Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu rủi ro tài chính trong tái bảo hiểm

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án này nghiên cứu mô hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm là các biến ngẫu nhiên. Các bài toán liên quan tới xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm được xem xét. Các ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết lập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu rủi ro tài chính trong tái bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- NGUYỄN QUANG CHUNG NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH TRONG TÁI BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lí thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã ngành: 62460106 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Bùi Khởi Đàm 2. PGS. TS. Tống Đình Quỳ Phản biện 1:................................................ Phản biện 2:................................................ Phản biện 3:................................................ Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi........ giờ, ngày........tháng........năm......... Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu- Trường ĐHBK Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Một trong những nghiên cứu đầu tiên về lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm là luận án của Filip Lundberg (1903) ở Đại học Uppsala (Thụy Điển). Sau đó, Harald Cramér đã phát triển ý tưởng của Filip Lundberg mà ngày nay chúng ta gọi nó là mô hình Cramér- Lundberg hay mô hình rủi ro cổ điển. Trong mô hình này phí thu bảo hiểm được xét là hằng số và phần chi trả bảo hiểm là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Một số tác giả S. Ross [32], H. Yang [46], B. K. Đàm và N. H. Hoàng [1], B. K. Dam và N. T. T. Hong [17] và N. T. T Hong [21] đã xét các mô hình rủi ro với phí bảo hiểm thu được trong mỗi chu kỳ là một biến ngẫu nhiên. Sau đó một số tác giả B. Sundt và J. L. Teugels ([38], [39]), H. Yang [46], J. Cai ([7], [8]), J. Cai và D. C. M. Dickson [9], X. Wei và Y. Hu [43], B. K. Dam và P. D. Quang [18], N. T. T. Hong [21] và P. D. Quang ([30], [31]) đã đề cập tới mô hình có lãi suất. Với hai mô hình rủi ro này, các tác giả trên đã ước lượng hoặc đưa ra được biểu thức đúng cho xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm. Tuy nhiên trong kinh doanh bảo hiểm, ngay các công ty bảo hiểm cũng có thể gặp thiệt hại do các yêu cầu bồi thường quá lớn. Một trong những chiến lược để giảm nguy cơ thiệt hại trực tiếp cho các công ty bảo hiểm là hình thức tái bảo hiểm. Có thể coi K. Borch [5] là một trong những người đầu tiên nghiên cứu về tái bảo hiểm. Ở đó, tác giả đã chỉ ra trong các phương án tái bảo hiểm khác nhau thì tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương sai cho phần chi trả bảo hiểm của công ty bảo hiểm. Nghiên cứu này mở ra các hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm như P. Kahn [24], S. Vajda [41], J. Ohlin [28], H. R. Waters [42], J. Cai và K. Tan [10], J. Cai, K. S. Tan, 1
C. Weng và Y. Zhang [11], R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene và M. Denuit [23], K. S. Tan, C. Weng và Y. Zhang [40]. Trong mô hình rủi ro có tái bảo hiểm, các yêu cầu bồi thường sẽ được chi trả bởi công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm, do đó sự thiệt hại có thể xảy ra ở công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm. Tuy nhiên, hầu hết các công trình nghiên cứu trong danh mục tài liệu tham khảo của luận án này, các nghiên cứu đều được xem xét từ quan điểm một phía (công ty bảo hiểm hoặc công ty tái bảo hiểm). Gần đây, các bài toán có sự quan tâm tới cả hai công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm đã được một số tác giả nghiên cứu, ví dụ: V. K. Kaishev và D. S. Dimitrova [25], Z. Li [27] và S. Salcedo-Sanz, L. Carro-Calvo, M. Claramunt, A. Casta˜ ner và M. Mármol [34]. Các nghiên cứu về tái bảo hiểm sẽ phù hợp hơn nếu có sự quan tâm tới công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Mặc dù vậy, các nghiên cứu theo hướng này còn khá ít trong các công trình nghiên cứu hiện nay. Luận án này nghiên cứu mô hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm là các biến ngẫu nhiên. Các bài toán liên quan tới xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm được xem xét. Các ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm được thiết lập. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: Xây dựng mô hình rủi ro rời rạc với sự tác động của tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excess of loss trong các trường hợp không lãi suất và có lãi suất. Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết (xác suất xảy ra thiệt hại của công ty bảo hiểm hoặc tái bảo hiểm); xây dựng các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại trong mô hình có tái bảo hiểm. 2
• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án: Các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm trong mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excess of loss. Các bài toán về tối ưu, bài toán về công thức tính đúng và bài toán về ước lượng cho các xác suất thiệt hại. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án sử dụng các kiến thức của giải tích và xác suất. Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập các chặn trên cho các xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Với phương pháp này các bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal và định lý về thời điểm dừng với martingale và martingale trên được sử dụng trong quá trình chứng minh. Phương pháp truy hồi để xây dựng các chặn trên cho các xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm. 4. Ý nghĩa của các kết quả của luận án • Luận án đưa ra một số kết quả mới, có ý nghĩa về cả lý thuyết và ứng dụng trong việc nghiên cứu các mô hình rủi ro bảo hiểm. • Lần đầu tiên đưa ra cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm (cực tiểu đồng thời cả xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm). • Xây dựng được công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết, xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm. • Thiết lập được các hệ số hiệu chỉnh như là các hàm của tỷ lệ chia sẻ và mức duy trì. • Đưa ra ước lượng trên dạng Cramér- Lundberg cho các xác suất thiệt của từng công ty bảo hiểm bởi phương pháp martingale và phương pháp truy 3
hồi. • Chứng minh được sự tồn tại tỷ lệ chia sẻ α để cả hai xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm đều nhỏ hơn một ngưỡng bé tùy ý cho trước. 5. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia làm bốn chương: • Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận án. • Chương 2 nghiên cứu bài toán tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, xây dựng công thức tính chính xác cho các xác suất thiệt hại liên kết. • Chương 3 ước lượng cho xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm bằng phương pháp martingale. • Chương 4 ước lượng cho xác suất thiệt hại trong mô hình tái bảo hiểm bằng phương pháp truy hồi. Nội dung chính của luận án dựa trên bốn bài báo được liệt kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", trong đó các bài [1], [2], [4] đăng ở nước ngoài, bài [3] đăng ở tạp chí trong nước. Luận án đã được báo cáo tại: – Seminar " Đánh giá sự ảnh hưởng của tái bảo hiểm đối với chặn trên của xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro rời rạc" Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, tháng 8 năm 2017. – Seminar "Xác suất thiệt hại trong mô hình rủi ro với tái bảo hiểm", Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 10 năm 2017. 4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số quá trình ngẫu nhiên ứng dụng trong lý thuyết rủi ro Xét ξ là một biến ngẫu nhiên xác định trong không gian xác suất (Ω, F, P). Định nghĩa 1.1.1. ([6]) Cho ξ là biến ngẫu nhiên khả tích và A là σ− trường con của F. Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của ξ đối với A là một biến ngẫu nhiên, ký hiệu E(ξ | A) và thỏa mãn các điều kiện sau: - E(ξ | A) là A− đo được; - Với mỗi A ∈ A Z Z E(ξ | A)dP = ξdP. A A 1.1.1 Quá trình Markov Cho {ξt }t∈T có tính Markov và E là tập hữu hạn hoặc đếm được, thì {ξt }t∈T được gọi là xích Markov. Như vậy, về phương diện toán học, trong trường hợp này tính Markov có thể định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng {ξt }t∈T có tính Markov nếu: P ξtn+1 = j | ξt0 = i0 , ..., ξtn−1 = in−1 , ξtn = i = P ξtn+1 = j | ξtn = i , với bất kỳ t0 < t1 < ... < tn < tn+1 < ... và i0 , ..., in−1 , i, j ∈ E. 5
1.1.2 Martingale với tham số rời rạc Định nghĩa 1.1.3. ([45]) Một dãy {ξn , An , n ∈ N} được gọi là một martingale, nếu (i) ξn đo được với An , n ∈ N, (ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N, (iii) E(ξn | An−1 ) = ξn−1 , n ≥ 1. Tương tự, một dãy {ξn , An , n ∈ N} là martingale trên (supermartingale), nếu (i) ξn đo được với An , n ∈ N, (ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N, (iii’) E(ξn | An−1 ) ≤ ξn−1 , n ≥ 1 và một dãy {ξn , An , n ∈ N} là martingale dưới (submartingale), nếu (i) ξn đo được với An , n ∈ N, (ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N, (iii") E(ξn | An−1 ) ≥ ξn−1 , n ≥ 1. 1.2 Một số mô hình rủi ro cổ điển Chúng ta ký hiệu u0 là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm. Các đại lượng Xn , Yn và In tương ứng là phần chi trả bảo hiểm, phần thu bảo hiểm và lãi suất của công ty bảo hiểm ở chu kỳ thứ n. - Mô hình rủi ro không lãi suất mà lợi nhuận Un ở chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ...) của công ty bảo hiểm được xác định n X n X Un = u0 + Yi − Xi . (1.1) i=1 i=1 - Mô hình rủi ro có lãi suất trong đó lợi nhuận ở chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ...) của công ty bảo hiểm là U en−1 (1 + In ) + Yn − Xn . en = U (1.2) 6
1.3 Tái bảo hiểm Định nghĩa 1.3.1. ([19]) Tái bảo hiểm quota share là một loại tái bảo hiểm mà công ty bảo hiểm sẽ giữ lại một khoản từ việc thu phí bảo hiểm của khách hàng và chi trả bảo hiểm cho khách hàng với cùng một tỷ lệ, ký hiệu α (α ∈ [0, 1]). Phần thu và chi bảo hiểm còn lại sẽ được thực hiện bởi công ty tái bảo hiểm. Ta gọi α là tỷ lệ chia sẻ. Khi có tái bảo hiểm quota share ta có các mô hình rủi ro - Trường hợp không có lãi suất lợi nhuận của công ty bảo hiểm và tái bảo (1) (1) hiểm ở chu kỳ n tương ứng Un và Vn , được xác định: n X n X Un(1) = u0 + α Yi − α Xi (1.3) i=1 i=1 và n n X X Vn(1) = v0 + (1 − α) Yi − (1 − α) Xi (1.4) i=1 i=1 với n = 1, 2, ..., . - Trường hợp có lãi suất lợi nhuận ở chu kỳ thứ n của công ty bảo hiểm en(1) và Ven(1) và tái bảo hiểm là U en(1) = U U e (1) 1 + In(1) + α(Yn − Xn ) (1.5) n−1 và (1) (1) (2) Vn = Vn−1 1 + In + (1 − α)(Yn − Xn ) e e (1.6) (1) (2) trong đó In và In là lãi suất tương ứng của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm ở chu kỳ thứ n. Định nghĩa 1.3.2. ([15],[19]) Tái bảo hiểm excess of loss là một hợp đồng bảo hiểm mà phần thu phí bảo hiểm từ người mua bảo hiểm sẽ được chia cho công ty bảo hiểm với một tỷ lệ α, phần còn lại được chia cho công ty tái bảo 7
hiểm. Ở mỗi chu kỳ nếu tổng số chi trả bảo hiểm vượt quá M thì công ty bảo hiểm chi trả M , phần còn lại được chi trả bởi công ty tái bảo hiểm, trái lại công ty bảo hiểm sẽ chi trả toàn bộ số tiền yêu cầu bồi thường. Khi có tái bảo hiểm excess of loss ta có các mô hình rủi ro mà lợi nhuận của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm ở chu kỳ thứ n được cho: - Trường hợp không có lãi suất n X n X Un(2) = u0 + α Yi − min {Xi , M } (1.7) i=1 i=1 và n n X X Vn(2) = v0 + (1 − α) Yi − max {Xi − M, 0} (1.8) i=1 i=1 - Trường hợp có lãi suất (2) (2) (1) Un = Un−1 1 + In + αYn − min{Xn , M } e e (1.9) và (2) (2) (2) Vn = Vn−1 1 + In + (1 − α) Yn − max{Xn − M, 0} e e (1.10) Kết luận Chương 1 Trong chương này, ngoài việc giới thiệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu của luận án, kiến thức và khái niệm được sử dụng sau này trong luận án, tác giả đã mở rộng một số mô hình rủi ro bởi xét các hợp đồng tái bảo hiểm lên các quá trình lợi nhuận của công ty bảo hiểm và công ty tái bảo hiểm. 8
Chương 2 XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MÔ HÌNH RỦI RO VỚI TÁI BẢO HIỂM 2.1 Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết Các định lý sau đây là lời giải bài toán tối ưu (cực tiểu) xác suất thiệt hại liên kết. a. Trường hợp không có lãi suất Định lý 2.1.1. Cho các quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) trong đó α ∈ (0, 1). Khi đó, với mỗi u0 và v0 thì xác suất thiệt hại liên kết ψn u0 , v0 , α đạt giá u0 trị bé nhất tại α∗ = u0 +v0 . b. Trường hợp có lãi suất Xét các quá trình lợi nhuận n n k Y h X Y −1 i en(1) = U 1 + Ik u0 + α Yk − Xk 1 + Ij (2.1) k=1 k=1 j=1 và n n k Y h X Y −1 i Ven(1) = 1 + Ik v0 + (1 − α) Yk − Xk 1 + Ij (2.2) k=1 k=1 j=1 Định lý 2.1.2. Cho các quá trình lợi nhuận (2.1) và (2.2) trong đó α ∈ (0, 1). Khi đó, ψen (u0 , v0 , α, is ) đạt giá trị bé nhất tại α∗ = u0u+v 0 0 với mỗi u0 , v0 và mọi s = 0, 1, ..., N0 . 9
2.2 Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình với tái bảo hiểm quota share Với giả thiết 2.1 và 2.2 (xem trong luận án) về phần thu bảo hiểm và phần chi trả bảo hiểm, chúng ta có các công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trong các trường hợp không có lãi suất và có lãi suất: 2.2.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất Định lý 2.2.1. Cho quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các giả thiết 2.1 và 2.2. Khi đó, với mỗi α ∈ [0, 1] thì (1) (1) (1) N3 X N3 N3 G1 G2 Gn X X X X X ψn (u0 , v0 , α) = 1 − ... qm1 qm2 ...qmn ... pl1 pl2 ...pln m1 =1 m2 =1 mn =1 l1 =1 l2 =1 ln =1 (2.3) ở đây n ym1 ym2 ...ymk ym1 ym2 ...ymk o (1) Gk = max lk : αxlk < Zxl1 xl2 ...xlk−1 , (1 − α)xlk < Wxl1 xl2 ...xlk−1 lk =0,N4 với k = 1, 2, ..., n quy ước x0 = 0. 2.2.2 Mô hình rủi ro có lãi suất Định lý 2.2.2. Cho quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) thỏa mãn các giả thiết 2.1, 2.2 và dãy lãi suất I (1) , I (2) là độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi α ∈ [0, 1]; s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 thì N1 X N1 N1 N2 X N2 N2 (2) (2) X X X X (1) (1) ψn (u0 , v0 , α, is , jt ) = 1 − ... rsc r ...rc(1) 1 c1 c2 n−1 cn ... rtk1 rk1 k2 c1 =0 c2 =0 cn =0 k1 =0 k2 =0 kn =0 10
(2) (2) (2) N3 X N3 N3 G1 G2 Gn (2) X X X X X ...rkn−1 kn ... qh1 qh2 ...qhn ... pl1 pl2 ...pln h1 =1 h2 =1 hn =1 l1 =1 l2 =1 ln =1 (2.4) trong đó n y y ,...,y G(2) m = max lm : αxlm < Zxlh1,xhl 2,...,xlhm ,ic1 ,ic2 ,...,icm và (1 − α)xlm < 1 2 m−1 lm =0,N4 o y y ,...,y Wxlh1,xhl 2,...,xlhm ,jk ,jk ,...,jkm 1 2 m−1 1 2 với m = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0. 2.3 Công thức tính chính xác cho xác suất thiệt hại liên kết trong mô hình với tái bảo hiểm excess of loss Tương tự như Mục 2.2 chúng ta cũng thiết lập các công thức tính chính xác cho các xác suất thiệt hại liên kết trong trường hợp không có lãi suất và có lãi suất. 2.3.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất Định lý 2.3.1. Cho quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn các giả thiết 2.1 và 2.2. Khi đó, với mỗi cặp (α, M ) thì (3) (3) (3) N3 X N3 N3 G1 G2 Gn X X X X X φn (u0 , v0 , α, M ) = 1 − ... qm1 qm2 ...qmn ... pl1 pl2 ...pln m1 =1 m2 =1 mn =1 l1 =1 l2 =1 ln =1 (2.5) trong đó n ym1 ym2 ...ymk ym1 ym2 ...ymk o (3) Gk = max lk : min{xlk , M } < Zxl1 xl2 ...xlk−1 , max{xlk −M, 0} < Wxl1 xl2 ...xlk−1 lk =0,N4 với k = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0. 11
2.3.2 Mô hình rủi ro có lãi suất Định lý 2.3.2. Cho quá trình lợi nhuận (3.5) và (3.6) thỏa mãn các giả thiết 2.1, 2.2 và dãy lãi suất I (1) , I (2) độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi (α, M ); s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 thì N1 X N1 N1 N2 X N2 N2 (2) (2) X X X X (1) (1) ψn (u0 , v0 , α, M, is , jt ) = 1 − ... rsc r ...rc(1) 1 c1 c2 n−1 cn ... rtk1 rk1 k2 c1 =0 c2 =0 cn =0 k1 =0 k2 =0 kn =0 (4) (4) (4) N3 X N3 N3 G1 G2 Gn (2) X X X X X ...rkn−1 kn ... qh1 qh2 ...qhn ... pl1 pl2 ...pln h1 =1 h2 =1 hn =1 l1 =1 l2 =1 ln =1 (2.6) trong đó n y y ,...,y G(4) m = max lm : min{xlm , M } < Zxlh1,xhl 2,...,xlhm ,ic1 ,ic2 ,...,icm và 1 2 m−1 lm =0,N4 o y y ,...,y max{xlm − M, 0} < Wxlh1,xhl 2,...,xlhm ,jk ,jk ,...,jkm 1 2 m−1 1 2 với m = 1, 2, ..., n và quy ước x0 = 0. Kết luận Chương 2 Trong chương này, chúng tôi đã: • chỉ ra được cách xác định tỷ lệ chia sẻ, dựa trên vốn ban đầu của hai công ty bảo hiểm mà tỷ lệ chia sẻ này làm cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. • thiết lập được các công thức tính chính xác cho các xác suất thiệt hại liên kết của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm, xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm trong các mô hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share và tái bảo hiểm excess of loss. Nội dung của chương này dựa vào bài báo [2], [3] trong Danh mục công trình đã công bố của luận án. 12
Chương 3 ƯỚC LƯỢNG CHO XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH CÓ TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE Trong chương này chúng tôi trình bày các ước lượng trên dạng mũ cho xác suất thiệt hại của từng công ty bảo hiểm. 3.1 Mô hình rủi ro không có lãi suất 3.1.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share Bổ đề sau cho ta thiết lập các hệ số hiệu chỉnh là các hàm số của α. Bổ đề 3.1.1. Giả sử essup(X1 ) < +∞, essup(Y1 ) < +∞, E(Y1 ) > E(X1 ) và P (X1 − Y1 > 0) > 0. Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1)) tồn tại duy nhất R(1) (α) và R(2) (α) sao cho (1) αR (α)(X1 −Y1 ) E e =1 (3.1) và (1−α)R(2) (α)(X1 −Y1 ) E e =1 (3.2) Sau đây là các bất đẳng thức dạng mũ cho xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. 13
Định lý 3.1.2. Cho các quá trình lợi nhuận (1.3) và (1.4) thỏa mãn các điều kiện trong Bổ đề 3.1.1. Khi đó, với mỗi α (α ∈ (0, 1)) thì (1) ψn(1) (u0 , α) ≤ e−u0 R (α) (3.3) và (2) ψn(2) (v0 , α) ≤ e−v0 R (α) (3.4) n = 1, 2, ... (1) Hệ quả 3.1.3. Với mỗi ∈ L1 đều tồn tại α ∈ (0, 1) sao cho ψn (u0 , α) ≤ (2) u0 và ψn (v0 , α) ≤ . Trường hợp riêng, = e−(u0 +v0 )R0 thì α = u0 +v0 . Hệ quả 3.1.3 là phương pháp để dung hòa xác suất thiệt hại của cả hai công ty bảo hiểm. Bởi chứng minh được sự tồn tại mức chia sẻ để cả hai xác suất thiệt hại của hai công ty bảo hiểm không vượt quá một ngưỡng cho trước. 3.1.2 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β) Lợi nhuận cho công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm sẽ có dạng Xn Xn (1) Un = u0 + α Yi − β Xi (3.5) i=1 i=1 và n n X X Vn(1) = v0 + (1 − α) Yi − (1 − β) Xi (3.6) i=1 i=1 với n = 1, 2, ... Tương tự, Bổ đề 3.1.1 chúng ta thiết lập sự phụ thuộc của các hệ số hiệu chỉnh vào các tỷ lệ α và β. Bổ đề 3.1.4. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, αE(Y1 ) > βE(X1 ) b(1) (α, β) và P (βX1 − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, β). Khi đó, tồn tại duy nhất R b(1) (α, β) > 0) sao cho (R b(1) βX1 −αY1 E eR (α,β) = 1. (3.7) 14
Bổ đề 3.1.5. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, (1 − α)E(Y1 ) > (1 − β)E(X1 ) và P ((1 − β)X1 − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi (α, β). Khi đó, b(2) (α, β)(R tồn tại duy nhất R b(2) (α, β) > 0) sao cho b(2) R (α,β) (1−β)X1 −(1−α)Y1 E e = 1. (3.8) Định lý 3.1.6. Cho các quá trình lợi nhuận (3.5) và (3.6) thỏa mãn các điều kiện trong Bổ đề 3.1.4 và Bổ đề 3.1.5. Khi đó, với mỗi (α, β) thì b(1) ψbn(1) (u0 , α, β) ≤ e−u0 R (α,β) (3.9) và b(2) ψbn(2) (v0 , α, β) ≤ e−v0 R (α,β) (3.10) n = 1, 2, ..., . Chú ý 3.1.7. Khi α = β thì kết quả trong Định lý 3.1.6 trở thành các kết quả được phát biểu trong Định lý 3.1.2. 3.1.3 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss Bổ đề 3.1.8. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, αE(Y1 ) > E (min {X1 , M }) và P (min {X1 , M } − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). Khi đó, tồn tại duy nhất R(1) (α, M )(R(1) (α, M ) > 0) sao cho (1) R (α,M ) min{X1 ,M }−αY1 E e = 1. (3.11) Bổ đề 3.1.9. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, (1 − α)E(Y1 ) > E (max{X1 − M, 0}) và P (max{X1 − M, 0} − (1 − α)Y1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). 15
Khi đó, tồn tại duy nhất R(2) (α, M )(R(2) (α, M ) > 0) sao cho (2) R (α,M )(max{X1 −M,0}−(1−α)Y1 ) E e = 1. (3.12) Định lý 3.1.10. Cho quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn các giả thiết trong Bổ đề 3.1.8 và Bổ đề 3.1.9. Khi đó, với mỗi (α, M ) (1) −u0 R φ(1) n (u0 , α, M ) ≤ e (α,M ) (3.13) và (2) −v0 R φ(2) n (v0 , α, M ) ≤ e (α,M ) . (3.14) n=1,2,...,. [ Đặt: 0 = P (Y1 ≤ xN4 − u0 − v0 ) P (X1 = xi ) . (3.15) i=1,N4 :xi ≥u0 Định lý sau là một phương pháp để dung hòa đồng thời xác suất thiệt hại của công ty bảo hiểm và tái bảo hiểm. Tuy nhiên, chúng ta chỉ xét ở chu kỳ n = 1. Định lý 3.1.11. Cho các quá trình lợi nhuận (1.7) và (1.8) thỏa mãn giả thiết (2.2) và xN4 − u0 − v0 > 0. Khi đó, với mỗi ≥ 0 đều tồn tại (α, M ) để (1) φ1 (u0 , α, M ) ≤ (3.16) và (2) φ1 (v0 , α, M ) ≤ . (3.17) 3.2 Mô hình rủi ro có lãi suất 3.2.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share Bổ đề 3.2.1. Giả sử E(X1 ) < E(Y1 ); P(X1 − Y1 > 0) > 0; essup{X1 } < +∞; essup{Y1 } < +∞. Khi đó với mỗi I (1) = is , I (2) = jt và α ∈ (0, 1) đều 16
(1) (2) tồn tại duy nhất Ris (α) và Rjt (α) để (1) (1) αRis (α)(X1 −Y1 )(1+I1 )−1 (1) E e | I0 = is = 1 (3.18) và (2) (2) (1−α)Rjt (α)(X1 −Y1 )(1+I1 )−1 (2) E e | I0 = jt = 1 (3.19) Định lý 3.2.2. Xét quá trình lợi nhuận (1.5) và (1.6) với các điều kiện của Bổ đề 3.2.1 được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi α ∈ (0, 1) và mọi s = 0, 1, ..., N1 , t = 0, 1, ..., N2 , ta có e(1) ψen(1) (u0 , α, is ) ≤ e−u0 R (α) (3.20) và e(2) ψen(2) (v0 , α, jt ) ≤ e−v0 R (α) (3.21) n = 1, 2, ...,. (1) Hệ quả 3.2.3. Nếu ∈ L2 thì tồn tại tỷ lệ chia sẻ α ∈ (0, 1) để ψen (u0 , α, is ) ≤ (2) và ψen (v0 , α, js ) ≤ , với mọi s = 0, 1, ..., N1 và t = 0, 1, ..., N2 . Đặc biệt, u0 R1 nếu = e−u0 R1 −v0 R2 thì α = u0 R1 +v0 R2 . 3.2.2 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss Sau đây ta thiết lập các hệ số hiệu chỉnh như các hàm của α và M . Bổ đề 3.2.4. Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, αE(Y1 ) > E (min {X1 , M }) và P (min {X1 , M } − αY1 > 0) > 0 với mỗi (α, M ). Khi đó, tồn tại và duy nhất Ri∗s (α, M )(Ri∗s (α, M ) > 0) sao cho ∗ (1)
Ris (α,M )(min{X1 ,M }−αY1 )(1+I1 )−1