Tuyển chọn các bài toán điển hình luyện thi đại học

Chia sẻ: Đỗ Thúy Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các dạng toán điển hình trong đề thi đại học và cao đẳng. Tài liệu ôn tập toán học cho các bạn học sinh chuẩn bị cho các kỳ thi đại học và cao đẳng sắp tới

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển chọn các bài toán điển hình luyện thi đại học

TUY N CH N CÁC BÀI TOÁN ĐI N HÌNH LUY N THI Đ I H C (Tài li u t ôn t p) LÊ TRUNG TÍN Thành viên nhóm Administrators di n đàn toán h c boxmath.vn Email: letrungtin87@gmail.com 1. Kh o sát hàm s và các bài toán có liên quan: (B sung sau) 2. Phương trình lư ng giác: 1. Gi i các phương trình sau: (a) sin x + cos x + 2 sin x cos x − 1 = 0 (b) 6(sin x − cos x) − sin x cos x − 6 = 0 (c) sin3 + cos3 x = 2(sin x + cos x) − 1 (d) sin3 x + cos3 x = 1 (e) 1 + sin3 x + cos3 x = 3 sin 2x 2 (f) sin3 x + cos3 x = sin 2x + sin x + cos x 2. Gi i các phương trình sau: (a) sin x − sin 3x + 2 sin 5x = 0 4x (b) cos = cos2 x 3 π (c) 8 cos3 x + = cos 3x 3 1 (d) sin3 x + cos3 x = 1 − sin 2x 2 (e) 2 cos3 x + sin x + 1 = 2 sin2 x √ 3 1 (f) 8 sin x = + cos x sin x 1 − cos3 x (g) tan2 x = 1 − sin3 x 3. Gi i các phương trình sau: (a) (2 cos 2x + 1)(sin 2x − cos 2x + 1) = 2(cos x + sin x) 3 (b) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2 (c) 2 cos 3x(2 cos 2x + 1) = 1 (d) sin 2x + cos 2x + 3 sin x − cos x − 2 = 0 4. Gi i các phương trình sau: (a) sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0 π (1 + sin x + cos 2x) sin x + 1 (b) 4 = √ cos x 1 + tan x 2 (c) (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0 √ √ (d) sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x (e) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x (1 − 2 sin x) cos x √ (f) = 3 (1 + 2 sin x)(1 − sin x) 1 + sin 2x + cos 2x √ (g) = 2 sin x sin 2x 1 + cot2 x (h) sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 1
3. Phương trình, b t phương trình, h phương trình đ i s : 3.1. Phương trình vô t : 3.1.1. Phương pháp nâng lũy th a: Gi i các phương trình sau: 7 7 1. x2 −+ x− 2 =x x2 x √ √ √ 2. 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x + 1 √ 3x 3. 1 + x2 = 1−x x3 + 1 √ √ √ 4. − x + 1 = x2 − x + 1 − x + 3 x+3 3.1.2. Phương pháp đưa v tích: Gi i các phương trình sau: √ √ 1. 2x + (4x2 − 1) 1 − x2 = 4x3 + 1 − x2 √ 4 3 2. x= + 2x 8 4x 3. x + √ = 12 x+4 x+4 3.1.3. Phương pháp tr c căn th c: Gi i các phương trình sau: √ √ √ 1. 2x − 1 + x + 2 = x + 6 + 3 √ √ 2. 2x2 + x + 9 + 2x2 − x + 1 = x + 4 √ √ 3. 2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x2 + 6x + 13 3.1.4. Phương pháp đ t n ph đưa v phương trình đ i s : 1. Gi i các phương trình sau: √ √ (a) x + 1 + 8 − x + (x + 1)(8 − x) = 3 √ √ (b) x − x2 − 1 + x + x2 − 1 = 2 1 (c) x2 + 2x x − = 3x + 1 x √ √ √ (d) 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x 2. Tìm m đ các phương trình sau có nghi m: √ (a) 2(x2 − 2x) + x2 − 2x − 3 − m = 0 √ √ √ (b) m( 3x − 2 + x − 1) = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2 √ √ 3. Cho phương trình x + 3 + 6 − x + (x + 3)(6 − x) = m (a) Gi i phương trình khi m = 3; (b) Tìm m đ phương trình có nghi m; (c) Tìm m đ phương trình có nghi m duy nh t 4. Tìm m đ phương trình sau có nghi m m( 1 + x2 − 1 − x2 + 2) = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 2
3.1.5. Phương pháp đ t n ph đưa v phương trình đ ng c p: √ 1. 2(x2 + 1) = 5 x3 + 1 √ 2. x2 − 7x + 1 = 4 x4 + x2 + 1 √ 3. 2x2 − 5x + 22 = 5 x3 − 11x + 20 4. x3 − 3x2 + 2 (x + 2)3 = 6x √ √ 5. (x + 3 x + 2)(x + 9 x + 18) = 168x 3.1.6. Phương pháp đ t n ph đưa v h phương trình 1. Gi i các phương trình sau: √ √ (a) x3 + x2 + 2 + x3 + x2 − 1 = 3 4 1 5 (b) + x− = x + 2x − x x x √ 2 − 4x − 15 = 2 2x2 − 2x − 5 (c) 3x √ (d) 4x + 5 = 2x2 − 6x − 1 √ (e) 3 3x − 5 = 8x3 − 36x2 + 53x − 25 √ (f) x3 + 1 = 2 3 2x − 1 2. Tìm đ các phương trình sau có nghi m: √ √ (a) x + 4 − x = m √ √ (b) 3 1 − x + 3 1 + x = m 3.1.7. Phương pháp h ng s bi n thiên, tham s bi n thiên: Gi i các phương trình sau: √ 1. x2 + x + 5 = 5 √ 2. 9x2 + 3(2x − 1) 9 − x − 10x + 11 = 0 √ 3. (x + 1) x2 − 2x + 3 = x2 + 1 √ 4. x3 + 6x2 − 2x + 3 = (5x − 1) x3 + 3 3.1.8. Phương pháp hàm s : 1. Gi i các phương trình sau: √ √ (a) 4x − 1 + 4x2 − 1 = 1 √ √ (b) (4x − 1)( x + 3 + 3 3x + 5) = 4x + 8 √ (c) 3 x3 − 12x + 17 = −3x2 + 16x − 19 √ (d) (9x + 1) 9x − 1 = 8x3 + 20x2 − 41x + 5 2. Tìm m đ phương trình sau có nghi m x2 − x + 1 + x2 + x + 1 = m 3. Tìm m đ phương trình sau có nghi m √ √ √ √ x x + x + 12 = m( 5 − x + 4 − x) Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 3
3.2. B t phương trình vô t : 3.2.1. Phương pháp nâng lũy th a Gi i các phương trình sau √ √ 1. 1 + x + 1 − x ≤ x √ √ √ 2. x + 3 > x − 9 + 5 − x √ 3. 3 x2 + 6x > x √ √ √ 4. 3 2x + 1 + 3 6x + 1 > 3 2x − 1 3.2.2. Phương pháp đ t n ph 1. Gi i các phương trình sau √ (a) 5x2 + 10x + 1 ≥ 7 − x2 − 2x x x+1 (b) − >3 x+1 x √ (c) (x + 1)(x + 3) ≤ x2 + 4x + 5 √ 2. Tìm m đ b t phương trình sau có nghi m đúng v i m i x ∈ [−2; −2 + 3]: (x + 1)(x + 3) ≤ m( x2 + 4x + 5) 3. Tìm m đ b t phương trình sau có nghi m đúng v i m i x ∈ [−4; 6]: (4 + x)(6 − x) ≤ x2 − 2x + m 3.2.3. Phương pháp hàm s 1. Gi i b t phương trình √ √ (a) x + 1 + 2x + 3 > 5 √ √ (b) 4 15 + x − 4 2 − x > 1 √ √ √ √ (c) x2 − 2x + 3 − x2 − 6x + 11 > 3 − x − x − 1 √ (d) x3 − 5x2 + 6x + 2 ≤ 3 2x2 − 2x − 4 2. Tìm m đ b t phương trình sau có nghi m √ √ 4x − 2 + 16 − 4x ≤ m 3.2.4. Phương pháp đánh giá Gi i các b t phương trình sau √ √ 1. x − x2 − 1 + x + x2 − 1 ≤ 2 2x2 − 13x + 38 2. √ √ ≤4−x 2x2 − 10x + 44 + 3x + 6 √ 3. (x2 + 4) 2x + 4 ≤ 3x2 + 6x − 4 √ x− x 4. ≥1 1 − 2(x2 − x + 1) √ (2x − 1) x + 3 5. √ √ √ ≥1 2 x + (2 + x) 1 − x + 1 − x Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 4
3.3. H phương trình đ i s : 3.3.1. S d ng phép bi n đ i đ i s và th : Gi i các h sau: 5x2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y) = 0 1. xy(x2 + y 2 ) + 2 = (x + y)2 x4 + 2xy + 6y − (7 + 2y)x2 = −9 2. 2x2 y − x3 = 10 y 3 − 7x3 − 6xy 2 + 12x2 y = 3x2 − 3x + 1 3. y 2 − 4x − 5 = 0 x3 + y 3 = 9 4. x2 + 2y 2 = x + 4y  1 + 1 = (x2 + 3y 2 )(3x2 + y 2 )   5. x 2y  1 − 1 = 2(y 4 − x4 )  x 2y x3 + 3xy 2 = −49 6. x2 − 8xy + y 2 = 8y − 17x 9y 3 (3x3 − 1) = −125 7. 45x2 y + 75x = 6y 2 −x2 y + 2xy 2 + 3y 3 − 4(x + y) = 0 8. xy(x2 + y 2 ) − 1 = 3xy − (x + y)2 x2 − 2xy + x + y = 0 9. x4 − 4x2 y + 3x2 + y 2 = 0 2x3 − 9y 3 = (x − y)(2xy + 3) 10. x2 − xy + y 2 = 3 x3 + y 3 = 1 11. x5 + y 5 = x2 + y 2 x3 + y 3 = 1 12. x3 + y 4 = x4 + y 3 x2 + y 2 = 1 13. (2x2 − 1)(2x3 + y 3 ) = (2y 2 − 1)(2y 3 + x3 ) x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9 14. x2 + 2xy = 6x + 6 Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 5
3.3.2. S d ng phép đ t n ph : Gi i các h sau: x + 1 + y + 1 = 5   1. x y x2 + 1 + y 2 + 1 = 9  x2 y2 x + y + x2 + y 2 = 8 2. xy(x + 1)(y + 1) = 16 (x2 + x + 1)(y 2 + y + 1) = 3 3. (1 − x)(1 − y) = 6 (x3 + x2 + x + 1)(y 3 + y 2 + y + 1) = 60 4. x + xy + y = 5  x y x + y + + = 4 y x  5. 2 2 x + y + x + y = 4  y x 5  8(x2 + y 2 ) + 4xy + = 13 (x + y)2  6. 2x + 1 = 1  x+y  x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5  2 7. 4 x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 5  4  2 x2 + y 2 + x = 9 8. y2  3 2 = x2 + xy xy + 4y 1  3(x2 + y 2 ) + = 2(10 − xy) (x − y)2  9. 1   2x + =5 x−y 8x3 y 3 + 27 = 18y 3 10. 4x2 y + 6x = y 2  1 1 x(x + 1) + +1 =4  11. y y  3 3 x y + x2 y 2 + xy + 1 = 4y 3 1    (x + y)(1 + )=5 12. xy  (x2 + y 2 )(1 + 1 ) = 49  x2 y 2 3.3.3. S d ng phương pháp hàm s Gi i các h sau √ √ (17 − 3x) 5 − x + (3y − 14) 4 − y = 0 1. √ √ 2 2x + y + 5 + 3 3x + 2y + 11 = x2 + 6x + 13 Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 6
√ √ 3 x− 3y =y−x 2. √ √ 1 − x2 + y = 2y 2 − 2x2 x5 + xy 4 = y 10 + y 6 3. √ 4x + 5 + y 2 + 8 = 6 √ x2 = y − 1 + 2x − 1 4. √ y 2 = x − 1 + 2y − 1 4. Tích phân và ng d ng: (B sung sau) 5. Hình h c không gian t ng h p: 1. Cho hình chóp S.ABC có đư ng cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a. G i B là trung đi m c a SB, C là chân đư ng cao h t đ nh A c a tam giác SAC. (a) Tính th tích kh i chóp S.ABC (b) Ch ng minh r ng SC vuông góc v i m t ph ng (AB C ) (c) Tính th tích kh i chóp S.A B C 2. Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a, góc gi a m t bên và m t đáy là 600 . Tính tang c a góc h p b i gi a hai m t (SAB) và (ABCD) và tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a. 3. Cho hình chóp t giác đ u có c nh đáy b ng a và chi u cao b ng h. Tính th tích hình l p phương có m t m t thu c m t đáy c a hình chóp còn m t đ i di n có các đ nh n m trên c nh c a hình chóp. 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh B và SA ⊥ (ABCD), SB = a. Góc gi a hai m t ph ng (SBC) và (ABC) b ng α. (a) Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a và α. (b) Tìm α đ th tích kh i chóp S.ABC l n nh t. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông c nh a. G i M và N l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, AD và H là giao đi m c a CN v i DM . Bi t SH vuông góc v i m t đáy √ ph ng (ABCD) và SH = a 3. Tính th tích kh i chóp S.CDN M và tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng DM và SC theo a. 6. Cho hình lăng tr tam giác đ u ABC.A B C có AB = a, góc gi a hai m t ph ng (A BC) và (ABC) b ng 600 . G i G là tr ng tâm c a tam giác A BC. Tính th tích kh i lăng tr đã cho và bán kính m t c u ngo i ti p t di n GABC theo a. 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, SA = a, hình chi u vuông góc c a S trên m t ph ng (ABCD) thu c c nh AC, AC = 4AH. G i CM là đư ng cao c a tam giác SAC. Ch ng minh r ng M là trung đi m c a SA và tính th tích kh i t di n SM BC theo a. 8. Cho hình lăng tr đ ng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = a, AA = 2a, A C = 3a. G i M là trung đi m c a đo n th ng A C , I là giao đi m c a AM và A C. Tính theo a th tích kh i t di n IABC và kho ng cách t A đ n m t ph ng (IBC). 9. Cho lăng tr ABC.A B C có đ dài c nh bên b ng 2a, đáy ABC là tam giác vuông t i A, AB = √ a, AC = a 3 và hình chi u vuông góc c a đ nh A trên m t ph ng (ABC) là trung đi m c a c nh BC. (a) Tính theo a th tích c a kh i tr , và th tích kh i chóp A .ABC, A .BCC B (b) Tính kho ng cách t B đ n m t ph ng A ACC . (c) Tính côsin c a góc gi a hai đư ng th ng AA , B C Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 7
(d) Tính kho ng cách gi a hai đư ng th ng AB và B C . 10. Cho lăng tr tam giác đ u ABC.A B C có c nh đáy b ng a và đư ng cao b ng h. Xét hình tr n i ti p trong lăng tr này, nghĩa là hình tr có hai đư ng tròn đáy, m i đư ng tròn n m trên m t đáy c a lăng và ti p xúc t i trung đi m các c nh c a tam giác đáy. (a) Tính th tích kh i hình tr n i ti p đó. (b) G i I là trung đi m c a BC. Đư ng th ng A I c t hình tr nói trên theo m t đo n th ng. Tính đ dài đo n th ng này. 6. B t đ ng th c, c c tr c a hàm nhi u bi n: 6.1. S d ng b t đ ng th c cô-si: 1. Cho x, y là các s th c dương thay đ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c (x + y)3 P = xy 2 2. Cho x ∈ [0; 3], y ∈ [0; 4]là s th c thay đ i. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = (3 − x)(4 − y)(2x + 3y) 3. Cho x, y, z là s th c dương thay đ i và th a mãn x + y + z = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c √3 √ 3 √ P = a+b+ b+c+ 3c+a 4. Cho x, y, z là s th c không âm thay đ i và th a mãn xy + yz + zx = 5. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 6x2 + 6y 2 + 2z 2 5. Cho x, y là các s th c dương thay đ i và th a mãn x + y ≥ 4. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 6 10 P = 2x + 3y + + x y 6. Cho x, y là các s th c dương thay đ i và th a mãn x + y ≤ 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 P = + + 4xy x2 +y 2 xy 7. Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i và th a mãn x + y + z ≤ 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 1 P = 2 + + + x + y 2 + z 2 xy yz zx 8. Cho x, y, z là ba s th c dương thay đ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x 1 y 1 z 1 P =x + +y + +z + 2 yz 2 zx 2 xy (Đ i h c kh i B, năm 2007) 9. Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i và th a mãn x + y + z = 1. Tìm giá tr l n nh t c a √ P = 3 2x + y + 3 2y + z + 3 2z + x Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 8
10. Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i và th a mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá tr nh nh t c a P = 10x2 + 10y 2 + z 2 11. Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a b c P = 2 + 2 + 1+b 1+c 1 + a2 12. Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 P = + + a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2 13. Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 P = + + a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 14. Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 P = + 2 + 2 b2 + 1 c + 1 a + 1 15. Cho a, b, c là ba s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 P = + 2 + 2 b2 + a c + b a + c 6.2. S d ng b t đ ng th c bunhic pski 1. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c ≥ 6. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 P = a2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 b c a 2. Cho x, y, z là các s th c thay đ i và th a mãn x + y + z = 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = x2 + 2y 2 + z 2 3. Cho x, y là các s th c thay đ i và th a mãn 36x2 + 16y 2 = 9. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c P = y − 2x + 5 4. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c ≤ 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 P = a2 + 2 + b + 2 + c + 2 a b c 5. Cho x, y là các s th c thay đ i và th a mãn 3x − 4y = 7. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 3x2 + 4y 2 6. Cho x, y, z là các s th c thay đ i và th a mãn x2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = x + 3y + 5z Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 9
4 7. Cho x, y, z là các s th c thay đ i và th a mãn x(x − 1) + y(y − 1) + z(z − 1) ≤ . Tìm giá tr l n 3 nh t c a bi u th c P =x+y+z 8. Cho a, b, c là các s th c thay đ i và th a mãn x + y + z = 6. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = x2 + y 2 + z 2 9. Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i và th a mãn x2 + y 2 + z 2 = 3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 1 P = + + + xy + 2 xy + 2 yz + 2 zx + 2 10. Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x y z P = + +√ xy + y2 yz + z2 zx + x2 11. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 1 1 1 P = 2+ 2+ 2+ + + a b c ab bc ca √ √ √ 12. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 c2 P = + + a+b b+c c+a 6.3. S d ng hàm s 1. Cho a, b, c là các s th c không âm thay đ i và th a mãn a + b + c = 6. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = a4 + b4 + c4 − 2(a3 + b3 + c3 ) − 6 2. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a b c P = + + 1 + bc 1 + ca 1 + ab 3. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 1 1 1 1 P = + + − + + a b c a+b b+c c+a 3 4. Cho a, b, c ≥ − là các s th c thay đ i và th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 4 a b c P = + 2 + 2 a2 +1 b +1 c +1 5. Cho a, b, c là các s th c không âm thay đ i và th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c (b + c − a)2 (c + a − b)2 (a + b − c)2 P = + + (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 (a + b)2 + c2 6. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a b c P = 2 + 2 + (b + c) (c + a) (a + b)2 Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 10
7. Cho a, b, c là các s th c dương thay đ i và th a mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 1 1 1 P = + + 1 − ab 1 − bc 1 − ca 8. Cho x, y, z là ba s th c thu c đo n [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x y z P = + + 2x + 3y y + z z + x 9. Cho a và b là các s th c dương th a mãn 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a3 b3 a2 b2 P =4 3 + 3 −9 2 + 2 b a b a 10. Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2 11. Cho các s th c a.b thay đ i và th a mãn (a + b)3 + 4ab ≥ 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 3(a4 + b4 + a2 b2 ) − 2(a2 + b2 ) + 1 12. Cho các s th c không âm a.b thay đ i và th a mãn a + b = 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c P = (4a2 + 3b)(4b2 + 3a) + 25ab 13. Cho hai s th c a.b thay đ i và th a mãn a2 + b2 = 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c 2(a2 + 6ab) P = 1 + 2ab + 2b2 14. Cho a, b, c là các s th c th a mãn a2 + b2 + c2 = 2. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c P = a3 + b3 + c3 − 3abc 3 15. Cho a, b, c là các s th c dương và th a mãn a + b + c ≤ . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 1 1 1 P = a2 + + b2 + + c2 + b2 c2 a2 3 16. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ . Ch ng minh r ng 2 1 1 1 51 x+y+z+4 + + ≥ x y z 2 3 17. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 1 P =x+y+z+ xyz 18. Cho x, y là các s th c khác 0 thay đ i và th a mãn (x + y)xy = x2 + y 2 − xy. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 1 1 P = 3+ 3 x y Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 11
19. Cho x, y là các s th c dương th a mãn x + y + 1 = 3xy. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 3x 3y 1 1 P = + − − y(x + 1) x(y + 1) x2 y 2 20. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn x2 + y 2 + z 2 + 2xy = 3(x + y + z). Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 20 20 P =x+y+z+ √ +√ x+z y+2 7. Phương pháp t a đ trong m t ph ng: 1. L p phương trình các c nh c a tam giác ABC, bi t đ nh B(2; 5) và hai đư ng cao có phương trình 2x + 3y + 7 = 0 và x − 11y + 3 = 0. 2. Trong m t ph ng Oxy, cho A(2; 5), B(5; 1). Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua A và cách B m t kho ng b ng 3. 3. Tam giác ABC có phương trình c nh AB là 5x − 3y + 2 = 0, các đư ng cao xu t phát t đ nh A, đ nh B l n lư t có phương trình (d1 ) : 4x − 3y + 1 = 0, (d2 ) : 7x + 2y − 22 = 0. L p phương trình các c nh còn l i và đư ng cao th ba. 4. L p phương trình các c nh c a tam giác ABC bi t đ nh C(4; −1), đư ng cao và đư ng trung tuy n k t đ nh A có phương trình l n lư t là (d1 ) : 2x − 3y + 12 = 0, (d2 ) : 2x + 3y = 0. 5. L p phương trình các c nh c a tam giác ABC bi t đ nh A(4; −1), hai đư ng trung tuy n có phương trình l n lư t là x − 2y + 1 = 0 và y − 1 = 0. 6. Phương trình hai c nh c a m t tam giác trong m t ph ng t a đ Oxy là 5x−2y+6 = 0; 4x+7y−21 = 0. Vi t phương trình c nh th ba c a tam giác đó, bi t tr c tâm c a tam giác trùng v i g c t a đ . 7. Cho tam giác ABC bi t A(2; −1) và hai đư ng phân giác trong c a góc B, C có phương trình l n lư t là x − 2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0. L p phương trình c nh BC. 8. Cho tam giác ABC bi t phương trình c nh BC là 4x − y + 3 = 0 và hai đư ng phân giác trong c a góc B, C có phương trình l n lư t là x − 2y + 1 = 0, x + y + 3 = 0. L p phương trình c nh AB, AC. 9. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC vuông t i A, có đ nh C(−4; 1), phân giác trong góc A có phương trình x + y − 5 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng BC, bi t di n tích tam giác ABC b ng 24 và đ nh A có hoành đ dương. 10. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung đi m c a c nh AB. Đư ng trung tuy n và đư ng cao qua đ nh A l n lư t có phương trình là 7x − 2y − 3 = 0 và 6x − y − 4 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng AC. 11. Trong m t ph ng Oxy, cho hình ch nh t ABCD có đi m I(6; 2) là giao đi m c a hai đư ng chéo AC và BD. Đi m M (1; 5) thu c đư ng th ng AB và trung đi m E c a c nh CD thu c đư ng th ng (d) : x + y − 5 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng AB. 12. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có đ nh C(−1; −2), đư ng trung tuy n k t đ nh A và đư ng cao k t đ nh B l n lư t là 5x + y − 9 = 0 và x + 3y − 5 = 0. Tìm t a đ đi m A và B. 3 13. Tam giác ABC có di n tích S = , hai đ nh A(3; −2), B(2; −3). Tr ng tâm c a tam giác trên đư ng 2 th ng 3x − y − 8 = 0. Tìm t a đ đ nh C. 14. Vi t phương trình các c nh c a tam giác ABC bi t B(2; −1), đư ng cao k t đình A và phân giác trong k t đ nh C l n lư t có phương trình là 3x − 4y + 27 = 0 và x + 2y − 5 = 0. Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 12
15. Trong m t ph ng Oxy, cho đi m A(0; 2) và đư ng th ng (d) đi qua O. G i H là hình chi u vuông góc c a A lên (d). Vi t phương trình đư ng th ng (d) bi t kho ng cách t H đ n tr c hoành b ng AH. 16. Trong m t ph ng Oxy, cho các đư ng th ng (d1 ) : x − 2y − 3 = 0 và (d2 ) : x + y + 1 = 0. Tìm t a đ 1 đi m M thu c (d1 ) sao cho kho ng cách t M đ n (d2 ) b ng √ . 2 17. Trong m t ph ng Oxy, cho đi m A(1; 1). Hãy tìm đi m B trên đư ng th ng y = 3 và đ m C trên tr c hoành sao cho tam giác ABC đ u. 18. Cho đi m M (2; 1) và đư ng tròn (C) : x2 + y 2 − 2x − 4y = 0. L p phương trình đư ng th ng (d) qua −→ − −→ − M c t (C) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho M A = −3M B. 19. Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng tròn (C) : x2 + y 2 = 25 và đư ng tròn (T ) : x2 + (y − 8)2 = 9. M t đư ng th ng (d) c t (C) t i A và B; c t (T ) t i C và D tho mãn AB = BC = CD. Vi t phương trình đư ng th ng (d). 20. Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng th ng (d) : x + y − 4 = 0, hai đi m A(1; 2) và B(3; 4). Tìm trên (d) đi m M sao cho t ng kho ng cách M A + M B nh nh t. 21. Trong m t ph ng Oxy, cho đi m M (4; 1). L p phương trình đư ng th ng (d) l n lư t c t hai tia Ox, Oy t i hai đi m A và B sao cho: (a) Di n tích tam giác OAB nh nh t. (b) OA + OB nh nh t 1 1 (c) 2 + nh nh t. OA OB 2 22. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC cân t i A có đ nh A(6; 6), đư ng th ng đi qua trung đi m c a các c nh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm t a đ đ nh B và C, bi t đi m E(1; −3) n m trên đư ng cao đi qua đ nh c a tam giác đó. 23. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có đ nh A(3; −7), tr c tâm H(3; −1), tâm đư ng tròn ngo i ti p là I(−2; 0). Xác đ nh t a đ đ nh C, bi t C có hoành đ dương. 24. Cho tam giác ABC cân t i A(−1; 4) và B, C thu c đư ng th ng (d) : x − y − 4 = 0. Xác đ nh t a đ các đi m B và C, bi t di n tích tam giác ABC b ng 18. 25. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đư ng trung tuy n, phân giác trong, đư ng cao xu t phát t các đ nh A, B, C l n lư t là :AM : 7x − 5y = 0, BD : x − 2y − 30 = 0, CK : x − y + 16 = 0. Tính di n tích tam giác ABC. 26. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đư ng th ng ∆ : 4x + 2y − 1 = 0 và hai đi m A(4; 0) B(3; 3). Xét m t đi m M thu c ∆. Trên tia OM l y đi m N sao cho OM.ON = 1. Tìm t a đ đi m N sao cho tam giác N AB có di n tích l n nh t. 27. Trong m t ph ng Oxy, hãy xác đ nh t a đ đ nh C c a tam giác ABC bi t r ng hình chi u vuông góc c a C trên đư ng th ng AB là đi m H(−1; −1), đư ng phân giác trong góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đư ng cao k t B có phương trình 4x + 3y − 1 = 0. 28. Trong m t ph ng Oxy, cho ba đi m A(−1; 7), B(4; −3), C(−4; 1). Hãy vi t phương trình đư ng tròn (C) n i ti p tam giác ABC. 29. Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng tròn (C1 ) : (x − 10)2 + y 2 = 25. Vi t phương trình đư ng tròn (C2 ) √ tâm K(5; 1) bi t đư ng tròn (C2 ) c t (C1 ) t i hai đi m M, N sao cho M N = 5. √ √ 30. Trong m t ph ng Oxy, cho hai đư ng th ng (d1 ) : 3x + y = 0 và (d2 ) : 3 − y = 0. G i (T ) là đư ng tròn ti p xúc v i (d1 ) t i A, c t (d2 ) t i hai đi m B và C sao √ tam giác ABC vuông t i. cho 3 Vi t phương trình đư ng tròn (T ), bi t di n tích tam giác ABC b ng và A có hoành đ dương. 2 Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 13
4 31. Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng tròn (C) : (x − 2)2 + y 2 = và hai đư ng th ng (d1 ) : x − y = 0, 5 (d2 ) : x − 7y = 0. Xác đ nh t a đ tâm K và bán kính c a đư ng tròn (C), bi t (C1 ) ti p xúc v i (d1 ), (d2 ) và tâm K thu c (C). 32. Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng tròn (C) : x2 +y 2 −6x−4y+8 = 0 và đư ng th ng (d) : 2x−y+6 = 0. Tìm t a đ đi m M trên (C) sao cho kho ng cách t M đ n (d) có giá tr nh nh t. 33. Trong m t ph ng Oxy, cho đi m E(−1; 0) và đư ng tròn (C) : x2 + y 2 − 8x − 4y − 16 = 0. Vi t phương trình đư ng th ng (d) qua E và c t (C) theo dây cung M N có đ dài ng n nh t. 34. Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng tròn (C) : x2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đư ng th ng (d) : x + my − 2m + 3 = 0, v i m là tham s th c. G i I là tâm đư ng tròn (C). Tìm m đ (d) c t (C) t i hai đi m A, B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t. 35. Trong m t ph ng Oxy, cho đư ng tròn (C) : x2 + y 2 − 6x + 2y − 15 = 0. Tìm t a đ đi m M trên đư ng th ng (d) : 3x − 22y − 6 = 0, sao cho t M k đư c t i (C) hai ti p tuy n M A, M B (A, B là các ti p đi m) mà đư ng th ng AB đi qua C(0; 1). 1 36. Trong m t ph ng Oxy, cho các đư ng tròn (C1 ) : (x − 1)2 + y 2 = , (C2 ) : (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4. Vi t 2 √ phương trình đư ng th ng (d) ti p xúc v i (C1 ) và c t (C2 ) t i hai đi m M, N sao cho M N = 2 2. x2 y 2 37. Cho (E) : + = 1. Tìm M ∈ (E) sao cho: 9 5 (a) Bán kính qua tiêu đi m này g p đôi bán kính qua tiêu đi m kia ng v i M ∈ (E). (b) M nhìn đo n n i 2 tiêu đi m dư i góc 600 . (c) M nhìn đo n n i 2 tiêu đi m dư i góc 900 . x2 y 2 38. Cho A(3; 0). Tìm B, C trên elip (E) : + = 1 sao cho B, C đ i x ng qua Ox đ ng th i th a mãn 9 3 tam giác ABC đ u. 39. Trong m t ph ng Oxy, cho elip (E) : 9x2 + 25y 2 = 225 và đi m M (1; 1). L p phương trình đư ng −→ − → − − th ng (d) qua M c t (E) t i hai đi m phân bi t A, B sao cho M A + M B = 0. √ x2 y 2 40. Trong m t ph ng Oxy, cho đi m A(2; 3) và elip (E) : + = 1. G i F1 , F2 là các tiêu đi m c a 3 2 (E) (F1 có hoành đ âm); M là giao đi m có tung đ dương c a đư ng th ng AF1 v i (E); N là đi m đ i x ng c a F2 qua M . Vi t phương trình đư ng tròn ngo i ti p tam giác AN F2 . 8. Phương pháp t a đ trong không gian: x−1 y z−2 1. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m A(2; 5; 3) và đư ng th ng (d) : = = 2 1 2 (a) Tìm t a đ hình chi u vuông góc c a A trên d. (b) Vi t phương trình m t ph ng (P ) ch a d sao cho kho ng cách t A đ n (P) là l n nh t. 2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho hai m t ph ng (P ) : x + y + z − 3 = 0 và (Q) : x − y + z − 1 = 0. Vi t phương trình m t ph ng (R) vuông góc v i (P ) và (Q) sao kho ng cách t O đ n (R) b ng 2. 3. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho ba đi m A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 0; 1). (a) Vi t phương trình m t ph ng (P ) đi qua ba đi m A, B, C. (b) Tìm t a đ đi m M thu c m t ph ng (Q) : 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho M A = M B = M C. Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 14
4. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m A(3; −2; −2) và m t ph ng (P ) : x−y −z + 1 = 0. Vi t phương trình m t ph ng (Q) đi qua A, vuông góc v i (P ) bi t r ng m t ph ng (Q) c t hai tr c Oy, Oz l n lư t t i M, N phân bi t sao cho OM = ON . 5. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, Cho m t c u (S) : x2 + y 2 + z 2 + 2x − 2y + 2z − 1 = 0 và hai đi m A(3; 1; 0), B(2; 0; −2). Vi t phương trình m t ph ng (P ) đi qua A và B sao cho thi t di n c a (P ) v i kh i c u (S) là m t hình tròn có di n tích b ng π. a y+8 z−3 6. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : = = và m t ph ng 1 −1 3 (P ) đi qua ba đi m A(7; 0; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 7). Hãy vi t phương trình đư ng th ng (d ) là hình chi u c a (d) lên (P ). 7. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, hãy l p phương trình m t ph ng (α) đi qua M (3; 2; 1) và c t ba tia Ox, Oy, Oz l n lư t t i ba đi m A, B, C sao cho th tích kh i t di n OABC là nh nh t. x−1 y z+2 8. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : = = và m t ph ng 2 1 −1 (P ) : x − 2y + z = 0. G √C là giao đi m c a (d) v i (P ), M là đi m thu c (d). Tính kho ng cách t i M đ n (P ), bi t M C = 6. 9. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho các đi m A(1; 0; 0), B(0; b; 0), (0; 0; c), trong đó b, c dương và m t ph ng (P ) : y − z + 1 = 0. Xác đ nh b, c, bi t m t ph ng (ABC) vuông góc v i (P ) và 1 kho ng cách t đi m O đ n (ABC) b ng . 3 10. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P ) : 2x − 2y − z − 4 = 0 và m t c u (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0. Ch ng minh r ng (P ) c t m t c u theo m t đư ng tròn. Xác đ nh tâm và bán kính c a đư ng tròn đó. 11. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho các đi m A(0; 0; −3), B(2; 0; −1), C(2; −2; −3). Tìm 4 t a đ đi m M cách đ u ba đi m A, B, C và kho ng cách t M đ n (ABC) = √ . 3 12. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho hình l p phương ABCD.A B C D v i A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A (0; 0; 1). G i M và N l n lư t là trung đi m c a AB và CD. (a) Tính kho ng cách gi a A C và M N . 1 (b) Vi t phương trình m t ph ng ch a A C và t o v i m t ph ng Oxy m t góc α, bi t cos α = √ 6 13. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho m t c u (S) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0 và m t ph ng (P ) : 2x − y + 2z − 14 = 0. (a) Vi t phương trình m t (Q) ch a Ox và c t (S) theo m t đư ng tròn có bán kính b ng 3. (b) Tìm t a đ đi m M thu c (S) sao cho kho ng cách t M đ n (P ) l n nh t. x−1 y+2 z+1 14. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho hai đư ng th ng (d1 ) : = = , 3 −1 2 x+y−z−2=0 (d2 ) : . x + 3y − 12 = 0 (a) Ch ng minh r ng (d1 ) và (d2 ) song song v i nhau. Vi t phương trình m t ph ng (P ) ch a (d1 ) và (d2 ). (b) M t ph ng t a đ Oxz c t (d1 ), (d2 ) l n lư t t i A, B. Tính di n tích tam giác OAB. Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 15
x y−1 z+2 15. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho hai đư ng th ng (d1 ) : = = , (d2 ) :  2 −1 1 x = −1 + 2t  y =1+t và m t ph ng (P ) : 7x + y − 4z = 0.  z=3  (a) Ch ng minh (d1 ) và (d2 ) chéo nhau. (b) Vi t phương trình đư ng th ng (d) vuông góc v i m t ph ng (P ) và c t (d1 ), (d2 ).  x = 1 + t  16. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : y = 2 + t và M (2; 1; 4). Tìm  z = 1 + 2t  t a đ đi m H thu c (d) sao cho đ dài đo n M H nh nh t.  x = 2 + t  x + 2z − 2 = 0 17. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho hai đư ng th ng (d1 ) : y = 1 − t , (d2 ) : .  y−z+1=0 z = 2t  L p phương trình đư ng th ng vuông góc chung c a (d1 ), (d2 ). x−1 y−2 z 18. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : = = và hai đi m 2 1 1 A(1; 1; 0), B(2; 1; 1). Vi t phương trình đư ng th ng (∆) đi qua A, (∆) ⊥ (d) sao cho kho ng cách t B đ n đư ng th ng (∆) là l n nh t. x−3 y−2 z−6 19. Trong kg v i h tr c t a đ Oxyz, cho A(−1; 0; 2), (P ) : 2x−y−z +3 = 0, (d) : = = . 2 4 1 Vi t phương trình đư ng th ng (∆) đi qua A, c t (P ) t i C, c t (d) t i B sao cho AB = AC. 20. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P ) : x − y + 2z + 6 = 0 và hai đư ng  x = 2 + t  x = 5 + 9u  th ng (d1 ) : y = −1 + 2t , (d2 ) : y = 10 − 2u . L p phương trình đư ng th ng (∆) c t (d1 ) t i   z = −3 z =1−u   A, c t (d2 ) t i B sao cho đư ng th ng (∆) song song v i m t ph ng (P ) và kho ng cách t (∆) đ n 3 (P ) b ng √ . 6 21. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho A(−1; 3; −2), B(−9; 4; 9) và m t ph ng (P ) : 2x − y + z + 1 = 0. Tìm M thu c (P ) sao cho M A + M B nh nh t. 22. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho A(1; 1; 0), B(3; −1; 4) và đư ng th ng (d) có phương x+1 y−1 z+2 trình = = . Tìm M ∈ (d) sao cho M A + M B nh nh t. 1 −1 2 23. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m A(0; 0; −2) và đư ng th ng (d) có phương trình x+2 y−2 z+3 = = . Tính kho ng cách t A đ n (d). Vi t phương trình m t c u tâm A, c t (d) 2 3 2 t i hai đi m B, C sao cho BC = 8. x y−1 z 24. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho (d) : = = . Xác đ nh t a đ c a M trên 2 1 2 tr c hoành sao cho kho ng cách t M đ n (d) b ng OM . 25. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho các đi m A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) và m t ph ng (P ) : x + y + z − 20 = 0. Xác đ nh t a đ đi m D thu c AB sao cho (CD) song song (P ). Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 16
  x = 1 + t  x = 3 − u  26. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d1 ) : y = −1 − t , (d2 ) : y = 1 + 2u .   z=2 z=u   L p phương trình m t c u (S) có đư ng kính là đo n vuông góc chung c a (d1 ) và (d2 ). 2x + 4y − z − 7 = 0 27. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : , các m t 4x + 5y + z − 14 = 0 ph ng (P ) : x + 2y − 2z − 2 = 0, (Q) : x + 2y − 2z + 4 = 0. L p phương trình m t c u (S) có tâm n m trên (d) và ti p xúc v i (P ) và (Q). 5x − 4y + 3z + 20 = 0 28. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m I(2; 3; −1) và đư ng th ng (d) . 3x − 4y + z − 8 = 0 L p phương trình m t c u (S) có tâm I và c t (d) t i hai đi m A, B sao cho AB = 10. 29. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho m t c u (S) : (x − 3)2 + (y + 2)2 + z 2 = 11 và hai x y+1 z−1 x+1 y z đư ng th ng (d1 ) : = = , (d2 ) : = = . L p phương trình m t ph ng song v i 1 1 2 1 2 1 (d1 ), (d2 ) và ti p xúc v i (S). L p phương trình đư ng th ng qua tâm (S) và c t (d1 ), (d2 ). x−1 y+1 z−1 30. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đư ng th ng (d) : = = . Vi t phương 2 1 2 trình m t c u (S) có tâm I(1; 0; 3) và c t (d) t i A, B sao cho tam giác IAB vuông t i I. 9. S ph c: 1. Cho z là s ph c. Đ t ω = z 2 − 2z + 5 là m t s ph c. Tìm ph n th c và ph n o c a ω. Xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z đ ω là s th c. 2. Xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z sao cho z 2 : (a) là s o (b) là s th c âm (c) là s th c dương (d) có môđun b ng 1. 3. Xác đ nh t p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z th a mãn (2 − z)(i + z ) là ¯ s th c. √ (1 − 3i)3 4. Cho s ph c z th a mãn z = ¯ . Tìm môđun c a s ph c z + iz. ¯ 1−i 5. G i z1 và z2 là hai nghi m ph c c a phương trình z 2 + 2z + 10 = 0. Tính giá tr bi u th c |z1 |2 + |z2 |2 . 6. Cho phương trình z 2 − mz − 6i = 0 (m là tham s ) √ (a) Gi i phương trình khi m = 4i 2. (b) Tìm m đ phương trình có t ng bình phương hai nghi m b ng 5. 7. G i z1 ,z2 là hai nghi m ph c c a phương trình:z 2 − (m + 4i)z − 1 + 7i = 0.Tìm s ph c m sao cho z1 z2 3+i + = z2 z1 2 . 1 1 8. G i z1 , z2 là các nghi m ph c c a phương trình 2z 2 −(1−2i)z+3+5i = 0. Tính P = z1 +z2 , Q = 3 3 4+ 4. z1 z2 Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 17
√ 9. Tìm s ph c z th a mãn |z − (2 + i)| = 10 và z.¯ = 25. z 10. Tìm s ph c z th a mãn |z| và z 2 là s thu n o. 11. Trong m t ph ng ph c, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãn |z − i| = |(1 + i)z|. 12. Trong m t ph ng ph c, tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãn (a) |z − 1 + 2i| = 4. (b) |z + i − 2| ≤ 3. 2z + 1 (c) là s o v i z = 1. z−1 √ √ 13. Tìm ph n o c a s ph c z, bi t z = ( 2 + i)2 (1 − 2i) ¯ 14. Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z = (1 − i)2012 15. Tìm s ph c z th a mãn z.¯ + z 2 − (z − 2¯) = 10 + 3i. z z z−1 z − 3i 16. Tìm s ph c z th a mãn đi u ki n = 1 và = 1. z−i 2+i 4z − 3 − 7i 17. Gi i phương sau trên t p h p các s ph c: = z − 2i. z−i 18. Trong t t c các s ph c z th a mãn đi u ki n (z − 2)(z + i) là s th c. Hãy tìm s ph c z đ bi u th c P = |z + 2i| + |z + 1| đ t giá tr nh nh t. 19. Tìm s ph c z có môđun b ng 1 sao cho |z − 3 + 2i| nh nh t. 20. Xét các s ph c z th a mãn: |z − 3i + 4| = 1. Tìm z sao cho P = z 2 + 7 − 24i đ t giá tr nh nh t √ 21. Tìm s ph c z sao cho |z − (3 + 4i)| = 5 và bi u th c P = |z + 2|2 − |z − i|2 đ t giá tr l n nh t. 22. Cho z là s ph c thay đ i và tho mãn: |z + 1 − i| = 1. Tìm z đ P = |z − 1 − 2i|2 + |z − 5 + 4i|2 đ t giá tr nh nh t. z − 2 − 4i 23. Tìm s ph c z có ph n th c l n nh t, bi t z th a mãn: |z| + 100 = 15. z + 3 + 4i √ 24. Cho hai s ph c z1 , z2 th a mãn |z1 − z2 | = |z2 | và |z1 + z2 | = 3 |z1 |, (z1 , z2 = 0). Tính 4 1 1 A = z 1 4 + z2 4 + z1 z 2 1 1 1 3 25. Tìm các s ph c z1 , z2 (z1 , z2 = 0). Bi t z1 + = 1 + 2i và z2 + = − i. z2 z1 2 2 10. T h p, xác su t th ng kê: (B sung sau) 11. Phương trình, b t phương trình, h phương trình mũ và lôgarit: (B sung sau) Tài li u đư c so n th o b ng L TEX A 18