Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phức Koszul và lý thuyết bội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI<br /> <br /> PHẠM VĂN BẢN<br /> <br /> PHỨC KOSZUL<br /> VÀ LÝ THUYẾT BỘI<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> HÀ NỘI - 2013<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI<br /> <br /> PHẠM VĂN BẢN<br /> <br /> PHỨC KOSZUL<br /> VÀ LÝ THUYẾT BỘI<br /> Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ<br /> Mã số: 60.46.01.04<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Dương Quốc Việt<br /> <br /> HÀ NỘI - 2013<br /> <br /> Lời nói đầu<br /> Lý thuyết Bội là một trong những lý thuyết quan trọng của cả Đại số giao<br /> hoán và Hình học đại số. Nó phát triển từ khái niệm bội của nghiệm của một đa<br /> thức và việc đếm số bội giao trong Hình học đại số. Trong khoảng một thế kỷ<br /> qua, nó đã được phát triển theo nhiều cách thức bởi các tên tuổi lớn của Toán<br /> học thế giới.<br /> Kết quả nổi bật nhất về Lý thuyết Bội được viết lên bởi Jean-Pierre Serre<br /> năm 1965 trong “Algèbre locale. Multiplicités” về mối liên hệ giữa bội và đặc<br /> trưng Euler-Pointcaré của phức Koszul: Cho một R−module hữu hạn sinh M<br /> và một dãy x trong R là một hệ bội của M . Gọi H• (x , M ) là đồng điều Koszul<br /> của x với hệ số trong M và I = (x ) là ideal của R. Khi đó, đặt<br /> χ(x , M ) =<br /> <br /> X<br /> (−1)i l(Hi (x , M ))<br /> i<br /> <br /> thì theo định lý Serre ta có<br /> <br />  e(I, M ) nếu x là một hệ tham số của M,<br /> χ(x , M ) =<br /> 0<br /> với các trường hợp khác.<br /> Năm 1958, trong bài báo “Codimension and multiplicity”, M. Auslander và<br /> D. A. Buchsbaum đã chứng minh được một phiên bản của định lý Serre đối với<br /> mọi vành Noether, đồng thời đưa ra mô tả rõ ràng cho khái niệm bội.<br /> D. G. Northcott năm 1968 trong “Lessons on rings, modules, and multiplicii<br /> <br /> ties” đã giới thiệu khái niệm “bội hình thức (multiplicity symbol)”, và phát triển<br /> một cách hệ thống lý thuyết bội từ những tính chất hình thức của khái niệm<br /> này.<br /> Liên quan đến đặc trưng Euler-Pointcaré, với mọi j ≥ 0, đặt<br /> χj (x , M ) =<br /> <br /> X<br /> <br /> (−1)<br /> <br /> i−j<br /> <br /> l(Hi (x , M ))<br /> <br /> i≥j<br /> <br /> và gọi là đặc trưng Euler-Pointcaré từng phần. Ta có một kết quả khá quan<br /> trọng khi xem xét các đặc trưng này, là χj (x , M ) ≥ 0 với j ≥ 0. Serre đã chứng<br /> minh χj (x , M ) ≥ 0 với j > 1. Việc chứng minh mệnh đề này đúng trong trường<br /> hợp j = 1 (được trình bày trong “On the vanishing of Tor in regular local rings”<br /> của S. Lichtenbaum năm 1966) giúp ta đưa ra được tiêu chuẩn khác cho module<br /> Cohen-Macaulay.<br /> Mục đích chính của luận văn là hệ thống lại một cách chi tiết một số kết<br /> quả cơ bản của Lý thuyết bội, trong đó, nội dung chính là chứng minh định lý<br /> Serre. Để làm được điều này, luận văn được tiến hành theo 2 chương:<br /> Chương 1: Trình bày về phức Koszul, những tính chất của phức Koszul và<br /> đồng điều Koszul, chuẩn bị các kiến thức cần thiết để định nghĩa đặc trưng<br /> Euler-Pointcaré của phức Koszul.<br /> Chương 2: Trình bày về hàm Hilbert, bội hình thức và những tính chất của<br /> bội hình thức. Trong đó:<br /> Mục 2.1 trình bày hàm Hilbert, đa thức Hilbert của một module phân bậc<br /> cùng các tính chất liên quan.<br /> Mục 2.2 nói về bội của một module hữu hạn sinh, bội hình thức và một số<br /> kết quả chính của Lý thuyết bội, trong đó có định lý Serre và các hệ quả của<br /> nó. Đây là nội dung chính của luận văn.<br /> Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, chỉ bảo nhiệt<br /> ii<br /> <br /> tình, sâu sắc của PGS. TS Dương Quốc Việt. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành<br /> nhất, sâu sắc nhất đến người thầy của tôi. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô<br /> trong Hội đồng phản biện đã đọc và cho tôi những ý kiến quý báu. Ngoài ra, tôi<br /> cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong Bộ môn Đại số, khoa<br /> Toán Tin cùng các thầy cô khác đã giảng dạy, hướng dẫn, tạo điều kiện để tôi<br /> hoàn thành bản luận văn này.<br /> Hà Nội, tháng 09 năm 2013<br /> Người thực hiện<br /> <br /> Phạm Văn Bản<br /> <br /> iii<br /> <br />