 . Về phần phi tuyến của phương trình (2.5), ta bổ sung các giả thiết sau đây: (H1) F ∈ C 1 (R) thỏa mãn |F (r)| ≤ a + b|r|ν , trong đó a, b và ν là các số không âm. (H2) G : Ω × R → R là hàm Carathéodory và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là |G(x, y1 ) − G(x, y2 )| ≤ h(x)|y1 − y2 |, ∀x ∈ Ω, y1 , y2 ∈ R, ở đây h ∈ L∞ (Ω) là một hàm không âm. Hơn nữa, ta giả sử G(x, 0) = 0 với hầu khắp x ∈ Ω. Định lí 2.9. Cho các giả thiết (H1) − (H2) và giả sử thêm rằng 1) akhk∞ < θγ λγ4 nếu ν > 0, 2) (a + b)khk∞ < θγ λγ4 nếu ν = 0, ở đó khk∞ = ess supx∈Ω |h(x)|. Khi đó bài toán (2.5)-(2.7) có duy nhất một nghiệm nhẹ. Hơn nữa, nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận. 13
Chương 3 TÍNH TIÊU HAO VÀ ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG CÓ TRỄ HỮU HẠN Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính giải được, tính tiêu hao và tính ổn định của nghiệm đối với một lớp phương trình khuếch tán dị thường nửa tuyến tính có trễ hữu hạn. Sự tồn tại của tập hấp thụ, tính ổn định và ổn định yếu sẽ được chỉ ra dưới các giả thiết phù hợp của hàm phi tuyến. Nghiên cứu của chúng tôi dựa trên một bất đẳng thức kiểu Halanay mới và nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén. Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 3 trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn với biên ∂Ω trơn. Ta xét bài toán ∂t [k ∗ (u − u0 )] + (−∆)γ u = f (t, u, uρ ), t > 0, x ∈ Ω, (3.1) với điều kiện ban đầu u(τ, x) = ϕ(τ, x), τ ∈ [−h, 0], x ∈ Ω, (3.2) trong đó ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ϕ(0, ·) = u0 , và điều kiện biên u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω. (3.3) Trong phương trình (3.1), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f : R+ × R2 → R là hàm cho trước. Ở đây uρ (t, x) = u(t − ρ(t), x), ρ ∈ C(R+ ) sao cho −h ≤ t − ρ(t) < t, và ‘∗’ là ký hiệu tích Rt chập Laplace theo t, tức là, (k ∗ v)(t, x) = 0 k(t − s)v(s, x)ds với v ∈ C(R+ ; L2 (Ω)). Sự tồn tại nghiệm sẽ được chứng minh trong trường hợp nhân k thỏa mãn điều kiện (K*) cùng với các giải thiết phù hợp của f . Tính tiêu hao và ổn định của nghiệm được chứng minh thông qua một bất đẳng thức kiểu Halanay mới. Ký hiệu S(ϕ) là tập nghiệm của (3.1) ứng với dữ kiện ban đầu ϕ. Gọi ut ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) là trạng thái trễ xác định bởi ut (ξ) = u(t − ρ(t)), ξ ∈ [−h, 0]. Sau đây ta sử dụng ký hiệu k · k∞ để chỉ chuẩn sup trong C(J; L2 (Ω)), với J ⊂ R là một đoạn. Khái niệm ổn định tiệm cận yếu của nghiệm được trình bày trong định nghĩa sau đây. Định nghĩa 3.1. Nghiệm u ∈ S(ϕ) được gọi là ổn định tiệm cận yếu nếu nó thỏa mãn các điều kiện: 1) ổn định: với mỗi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) thỏa mãn kψ − ϕk∞ < δ , thì kvt − ut k∞ < với mọi v ∈ S(ψ) và t > 0; 2) hút yếu: tồn tại % > 0 sao cho với mọi ψ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)) thỏa mãn kψ − ϕk∞ < %, tồn tại v ∈ S(ψ) thỏa mãn lim kvt − ut k∞ = 0. t→∞ 14
Để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu cho nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3), ta sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén. 3.2. TÍNH GIẢI ĐƯỢC Định nghĩa 3.2. Hàm u ∈ C([−h, T ]; L2 (Ω)) được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (3.1)- (3.3) trên đoạn [−h, T ] nếu u(t) = ϕ(t) với t ∈ [−h, 0] và Z t u(t) = S(t)ϕ(0) + R(t − τ )f (τ, u(τ ), u(τ − ρ(τ )))dτ với t ∈ [0, T ]. 0 Trong phần này chúng tôi sẽ xem xét các điều kiện đủ đảm bảo tính giải được toàn cục cho hệ (3.1)-(3.3) Xét u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) và ϕ ∈ C([−h, 0]; L2 (Ω)), ta ký hiệu u[ϕ] là hàm xác định bởi ( u(t) nếu t > 0, u[ϕ](t) = ϕ(t) nếu − h ≤ t ≤ 0. Đặt Cϕ = {u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) : u(0) = ϕ(0)}, Z t Φ(u)(t) = S(t)ϕ(0) + R(t − τ )f (τ, u(τ ), u[ϕ](τ − ρ(τ )))dτ, 0 với u ∈ Cϕ , t ≥ 0. Khi đó, u là điểm bất động của Φ nếu và chỉ nếu u[ϕ] là nghiệm nhẹ của bài toán (3.1)-(3.3). Ta sẽ gọi Φ là toán tử nghiệm. Định lí 3.1. Giả sử (K*) được thỏa mãn, f là hàm liên tục có tính chất tăng trưởng trên tuyến tính kf (t, v, w)k ≤ βkvk + κkwk + Ψ(kvk + kwk), (3.4) với mọi t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), ở đây β ≥ 0, κ > 0, Ψ ∈ C(R+ ; R) sao cho Ψ(r) = o(r) khi r → 0. Nếu β + κ < λγ1 thì tồn tại một số dương δ sao cho khi kϕk∞ < δ , bài toán (3.1)-(3.3) có ít nhất một nghiệm nhẹ. Hơn nữa, nếu f thỏa mãn tính chất Lipschitz cục bộ, tức là, với mỗi r > 0, tồn tại L(r) > 0 sao cho kf (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )k ≤ L(r)(kv1 − v2 k + kw1 − w2 k), (3.5) với mọi t ≥ 0, kvi k ≤ r, kwi k ≤ r, i ∈ {1, 2}, thì nghiệm của bài toán là duy nhất. Trong định lí sau, ta thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm toàn cục nhưng không cần giả thiết dữ kiện ban đầu nhỏ. Định lí 3.2. Giả sử giả thiết (K*) được thỏa mãn. Cho f là hàm liên tục có mức tăng trưởng dưới tuyến tính, tức là kf (t, v, w)k ≤ α(t) + βkvk + κkwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (3.6) ở đây α ∈ L1loc (R+ ) là một hàm không âm, β và κ là các số không âm. Khi đó, bài toán (3.1)-(3.3) có ít nhất một nghiệm nhẹ toàn cục. 15
3.3. TÍNH TIÊU HAO, TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH YẾU CỦA NGHIỆM 3.3.1. Bất đẳng thức kiểu Halanay 3.3.2. Tính tiêu hao Định lí sau đây phát biểu kết quả về tính tiêu hao của hệ (3.1)-(3.3). Định lí 3.3. Giả sử f liên tục và thỏa mãn điều kiện kf (t, v, w)k ≤ α(t) + βkvk + κkwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (3.7) ở đó β và κ là các số không âm sao cho β + κ < λγ1 , α ∈ L1loc (R+ ) là một hàm không âm, không tăng sao cho r(·, λγ1 − β) ∗ α ∈ BC(R+ ). Nếu l 6∈ L1 (R+ ) và lim (t − ρ(t)) = ∞, thì t→∞ hệ (3.1)-(3.3) tiêu hao và có tập hấp thụ là hình cầu Bσ với bán kính λγ1 − β σ> γ sup(r(·, λγ1 − β) ∗ α)(t). λ1 − β − κ R+ 3.3.3. Tính ổn định tiệm cận của nghiệm Định lí 3.4. Giả sử hàm phi tuyến f thỏa mãn điều kiện Lipschitz kf (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )k ≤ βkv1 − v2 k + κkw1 − w2 k, với mọi t ≥ 0, vi , wi ∈ L2 (Ω), i ∈ {1, 2}, ở đó β ≥ 0, κ > 0 sao cho β + κ < λγ1 . Nếu l 6∈ L1 (R+ ) và lim (t − ρ(t)) = ∞, thì mọi nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3) ổn định tiệm t→∞ cận. Định lí sau cho ta tính ổn định tiệm cận nghiệm của (3.1)-(3.3) trong trường hợp f thỏa mãn các giả thiết của Định lí 3.1. Định lí 3.5. Giả sử các giả thiết của Định lí 3.1 được thỏa mãn. Nếu l 6∈ L1 (R+ ) và lim (t − ρ(t)) = ∞, thì nghiệm tầm thường của (3.1) ổn định tiệm cận. t→∞ 3.3.4. Tính ổn định yếu của nghiệm Trong trường hợp f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz, ta xét tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường của phương trình (3.1). Kĩ thuật ở đây là sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén. Định lí 3.6. Cho f là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện kf (t, v, w)k ≤ β(t)kvk + κ(t)kwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω), (3.8) với β, κ ∈ L1loc (R+ ) là các hàm không âm. Giả sử l 6∈ L1 (R+ ) và lim (t − ρ(t)) = ∞. Khi t→∞ đó nghiệm tầm thường của (3.1) là ổn định tiệm cận yếu nếu tồn tại σ ∈ (0, 1) sao cho Z σt lim sup r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ = 0, (3.9) T →∞ t≥T 0 Z t ` = sup r(t − τ, λγ1 )(β(τ ) + κ(τ ))dτ < 1. (3.10) t≥0 0 16
3.4. VÍ DỤ m P Ta xét một trường hợp cụ thể. Cho k(t) = µi g1−αi (t) với µi > 0 và 0 < α1 < α2 < i=1 ... < αm < 1 (phương trình phân thứ đa thành phần). Khi đó k là hàm hoàn toàn đơn điệu, và do đó tồn tại nhân liên hợp l. Hơn nữa, biến đổi Laplace của l xác định như sau ˆl(λ) = λ−1 k(λ) ˆ −1 = m1 . Từ đó λαi P µi i=1 1 1 [ (1 ∗ l)(λ) = m ∼ khi λ → 0. P µ1 λα1 +1 µi λαi +1 i=1 tα1 Dựa vào định lí Karamata-Feller Tauberian, ta có (1 ∗ l)(t) ∼ µ1 Γ(α1 +1) → ∞ khi t → ∞, từ đó suy ra l 6∈ L1 (R+ ). Với hàm phi tuyến, ta xét trường hợp cụ thể Z f (t, u, uρ )(x) = F t, |u(t, x)|2 dx, u(qt − h, x) , Ω ở đây F : R+ × R+ × R → R là một hàm liên tục, q ∈ (0, 1) cho trước. Khi đó ρ(t) = (1 − q)t + h và hàm phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào trạng thái lịch sử của hệ mà còn phụ thuộc vào năng lượng của hệ tại thời điểm t. Dạng trừu tượng của f như sau f (t, v, w)(x) = F (t, kvk2 , w(x)), với v, w ∈ L2 (Ω). Giả sử F thỏa mãn điều kiện Lipschitz |F (t, y1 , z1 ) − F (t, y2 , z2 )| ≤ p|y1 − y2 | + q|z1 − z2 |, (3.11) với p ≥ 0, q > 0. Khi đó p kf (t, v1 , w1 ) − f (t, v2 , w2 )k ≤ p |Ω|(kv1 k + kv2 k)kv1 − v2 k + qkw1 − w2 k, ở đây |Ω| là thểptích của Ω. Vậy f thỏa mãn điều kiện Lipschitz cục bộ (3.5) với L(r) = max{q, 2rp |Ω|}. Hơn nữa, ta có p kf (t, v, w)k ≤ kf (t, 0, 0)k + p |Ω|kvk2 + qkwk. Sử dụng Định lí 3.3, ta thấy nếu p = 0 và F (·, 0, 0) ∈ BC(R+ ), thì hệ của ta là tiêu hao khi q < λγ1 . Mặt khác nếu F (t, 0, 0) = 0 và q < λγ1 thì nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận theo Định lí 3.5. Bây giờ ta thay điều kiện (3.11) bằng điều kiện F thỏa mãn √ |F (t, y, z)| ≤ p(t) y + r(t)|z|, với p, r ∈ L1loc (R+ ). Khi đó p kf (t, v, w)k ≤ p(t) |Ω|kvk + r(t)kwk, ∀t ≥ 0, v, w ∈ L2 (Ω). Áp dụng Định lí 3.6, ta có kết quả về tính ổn định tiệm cận yếu p của nghiệm tầm thường khi các điều kiện (3.9)-(3.10) được thỏa mãn với β(t) = p(t) |Ω| và κ(t) = r(t). 17
Chương 4 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN DỊ THƯỜNG NỬA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tôi sẽ thiết lập một số điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán giá trị cuối đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng mô tả hiện tượng khuếch tán dị thường. Nghiên cứu của chúng tôi dựa trên lý thuyết về các hàm hoàn toàn dương, lý thuyết giải thức và lý thuyết điểm bất động trên các không gian hàm phù hợp. Các kết quả thu được mở rộng những kết quả trước đó cho phương trình khuếch tán phân thứ. Nội dung của chương này dựa trên bài báo số 2 trong Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án. 4.1. ĐẶT BÀI TOÁN Cho Ω ⊂ Rd là một miền bị chặn với biên ∂Ω trơn. Chúng tôi xét hệ sau: k ∗ ∂t u + (−∆)γ u = f (t, u) trong Ω, t ∈ (0, T ), (4.1) với điều kiện cuối u(T, ·) = g(u)(·) trong Ω, (4.2) và điều kiện biên Dirichlet u = 0 trên ∂Ω, t ≥ 0. (4.3) Trong phương trình (4.1), k ∈ L1loc (R+ ), γ > 0, và f là một hàm cho trước. Kí hiệu ‘∗’ Rt là tích chập Laplace theo biến thời gian t, tức là, (k ∗ v)(t, x) = 0 k(t − s)v(s, x)ds, và (−∆)γ là toán tử Laplace phân thứ. Chúng tôi sẽ thiết lập các điều kiện giải được của bài toán trong hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất: f và g nhận giá trị trong các không gian hàm chính quy. Khi đó nghiệm được xác định trên cả đoạn [0, T ]. Trường hợp thứ hai, khi f và g nhận giá trị trong các không gian hàm ít chính quy hơn, nghiệm thu được chỉ xác định trên nửa đoạn (0, T ] (nghiệm kỳ dị tại t = 0). Điều này xảy ra do hiệu ứng trơn của bài toán thuận, tức là u(t, ·) với t > 0 sẽ chính quy hơn u(0, ·). Để có được kết quả trong trường hợp thứ hai, chúng tôi sử dụng các nguyên lý điểm bất động trên không gian hàm được thiết kế phù hợp với giả thiết của bài toán. 4.2. BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI 4.2.1. Công thức nghiệm của bài toán tuyến tính Trong phần này ta dùng kí hiệu u(t) thay cho u(t, ·) và xét u như là một hàm xác định trên [0, T ] và nhận giá trị trong không gian Vβ với β ∈ R nào đó. Kí hiệu A = (−∆)γ 18