Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Đồng điều kỳ dị và ứng dụng

Chia sẻ: Dien_vi09 Dien_vi09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài trình bày những kiến thức cơ bản về các phức đơn hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, đồng luân và đồng điều đơn hình; hàm tử đồng điều kỳ dị, các đồng cấu cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức đơn hình, tính nhóm đồng điều của một số không gian topo đơn giản, định lý Khoét và một số tính chất liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Đồng điều kỳ dị và ứng dụng

1 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Công trình ñược hoàn thành tại HỒ THỊ DẠ THẢO ĐỒNG ĐIỀU KỲ DỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng, Năm 2012 Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng bảo vệ chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Trường Đại học Sư Phạm,Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 4 4. Cấu trúc của luận văn 1. Lý do chọn ñề tài Trong topo có các ñịnh lý phát biểu tuy ñơn giản nhưng ñể Nội dung của luận văn ngoài phần mở ñầu và kết luận gồm có ba chương: chứng minh thì rất phức tạp, ví dụ như ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Chương 1: Những kiến thức cơ bản Brouwer, ñịnh lý của Ulam Borsuk, … Phần lớn các chứng minh này Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về các phức ñơn ñều dùng ñến topo ñại số. Mục ñích của topo ñại số là xây dựng các hình, phạm trù hàm tử, nhóm Abel tự do, module tự do, ñồng luân và hàm tử từ phạm trù các không gian topo (hoặc các phạm trù con của ñồng ñiều ñơn hình. các không gian topo) vào các phạm trù ñại số (chẳng hạn như nhóm, Chương 2: Đồng ñiều kỳ dị vành, module …) và biến mỗi ánh xạ liên tục thành một ñồng cấu. Chương 2 trình bày về hàm tử ñồng ñiều kỳ dị, các ñồng cấu Đồng ñiều kỳ dị là hàm tử từ phạm trù các không gian topo vào cảm sinh bởi các ánh xạ liên tục giữa các phức ñơn hình, tính nhóm phạm trù các nhóm Abel hoặc vào các module. Bằng việc khảo sát ñồng ñiều của một số không gian topo ñơn giản, ñịnh lý Khoét và hàm tử này người ta chứng minh ñược nhiều ñịnh lý nổi tiếng như một số tính chất liên quan. ñịnh lý ñiểm bất ñộng của Brouwer, ñịnh lý của Ulam Borsuk, ñịnh Chương 3: Ứng dụng của ñồng ñiều kỳ dị. lý bảo toàn miền của Brouwer…. Vì vậy, ñề tài “Đồng ñiều kỳ dị và Chương 3 trình bày về các ứng dụng của ñồng ñiều kỳ dị trong ứng dụng” mục ñích là ñể tìm hiểu hàm tử ñồng ñiều kỳ dị và cách ñồng ñiều ñịa phương và ña tạp. chứng minh của các ñịnh lý này. 5. Đóng góp của ñề tài 2. Mục ñích nghiên cứu Nghiên cứu về ñồng ñiều kỳ dị và các ứng dụng của nó. Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo tốt cho những người tìm hiểu về Lý thuyết ñồng ñiều kỳ dị. 3. Phương pháp nghiên cứu Thu thập các bài báo khoa học, bài giảng của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến Lý thuyết ñồng ñiều kỳ dị và các ứng dụng. Tham gia các buổi thảo luận ñể trao ñổi các kết quả ñang nghiên cứu. 1.1. 5 6 CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Đường kính của K ký hiệu là meshK và ñường kính này ñược ñịnh nghĩa như sau: meshK = max {δ (σ ) / σ ∈ K } Phức ñơn hình và ña diện Định nghĩa 1.1.1. Đơn hình Trong không gian n , cho tập hợp các ñiểm Định nghĩa 1.1.3. Đa diện con. { p0 ,..., pk } ñộc lập affine. Tập hợp tất cả các ñiểm k k   n x = ∑ λi pi , λi ∈ [ 0,1] , ∑ λi = 1 x ∈ i =0 i =0   ñược gọi là một ñơn hình k – chiều hay k – ñơn hình. Ta ký hiệu σ = [ p0 ,..., pk ] , trong ñó p0 ,..., pk là các ñỉnh của ñơn hình σ dimσ = k là chiều của ñơn hình σ . Định nghĩa 1.1.2. Phức ñơn hình. Một phức ñơn hình là họ hữu hạn K = {σ } gồm các ñơn hình trong không gian (i) n (ii) thì L ñược gọi là phức ñơn hình con của K . Khi ñó, ( L, L ) ñược gọi là ña diện con của ña diện ( K , K ) , với L là giá của L . Định nghĩa 1.1.4. Cho ( K , K ) là một ña diện σ ∈K . Tập hợp tất cả các mặt thật sự của σ ký hiệu là σ& . Khi ñó σ& = F(σ ) \ σ . Định nghĩa 1.1.5. Cho ( K , K ) là một ña diện, x ∈ K . Khi ñó, σ ∈K ñược gọi là giá của x , ký hiệu σ ( x) , nếu σ là ñơn hình có chiều nhỏ nhất chứa x . σ ( x) là duy nhất và có thể biểu diễn dưới dạng σ ( x) = I {σ ∈ K , x ∈ σ }. thỏa tính chất sau Nếu σ ∈K thì mỗi mặt của σ cũng thuộc K . Định nghĩa 1.1.6. Cho ( K , K ) là một ña diện. Với mọi ñỉnh p ∈ K , Nếu σ , τ ∈K thì hoặc σ I τ = ∅ hoặc σ I τ là một tập hợp mặt chung của Với K = Cho ( K , K ) là một ña diện, L ⊂ K . Nếu L cũng là phức ñơn hình σ U σ σ và τ K \ U {σ ∈ K , p ∉ σ } ñược gọi là hình sao của p, ký hiệu là Stp. ∈K Cặp ( K , K ) ñược gọi là một ña diện. Khi ñó, K = sdK ñược gọi là Định lý 1.1.1. Cho p0 , p1 ,..., pn là các ñỉnh của ña diện ( K , K ). Khi phân tích ñơn hình của ña diện, K = K ñược gọi là giá của K . ñó (i) I ni=0 Stpi ≠ ∅ khi và chỉ khi [ p0 , p1 ,..., pn ] là một ñơn hình của Chiều của ña diện ( K , K ) , ký hiệu là dim( K , K ) ñược ñịnh nghĩa như sau dim( K , K ) = max {dimσ / σ ∈ K } K . (ii) Nếu σ = [ p0 , p1 ,..., pn ] là một ñơn hình của K thì I ni=0 Stpi là tập hợp gồm tất cả các ñiểm x ∈ K mà σ ( x) nhận σ làm mặt. 8 7 Ta nhận xét rằng nếu { p0 , p1 ,..., pt } là các ñỉnh của ña diện bσ = K thì với mỗi x ∈ K , x ñược biểu diễn một cách duy nhất dưới 1 n ∑ pi n + 1 i =0 σ trùng với chính nó. dạng x = ∑ i =0 λi ( x) pi , trong ñó λi ∈ [ 0,1] , với i = 1, t. Nếu σ = pi thì trọng tâm của tọa ñộ của x ñối với pi . Ngược lại, λi ( x) = 0 nếu pi ∉ σ ( x). Định nghĩa 1.2.2. Cho ( K , K ) là một ña diện. Khi ñó, Sd 1K gồm t Ta có λi ( x) ∈ [ 0,1] nếu pi ∈ σ ( x). Khi ñó, λi ( x ) ñược gọi là → [ 0,1] , với mỗi σ ∈ K , ñược gọi là hàm Hàm số λi :σ  tọa ñộ trọng tâm của σ . Ta có λi là hàm liên tục. Định nghĩa 1.1.7. Đồng luân Cho hai ánh xạ f , g : X  → Y liên tục. Hai ánh xạ f , g ñược gọi là ñồng luân, ký hiệu f g , nếu tồn tại ánh xạ H : X × I  →Y thỏa H ( x,0) = f ( x); H ( x,1) = g ( x), ∀x ∈ X . Hệ quả 1.2.1. Cho dimK ≤ n, khi ñó meshSd mK ≤ ( µ . Khi n m ) meshK . n +1 Định nghĩa 1.3.1. Cho ( K , K ) , ( L, L ) là hai ña diện trong n ,Y là không gian topo bất kỳ và f , g là hai ánh xạ liên tục từ Y vào K . Nếu với mỗi y ∈ Y , tồn tại một ñơn hình σ ∈ K thỏa mãn f ( y ), g ( y ) ∈ σ thì f và g ñồng luân. 1.2. Thứ phân trọng tâm Cho một phân tích ñơn hình K của K , chúng ta sẽ xây dựng một phân tích ñơn hình K ′ khác của K , ñược gọi là thứ phân trọng tâm của K . Định nghĩa 1.2.1. Cho ñơn hình σ = [ po , p1 ,..., pn ] trọng tâm của σ là một ñiểm, ký hiệu bσ hay [σ ] ñược xác ñịnh như sau Định lý 1.2.1. Cho ( K , K ) là một ña diện có ñường kính là n ñó, ñường kính của Sd 1K ≤ µ. n +1 1.3. Ánh xạ ñơn hình và xấp xỉ ñơn hình Khi ñó, H ñược gọi là ñồng luân của f ñối với g . Định lý 1.1.2. Cho ( K , K ) là một ña diện trong không gian tất cả các ñơn hình bσ 0 , bσ1 ,..., bσ s  , trong ñó σ 0 ⊂ σ 1 ⊂ ⋅⋅⋅ ⊂ σ s là dãy tăng nghiêm ngặt các mặt của K . n . Xét ánh xạ ϕ : ( K , K )  →( L, L ), ϕ ñược gọi là ánh xạ ñơn hình nếu thỏa mãn hai ñiều kiện sau: • Với mọi [ p0 , p1 ,..., ps ] ∈ K , các ñiểm ϕ ( p0 ), ϕ ( p1 ),..., ϕ ( ps ) là các ñỉnh của một ñơn hình thuộc L . Ánh xạ ϕ là ánh xạ afine với mỗi σ ∈ K , nghĩa là  s  s ϕ  ∑ λi pi  = ∑ λiϕ ( pi )  i =0 s  i =0 trong ñó ∑ λi = 1 và λi ≥ 0 với i = 1, s. • i =0 Định nghĩa 1.3.2. Cho f : K  → L là ánh xạ liên tục. Một ánh xạ ñơn hình ϕ với r ≥ 0 ñược gọi là một xấp xỉ ñơn hình của f nếu f ( Stp ) ⊂ Stϕ ( p ) với mọi ñỉnh p ∈ Sd r K . 9 10 • Định lý 1.3.1. Cho f : K  → L là một ánh xạ liên tục. Khi ñó, tồn Hợp thành gf của hai cấu xạ f , g trong phạm trù C tại xấp xỉ ñơn hình ϕ : ( K , Sd K )  →( L, L ) của f với r ñủ lớn ñều trùng với hợp thành của các cấu xạ ñó trong phạm và mỗi xấp xỉ ñơn hình của f ñều ñồng luân với f . trù P. r 1.4. Phạm trù và hàm tử Một phạm trù con C của phạm trù P ñược gọi là ñầy nếu Định nghĩa 1.4.1. Phạm trù. [ A, B ]C = [ A, B ]P , với mỗi cặp A, B trong phạm trù C. Một phạm trù P bao gồm: • Một lớp P gồm các vật A, B, C... ñược gọi là những vật Định nghĩa 1.4.3. Vật khởi ñầu, vật tận cùng của phạm trù P • Mỗi vật A trong phạm trù P ñược gọi là vật khởi ñầu nếu Với mỗi cặp vật ( A, B ) của phạm trù P cho một tập hợp với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ A ñến X gọi là tập hợp các cấu xạ f từ A ñến B , ký hiệu • [ A, B ]P . Mỗi phần tử của [ A, B ]P ñược ký hiệu là f . f ∈ [ A, B ]P , g ∈ [ B, C ]P , tồn tại gf ñược gọi là phép thỏa mãn các tiên ñề sau: • với mọi vật X của P , tồn tại duy nhất một cấu xạ từ X ñến A . Với mỗi bộ ba vật ( A, B, C ), với mỗi cặp cấu xạ hợp thành của hai cấu xạ g , f và gf ∈ [ A, C ]P • Một vật A trong phạm trù P ñược gọi là vật tận cùng nếu Phép hợp thành có tính chất kết hợp. Định nghĩa 1.4.4. Hàm tử Cho hai phạm trù P, P′ . Một hàm tử hiệp biến H từ phạm → P′ là một cặp ánh xạ gồm trù P ñến phạm trù P,′ ký hiệu H : P  ánh xạ - vật và ánh xạ - cấu xạ. Với mọi vật A của P, tồn tại xạ 1A ∈ [ A, A]P ñược gọi • Ánh xạ - vật cho tương ứng mỗi vật A của phạm trù P, g ∈ [ B, C ]P , ta có 1A f = f , g1A = g • Ánh xạ - cấu xạ cho tương ứng mỗi cấu xạ f ∈ [ A, B ]P , là cấu xạ ñồng nhất sao cho với mọi f ∈ [ B, A]P , Định nghĩa 1.4.2. Phạm trù con. Mỗi vật của phạm trù C ñều là một vật của phạm trù P . • Mỗi cấu xạ của phạm trù C ñều là một cấu xạ của phạm trù P. • Các xạ ñồng nhất của phạm trù C ñều là một xạ ñồng nhất của phạm trù P. một cấu xạ thuộc [ H ( A), H ( B) ]P′ , ký hiệu là H ( f ) và thỏa mãn các ñiều kiện sau: Một phạm trù C ñược gọi là phạm trù con của phạm trù P nếu • một vật của phạm trù P′ , ký hiệu là H ( A). • H (1A ) = 1H ( A) , với mọi A ∈ P . • H ( gf ) = H ( g )H ( f ), với mọi hợp thành gf trong phạm trù P , nghĩa là A f B g gf C H (A ) H (f) H (B ) H (g) H ( gf ) H (C)