Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí" được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình tiến hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI Trần Thị Kim Oanh SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ Ngành: Toán học Mã số: 9460101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2023
Công trình được hoàn thành tại: Đại học Bách Khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Đại học Bách khoa Hà Nội họp tại Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi......giờ……, ngày……tháng……năm…….. Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: 1. Thư viện Tạ Quang Bửu – Đại học Bách khoa Hà Nội 2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1. Thieu Huy Nguyen, Thi Kim Oanh Tran (2018), “Periodicity of inhomogeneous trajectories and Applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 468, Number 1, pp. 161-168 . 2. Thieu Huy Nguyen, Thi Kim Oanh Tran (2023), “Periodic Motions of the non-autonomous Oseen-Navier-Stokes Flows past a Moving Obstacle with data in -spaces”, Vietnam journal Mathematics, https://doi.org/10.1007/s10013-022-00599-8 (Published online 09 January 2023). 3. Thieu Huy Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Kim Oanh Tran (2023), “ -Stability semigroups, Periodic Solutions and Applications”, Dynamical Systems, https://doi.org/10.1080/14689367.2023.2228219 (Published online 26 Jun 2023).
MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Nửa nhóm và họ tiến hóa các toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Nửa nhóm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Không gian hàm, không gian nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Không gian nội suy thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Phép chiếu Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TUYẾN TÍNH 11 2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất . . . . 11 2.1.2 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Phương trình Stokes trong không gian các hàm bị chặn . . . . . . . . 12 i
2.2.2 Nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 3. NỬA NHÓM (X, Y, ϕ) ỔN ĐỊNH VÀ NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA 14 3.1 Tính ổn định và tính tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính: Ổn định kéo theo tuần hoàn . . . . 14 3.1.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . 15 3.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.1 Phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . 15 3.2.2 Phương trình Navier-Stokes trong miền ngoại vi . . . . . . . . . . . . 16 3.2.3 Phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH OSEEN-NAVIER-STOKES KHÔNG Ô-TÔ-NÔM 20 4.1 Phương trình tuyến tính không ô-tô-nôm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.1.1 Họ tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.1.2 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất . . . . 22 4.1.3 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.1 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.2 Tính ổn định của nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 25 1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ii
MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Các hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ,... dưới những điều kiện tổng quát, chúng xuất hiện khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khoa học vũ trụ, khí tượng học, công nghiệp, dầu mỏ,.... Một số phương trình thủy khí cơ bản, quan trọng mà hiện nay đang quan tâm như phương trình Navier-Stokes, Oldroyd-B,... Một trong những hướng nghiên cứu đang rất thời sự nhắm đến việc tìm hiểu tính chất định tính của nghiệm khi thời gian đủ lớn đó là hướng nghiên cứu về tính ổn định, không ổn định, tính tuần hoàn của nghiệm để từ đó đánh giá được quy mô và tính chất của dòng chất lỏng trong tương lai. Để có thể sử dụng những công cụ hiện đại của toán học, ta cần xét phương trình cơ học chất lỏng dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng quát cho phép sử dụng những phương pháp ưu việt của toán để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm phương trình đó. Gần đây, Nguyễn Thiệu Huy cùng một số cộng sự đưa ra một số kết quả về sự tồn tại nghiệm bị chặn, sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn và tính ổn định của chúng trong lớp phương trình tiến hóa và phi tuyến, sau đó áp dụng vào một số phương trình động lực học thủy khí cụ thể như phương trình Oseen-Navier-Stokes trong miền ngoại vi, phương trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình Boussinesq trong miền không bị chặn, phương trình Oldroyd-B,... Chúng tôi sẽ tiếp tục hoàn thiện và mở rộng các kết quả tính bị chặn, tính ổn định, sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa và áp dụng vào các phương trình động lực học thủy khí cụ thể. Từ lịch sử quá trình nghiên cứu và các lý do trên đây dẫn chúng tôi đến việc lựa chọn đề tài: Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí.Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu 3 dạng phương trình sau: • Dạng 1. Xét phương trình tiến hóa tuyến tính: u (t) − Au(t)= f (t), t > 0, (1) trong đó A là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm giải tích bị chặn (T (t))t≥0 thỏa mãn giả thiết ổn định đa thức. 1
• Dạng 2. Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính: u (t) − Au(t) = Bg(u)(t), t > 0, (2) trong đó toán tử đạo hàm riêng A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc giải tích) (T (t))t≥0 , toán tử phi tuyến g là ánh xạ từ không gian các hàm tuần hoàn chu kì T tới không gian các hàm tuần hoàn chu kì T và toán tử tuyến tính B là toán tử liên kết giữa các không gian liên quan. • Dạng 3. Xét phương trình Oseen-Navier-Stokes trên miền ngoại vi    ut +(u · )u − ∆u + p   = (η(t) + ω(t) × x) · u − ω × u + divF trong Ω × (0, ∞),         ·u =0 trong Ω × (0, ∞), (3)   u = η(t) + ω(t) × x trên ∂Ω × (0, ∞),    u|t=0 = u0   trong Ω,     lim u = 0  . |x|→∞ 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình tiến hóa (1), (2) và (3). • Đối tượng nghiên cứu của luận án: Một số lớp nghiệm của các phương trình tiến hóa tuyến tính (1), phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) và phương trình Oseen-Navier- Stokes (3) trường hợp không ô-tô-nôm, trong miền ngoại vi. • Phạm vi nghiên cứu của luận án: Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình: - Phương trình tiến hóa tuyến tính (1) với điều kiện nửa nhóm liên kết ổn định cấp đa thức. Sau đó áp dụng vào các phương trình Stokes và nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gaussian. - Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2) với điều kiện nửa nhóm liên kết thỏa mãn (X, Y, ϕ)-ổn định. Sau đó áp dụng vào phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn và miền ngoại vi, phương trình sóng tắt dần. - Phương trình Oseen- Navier- Stokes (3) trên miền ngoại vi với điểm kiện ban đầu và ngoại lực thuộc không gian Lorentz. 2
3. Phương pháp nghiên cứu • Trong Chương 2 và Chương 3, chúng tôi sử dụng nguyên lí Serrin, sử dụng tính ổn định và tính bị chặn của nghiệm để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới điểm ban đầu của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính. Trong Chương 3, chúng tôi sử dụng nguyến lí điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn cho phương trình nửa tiến hóa tuyến tính. • Trong Chương 4 chúng tôi sử dụng phương pháp theo nguyên lí của Massera, sử dụng nghiệm bị chặn và tính compact để suy ra sự tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tuyến tính, sau đó sử dụng nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn và tính ổn định nghiệm của nó đối với phương trình phi tuyến. 4. Kết quả của luận án • Trong Chương 2, chúng tôi đã chỉ ra được sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn, sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tuyến tính với toán tử A sinh ra nửa nhóm giải tích thỏa mãn một số điều kiện ổn định. • Trong Chương 3, chúng tôi tiếp tục mở rộng Chương 2 cho lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính và toán tử A sinh ra nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (X, Y, ϕ)-ổn định. Chương này đã chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn đối với phương trình tuyến tính và phương trình phi tuyến. Sau đó, áp dụng vào lớp phương trình dạng hyperbolic và dạng parabolic. • Chúng tôi chỉ ra được sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn và sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm trong miền ngoại vi. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được viết thành 03 bài báo được liệt kê ở Danh mục các công trình đã công bố của luận án. 5. Cấu trúc của luận án Ngoài các phần: Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục các công trình đã công bố của luận án, luận án được chia thành 4 chương sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. 3
Chương 2. Phương trình tiến hóa tuyến tính. Chương 3. Nửa nhóm (X, Y, ϕ) ổn định và nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa. Chương 4. Phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm. 4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nửa nhóm và họ tiến hóa các toán tử tuyến tính 1.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh Định nghĩa 1.1.1. Họ toán tử tuyến tính (T (t))t≥0 bị chặn trên X được gọi là một nửa nhóm nếu i) T (0) = I là toán tử đồng nhất trên X; ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀t, s ≥ 0. Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0 -nửa nhóm) nếu lim T (t)x = x, ∀x ∈ X. t→0+ Mệnh đề 1.1.2. Cho (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Khi đó tồn tại các hằng số M ≥ 1 và ω ∈ R thỏa mãn T (t) L(X) ≤ M eωt , ∀t ≥ 0. Định nghĩa 1.1.3. Cho (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Ta định nghĩa cận tăng trưởng ω(T ) của nửa nhóm (T (t))t≥0 như sau: ω(T ) := inf ω ∈ R : tồn tại Mω ≥ 1 sao cho T (t) L(X) ≤ Mω eωt , ∀t ≥ 0 . • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 thỏa mãn sup T (t) L(X) ≤ C. t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là co nếu sup T (t) L(X) ≤ 1. t≥0 • Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là ổn định mũ nếu cận tăng trưởng ω(T ) < 0. Định nghĩa 1.1.4. Cho (T (t))t≥0 là một C0 -nửa nhóm trên không gian Banach X. Toán tử sinh A của nửa nhóm được xác định như sau: T (t)x − x D(A) := x ∈ X : lim tồn tại trong X t→0+ t 5
và T (t)x − x Ax := lim , ∀x ∈ D(A). t→0+ t Định lí 1.1.5. Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó ta có các khẳng định sau: i) A : D(A) ⊆ X → X là một toán tử tuyến tính. ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và d T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t ≥ 0. dt t iii) Với mọi t ≥ 0 và x ∈ X ta có T (s)xds ∈ D(A). 0 iv) Với mọi t ≥ 0 ta có t T (t)x − x = A T (s)xds, x ∈ X 0 t = T (s)Axds, x ∈ D(A). 0 Định lí 1.1.6. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến tính đóng, có miền xác định trù mật. Hơn nữa, toán tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh xác định duy nhất một nửa nhóm liên tục mạnh, được kí hiệu (etA )t≥0 . 1.1.2 Nửa nhóm liên hợp Định nghĩa 1.1.7. Nửa nhóm liên hợp (T (t) )t≥0 là tập hợp tất cả các toán tử liên hợp T (t) trên không gian đối ngẫu X . 1.1.3 Nửa nhóm giải tích π Với 0 < δ ≤ , ta định nghĩa quạt như sau: 2 Σδ := {λ ∈ C : | arg λ| < δ} \ {0} . Định nghĩa 1.1.8. Cho δ ∈ (0, π/2]. Một nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm giải tích góc δ nếu nó có mở rộng giải tích tới quạt Σδ và bị chặn trên Σδ ∩ {z ∈ C : | arg z| ≤ 1} với mọi δ ∈ (0, δ). Mở rộng của (T (t))t≥0 tới Σδ được kí hiệu là (T (z))z∈Σδ . Định nghĩa 1.1.9. Cho δ ∈ (0, π/2]. Một nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm giải tích bị chặn nếu T (z) bị chặn trong Σδ với mỗi 0 < δ < δ. 6
Chú ý 1.1.10. • Một toán tử A sinh ra nửa nhóm giải tích nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số ω ≥ 0 thỏa mãn A − ω sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn. • Toán tử A sinh ra nửa nhóm (T (t))t≥0 với cận phổ s(A) được định nghĩa s(A) = sup{Reλ : λ ∈ σ(A)} thì ta luôn có s(A) ≤ ω(T ) và nếu A sinh nửa nhóm giải tích thì s(A) = ω(T ). Mệnh đề 1.1.11. Cho A : D(A) ⊆ X → X là toán tử sinh của C0 -nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach X. Khi đó các khẳng định sau tương đương. i) Toán tử A sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn (T (z))z∈Σδ ∪{0} trên X. iii) Toán tử A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh bị chặn (T (t))t≥0 trên không gian Banach X sao cho T (t)x ∈ D(A) với mọi t > 0, x ∈ X và M := sup tAT (t) < ∞. t>0 1.1.4 Nửa nhóm hyperbolic Định nghĩa 1.1.12. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach X được gọi là hyperbolic (hoặc có nhị phân mũ) nếu và chỉ nếu tồn tại phép chiếu (tuyến tính, bị chặn) P trên X và hằng số M, ν > 0 sao cho với mỗi T (t) giao hoán với P , thỏa mãn T (t)kerP = kerP , và T (t)x ≤ M e−νt x với mọi t ≥ 0 và x ∈ ImP := P X, eνt T (t)x ≥ x với mọi t ≥ 0 và x ∈ kerP := (I − P )X. (1.1) M 1.1.5 Họ tiến hóa Định nghĩa 1.1.13. Một họ hai biến các toán tử tuyến tính bị chặn {U (t, s)}t≥s≥0 trên không gian Banach X được goi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) nếu • U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) ∀t ≥ r ≥ s; • ánh xạ (t, s) → U (t, s)x liên tục với mỗi x ∈ X; • ∃K, c ≥ 0 sao cho U (t, s)x ≤ Kec(t−s) x ∀t ≥ s và x ∈ X. Chú ý 1.1.14. Nếu (T (t))t≥0 là C0 nửa nhóm trên X thì U (t, s) = T (t − s) với t ≥ s ≥ 0 là một họ tiến hóa trên X. 7
1.2 Không gian hàm, không gian nội suy Định nghĩa 1.2.1. Cho X0 , X1 là các không gian Banach. Cặp (X0 , X1 ) được gọi là cặp nội suy nếu X0 và X1 được nhúng liên tục vào một không gian véc tơ tôpô Hausdorff V . Khi đó, X0 ∩ X1 là không gian con của V và nó là một không gian Banach với chuẩn: x X0 ∩X1 := x X0 + x X1 . Tổng X0 + X1 := {x = x0 + x1 : x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } cũng là một không gian con của V và nó là một không gian Banach với chuẩn: x X0 +X1 := inf{ x0 X0 + x1 X1 : x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 }. Với cặp nội suy (X0 , X1 ), ta gọi không gian Banach X bất kỳ thỏa mãn X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1 , với các phép nhúng liên tục là một không gian nội suy giữa X0 và X1 . 1.2.1 Không gian nội suy thực K(t, x) := inf { x0 X0 + t x1 X1 , x = x0 + x1 , x0 ∈ X0 , x1 ∈ X1 } . Định nghĩa 1.2.2. Cho θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞]. Ta định nghĩa một số không gian nội suy thực như sau: i) (X0 , X1 )θ,q := x ∈ X0 + X1 : x (X0 ,X1 )θ,q < ∞ , trong đó  ∞ 1 q dt x (X0 ,X1 )θ,q :=  [t−θ K(t, x)]q  với q < ∞ t 0 và x (X0 ,X1 )θ,∞ := sup t−θ K(t, x). t∈(0,∞) ii) (X0 , X1 )θ := x ∈ (X0 , X1 )θ,∞ : lim t−θ K(t, x) = lim t−θ K(t, x) = 0 . t→0+ t→∞ Mệnh đề 1.2.3. Với 0 < θ < 1 và 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞, ta có các khẳng định sau: i) X0 ∩ X1 ⊂ (X0 , X1 )θ,p1 ⊂ (X0 , X1 )θ,p2 ⊂ (X0 , X1 )θ ⊂ (X0 , X1 )θ,∞ ⊂ X0 + X1 . ii) (X0 , X1 )θ,∞ ⊂ X0 ∩ X1 , với X0 , X1 là bao đóng của X0 , X1 trong X0 + X1 . Mệnh đề 1.2.4. Với mọi θ ∈ (0, 1) và p ∈ [1, ∞] thì (X0 , X1 )θ,p là một không gian Banach. Với mọi θ ∈ (0, 1) thì (X0 , X1 )θ cũng là không gian Banach với chuẩn của (X0 , X1 )θ,∞ . 8
Mệnh đề 1.2.5. Cho cặp nội suy (X0 , X1 ). Với θ0 , θ1 , θ ∈ (0, 1) và q0 , q1 , q, p ∈ [1, ∞], các khẳng định sau là đúng: i) ((X0 , X1 )θ0 ,q0 , (X0 , X1 )θ1 ,q1 )θ,p = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,p . ii) ((X0 , X1 )θ0 , (X0 , X1 )θ1 ,q )θ,p = (X0 , X1 )(1−θ)θ0 +θθ1 ,p . iii) (X0 , (X0 , X1 )θ1 ,q )θ,p = (X0 , X1 )θθ1 ,p . Định lí 1.2.6 (Định lí nội suy). Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là các cặp nội suy. Giả sử θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞] và T ∈ L(X0 , Y0 ) ∩ L(X1 , Y1 ). Khi đó, T ∈ L((X0 , X1 )θ,q , (Y0 , Y1 )θ,q ) và 1−θ θ T L((X0 ,X1 )θ,q ,(Y0 ,Y1 )θ,q ) ≤ T L(X0 ,Y0 ) T L(X1 ,Y1 ) . Mệnh đề 1.2.7. Cho cặp nội suy (X0 , X1 ) sao cho X0 ∩ X1 trù mật trong X0 và X1 . Với θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞], ta có các khẳng định sau: 1 1 i) ((X0 , X1 )θ,q ) = (X0 , X1 )θ,q với + = 1. q q ii) ((X0 , X1 )θ,∞ ) = (X0 , X1 )θ,1 . Bổ đề 1.2.8. Cho cặp nội suy (X0 , X1 ) sao cho X0 ∩ X1 trù mật trong X0 và X1 . Giả sử ˜ (xn )n∈N ⊂ (X0 , X1 )θ,∞ ∩ (X0 , X1 )θ,∞ với θ, θ ∈ (0, 1) thỏa mãn ˜ xn → x trong tôpô chuẩn của (X0 , X1 )θ,∞ và xn → y trong tôpô yếu của (X0 , X1 )θ,∞ . ˜ Khi đó, ta có x = y. Định lí 1.2.9 (Định lí nội suy tổng quát). Cho (X0 , X1 ) và (Y0 , Y1 ) là các cặp nội suy của các không gian véc tơ tựa chuẩn. Cho T xác định trên X0 + X1 sao cho T : X0 → Y0 và T : X1 → Y1 là dưới tuyến tính với các tựa chuẩn M0 và M1 . Khi đó, với mọi θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞] ta có T : (X0 , X1 )θ,q → (Y0 , Y1 )θ,q là dưới tuyến tính với tựa chuẩn M thỏa mãn 1−θ θ M ≤ M0 M 1 . 1.2.2 Không gian Lorentz Định nghĩa 1.2.10. Với 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz được định nghĩa như sau: Lp,q (Ω) = u ∈ L1 (Ω) : u loc s})1/p  , với 1 ≤ q < ∞ s 0 và u p,∞ = sup sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p . s>0 9
Mệnh đề 1.2.11. Cho 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ i) Ta có 1 Lp,q (Ω) = (L1 (Ω), L∞ (Ω))θ,q với = 1 − θ. r ii) Nếu 1 < p0 < p < p1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và 0 < θ < 1 thỏa mãn 1 1−θ θ = + p p0 p1 thì Lp,q (Ω) = (Lp0 (Ω), Lp1 (Ω))θ,q . iii) Ta có (Lr,q (Ω)) = Lr ,q (Ω), r q với r = , q = và q = ∞ nếu q = 1. r−1 q−1 1 1 1 Bổ đề 1.2.12. Cho 1 < p ≤ ∞, 1 < q < ∞ và 1 < r < ∞ thỏa mãn + = . Nếu p q r f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lq (Ω) thì f g ∈ Lr (Ω) và w w w fg r,w ≤C f p,w · g q,w , với C là hằng số phụ thuộc vào p, q. Ở đây, ta hiểu L∞ (Ω) = L∞ (Ω). w 1.2.3 Phép chiếu Helmholtz ¯ Ta có Lr (Ω) = Lr (Ω) ⊕ { p ∈ Lr (Ω) : p ∈ Lr (Ω)}. trong đó σ loc · Lr ∞ ∞ Lr (Ω) := C0,σ (Ω) σ ∞ với C0,σ (Ω) := {v ∈ C0 (Ω) : divv = 0 trong Ω} . Phép chiếu P = Pr : Lr (Ω) → Lp (Ω) là phép chiếu Helmholtz trên Lr (Ω). σ Ta có Lr,q (Ω) = Lr,q (Ω) ⊕ { p ∈ Lr,q (Ω) : p ∈ Lr,q (Ω)}. Khi đó, phép chiếu P = Pr,q : σ loc ¯ Lr,q (Ω) → Lr,q (Ω) là phép chiếu Helmholtz trên không gian Lorentz Lr,q (Ω). σ 10
Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA TUYẾN TÍNH Chúng tôi xét phương trình tiến hóa tuyến tính trong không gian Banach X sau   u − Au = f (t), t > 0; t (2.1)  u(0) = u0 ∈ X. trong đó A là toán tử quạt, sinh nửa nhóm giải tích, bị chặn (T (t))t≥0 trên X. Một hàm u(t) được gọi là nghiệm đủ tốt của (2.1) nếu nó thỏa mãn phương trình tích phân sau t u(t) = T (t)u0 + T (t − s)f (s)ds. (2.2) 0 Giả thiết 2.0.1. Tồn tại các không gian Banach X1 , X2 và X3 thỏa mãn X, Xj , j = 1, 2, 3, được nhúng liên tục trong một không gian véc tơ tôpô và có họ toán tử T (t) ∈ L(X +X1 +X2 + X3 ), t ≥ 0 sao ho T (t) |X và T (t) |Xj là nửa nhóm giải tích bị chặn trên X và Xj , j = 1, 2, 3,. Hơn nữa, tồn tại các hằng số dương α1 > 1 > α2 > α3 > 0; α1 − α3 > 1 thỏa mãn   M t−α1 x    X1 với mọi x ∈ X1 , t > 0;  T (t)x X ≤ M t−α2 x X2 với mọi x ∈ X2 , t > 0;     M t−α3 x X với mọi x ∈ X3 , t > 0,  (2.3) 3   M t−α1 +α3 x X với mọi x ∈ X1 , t > 0;  1 T (t)x X3 ≤  M t−α2 +α3 x X2 với mọi x ∈ X2 , t > 0.  2.1 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính 2.1.1 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lí 2.1.1. Cho (T (t))t≥0 là một nửa nhóm giải tích, bị chặn và thỏa mãn giả thiết 2.0.1 và cho f ∈ L∞ (R+ , X1 ∩ X2 ). Với mỗi u0 ∈ X, nghiệm đủ tốt u(t) của (2.1) thỏa mãn 11
u ∈ Cb (R+ , X) và u(·) Cb (R+ ,X) ≤ M u0 X +N f L∞ (R+ ,X1 ∩X2 ) . (2.4) 2.1.2 Nghiệm tuần hoàn Định lí 2.1.2. Cho (T (t))t≥0 là một nửa nhóm giải tích, bị chặn và thỏa mãn giả thiết 2.0.1 và cho f ∈ L∞ (R+ , X1 ∩ X2 ) là hàm tuần hoàn theo thời gian với chu kì T . Khi đó, tồn tại một nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T của (2.1). Hơn nữa, nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T đó là duy nhất trong lớp nghiệm có điểm ban đầu thuộc vào Xj với j = 1, 2, 3. 2.2 Ứng dụng 2.2.1 Phương trình Stokes trong không gian các hàm bị chặn   ut − ∆u +  p = f (t) trong Ω × (0, ∞),  ·u =0 trong Ω × (0, ∞), (2.5)   u(0, x) = u0 (x) với mọi x ∈ Ω,  trong đó Ω ⊂ Rn là miền ngoại vi với biên thuộc lớp C 3 . L∞ (Ω) := {f ∈ L∞ (Ω) : σ f· ˆ φ = 0 với mọi φ ∈ W 1,1 (Ω)}, Ω (xem trong [?]) và ta kí hiệu (T (t))t≥0 là nửa nhóm Stokes trên L∞ (Ω). σ Định lí 2.2.1. [?] Cho x ∈ Lp (Ω) và 1 ≤ p < ∞, p ≤ q ≤ ∞ (nếu p = 1 thì q > 1), ta có σ −n(p−1) 1 T (t)x q ≤ Mt 2 q x p. (2.6) Định lí 2.2.2. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm Stokes trên L∞ (Ω) sinh bởi phương trình (2.5). σ Cho f ∈ L∞ (R+ , Lp ∩ Lq ) với 1 ≤ p < σ σ n 2 < q < ∞ và 1 p + 1 q 4 > n . Ta có các mệnh đề sau: (a) Với mỗi u0 ∈ L∞ (Ω) nghiệm đủ tốt u của (2.1) thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , L∞ (Ω)) và σ σ u(·) Cb (R+ ,L∞ (Ω)) σ ≤ M u0 ∞ +N f L∞ (R+ ,Lp ∩Lq ) . σ σ (2.7) (b) Nếu f là tuần hoàn với chu kì T thì tồn tại một nghiệm đủ tốt u tuần hoàn với chu kì ˆ T của phương trình (2.1). Hơn nữa, nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T là duy nhất trong lớp nghiệm đủ tốt với nghiệm ban đầu thuộc vào không gian Ls (Ω) với s < ∞. σ 12
2.2.2 Nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss Định nghĩa 2.2.3. (Nửa nhóm Gauss) Một nửa nhóm các toán tử bị chặn (G(t))t≥0 trên Lp (Rn ) được xác định bởi 1 (x−y)2 (G(t)f )(x) = f (y)e− 4t dy với t > 0, G(0) = I, (4πt)−n/2 Rn được gọi là nửa nhóm Gauss (hoặc nửa nhóm truyền nhiệt). Định nghĩa 2.2.4. Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở. Một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên Lp (Ω) được gọi là thỏa mãn ước lượng Gauss nếu tồn tại tồn tại các hằng số dương M, w và b thỏa mãn T (t)f ≤ M ewt G(bt) f với mọi f ∈ Lp (Ω). T (t)f ≤ M G(bt) f với mọi f ∈ Lp (Ω). (2.8) Định lí 2.2.5. Cho f ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞, p ≤ q ≤ ∞, (T (t))t≥0 là nửa nhóm thỏa mãn σ ước lượng Gauss. Khi đó, ta có −n(p−1) 1 T (t)x q ≤ Mt 2 q f p, ∀t > 0. (2.9) Định lí 2.2.6. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss và cho f ∈ L∞ (R+ , Lp ∩ 1 1 4 Lq ) với 1 ≤ p < n < q < ∞ và + > . Khi đó, ta có các mệnh đề sau: 2 p q n (a) Với mỗi u0 ∈ L∞ (Ω), quỹ đạo u được định nghĩa bởi t u(t) = T (t)u0 + T (t − s)f (s)ds với t ≥ 0 (2.10) 0 thỏa mãn u ∈ Cb (R+ , L∞ (Ω)) và u(·) Cb (R+ ,L∞ (Ω)) ≤ M u0 ∞ +N f L∞ (R+ ,Lp ∩Lq ) . (2.11) (b) Nếu f là tuần hoàn với chu kì T theo thời gian thì tồn tại giá trị ban đầu u∗ thỏa mãn u được xác định bởi (2.10) với u0 = u∗ là tuần hoàn với chu kì T . Hơn nữa, quỹ đạo tuần hoàn chu kì T đó là duy nhất trong lớp quỹ đạo có điểm ban đầu thuộc Ls (Ω) với bất kì s < ∞. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án. 13
Chương 3 NỬA NHÓM (X, Y, ϕ) ỔN ĐỊNH VÀ NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA 3.1 Tính ổn định và tính tuần hoàn 3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính: Ổn định kéo theo tuần hoàn Ta xét không gian Banach X và Y được nhúng liên tục vào một không gian véc tơ tôpô Hausdorff. Giả sử có họ toán tử T (t) ∈ L(X + Y ), t ≥ 0, thỏa mãn T (t)|X và T (t)|Y là nửa nhóm liên tục mạnh, bị chặn trên X và Y tương ứng. Ta xét phương trình tiến hóa tuyến tính sau   u (t) − Au(t) = Bf (t), t > 0; (3.1)  u(0) = u0 , trong đó A sinh ra nửa nhóm T (t))t≥0 , và f thuộc vào không gian Cb (R+ , Z) := {h : R+ → Z : h là liên tục và supt 0 h(t) Z < ∞} với chuẩn h Cb (R+ ,Z) := supt 0 h(t) Z. Toán tử tuyến tính B từ Z tới Y gọi là toán tử liên kết. Một hàm u : R+ → Y được gọi là nghiệm đủ tốt của (3.1) nếu thỏa mãn phương trình tích phân t u(t) = T (t)u0 + T (t − s)f (s)ds. (3.2) 0 Định nghĩa 3.1.1. Xét các không gian Banach X, Y được nhúng liên tục vào một không gian véctơ tôpô Hausdorff. Cho ϕ : (0, ∞) → (0, ∞) là một hàm liên tục thỏa mãn lim ϕ(t) = 0 t→∞ và ϕ ∈ L1 (0, t) với mỗi t > 0. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi (X, Y, ϕ)-ổn định nếu với mọi t > 0, ta có T (t)x Y ≤ ϕ(t) x X với mọi x ∈ X. (3.3) Định lí 3.1.2. Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 là (X, Y, ϕ)-ổn định như trong Định nghĩa 3.1.1. Cho f ∈ Cb (R+ , Z) và giả sử tồn tại x0 ∈ X sao cho nghiệm đủ tốt u(t) = T (t)x0 + t 0 T (t − s)Bf (s)ds, t ≥ 0 thuộc không gian Cb (R+ , X ∩ Y ) và thỏa mãn u Cb (R+ ,X∩Y ) ≤ M f Cb (R+ ,Z) . Cuối cùng, giả sử 14
t sup0≤t≤T 0 T (t − s)Bf (s)ds Y ≤N f Cb (R+ ,Z) . Khi đó, nếu f là tuần hoàn chu kì T theo thời gian thì tồn tại duy nhất một nghiệm đủ tốt u tuần hoàn với chu kì T của (3.1) với ˆ u ˆ Cb (R+ ,Y ) ˜ ≤M f Cb (R+ ,X) ˜ với M := M sup T (t) + N. (3.4) 0≤t≤T 3.1.2 Nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Trong phần này ta xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính   u (t) = Au(t) + Bg(u)(t)  t > 0; (3.5)  u(0) = u0 ,  trong đó toán tử A thỏa mãn các giả thiết của phương trình tuyến tính, và toán tử phi tuyến tính g : Cb (R+ , Y ) → Cb (R+ , Z) thỏa mãn: (1) g(0) Cb (R+ ,Z) ≤ γ trong đó γ là một hằng số không âm; (2) ánh xạ g từ không gian các hàm tuần hoàn chu kì T tới không gian các hàm tuần hoàn chu kì T ; (3.6) (3) tồn tại các hằng số dương ρ và L thỏa mãn g(v1 ) − g(v2 ) Cb (R+ ,Z) ≤ L v1 − v2 Cb (R+ ,Y ) với mọi v1 , v2 ∈ Cb (R+ , Y ) với v1 Cb (R+ ,Y ) , v2 Cb (R+ ,Y ) ≤ ρ. Hàm u được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.5) nếu thỏa mãn phương trình sau t u(t) = T (t)u0 + T (t − s)Bg(u)(s)ds với mọi t ≥ 0. (3.7) 0 Định lí 3.1.3. Cho các giả thiết của Định lí 3.1.2 được thỏa mãn và cho g thỏa mãn điều kiện trong (3.6). Nếu L và γ là đủ nhỏ thì phương trình (3.5) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt u ˆ tuần hoàn với chu kì T trong hình cầu nhỏ của Cb (R+ , Y ). 3.2 Ứng dụng 3.2.1 Phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn Dòng chảy phụ thuộc thời gian của chất lỏng nhớt, nén được được mô tả dạng phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn Ω ⊂ Rn với n ≥ 2 như sau:   ut − ∆u + (u · )u + p = divF  trong Ω × (0, ∞),   ·u =0 trong Ω × (0, ∞),   (N − S)    u(x, t) = 0 trn ∂Ω × (0, ∞),    u |t=0 = u0 trong Ω, 15