Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu khả năngtạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode hay hai mode bởi trường ngoài với các điều kiện đầu khác nhau của các mode trong trường hợp trường ngoài không có nhiễu hoặc có nhiễu trắng. Mời các bạn tham khảo nội dung đề tài!
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan nội dung của bản luận án này là công trình nghiên cứu
của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đoàn Quốc Khoa và PGS.TS.
Chu Văn Lanh. Các kết quả trong luận án là trung thực và được công bố trên các
tạp chí khoa học trong nước và quốc tế.
Nghệ An, tháng 10 năm 2021
Tác giả luận án
Lương Thị Tú Oanh
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Đoàn
Quốc Khoa và PGS.TS. Chu Văn Lanh. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân
thành nhất đến tập thể thầy giáo hướng dẫn - những người đã tận tình giúp tôi
nâng cao kiến thức và tác phong làm việc bằng tất cả sự mẫu mực của người
thầy và tinh thần trách nhiệm của người làm khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy, cô giáo Trường Đại học Vinh về
những ý kiến đóng góp khoa học bổ ích cho nội dung luận án, tạo điều kiện tốt
nhất trong thời gian tôi học tập và thực hiện nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm
Nghệ An đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên
cứu của tôi trong những năm qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân và bạn
bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tôi hoàn thành bản luận án này.
Xin trân trọng cảm ơn!
Nghệ An, tháng 10 năm 2021
Tác giả luận án
Lương Thị Tú Oanh
iii
MỤC LỤC
Trang
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN ..... v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ............................................................................ vi
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu .................................................................................... 5
3. Nội dung nghiên cứu .................................................................................... 5
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 6
5. Bố cục luận án .............................................................................................. 6
Chương 1. LÝ THUYẾT CƠ SỞ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN ............................................. 7
1.1. Các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser ............................................. 7
1.1.1. Thăng giáng biên độ và pha của laser đơn mode ............................... 7
1.1.2. Mô hình laser đơn mode với thăng giáng bơm................................. 10
1.1.3. Laser đa mode và ánh sáng ngẫu nhiên ............................................ 11
1.2. Lý thuyết nhiễu trắng .............................................................................. 12
1.3. Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều .................................................... 16
1.3.1. Trạng thái n-photon .......................................................................... 16
1.3.2. Trạng thái kết hợp hữu hạn chiều ..................................................... 17
1.3.3. Trạng thái đan rối ............................................................................. 20
1.3.4. Các trạng thái Bell ............................................................................ 23
1.3.5. Cách tính độ đan rối của một trạng thái lượng tử ............................. 24
1.4. Mô hình kéo lượng tử phi tuyến ............................................................. 27
1.4.1. Môi trường phi tuyến kiểu Kerr........................................................ 27
1.4.2. Kéo lượng tử phi tuyến dựa trên các dao động tử phi tuyến Kerr .... 31
1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................... 35
iv
Chương 2. CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HÌNH THÀNH TRONG
BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR ............................................................... 36
2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính..................................................... 36
2.1.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính ................................ 36
2.1.2. Sự tạo ra trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác
tuyến tính ......................................................................................... 45
2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến ...................................................... 49
2.2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode ............. 49
2.2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode .............. 61
2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................... 76
Chương 3. ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TRẮNG ĐỐI VỚI SỰ HÌNH
THÀNH TRẠNG THÁI ĐAN RỐI CỰC ĐẠI TRONG BỘ NỐI PHI
TUYẾN KIỂU KERR ....................................................................................... 77
3.1. Trung bình của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu trắng ......... 77
3.2. Các trạng thái có độ đan rối cực đại tạo ra trong bộ nối phi tuyến
kiểu Kerr khi trường laser được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên ...... 78
3.2.1. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm
một mode ......................................................................................... 78
3.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm
hai mode ........................................................................................... 86
3.2.3. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm
một mode ......................................................................................... 93
3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................. 100
CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ ......... 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 106
PHỤ LỤC
v
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH
DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Từ viết tắt Nghĩa
EPR Tên các nhà vật lý Einstein - Podolsky - Rosen
NQS Kéo lượng tử phi tuyến - Nonlinear quantum scissors
vi
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Ký hiệu Đơn vị Nghĩa
Không thứ nguyên Ma trận Pauli
J.s/rad
rad/s
Hằng số Planck rút gọn Tần số góc 8,8510-12 F/m Độ điện thẩm của chân không 1,2610-6 H/m Độ từ thẩm của chân không
C/m2 Độ lớn véctơ phân cực điện (vĩ mô)
Không thứ nguyên Độ cảm điện tuyến tính
Độ cảm điện phi tuyến bậc hai
Độ cảm điện phi tuyến bậc ba
m/V m2/V2 J J J 0 0 P (1) (2) (3) H H0 HI
Hamiltonian toàn phần của hệ Hamiltonian tự do của hệ Hamiltonian tương tác của hệ Hamiltonian tương tác giữa mode a với trường ngoài J
Hamiltonian tương tác giữa mode b với trường ngoài J
Hamiltonian liên kết giữa các mode J
rad/s
rad/s α
rad/s β
Tham số mô tả độ mạnh của trường liên kết giữa hai dao động tử Tham số mô tả độ mạnh của liên kết giữa trường ngoài với mode a Tham số mô tả độ mạnh của liên kết giữa trường ngoài với mode b Tham số liên quan đến thành phần nhiễu rad/s
Hệ số phi tuyến Kerr của mode a rad/s
Hệ số phi tuyến Kerr của mode b rad/s
ebit E
Entropy đan rối Ma trận mật độ -
Biên độ xác suất phức -
- Vết của ma trận Tr
vii
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 1.1: Giản đồ dẫn đến các mô hình ngẫu nhiên của laser ......................... 8 Hình 1.2: Trạng thái lượng tử của qubit ứng với các điểm trên mặt cầu Bloch. ...... 21 Hình 1.3: Mô hình chung của kéo lượng tử phi tuyến hai mode .................... 34 Hình 2.1: Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode. .......... 37 Hình 2.2: Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode. ...... 42 Hình 2.3:
Độ tin cậy của trạng thái cắt đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode (đường nét liền) và hai mode rad/s, (đường chấm chấm) với hệ số phi tuyến
rad/s và các mode ban đầu ở trạng thái chân không ................ 45
Hình 2.4: Sự tiến triển của các entropy đan rối (đơn vị ebit) và
cho bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một
mode với rad/s, (đường nét liền) và hai mode
với rad/s (đường nét gạch) và rad/s,
rad/s (đường gạch chấm). ............................................... 46
Hình 2.5: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell và
đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một
mode với rad/s, (đường nét liền) và hai mode với
rad/s (đường nét gạch) và rad/s,
rad/s (đường gạch chấm). .......................................................... 47
Hình 2.6: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell và
đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm
một mode với rad/s, (đường nét liền) và hai
mode với rad/s (đường nét gạch) và
rad/s, rad/s (đường gạch chấm). ..................................... 48
Hình 2.7. Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell và
đối với bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm
một mode với rad/s, (đường nét liền) và hai
mode với rad/s (đường nét gạch) và
rad/s, rad/s (đường gạch chấm). ..................................... 48
viii
Hình 2.8: Độ tin cậy của trạng thái cắt trong bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm 1 mode. Trong trường hợp hệ số phi tuyến rad/s, rad/s. ........................... 53
Hình 2.9: Các xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái (đường
nét liền), (đường nét gạch), và (đường gạch
chấm) với rad/s, ( ),
( ) và ( ). ....................................................... 54
Hình 2.10: Entropy đan rối (đơn vị ebit) (đường nét liền), (đường
nét gạch) và (đường gạch chấm) với rad/s
rad/s (Hình bên rad/s,
(Hình bên trái) và phải). ................................................................................................ 56
Hình 2.11: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
(đường nét liền), (đường nét gạch) và (đường gạch
rad/s (Hình bên trái) và
chấm) với rad/s, rad/s (Hình bên phải). ......................................... 57
Hình 2.12: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
(đường nét liền), (đường nét gạch) và (đường gạch
rad/s (Hình bên trái) và
chấm) với rad/s, rad/s (Hình bên phải). ......................................... 58
Hình 2.13: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
(đường nét liền), (đường nét gạch) và (đường gạch
rad/s (Hình bên trái) và
chấm) với rad/s, rad/s (Hình bên phải). ......................................... 58
Hình 2.14: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
(đường nét liền), (đường nét gạch) và (đường gạch
rad/s (Hình bên trái) và
chấm) với rad/s, rad/s(Hình bên phải). .......................................... 59
Hình 2.15: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
(đường nét liền), (đường nét gạch) và (đường gạch
rad/s (Hình bên trái) và
chấm) với rad/s, rad/s (Hình bên phải). ......................................... 59
ix
Hình 2.16: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
(đường nét liền), (đường nét gạch) và (đường gạch
rad/s (Hình bên trái) và
chấm) với rad/s, rad/s (Hình bên phải).. ........................................ 60
ban đầu là (đường nét liền) và
gạch). Trong trường hợp hệ số phi tuyến
Hình 2.17: Sự tiến triển theo thời gian của 1-F tương ứng với trạng thái (đường nét rad/s, rad/s. ....... 64 các cường độ liên kết rad/s,
Hình 2.18: Các xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái (đường
nét liền), (đường nét gạch), (đường gạch chấm)
và (đường nét chấm) với rad/s và các
trạng thái đầu tương ứng là ( ), ( ),
( ) và ( )..................................................................... 66
Hình 2.19: Sự tiến triển của entropy đan rối của trạng thái cắt đối với các ) và ( trạng thái đầu là ), ), ( (
( ) với rad/s. Đường nét liền là cho
, đường nét gạch là cho rad/s và đường gạch
chấm là cho rad/s. ........................................................ 68
Hình 2.20: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
( ), ( ), ( ) và ( ) tương
ứng với các trạng thái đầu , , và với
rad/s. Đường nét liền là cho , đường nét
gạch là cho rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s. ............................................................................ 69
Hình 2.21: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
( ), ( ), ( ) và ( ) tương
ứng với các trạng thái đầu , , và với
rad/s. Đường nét liền là cho , đường nét
gạch là cho rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s. ............................................................................ 70
x
Hình 2.22: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell ( ),
( ), ( ) và ( ) tương ứng với các
trạng thái đầu , , và với
rad/s. Đường nét liền là cho , đường nét
gạch là cho rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s. ............................................................................. 71
Hình 2.23: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
( ), ( ), ( ) và ( ) tương
ứng với các trạng thái đầu , , và với
rad/s. Đường nét liền là cho , đường nét
gạch là cho rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s. ............................................................................. 72
Hình 2.24: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
1`( ), ( ), ( ) và ( ) tương
ứng với các trạng thái đầu , , và với
rad/s. Đường nét gạch là cho rad/s và
đường gạch chấm là cho rad/s. .................................... 73
Hình 2.25: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
( ), ( ), ( ) và ( ) tương
ứng với các trạng thái đầu , , và với
rad/s. Đường nét gạch là cho rad/s và
đường gạch chấm là cho rad/s. .................................... 74
và Hình 3.1: của các
rad/s. Đường nét liền ứng với ,
Sự tiến triển của các entropy đan rối trạng thái cắt với đường nét gạch ứng với rad/s và đường nét gạch
chấm ứng với rad/s. ...................................................... 81
xi
Hình 3.2: Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell và
với rad/s. Đường nét liền ứng với , đường
nét gạch ứng với rad/s và đường nét gạch chấm ứng
với rad/s. ....................................................................... 82
Hình 3.3: Xác suất để hệ tồn tại trong trạng thái Bell và với
rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét gạch
ứng với rad/s và đường nét gạch chấm ứng với
rad/s. ............................................................................. 83
Hình 3.4: Xác suất để hệ tồn tại trong trạng thái Bell và với
rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét gạch
ứng với rad/s và đường nét gạch chấm ứng với
rad/s. ............................................................................. 83
Hình 3.5: Sự tiến triển của các entropy đan rối và của các
trạng thái cắt với rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với rad/s và đường gạch
chấm là cho rad/s. ........................................................ 88
Hình 3.6: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
với rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s.............................................................................. 90
Hình 3.7: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
với rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s. ............................................................................ 90
Hình 3.8: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
với rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s.............................................................................. 91
xii
Hình 3.9: Sự tiến triển của các entropy đan rối (đơn vị ebit) và
trong bộ nối liên kết phi tuyến được bơm một mode với , đường nét gạch rad/s. Đường nét liền ứng với
ứng với rad/s và đường gạch chấm ứng với
rad/s........................................................................... 96
Hình 3.10: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét với
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm ứng
rad/s. ................................................................... 97 với
Hình 3.11: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét với
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm:
rad/s........................................................................... 98
Hình 3.12: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
với rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm:
rad/s........................................................................... 98
Hình 3.13: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét với
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm ứng
rad/s. ................................................................... 99 với
Hình 3.14: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét với
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm ứng
rad/s. ................................................................... 99 với
Hình 3.15: Xác suất để hệ tồn tại ở các trạng thái kiểu Bell và
rad/s. Đường nét liền ứng với , đường nét với
gạch ứng với rad/s và đường gạch chấm ứng
rad/s. ................................................................. 100 với
1 MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết lượng tử mặc dù đã đạt được nhiều thành tựu vĩ đại góp phần làm
thay đổi nền văn minh của nhân loại, bên cạnh đó vẫn tồn tại những vấn đề thuộc
về cơ sở của lý thuyết đòi hỏi sự hoàn thiện. Trong một thời gian dài, những vấn
đề này đã trở thành những thách thức lớn cho chính những nhà sáng lập ra lý
thuyết lượng tử. Ban đầu, chúng thường được phát biểu qua các “thí nghiệm
tưởng tượng” và được coi là những vấn đề mang tính triết học nhiều hơn là vật lý.
Tuy nhiên, dựa vào các phương pháp thực nghiệm phát triển như vũ bão trong
lĩnh vực quang học lượng tử, người ta đã có thể điều khiển được các hệ lượng tử
đơn độc như các nguyên tử, và nhỏ hơn nữa là các điện tử, các ion hoặc các
photon riêng biệt. Từ đó, các thí nghiệm tưởng tượng có thể thực hiện được nhằm
thẩm định những cơ sở của lý thuyết lượng tử.
Có hai vấn đề được quan tâm đặc biệt, vấn đề thứ nhất liên quan đến phép
đo, khi chúng ta thu được một đặc tính nào đó của hệ thì không thể khẳng định
được là hệ có được đặc tính này trước khi đo và đặc tính đó không phụ thuộc
vào phép đo. Vì vậy, việc đặt ra câu hỏi hệ có đặc tính nào đó trong thực tiễn mà
không phụ thuộc vào phép đo là câu hỏi không có ý nghĩa. Vấn đề thứ hai liên
quan đến tính chất kết hợp lượng tử giữa các hệ con trong một hệ toàn phần, dẫn đến
việc phép đo trên hệ này có thể tác động tức thì lên hệ kia cho dù hai hệ này cách xa
bao nhiêu, tức là lý thuyết lượng tử không phải là định xứ. Hai vấn đề này trái ngược
với trực giác thông thường đến mức được gọi là nghịch lý con mèo Schrödinger và
Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) [1]. Chính các nghịch lý này là điểm xuất phát đưa
đến các trạng thái đan rối, nguồn tài nguyên căn bản cho tính toán lượng tử. Hướng
nghiên cứu này phát triển như vũ bão trong hai thập kỷ gần đây dẫn đến các kết quả
quan trọng không những về mặt lý thuyết để củng cố những cơ sở của lý thuyết
lượng tử mà còn có thể được triển khai trong công nghệ lượng tử với các thiết bị có
tốc độ và độ tin cậy cao.
2
Chúng ta biết rằng, kỹ thuật xử lý các trạng thái lượng tử là một trong
những vấn đề trọng tâm liên quan đến lý thuyết lượng tử, cho phép tạo ra những
trạng thái ban đầu cho các tính toán lượng tử với độ đan rối cao. Đan rối lượng
tử là tính chất phi cổ điển mạnh nhất của các hệ toàn phần bao gồm nhiều hệ
con. Vì vậy, nếu đặc tính đặc biệt này được áp dụng vào các quá trình xử lý
thông tin của hệ lượng tử thì sẽ thực hiện được những tính toán không khả thi
trong lĩnh vực thông tin cổ điển. Các tính chất phi cổ điển có thể được khám phá
bằng nhiều phương pháp khác nhau. Chúng có thể tồn tại dưới dạng các hiệu
ứng nén [2], hiệu ứng định hướng [3], phản kết chùm [4] hay đan rối lượng tử đa
phương [5, 6]. Gần đây, bằng chứng thuyết phục về sự tồn tại của các tính chất
phi cổ điển bậc cao trong một số hệ lượng tử cũng đã được đưa ra [7]. Trong
thực tế, trạng thái nén có thể được sử dụng để viễn tải lượng tử của trạng thái kết
hợp hay mã hóa lượng tử với biến liên tục [8], ứng dụng trạng thái phản kết
chùm để xây dựng các nguồn photon đơn lẻ [9], đan rối lượng tử có vai trò rất
quan trọng trong thực hiện mã hóa lượng tử, viễn tải lượng tử, hay phân bổ khóa
lượng tử [10, 11]. Trong vài thập kỷ qua, các nhà khoa học đã có mối quan tâm
đặc biệt trong việc nghiên cứu khả năng tạo ra những trạng thái phi cổ điển
trong các hệ lượng tử, đặc biệt là các thăng giáng lượng tử được hình thành
trong các hệ có hai hoặc nhiều hơn các hệ con.
Với những vấn đề được đề cập ở trên, các nhà khoa học đã tập trung nghiên
cứu cài đặt khả năng tạo ra các tương quan lượng tử trong một số hệ lượng tử, đặc
biệt trong các hệ với các thành phần phi tuyến kiểu Kerr. Các mô hình dao động
tử kiểu Kerr đã và đang được ứng dụng rất rộng rãi trong quang học lượng tử như
mô hình của trạng thái chuyển động của các bẫy ion [12], sự chồng chất các trạng
thái kết hợp [13, 14] hay sự vi phạm bất đẳng thức Bell [15]. Các mô hình này
cũng đã được ứng dụng trong cộng hưởng nano và hệ kính hiển vi quang học
[16], hay ngưng tụ Bose-Einstein [17]. Ngoài ra, mô hình lượng tử kiểu Kerr còn
là đối tượng của những công trình liên quan đến sự hỗn loạn lượng tử [18].
3
Như đã đề cập ở trên, công nghệ xử lý trạng thái lượng tử cho phép tạo ra
các trạng thái có đặc tính thú vị như đan rối lượng tử. Các hệ vật lý bao gồm ít
nhất hai hệ con riêng biệt đặc trưng bởi độ cảm điện bậc ba (hệ số phi tuyến Kerr)
chính là những hệ cho phép tạo ra các trạng thái lượng tử đặc biệt đó. Tất nhiên,
các hệ nhiều thành phần đó có thể được xây dựng dựa trên nhiều tình huống vật lý
và được gọi là các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr, với tiến triển của hệ được điều
khiển bởi các Hamiltonian tường minh tương tự các Hamiltonian mô tả các bộ nối
Kerr quang học đặc trưng bởi độ cảm phi tuyến bậc ba. Leoński và các cộng sự đã
chỉ ra rằng bộ nối phi tuyến gồm hai dao động tử phi tuyến kiểu Kerr có thể xem
như cái kéo lượng tử phi tuyến [19]. Sau khi tiến hành "cắt" không gian các trạng
thái của hệ, thường là vô hạn chiều, thành không gian hữu hạn chiều, bài toán sẽ
trở nên đơn giản hơn rất nhiều lại có ứng dụng trực tiếp trong các tính toán lượng
tử. Mặt khác, bộ nối này có thể được xem như hệ lượng tử, mô tả sự chồng chập
của hai hay ba trạng thái lượng tử trực giao với nhau, được biểu diễn trong không
gian Hilbert hai chiều hay ba chiều tương ứng được gọi là hệ hai qubit [20, 21],
hay hệ 2-qutrit [22] hoặc mô hình qubit-qutrit [23]. Trong những hệ này, các trạng
thái đan rối được tạo ra, đặc biệt là các trạng thái có độ đan rối cực đại (các trạng
thái kiểu Bell). Mô hình đan rối hai mode magnon qua hiệu ứng phi tuyến Kerr
khi hệ được điều khiển từ trạng thái cân bằng được mô tả [24]. Sự tạo ra các trạng
thái đan rối cực đại được tăng cường bởi các xung ngoài nhiễu loạn kích thích vào
hệ hai dao động tử đồng nhất không điều hòa liên kết tuyến tính cũng được
nghiên cứu [25]. Sự tăng cường đan rối bởi phi tuyến Kerr bằng cách sử dụng tính
không đẳng hướng của từ trường tinh thể cũng được thảo luận [26]. Hơn nữa,
trong các mô hình kéo lượng tử phi tuyến, chúng ta quan sát được hiệu ứng chắn
photon. Chắn photon có thể được quan sát rõ ràng nhất ở sự kết nối mạnh của
nguyên tử và trường trong các hệ cộng hưởng [27] hoặc trong các hệ cộng hưởng
qubit - phi tuyến [28]. Hiệu ứng chắn photon còn xuất hiện ở mô hình phi tuyến
kiểu Kerr mô tả các bộ cộng hưởng nano [29- 31].
4
Ở nước ta, nhóm tác giả Q. Ho Quang và cộng sự đã nghiên cứu về giao
thoa kế Mach-Zehnder sợi quang phi tuyến [32]. Giao thoa kế này sử dụng bộ
liên kết phi tuyến gồm một sợi quang tuyến tính và một sợi quang phi tuyến,
nhằm làm giảm đi các mối nối, đồng bộ trong cấu hình và nâng cao hiệu suất,
mà vẫn không làm ảnh hưởng đến chức năng của bộ liên kết. Ngoài ra, còn sử
dụng bộ liên kết phi tuyến để phân loại dãy xung [33], trong đó sự phụ thuộc của
hệ số truyền công suất đối với bộ liên kết phi tuyến vào cường độ ra đã được
khảo sát. Nhóm của tác giả A. Nguyen Ba và các cộng sự đã có nhiều công trình
nghiên cứu về các trạng thái phi cổ điển, viễn tải lượng tử và tính chất phản kết
chùm. Trong đó, đã nghiên cứu trạng thái nén đối với các chuẩn hạt exciton
[34], biexiton [35], trạng thái kết hợp bộ ba [36], nén tổng [37] và nén hiệu [38]
trong trường đa mode, rối lượng tử của photon hai mode [39], trạng thái đan rối
đa mode kiểu nhóm [40]. Viễn tải lượng tử đối với trạng thái đan rối là trạng
thái nén dịch chuyển thêm photon hai mode [41], đồng viễn tải trạng thái [42] đã
được khảo sát. Tính chất phản kết chùm bậc cao [43].
Thế giới tự nhiên vi mô vô cùng phức tạp, vì vậy ta không thể nghiên cứu
một cách trực tiếp mà phải mô hình hóa nó bởi các quá trình ngẫu nhiên cổ điển
phụ thuộc thời gian. Hầu hết các mô hình ngẫu nhiên hiện tại, laser có một đặc
điểm chung là một quá trình ngẫu nhiên dừng Gauss với thời gian tương quan
hữu hạn. Việc lấy trung bình giải tích chính xác của các phương trình ngẫu
nhiên dừng Gauss này là rất khó và chỉ trường hợp đơn giản của nhiễu trắng là
thực hiện được [44], còn trong hầu hết các trường hợp các phương trình này
được lấy trung bình bởi các phương pháp gần đúng khác nhau như phương pháp
nhiễu tiền Gauss [45-48]. Những năm gần đây, sự ảnh hưởng của nhiễu trường
laser đến các hiệu ứng tự ion hóa và trong suốt cảm ứng điện từ đã được tập
trung nghiên cứu [49-52]. Những hiện tượng này bắt nguồn từ sự giao thoa
lượng tử, đây là một trong những vấn đề mang tính thời sự cao và có những ứng
dụng tiềm tàng cho các công nghệ lượng tử mới.
5
Các công trình nghiên cứu về bộ nối phi tuyến kiểu Kerr được đề cập ở trên
hầu hết chỉ được khảo sát cho một điều kiện đầu đối với các phương trình vi phân
chuyển động của các biên độ xác suất và trường laser được giả thiết là đơn sắc. Để
thu được các kết quả toàn diện hơn cần khảo sát bài toán cho hầu hết các điều kiện
đầu khác nhau của các phương trình chuyển động được đề cập. Hơn nữa, ánh sáng
laser thực không bao giờ đơn sắc một cách lý tưởng mà luôn có sự thăng giáng
về biên độ và pha. Vì vậy, cần phải nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng phổ laser
đến các thăng giáng lượng tử được hình thành trong các hệ bao gồm hai hệ con,
nhằm phân tích tính khả thi của việc tạo ra các trạng thái có độ đan rối cực đại.
Đây là những vấn đề được quan tâm nhiều do những ý nghĩa lý thuyết và thực
nghiệm lớn lao. Tuy nhiên, những vấn đề này vẫn chưa được nghiên cứu một
cách đầy đủ. Với tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu, chúng tôi chọn “Ứng
dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong
các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr” làm đề tài nghiên cứu của mình. Những nghiên
cứu này là gần với các trạng thái vật lí thực, nghiên cứu ảnh hưởng của độ rộng
phổ laser lên các vấn đề được xem xét, tạo thêm những khả năng mới để điều
khiển chúng.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến
kiểu Kerr liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm một mode
hay hai mode bởi trường ngoài với các điều kiện đầu khác nhau của các mode
trong trường hợp trường ngoài không có nhiễu hoặc có nhiễu trắng.
3. Nội dung nghiên cứu
Tìm các biên độ xác suất cho trường hợp các điều kiện đầu khác nhau đối
với bộ nối phi tuyến kiểu Kerr tương tác tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và
được bơm một mode hay hai mode khi trường liên kết là đơn sắc hay được mô
hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên.
Khảo sát khả năng tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến khi
trường liên kết là đơn sắc hay được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên.
6
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp kéo lượng tử để cắt không gian các trạng thái của
hệ, thường là vô hạn chiều, thành không gian hữu hạn chiều.
Sử dụng phương pháp nhiễu trắng để tìm biểu thức giải tích chính xác của
các biên độ xác suất và các trạng thái kiểu Bell.
5. Bố cục luận án
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận chung, luận án được trình bày trong 3 chương.
Chương 1. Lý thuyết cơ sở của quá trình ngẫu nhiên và mô hình kéo
lượng tử phi tuyến
Trong chương này, chúng tôi trình bày lý thuyết cơ sở của quá trình ngẫu
nhiên như các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser, lý thuyết nhiễu trắng.
Trình bày các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều và mô hình kéo lượng tử phi
tuyến để tạo ra tổ hợp các trạng thái cắt từ các trạng thái vô hạn chiều trong
không gian Hilbert.
Chương 2. Các trạng thái đan rối hình thành trong bộ nối phi tuyến
kiểu Kerr
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu mô hình, nguyên lý hoạt động và
ứng dụng của bộ nối phi tuyến kiểu Kerr. Chúng tôi dẫn ra được hệ phương trình
chuyển động cho các biên độ xác suất, sau đó từ các điều kiện đầu để tìm
nghiệm cho các trường hợp bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính hoặc phi tuyến
được bơm một mode và hai mode. Từ đó, chúng tôi khảo sát xác suất tìm thấy
hệ ở các trạng thái đan rối và trạng thái kiểu Bell với các tham số khác nhau.
Chương 3. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành trạng
thái đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến kiểu Kerr
Trong chương này, chúng tôi dẫn ra nghiệm giải tích của các biên độ xác
suất khi trường liên kết được mô hình hóa bởi nhiễu trắng. Từ đó, chúng tôi
khảo sát sự thay đổi xác suất tìm thấy hệ ở các trạng thái kiểu Bell khi tham số
liên quan đến thành phần nhiễu thay đổi.
7 Chương 1
LÝ THUYẾT CƠ SỞ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
VÀ MÔ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN
Trong ngành quang học, laser có vai trò rất quan trọng mang tính ứng dụng
hàng đầu trong kỹ thuật và đời sống. Sở dĩ laser được ứng dụng rộng rãi trong rất
nhiều lĩnh vực của đời sống là bởi nó có nhiều tính năng ưu việt như tính kết hợp
cao, tính đơn sắc, cường độ lớn. Tuy nhiên, trong các thí nghiệm, laser thực không
bao giờ là đơn sắc hoàn toàn như nó thường được giả định trong các mô hình lý
thuyết mà có dao động cả về biên độ và pha. Những biến động lượng tử này là đối
tượng của cả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm của cộng đồng các nhà vật lý
trên thế giới vì chúng có những ứng dụng tiềm năng cho công nghệ lượng tử, đặc
biệt là công nghệ thông tin lượng tử. Nếu nghiên cứu trong khuôn khổ lý thuyết
lượng tử tính toán sẽ phức tạp. Vì vậy, các trường laser thường được mô hình hóa
bởi quá trình ngẫu nhiên. Việc lấy trung bình một cách chính xác các phương trình
ngẫu nhiên với xung Gauss có thời gian tương quan hữu hạn là rất khó. Trong thực
tế chỉ có trường hợp đặc biệt của nhiễu trắng là được nghiên cứu đầy đủ. Trong
trường hợp này việc mô hình hóa trường laser bằng quá trình ngẫu nhiên đã cho ta
nhiều kết quả thú vị. Tiếp theo, chúng tôi sẽ xem xét các trạng thái lượng tử hữu
hạn chiều, chúng là nguồn tài nguyên của máy tính lượng tử và viễn tải lượng tử.
Việc xử lý và viễn tải thông tin là một hiện tượng phi cổ điển do tính không định
xứ của đan rối lượng tử. Với khát vọng tạo ra máy tính lượng tử và viễn tải lượng
tử, việc sử dụng mô hình kéo lượng tử để tạo ra các trạng thái có độ đan rối cao là
rất cần thiết và có ý nghĩa nền tảng.
1.1. Các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser
1.1.1. Thăng giáng biên độ và pha của laser đơn mode
Biên độ trường bức xạ của laser đơn mode có dạng như sau:
8
, (1.1)
trong đó và các quá trình ngẫu nhiên và độc lập với nhau.
Lý thuyết mô tả độ rộng phổ đồng nhất được trình bày trong Hình 1.1. Giả
sử tập hợp các toán tử được mô tả bởi hệ trong khuôn khổ lí
thuyết lượng tử. Chẳng hạn, và tương ứng là toán tử hủy và toán tử sinh
photon trong trường bức xạ đơn mode hay mô hình của nguyên tử
hai mức trong môi trường hoạt tính với và là tổ hợp của các
ma trận Pauli. Chúng ta đưa vào tập hợp các toán tử để mô tả bể
nhiệt, trong trường hợp bức xạ nhiệt có thể là các toán tử hủy hay toán tử sinh
của các lượng tử trường có năng lượng . Lúc đó, phương trình Heisenberg
mô tả sự tiến triển của hệ là phương trình tuyến tính đối với các biến và .
Chúng ta có thể bỏ qua khi Hamiltonian tương tác chỉ chứa các số hạng
lưỡng tuyến tính. Lúc đó, các phương trình tìm được chỉ chứa các toán tử
được viết dưới dạng [53]:
Bơm
Các nguyên tử của
môi trường hoạt tính
Các thăng giáng chân không (phát xạ tự phát)
, +, z
Các phonon hoặc các nguyên tử va chạm nhau
CÁC HỆ (A) CÁC BỂ NHIỆT (B)
Các thành của buồng cộng hưởng, dao
Các trường bức xạ b, b+
động của các gương, bức xạ nhiệt.
Tương tác nguyên tử + trường
9
, (1.2)
là lực tương tác và lực ngẫu nhiên của hệ. Mặc dù không biết trong đó fi và
trước được giá trị cụ thể của các toán tử , tuy nhiên từ các tính chất cho
trước của hệ bể nhiệt ta có thể tìm được các tính chất thống kê của chúng và từ
đó suy ra các tính chất thống kê của các lực , nhưng nói chung không thực
hiện được việc phân tích chính xác các tính chất này. Tuy nhiên, so với tất cả
các thời gian đặc trưng khác của hệ thì thời gian tương quan thực của các hàm
thường nhỏ hơn do đó hàm tương quan hai thời gian đối với các lực này có
thể được giả thiết có dạng như sau [53]:
, (1.3)
ở đây bik là tham số liên quan đến thành phần ngẫu nhiên.
Pha và biên độ của các phương trình kiểu Langevin sẽ độc lập với nhau
khi tuyến tính hóa lời giải dừng:
(1.4)
trong đó, là hệ số tắt dần, là các nhiễu trắng độc lập với nhau. Khi và
đó các tính chất của các quá trình Gauss, tức là quá trình ngẫu nhiên sao cho mọi
tập hợp hữu hạn của các biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn đa biến, có dạng:
(1.5)
trong đó, b0 và c0 lần lượt là các tham số liên quan đến thành phần ngẫu nhiên của
. Ta dễ dàng thấy rằng quá trình Orstein-Uhlenbeck [54], quá trình và
Gauss-Markov dừng, của phương trình (1.4) là đạo hàm của pha và biên độ, chúng
là các quá trình Gauss có giá trị trung bình không đổi với hàm tương
quan được viết dưới dạng:
10
. (1.6)
Từ tính chất Gauss của và hàm tương quan (1.6), ta thấy rằng quá trình
Orstein-Uhlenbeck là một quá trình Markov [55], tức là một quá trình ngẫu
nhiên trong đó giá trị hiện tại của một biến chỉ liên quan đến việc dự đoán giá trị
tương lai mà không liên quan đến số liệu quá khứ của biến đó. Trong các mô
hình khuếch tán pha [55], sự thăng giáng của biên độ rất nhỏ so với sự thăng
giáng pha nên người ta có thể bỏ qua đối với mô tả các mode laser.
Trên đây chúng tôi đã trình bày hình thức luận dẫn đến sự mở rộng đồng
nhất của laser. Khi tính đến cả sự mở rộng không đồng nhất thì cần phải lấy
trung bình các kết quả cuối cùng theo phân bố thống kê của tham số tương ứng
trong các phương trình động lực học liên quan đến tính không đồng nhất của
môi trường hoạt tính.
1.1.2. Mô hình laser đơn mode với thăng giáng bơm
Short, Kaminishi và các cộng sự [56, 57] đã chỉ ra rằng trong thực
nghiệm, các hiện tượng thăng giáng đối với laser màu đơn mode có đặc tính
khác rõ ràng so với những tiên đoán bằng lý thuyết truyền thống [53, 58]. Các
kết quả thực nghiệm đã được Kaminishi và các cộng sự [57] sử dụng lý thuyết
Haken để mô tả. Phương trình đối với biên độ phức của trường trong lý thuyết
Haken có thể được viết dưới dạng [59]:
, (1.7)
trong đó tương ứng là tham số bơm và tham số bão hòa của môi và
trường hoạt tính gây ra sự hoạt động ổn định trên ngưỡng và là nhiễu trắng
mô tả các thăng giáng chân không hay phát xạ tự phát (Hình 1.1). Tuy nhiên,
Kaminishi và các cộng sự [57] đã chỉ ra rằng phương trình (1.7) không phù hợp
để giải thích các kết quả thực nghiệm. Lần đầu tiên các nhà khoa học đã chỉ ra
rằng các thăng giáng bơm có thể đóng vai trò quan trọng. Từ ý tưởng này
11 Graham và cộng sự [60] đã giải thích tốt các kết quả thực nghiệm trong [57]
bằng cách giả thiết rằng tham số bơm là nhiễu trắng đồng thời bỏ qua trong (1.7).
Tuy nhiên, theo Short và các cộng sự [56] lý thuyết này vẫn chưa mô tả
tốt một số kết quả thực nghiệm nên họ đã thay nhiễu trắng bằng nhiễu màu, vì
thời gian hồi phục của nhiễu bơm có thể không đủ nhỏ khi so với các thời gian
đặc trưng khác của hệ laser màu. Tuy nhiên khi đó phương trình:
, (1.8)
không thể tìm được nghiệm giải tích mà chỉ được giải lặp trên máy tính bởi
Dixit và Sahni [61] và thu được các kết quả phù hợp với thí nghiệm của Short và
cộng sự.
1.1.3. Laser đa mode và ánh sáng ngẫu nhiên
Biên độ phức của trường bức xạ đối với laser đa mode có dạng [62]:
, (1.9)
trong đó là số mode, là các biên độ không đổi của mode m, là các tần
số tương đối tính từ tần số trung bình và là các pha ngẫu nhiên độc lập với
nhau. Khi các pha này được phân bố đồng đều trong đoạn thì từ các tính
chất của pha ta có:
(1.10)
Phiếm hàm đặc trưng của quá trình [27] có dạng sau:
, (1.11)
trong đó là hàm Bessel bậc không [63], là một hàm bất kỳ và
trong khi biên độ của chúng lại . Giả thiết rằng số mode
12
tiến đến 0, lúc đó cường độ trung bình:
, (1.12)
là hằng số. Ta sẽ có tiệm cận [64]:
, (1.13)
và khi biên độ , ta thu được kết quả sau:
. (1.14)
Để tính được hàm tương quan khi không biết được dạng
tường minh của nó, cần phải biết sự liên hệ giữa và . Do đó, hàm tương
quan thường được giả thiết dưới dạng [65]:
. (1.15)
Khi đó ta có thể kết luận rằng ở giới hạn vô cùng của số mode, ánh sáng laser
mode có tính chất thống kê tương tự quá trình bức xạ nhiệt.
1.2. Lý thuyết nhiễu trắng
Xét tổng có dạng như sau:
, (1.16)
trong đó mỗi (k = 1, 2,... n) là một nhiễu điện tín độc lập. Dễ nhận thấy
rằng hàm đặc trưng cho quá trình (1.16) sẽ được thừa số hóa, nghĩa là .
Khi đó, ta có thể viết phương trình vi tích phân cho phiếm hàm đặc trưng của
nhiễu điện tín [66] như sau:
, (1.17)
là thời gian tương quan. Khi
là hằng số cho trước, với , ta thu được
, do đó ,
13
(1.18)
.
Nghiệm của phương trình (1.18) có dạng:
, (1.19)
trong đó
. (1.20)
Nếu quá trình có phiếm hàm đặc trưng dạng (1.19) là một quá trình Gauss
thì quá trình (1.16) hội tụ về quá trình Gauss. Xét trường hợp giới hạn, xuất phát
từ các đặc tính Markov và tính chất dừng của nhiễu điện tín, ta có thể kết luận
rằng quá trình này cũng là quá trình Markov dừng. Theo định lý Doob, quá trình
(1.16) gọi là nhiễu tiền Gauss vì nó chính là quá trình Ornstein-Uhlenbeck [54].
Trường hợp khi thời gian tương quan
thì nhiễu Gauss trong biểu thức (1.19) sẽ trở thành nhiễu trắng. Như vậy, nhiễu trắng là nhiễu Gauss với
thời gian tương quan bằng không. Nhiễu trắng có tính chất sau:
. (1.21)
Bây giờ, ta sẽ xem xét trường hợp tuyến tính đơn giản nhất có dạng như sau:
, (1.22)
ở đây là một véctơ,
không thể giải được bằng giải tích khi các hàm bất kỳ phụ thuộc thời gian
là quá trình Ornstein-Uhlenbeck. Phương trình (1.22) và không thỏa mãn các quy tắc giao hoán. Để khắc phục vấn đề này, ta sẽ sử
dụng phương pháp đại số Lie. Một thủ tục gần đúng đối xứng được biểu diễn
theo phương pháp cumulant đã được phát triển bởi Fox [67]. Qua khai triển, ta
thu được giá trị trung bình của phương trình vi phân sau:
, (1.23)
trong đó mỗi số hạng cumulant (i = 1, 2,...) có bậc . Khai triển (1.23)
theo một số hữu hạn các số hạng có ưu điểm là không cần những giả thiết giới
14
hạn của quá trình . Ở đây, điều kiện chỉ là tồn tại thời gian tương quan nhỏ,
tuy nhiên phương pháp này có phạm vi ứng dụng rất hạn chế. Vì vậy, ta có thể
vi phân thường nếu giả sử
chuyển bài toán trung bình bất kỳ thành hệ ma trận vô hạn của các phương trình là quá trình Markov [68], khi đó các phương trình có thể giải bằng phương pháp phân số chuỗi. Dạng nghiệm của phương
trình cho đại lượng trung bình có dạng sau:
, (1.24)
trong đó biến đổi Laplace của phần chính có dạng ma trận phân số chuỗi.
Chẳng hạn, ta xét quá trình Ornstein-Uhlenbeck [54]:
. (1.25)
Khi đó, quá trình điện tín thỏa mãn phương trình vi phân có dạng như sau:
, (1.26)
ở đây là hàm phụ thuộc thời gian bất kỳ của . Áp dụng đẳng thức này
nhiều lần cho phương trình sau:
, (1.27)
sử dụng đồng thời các tính chất của quá trình điện tín ,
trong đó , ta nhận được hệ thức truy hồi có dạng:
, (1.28)
với và:
. (1.29)
Nghiệm của phương trình (1.22) là véctơ với:
15
. (1.30)
Có thể thấy rằng các công thức (1.25) và (1.30) khác nhau các thừa số
dạng nhưng giữa hai kết quả có sự tương đồng với nhau. Khi các
thừa số này sẽ xấp xỉ phần tử đơn vị và lúc đó nhiễu tiền Gauss sẽ hội tụ đến quá
trình Ornstein-Uhlenbeck. Từ đó, ta thấy rằng chỉ cần một vài số hạng đầu tiên
của phân số chuỗi cũng đủ để nó hội tụ nhanh đến quá trình Ornstein-
Uhlenbeck. Vì vậy, đối với bài toán tuyến tính này, quá trình chỉ cần một vài
nhiễu điện tín cũng có thể gần đúng rất tốt với quá trình Ornstein-Uhlenbeck.
Áp dụng quá trình (1.30) đối với nhiễu một điện tín, ta thu được:
. (1.31)
Thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình (1.24), ta thu được kết quả:
(1.32)
Từ đó tìm được:
. (1.33)
Sử dụng tính chất (1.21), khi thời gian tương quan thì nhiễu điện tín sẽ trở
thành nhiễu trắng và với , ta tìm được:
. (1.34)
Khi đó, ta sẽ tìm được kết quả rất quan trọng trong lý thuyết của quá trình ngẫu
nhiên có dạng như sau:
. (1.35)
Ta tổng quát hóa phương trình (1.22) cho quá trình ngẫu nhiên phức và thu được
16
phương trình:
, (1.36)
, , ở đây là các ma trận hằng. Theo công trình [66], ta tìm được
phương trình trung bình có dạng sau:
, (1.37)
trong đó, a0 là tham số liên quan đến thành phần nhiễu.
1.3. Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều
1.3.1. Trạng thái n-photon
Các trạng thái hữu hạn chiều sẽ được mô tả bắt đầu từ trường hợp đơn
giản nhất của các trạng thái Fock n-photon của trường điện từ. Những trạng thái
này có dạng toán học giống các trạng thái mô tả dao động tử điều hòa lượng tử.
Chúng đã được nghiên cứu mở rộng trong các tài liệu [69, 70] và được mô tả
như các trạng thái riêng của toán tử số photon được định nghĩa bằng các toán
tử sinh và hủy photon (là các hạt boson) lần lượt là và
, (1.38)
và có thể được biểu diễn như sau:
. (1.39)
Các toán tử và tác dụng lên các trạng thái Fock n-photon như
sau:
(1.40)
Vì thế, bằng cách tác dụng lần lượt toán tử sinh lên trạng thái chân không
, ta có thể thu được trạng thái được biểu diễn bởi công thức có dạng sau:
. (1.41)
17
Trạng thái Fock đa mode có thể được định nghĩa bằng cách sử dụng các
toán tử riêng tương ứng với các mode khác nhau của trường. Chẳng hạn, các
biểu thức của các toán tử hủy và sinh tương ứng là và được định nghĩa
cho mode thứ k tác dụng lên các trạng thái l-mode có dạng sau [69, 70]:
(1.42)
ở đây trạng thái l-mode có thể được kí hiệu:
, (1.43)
hay
, (1.44)
trong đó kí hiệu tập hợp số photon trong mỗi mode.
Khi đó, biểu thức của trạng thái chân không đa mode có thể được trình
bày lại dưới dạng:
, (1.45)
trong khi từ trạng thái chân không tương ứng, ta có thể thu được mỗi trạng thái
l-mode ứng với số photon đã cho trong mỗi mode:
. (1.46)
1.3.2. Trạng thái kết hợp hữu hạn chiều
Ánh sáng kết hợp có thể được xem là ranh giới giữa ánh sáng cổ điển và
phi cổ điển bởi vì trạng thái kết hợp tuy là trạng thái cổ điển nhưng các tính chất
của nó đều nằm ở giới hạn cuối cùng còn có thể chấp nhận được theo quan điểm
cổ điển. Chúng có thể được định nghĩa như trạng thái riêng của toán tử hủy
photon
, (1.47)
ở đây p là số phức liên quan với cường độ trường cổ điển. Chẳng hạn, giá trị
18
bằng số photon trung bình trong điện trường được mô tả bởi các trạng thái
.
Trong cơ sở các trạng thái Fock, trạng thái kết hợp có thể được biểu diễn
dưới dạng sau [71, 72]:
, (1.48)
khi đó, xác suất quan sát n photon được biểu diễn bởi biểu thức:
. (1.49)
Phân bố xác suất này chính là phân bố Poisson cho trường hợp . Các
trạng thái kết hợp nói chung là không trực giao với nhau, có nghĩa là:
, (1.50)
tuy nhiên từ biểu thức (1.50), chúng ta thấy rằng với những giá trị lớn của
thì những trạng thái này gần như trực giao với nhau.
Trạng thái kết hợp có thể được mô tả tương tự sự dịch chuyển của trạng
thái chân không do sự thăng giáng của chúng tương tự nhau. Tính chất này đã
được ứng dụng trong định nghĩa trạng thái kết hợp của Glauber [72] và được
biểu diễn bởi công thức có dạng như sau:
, (1.51)
trong đó toán tử dịch chuyển được biểu diễn dưới dạng:
. (1.52)
Theo cách đó, các nhà khoa học đã đề xuất một định nghĩa tương tự của Glauber
để xây dựng các trạng thái kết hợp hữu hạn chiều, nhưng họ đã sử dụng định
nghĩa các toán tử sinh và hủy trong không gian Hilbert hữu hạn chiều [73, 74].
Theo Buzek và các cộng sự [73], trong không gian Hilbert s chiều, các toán tử
19
sinh và hủy có thể được biểu diễn lại theo các toán tử chiếu dưới dạng:
(1.53)
trong đó trạng thái số được định nghĩa cho dao động tử điều hòa trong không
gian s + 1 chiều và tuân theo các hệ thức sau:
(1.54)
và các toán tử và tác dụng vào các trạng thái n-photon được xác định bởi
các quan hệ sau:
(1.55)
Cần lưu ý rằng quan hệ giao hoán cho các toán tử được xác định như vậy có dạng:
(1.56)
trong khi toán tử số được cho bởi công thức sau:
. (1.57)
Theo Buzek và các cộng sự [73], các chỉ số được sử dụng trong tổng của các
định nghĩa trên có giá trị thay đổi từ một chứ không phải từ không.
Ngoài ra, áp dụng sự mở rộng trạng thái kết hợp trong một cơ sở trạng
thái số, Kuang và cộng sự [75] đã định nghĩa các trạng thái kết hợp tương tự như
phương trình (1.48), nhưng với giới hạn trên của tổng hữu hạn có dạng:
, (1.58)
ở đây hệ số chuẩn hóa có thể được biểu diễn bởi đa thức Laguerre suy rộng
như sau:
20
. (1.59)
Sự định nghĩa như vậy tương đương với trường hợp trong đó trạng thái
được tạo ra do kết quả của sự tác dụng toán tử vào trạng thái chân không .
Các trạng thái này thường được gọi là các trạng thái kết hợp cắt.
1.3.3. Trạng thái đan rối
1.3.3.1. Khái niệm qubit
Ngày nay, thông tin được lưu trữ, tính toán và xử lý thông qua các bit,
trong đó mỗi bit chỉ có thể tồn tại ở trạng thái 0 hoặc 1. Tuy nhiên, trong thời đại
ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật, sự bùng nổ của
công nghệ cao đặt ra yêu cầu lượng thông tin lưu trữ và tốc độ xử lý ngày càng
tăng lên nhưng kích thước của các vi mạch ngày càng nhỏ lại. Công nghệ vi
mạch tiến tới các giới hạn mà vật lý cho phép. Để vượt qua khó khăn này, lý
thuyết thông tin lượng tử đã ra đời. Thuật ngữ qubit hay bit lượng tử, một đơn vị
của thông tin lượng tử, là một hệ lượng tử hai trạng thái được biểu diễn trong
không gian Hilbert hai chiều, do Benjamin Schumacher đề xuất lần đầu tiên vào
năm 1993, có dạng như sau [76]:
, (1.60)
ở đây các số phức và thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa , hai trạng
thái và lập thành một hệ cơ sở trực chuẩn. Lúc đó, chúng ta có thể biểu
diễn các trạng thái này trong không gian Hilbert hai chiều dưới dạng ma trận:
, . (1.61)
Từ đó, trạng thái của một qubit được tham số hóa có thể được viết dưới dạng:
= . (1.62)
21 Nó có thể biểu diễn bằng một điểm trên mặt cầu Bloch (Hình 1.2) tương ứng với
mỗi cặp giá trị của các tham số thực và ( và biến đổi từ 0 đến 2π). Kết
quả là có vô số các tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái và trên mặt cầu.
Như vậy, về lý thuyết qubit có thể lưu trữ được một lượng thông tin vô cùng lớn.
Hơn nữa, việc xử lý các bit trong một vi mạch của máy tính cổ điển được tiến
hành trong các nhánh một cách song song với nhau. Trong khi, trong mạch logic
của máy tính lượng tử, nếu các qubit rối với nhau trong cùng một trạng thái thì
trạng thái của một qubit thay đổi sẽ làm trạng thái của các qubit khác thay đổi
ngay lập tức. Điều này khẳng định rằng máy tính lượng tử có tốc độ xử lý thông
tin nhanh hơn rất nhiều so với máy tính cổ điển.
Ví dụ điển hình là để giải bài toán phân tích ra thừa số nguyên tố của một
số nguyên dài hàng trăm chữ số, bằng siêu máy tính truyền thống hiện nay thì
mất khoảng 14 tỷ năm, nhưng nếu sử dụng máy tính lượng tử thì bài toán này
chỉ thực hiện trong khoảng vài giây [77]. Do đó, trong tương lai gần một cuộc
cách mạng thực sự về công nghệ thông tin sẽ xuất hiện, khi máy tính lượng tử
được tạo ra bởi nguồn tài nguyên là các qubit.
Tuy nhiên, vấn đề khó khăn đặt ra là có bao nhiêu thông tin được biểu
22 diễn bằng một qubit và bằng cách nào để thao tác trên các qubit. Về nguyên tắc,
do mặt cầu Bloch có vô số điểm nên mỗi qubit sẽ lưu trữ được vô số thông tin.
Nhưng khi thao tác trên mỗi qubit, theo quy luật lượng tử, chúng ta sẽ không
chắc chắn tìm được giá trị nào, mà chỉ có thể tìm được một giá trị tương ứng với
xác suất nào đó. Đồng thời, trạng thái của qubit cũng sẽ bị phá vỡ khi thực hiện
phép đo, trạng thái của hệ chuyển sang trạng thái riêng tương ứng với trị riêng
của toán tử thực hiện phép đo mà chúng ta nhận được một giá trị ngẫu nhiên với
xác suất nào đó.
1.3.3.2. Trạng thái đan rối
Trạng thái đan rối (entangled state) là trạng thái của một hệ lượng tử gồm
nhiều hệ con mà trạng thái lượng tử của chúng có mối quan hệ ràng buộc lẫn
nhau, dù chúng cách xa nhau tới mức nào [77, 78]. Trong không gian Hilbert là
tích tenxơ của các không gian Hilbert hai chiều:
, (1.63)
Trạng thái lượng tử tổng quát nhất của hệ n qubit có dạng như sau:
, (1.64)
ở đây ( = 1, 2,... 2n) là các hệ số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:
. (1.65)
Ta gọi , ,..., lần lượt là trạng thái trong các không gian Hilbert ,
,..., tương ứng. Lúc đó, trạng thái lượng tử n qubit gọi là trạng
thái phân tách được nếu nó luôn được biểu diễn dưới dạng tích tenxơ của các
trạng thái ,..., như sau: ,
. (1.66)
Ngược lại, nếu trạng thái luôn được biểu diễn dưới dạng
thì nó được gọi là trạng thái đan rối của hệ n qubit.
23
Ta không thể xác định được trạng thái riêng của từng hệ mà chỉ có thể xác
định được trạng thái chung của các hệ lượng tử đan rối với nhau. Nếu muốn xác
định trạng thái riêng của một hệ con nào đó thì phải thực hiện phép đo thích hợp
lên hệ con đó. Khi các hệ con không đan rối với nhau thì trạng thái của chúng là
độc lập nhau nên các phép đo lên một hệ con nào đó không hề ảnh hưởng đến
trạng thái của các hệ con khác. Ngược lại, khi các hệ đan rối với nhau, trạng thái
của chúng không còn độc lập nữa. Do đó, mỗi sự tác động đến một hệ con thì sẽ
ngay lập tức làm ảnh hưởng đến các hệ con khác của nó. Ta có thể thu được một
kết quả ngẫu nhiên với xác suất xác định khi thực hiện phép đo trên một hệ con
nào đó, từ kết quả này có thể xác định được trạng thái của các hệ con còn lại mà
không cần thực hiện các phép đo trên chúng. Kết quả là tốc độ xử lý thông tin
trên các hệ đan rối nhanh hơn rất nhiều so với các hệ không đan rối. Ngoài ra,
kết quả đo được trên một hệ con cho phép ta xác định được trạng thái của các hệ
con còn lại dù chúng rất xa nhau. Đây chính là nền tảng cơ bản của hiệu ứng
viễn tải lượng tử.
1.3.4. Các trạng thái Bell
Các trạng thái Bell là những trạng thái đan rối đa mode đơn giản nhất.
Khái niệm trạng thái này được đặt theo tên của John F. Bell bởi vì nó liên quan
đến bất đẳng thức nổi tiếng của ông [79] và đã được phát triển bởi Clauser và
cộng sự [80]. Do mối liên hệ của các trạng thái Bell với nghịch lý EPR nên trong
trường hợp riêng hai qubit, chúng thường được gọi là cặp EPR.
Chúng tôi chỉ xét trường hợp đơn giản gồm hai trạng thái chân không và
một photon trong mỗi mode và giả thiết rằng đối với mỗi mode được dán nhãn
là A hoặc B, ta có 0 hoặc 1 photon, lúc đó các trạng thái Bell có thể được biểu
diễn dưới dạng sau [19]:
24
(1.67)
Các trạng thái Bell là những trạng thái hai qubit và đan rối cực đại. Mỗi phép đo
cụ thể đối với một trạng thái Bell chỉ có thể xác định được thông tin về tính chẵn
lẻ hoặc về pha của trạng thái mà không thể xác định được trạng thái đan rối của
cả hệ.
Khái niệm của các trạng thái Bell có thể được mở rộng thành trạng thái có
nhiều photon trong hệ, đó là trạng thái NOON đã được đề xuất bởi Sanders [81]
bằng cách sử dụng trạng thái thay cho trạng thái một photon . Các trạng
thái NOON đóng một vai trò quan trọng trong thông tin lượng tử và có thể được
biểu diễn như sau
, (1.68)
ở đây tham số kí hiệu một pha lượng tử bất kỳ.
Ngoài ra, khái niệm các trạng thái Bell cũng được mở rộng thành các
trạng thái Bell tổng quát biểu diễn dưới dạng [82]:
, (1.69)
ở đây D là một số nguyên dương lớn hơn 2.
1.3.5. Cách tính độ đan rối của một trạng thái lượng tử
Entropy là một khái niệm của vật lý thống kê được dùng cho lý thuyết
thông tin lượng tử, đo lường mức độ không chắc chắn có trong trạng thái của
một hệ vật lý. Có thể sử dụng entropy von Neumann để xác định độ đan rối của
các trạng thái n qubit [83-85]. Trạng thái của một hệ lượng tử tổng quát có thể
25
được biểu diễn bởi ma trận mật độ dưới dạng
, (1.70)
với là trạng thái của hệ có xác suất tương ứng là . Tuy nhiên, khi chỉ đề
cập đến hệ lượng tử hai thành phần với trạng thái được mô tả bởi ma trận mật độ
như (1.70) thì ma trận mật độ của hai hệ con A và B chính chính là các ma trận
mật độ rút gọn của (1.70), là vết theo B (A) của ma trận toàn phần của hai hệ con
A và B được viết tương ứng dưới dạng [84, 85]:
(1.71)
Tính độ đan rối chính là phép đo mức độ vướng víu giữa các thành phần
trong hệ. Phép đo này rất phức tạp đối với các trạng thái đan rối hỗn tạp. Nhưng
ta lại có thể đo một cách chính xác hay ít nhất cũng có thể so sánh mức độ đan
rối giữa các trạng thái cùng một họ rất dễ dàng đối với các trạng thái thuần. Giữa
hai hệ con A và B không có bất kỳ sự ràng buộc nào khi các ma trận mật độ rút
gọn có tính chất của một trạng thái thuần. Ngược lại, giữa hai hệ con A và B có
một mối liên kết nào đó, tức là hệ AB là hệ đan rối khi các ma trận mật độ rút
gọn là các ma trận mật độ của trạng thái hỗn tạp. Khi mức độ hỗn tạp của các
ma trận rút gọn càng lớn thì sự tương quan giữa hai thành phần của hệ càng
mạnh. Vì vậy, độ đan rối của trạng thái thuần hai thành phần có thể được
xác định thông qua entropy von Neumann của một trong hai hệ con A và B:
, (1.72)
ở đây và là các trị riêng tương ứng của các ma trận rút gọn và .
Tính độ đan rối bằng entropy von Neumann có ưu điểm này là có độ chính xác
tuyệt đối dựa trên quan điểm thống kê. Tuy nhiên, việc xác định nó đòi hỏi phải
chéo hóa ma trận mật độ rút gọn là rất khó cho các trạng thái bất đối xứng.
Đối với độ đan rối của hệ lượng tử tổng quát có ma trận mật độ như (1.70)
26 được định nghĩa như là đan rối trung bình của các trạng thái thuần phân ly, giảm
đến mức tối thiểu trên tất cả sự phân ly của ma trận mật độ [85]:
. (1.73)
Đối với một cặp qubit, giá trị cực tiểu trong (1.73) có thể được biểu diễn như
một hàm tường minh của ma trận mật độ . Công thức này có thể được gọi là
phép biến đổi đảo spin, nó được áp dụng cho các trạng thái với một số lượng
qubit tùy ý. Đối với một trạng thái thuần của một qubit đơn, đảo spin, được ký
hiệu dưới dạng [86]:
, (1.74)
ở đây là liên hợp phức của trạng thái , còn là ma trận Pauli chuyển pha
có dạng .
Để biểu diễn một đảo spin đối với n qubit, người ta áp dụng biến đổi trên cho
mỗi qubit riêng lẻ. Ma trận mật độ tổng quát của hệ hai qubit A và B có dạng
như (1.70). Lúc đó, ma trận mật độ đảo spin có dạng:
, (1.75)
Mặc dù chúng ta đã giới thiệu khái niệm đảo spin chủ yếu là để áp dụng
cho trạng thái hỗn tạp. Tuy nhiên, khái niệm này cũng thuận tiện trong việc tính
độ đan rối của trạng thái thuần hai qubit. Khi đó công thức (1.72) có thể được
biểu diễn dưới dạng
, (1.76)
trong đó, concurrence được định nghĩa như sau:
. (1.77)
Khi đó, độ đan rối của trạng thái này được định nghĩa như sau:
, (1.78)
27
ở đây
. (1.79)
Khi entropy đan rối thay đổi đơn điệu từ 0 đến 1 khi tang từ 0
đến 1, do đó người ta có thể sử dụng concurrence như một phép đo độ đan rối
theo đúng nghĩa của nó.
Khi concurrence thay đổi từ 0 đến 1 thì giá trị của entropy đan rối cũng thay đổi
từ 0 đến 1. Entropy đan rối bằng 0 đối với trạng thái phân tách được, còn đối với
trạng thái có độ đan rối cực đại, nó có giá trị bằng 1.
Bây giờ chúng ta sử dụng đảo spin và để xây dựng các công thức
tính độ đan rối của trạng thái hỗn tạp hai qubit có ma trận mật độ :
, (1.80)
trong đó
, (1.81)
với ( ) là các trị riêng của ma trận Hermitian:
, (1.82)
và thỏa mãn điều kiện .
1.4. Mô hình kéo lượng tử phi tuyến
Mô hình kéo lượng tử là nhóm các phương pháp hay những phương án vật lý
có khả năng tạo ra sự chồng chập hữu hạn các trạng thái bằng cách cắt các trạng thái
của hệ trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Theo cách này, chúng thuộc một
nhóm rộng hơn của các phương pháp công nghệ xử lý trạng thái lượng tử. Kéo lượng
tử ở đây là trường hợp riêng của các hệ quang học, dựa trên các phương pháp quang
học mà việc cắt có thể đạt được trong nhiều cách khác nhau. Khi phương pháp này
sử dụng các môi trường quang học phi tuyến để thu được trạng thái hữu hạn chiều, ta
sẽ gọi chúng là các kéo lượng tử phi tuyến (nonlinear quantum scissors - NQS).
1.4.1. Môi trường phi tuyến Kerr
Khi điện từ trường lan truyền trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng,
28 sẽ gây ra các kích ứng lên nguyên tử và tạo ra các phân cực vi mô, như một sự
“phản ứng” lại của môi trường với tác dụng của trường điện từ. Đại lượng đặc
trưng cho phản ứng của môi trường gọi là véctơ phân cực điện và kí hiệu là
. Theo điện động lực học, véctơ cảm ứng điện của môi trường sẽ
phụ thuộc vào tọa độ không gian và thời gian và được biểu diễn dưới dạng [87]:
, (1.83)
là độ điện thẩm của chân không. Cũng có thể đưa vào véctơ phân cực
ở đây
từ tương tự như vậy. Tuy nhiên, việc đưa vào một đại lượng như vậy theo [88]
sẽ không có ý nghĩa. Do đó, véctơ cảm ứng từ phụ thuộc vào tọa độ không gian
và thời gian có thể được biểu diễn dưới dạng sau:
, (1.84)
với tương ứng là véctơ là độ từ thẩm của chân không. và
cường độ điện trường và từ trường, được xác định theo các phương trình
Maxwell như sau:
(1.85)
trong đó là véctơ cảm ứng từ, là véctơ mật độ dòng và là mật
độ điện tích tự do. Nếu chỉ xét đối với môi trường điện môi thì và
sẽ bằng không. Trong trường hợp điện từ trường yếu, nghĩa là các véctơ cường độ điện
các nhiễu loạn nhỏ lên nguyên tử. Khi đó, véctơ
trường và từ trường rất nhỏ so với trường nội nguyên tử, chúng có thể được xem như sẽ phụ thuộc tuyến tính vào . Tuy nhiên, đối với những trường laser mạnh có véctơ cường độ điện trường
độ lớn véctơ trường so sánh được với độ lớn các véctơ trường nội nguyên tử, véctơ
29
phân cực điện sẽ phụ thuộc phi tuyến vào véctơ cường độ điện trường
như sau [89]:
, (1.86)
là độ cảm tuyến tính của môi trường, còn , ,..., lần lượt là độ
cảm phi tuyến bậc 2, bậc 3,..., bậc n của môi trường.
Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, luôn có sự đối xứng đối với phép
nghịch đảo tọa độ không gian nên các thành phần phi tuyến bậc chẵn của môi trường
bị triệt tiêu [88]. Thêm vào đó, từ độ cảm phi tuyến bậc 5 trở lên sẽ rất nhỏ so với độ
cảm phi tuyến bậc 3 nên có thể bỏ qua. Khi đó, véctơ phân cực điện môi chỉ gồm các
thành phần phụ thuộc tuyến tính và phi tuyến bậc 3 vào véctơ cường độ điện trường:
. (1.87)
Môi trường phi tuyến như trên được gọi là môi trường phi tuyến Kerr. Khi đó, véctơ
cảm ứng điện của môi trường có thể được viết lại dưới dạng sau:
, (1.88)
còn biểu thức Hamiltonian của trường được viết dưới dạng:
(1.89)
Ta xét trường hợp đơn giản khi trường là đơn mode, còn sóng điện từ lan
truyền dọc theo trục z trong khoảng từ 0 đến L. Lúc đó, thành phần điện trường
và từ trường phân cực dọc tương ứng theo trục x và trục y. Với các điều kiện
biên E(0, t) = E(L, t) = 0, B(0, t) = B(L, t) = 0, nghiệm của hệ phương trình
Maxwell (1.85) có dạng sau [90]:
, (1.90)
30
, (1.91)
ở đây là số sóng, q(t) và p(t) là các thành phần phụ thuộc thời gian và
thỏa mãn điều kiện . Từ đó, Hamiltonian (1.89) được viết lại
như sau:
. (1.92)
Thay các biểu thức (1.90) và (1.91) vào Hamiltonian (1.92) ta tìm được:
. (1.93)
Ta tiến hành lượng tử hóa trường theo nguyên lý tương ứng bằng cách
thay thế Hamiltonian (1.93) bằng toán tử Hamilton:
(1.94)
ở đây
(1.95)
ở đây lần lượt là các toán tử hủy và sinh photon.
Thay biểu thức (1.95) vào biểu thức (1.94), ta thu được biểu thức của toán tử
Hamilton:
. (1.96)
Bởi vì mốc để tính năng lượng là tùy ý nên có thể chọn mốc là năng lượng
của chân không và coi như bằng không. Lúc đó toán tử Hamilton phải được viết
dưới dạng tích chuẩn, tức là toán tử sinh bên trái và toán tử hủy bên phải. Nếu
31 lấy trung bình trong chân không thì các số hạng khác sẽ triệt tiêu. Khi đó, toán
tử Hamilton (1.96) có thể được viết lại dưới dạng sau:
. (1.97)
Từ đó có thể thấy rằng, vì tính chất phi tuyến của môi trường nên biểu thức của
toán tử Hamilton đã xuất hiện các thành phần phi tuyến . Đây chính là cơ
sở để xây dựng mô hình kéo lượng tử phi tuyến dựa trên các dao động tử phi
tuyến Kerr ở phần tiếp theo.
1.4.2. Kéo lượng tử phi tuyến dựa trên các dao động tử phi tuyến Kerr
NQS là một nhóm những thiết bị quang học trong đó các phần tử phi
tuyến như các dao động tử phi tuyến được sử dụng [90, 91]. Những thiết bị này
cắt các trạng thái quang học trong không gian Hilbert vô hạn chiều thành các
trạng thái gồm một vài n-photon được mô tả hoàn toàn trong không gian Hilbert
hữu hạn chiều. Đã có một số đề xuất về các thiết bị như vậy và nói chung chúng
có thể được chia thành các nhóm khác nhau theo số mode của các trạng thái thu
được. Quá trình cắt được liên kết chặt chẽ với viễn tải trạng thái trong các thiết
bị NQS và các hiện tượng lượng tử khác. Chẳng hạn, sự tạo thành các trạng thái
đan rối cực đại hoặc sự chết và hồi sinh đan rối xuất hiện trong những điều kiện
đặc biệt [92]. Người ta có thể tìm các trường hợp về NQS được sử dụng để tạo
ra các trạng thái cắt một hoặc hai mode.
1.4.2.1. Kéo lượng tử phi tuyến đối với các trạng thái một mode
Trong nhóm NQS, dựa trên các phần tử quang học phi tuyến, có các thiết
bị tạo ra các trạng thái Fock đơn mode hoặc đa mode. Trước hết, ta sẽ tập trung
vào các hệ có thể tạo ra các trạng thái hữu hạn chiều đơn mode của trường điện
từ. Trong số đó, người ta cần đề cập đến phương pháp “cắt” các toán tử trường
được đề xuất trong nghiên cứu của Leoński và Tanaś [93] và được phát triển
trong nghiên cứu của Leoński và các cộng sự [94].
Như đã đề cập trong phần trước, trạng thái kết hợp hữu hạn chiều có thể
tìm được bằng cách sử dụng toán tử dịch chuyển tác động lên trạng thái
32 chân không, trong đó các toán tử sinh và hủy photon được định nghĩa trong
không gian Hilbert hữu hạn chiều (xem các Phương trình (1.51) - (1.57)), trái
với trạng thái kết hợp cắt, được định nghĩa như một hiệu ứng cắt của sự mở rộng
trạng thái kết hợp Glauber trong cơ sở trạng thái n-photon (các phương trình
(1.58) và (1.59)). Để tạo ra trạng thái kết hợp hữu hạn chiều, chúng ta có thể áp
dụng mô hình được đề xuất bởi Leoński và Tanaś [93]. Khi biên độ và thời gian
giữa các kích có giá trị phù hợp thì trường trong một buồng, kích theo chu kỳ
bởi các xung cổ điển và chứa một môi trường phi tuyến Kerr, có thể tạo ra trạng
thái lượng tử một photon, toán tử unita mô tả sự tiến triển của hệ được viết dưới
dạng:
, (1.98)
với là hệ số phi tuyến, T biểu thị thời gian giữa các lần kích tiếp theo và
là toán tử số photon. Tham số là một đại lượng mô tả độ mạnh của sự kích tỷ lệ
với biên độ của trường kích cổ điển từ bên ngoài. Nếu giả định rằng ban đầu hệ ở
trạng thái chân không, kích thích yếu (tức là ), kích nhiều lần và thời gian
cho mỗi lần kích đủ lâu thì có thể tạo ra trạng thái một photon với độ chính xác
cao, với điều kiện là các quá trình tắt dần đủ nhỏ. Hơn nữa, đối với trường hợp
này, quá trình tiến triển của hệ trở nên khép kín trong tập hợp hai trạng thái: trạng
thái chân không và trạng thái một photon .
Người ta có thể thay đổi mô hình này và sau khi có những điều chỉnh
thích hợp của độ lệch cộng hưởng trong hệ, phần Hamiltonian của hệ tương ứng
với sự tiến triển của môi trường phi tuyến trở thành:
. (1.99)
Sự tiến triển của hệ, với giả thiết quá trình kích là hai photon, được khép kín
trong các trạng thái và và trạng thái hai photon cũng có thể được tạo ra.
Mô hình này có thể được mở rộng cho trường hợp Hamiltonian phi tuyến tỉ lệ
với , trong đó z là một số tự nhiên tùy ý, và kích thích liên quan đến quá
trình z-photon thì trạng thái z-photon sẽ được tạo ra [95].
33
Ngoài ra, Kilin và Horoshko [96] đã xây dựng một Hamiltonian thích hợp
để tạo ra trạng thái Fock n-photon, trong đó sự biến đổi lẫn nhau giữa trạng thái
chân không và trạng thái n-photon có thể được viết dưới dạng sau:
. (1.100)
Ở đây, người ta đã thảo luận về một số lớp con của phép biến đổi và tập trung
vào những vấn đề được xác định bởi:
(1.101)
trong đó với k là một số nguyên. Khi đó, dạng của Hamiltonian
phi tuyến tạo ra các phép biến đổi này được biểu diễn như sau:
. (1.102)
Nếu sử dụng môi trường phi tuyến thì Hamiltonian mô tả hệ vật lý có thể thu
được bằng cách giả thiết rằng tham số thực . Khi đó, trường bơm có tần số
nằm trong quá trình (1.102) được chuyển thành trạng thái Fock n-photon có
tần số đồng thời theo hai cách: và .
1.4.2.2. Kéo lượng tử phi tuyến đối với các trạng thái hai mode
Các đề xuất đầu tiên về NQS đối với trạng thái hai mode được trình bày
trong [20, 97], trong đó hệ quang học gồm bộ nối phi tuyến được điều khiển bởi
trường ngoài kết hợp đã được thảo luận. Bộ phận chính của NQS bao gồm hai
dao động tử phi tuyến liên kết tuyến tính, phi tuyến,…với nhau và được mô tả
bởi tính phi tuyến Kerr. Sơ đồ tổng quát của kéo lượng tử phi tuyến hai mode
được trình bày ở Hình 1.3.
Dạng tổng quát của Hamiltonian mô tả hệ kéo lượng tử phi tuyến có thể
được viết dưới dạng:
(1.103)
34
ở đây và lần lượt là Hamiltonian phi tuyến của
các mode a và b. là Hamiltonian tương tác giữa các mode với nhau, tương
tác này có thể là tương tác tuyến tính [20], tương tác phi tuyến [98-100], hay
tương tác kiểu tham số [101], và lần lượt là Hamiltonian tương tác
của mode a và mode b với trường ngoài. Nếu hoặc thì kéo
lượng tử chỉ được bơm một mode a hay b, tương ứng bởi trường ngoài. Tùy
thuộc vào dạng tương tác giữa các mode với nhau và số mode được bơm bởi
trường ngoài mà các trạng thái tìm được từ các bộ nối phi tuyến sẽ khác nhau.
a
Ta biết rằng các trạng thái hai mode chứa một số lượng lớn photon trong không
gian Hilbert vô hạn được mô tả bởi Hamiltonian (1.103) có dạng phổ biến sau:
, (1.104)
trong đó là các biên độ xác suất. Để tìm được tập hợp kín của phương
trình (1.104), nghĩa là hệ khép kín trong tập hữu hạn các trạng thái n-photon, thì
các điều kiện thích hợp cần được thỏa mãn. Nói chung, do sự suy biến của các
Hamiltonian và và nếu giả sử rằng các kích thích phải đủ yếu, tức là giá
trị của các tham số mô tả các tương tác này phải nhỏ hơn đáng kể so với các hệ
số phi tuyến, thì hệ có khả năng chỉ tạo ra một số trạng thái hai mode. Chẳng
35 hạn khi hai mode liên kết tuyến tính với nhau [20, 97], trạng thái cắt được tạo ra
của hệ chỉ khép kín trong bốn trạng thái có dạng đơn giản như sau:
(1.105)
Độ chính xác của phép cắt này được xác định bằng độ tin cậy giữa các trạng thái (1.104) và (1.105). Bất kỳ độ lệch nào từ việc cắt hoàn hảo là có bậc của 10-4 đối
với các tham số được chọn thích hợp, đặc biệt là tỷ lệ giữa các hệ số phi tuyến
và tương tác. Tùy thuộc vào dạng tương tác giữa các mode với nhau và số mode
tương tác với trường ngoài mà độ tin cậy của quá trình cắt được thực hiện bởi
kéo lượng tử phi tuyến thu được các kết quả khác nhau.
1.5. Kết luận chương 1
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày các khái niệm cơ bản và lý
thuyết về các quá trình ngẫu nhiên trong quang học lượng tử. Trước hết chúng
tôi trình bày các mô hình ngẫu nhiên của ánh sáng laser đơn mode, đa mode và
laser với thăng giáng bơm. Tiếp theo chúng tôi trình bày lý thuyết nhiễu trắng và
áp dụng cho trường hợp tuyến tính.
Các trạng thái hữu hạn chiều thường được áp dụng và thảo luận trong lý
thuyết thông tin lượng tử, quang lượng tử hoặc tổng quát hơn là các mô hình kỹ
thuật lượng tử. Người ta có thể tìm được nhiều phương pháp khác nhau để tạo ra
các trạng thái Fock, kết hợp hữu hạn chiều hoặc đan rối trong các hệ quang học.
Kéo lượng tử là thiết bị cho phép thu được các trạng thái như vậy. NQS được
xây dựng với sự áp dụng của những phần tử phi tuyến. Hơn nữa, chúng có thể là
nguồn cung cấp các trạng thái cắt. Các trạng thái này biểu hiện tính chất rất thú
vị, chúng có thể là đối tượng của các nghiên cứu trong lĩnh vực quang học lượng
tử. Tuy nhiên, kéo lượng tử có thể được áp dụng cho các mô hình quang học
khác. Mô hình kéo lượng tử phi tuyến sẽ được ứng dụng để nghiên cứu sự hình
thành các trạng thái có độ đan rối cao ở các chương tiếp theo.
36 Chương 2
CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HÌNH THÀNH TRONG
BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mô hình bộ nối phi tuyến gồm hai
dao động tử phi tuyến liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và được bơm
một mode hoặc hai mode bởi trường kết hợp ngoài. Bằng cách sử dụng hình thức
luận NQS, ta thu được hàm sóng mô tả sự tiến triển của hệ là tổ hợp của các trạng
thái Fock n-photon. Sự tiến triển của hệ theo thời gian có thể sinh ra các trạng thái
đan rối cực đại gọi là các trạng thái kiểu Bell. Mô hình của chúng tôi được xem
xét đối với các điều kiện đầu khác nhau của các biên độ xác suất.
2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính
2.1.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính
2.1.1.1. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode
Mô hình của một bộ nối phi tuyến kiểu Kerr được xem xét ở đây bao gồm
hai dao động tử phi tuyến, tương tác tuyến tính với nhau và một trong hai dao
động tử này (mode a) tương tác tuyến tính với trường ngoài kết hợp.
Về phương diện quang học bộ nối có cấu tạo và hoạt động như sau: Bộ
nối phi tuyến là một thành phần của sợi quang phi tuyến hỗ trợ phân phối lại tín
hiệu quang, có thể chia tín hiệu quang từ một thành hai hay nhiều tín hiệu và kết
hợp tín hiệu quang từ hai hay nhiều thành một. Bộ nối phi tuyến kiểu Kerr được
xét ở đây (Hình 2.1) gồm hai sợi quang phi tuyến không hấp thụ có lõi chứa môi
trường phi tuyến Kerr, được đặc trưng bởi hai hệ số phi tuyến Kerr khác nhau
và . Các sợi quang này được ghép với bộ liên kết định hướng quang bốn
cổng, gồm hai cổng vào và hai cổng ra, được cấu tạo bằng cách gắn hai ống dẫn
sóng với nhau bằng liên kết tuyến tính. Về nguyên tắc hai ống dẫn sóng của bộ
liên kết định hướng phải được đặt gần nhau về không gian tới mức sóng đang
37 truyền trên ống này có thể cảm ứng truyền bên đường dẫn sóng kia [102], lúc đó
ta có thể nói rằng có hiện tượng ghép mode giữa hai ống dẫn sóng đó. Thông
thường hai ống dẫn sóng này chỉ có một không gian nhất định tại đó chúng rất
sát nhau, gọi là chiều dài tương tác. Hệ số của liên kết tuyến tính giữa hai ống
dẫn sóng phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai ống, độ chênh lệch chiết suất và
kích thước của ống. Các bản chia để tín hiệu vào có hệ số phản xạ R < 100%. Hệ
số phản xạ, tán xạ trên mặt trước và sau của các mặt môi trường, hấp thụ của
môi trường sẽ xác định hệ số tương tác của trường ngoài với hệ.
Chùm tia sáng vào bản chia M1, có hệ số phản xạ R < 100%, qua sợi
quang phi tuyến ở mode a làm thay đổi pha truyền của các tia sáng. Các tia sáng
tiếp tục phản xạ trên các gương M2 và M3 và đi vào bộ liên kết. Hoạt động của
bộ liên kết tuân theo nguyên lý phản xạ, khúc xạ nên nếu trước khi vào bộ liên
kết tín hiệu truyền trên nhánh a (b) của sợi quang phi tuyến thì sau bộ liên kết tín
hiệu có thể vẫn truyền trên nhánh a (b) hoặc có thể chuyển sang truyền trên
nhánh b (a) với độ lệch pha khác nhau. Sự kết hợp các tia sáng từ hai nhánh dẫn
đến trạng thái giao thoa ở trong bộ nối này. Tùy thuộc vào cường độ của các tia
sáng vào bản chia, ta sẽ thu được các cường độ tín hiệu ra khác nhau.
38
Khi đó, hệ này được mô tả bởi Hamiltonian có dạng ( =1) [20, 96, 103]:
(2.1)
trong đó:
(2.2)
và là các toán tử hủy (sinh) photon tương ứng với các mode a và b
và của các dao động tử phi tuyến. Hamiltonian (2.1) đối với trường hợp mô
tả bộ nối phi tuyến chuẩn [104, 105].
Trong bức tranh tương tác, sự tiến triển của hệ có thể được mô tả bởi
phương trình Schrodinger:
, (2.3)
trong đó
, (2.4)
là các biên độ xác suất phức tìm hệ trong trạng thái m-photon của mode a
và trạng thái n-photon của mode b. Thay (2.4) vào (2.3) ta tìm được:
, (2.5)
, (2.6)
(2.7)
39
(2.8)
Bằng cách thay các biểu thức từ (2.5) đến (2.8) vào (2.3) ta tìm được phương
trình chuyển động của biên độ xác suất có dạng:
(2.9)
Từ phương trình (2.9) có thể kết luận rằng sự tiến triển của hệ được bơm
bởi trường ngoài cổ điển không chỉ được giới hạn trong các trạng thái hai photon
mà còn các trạng thái nhiều photon hơn. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng phương
pháp kéo lượng tử phi tuyến [106], sự tiến triển của hệ có thể chỉ giới hạn trong
bốn trạng thái , , và . Giả thiết các hệ số phi tuyến Kerr
, ta có thể giải thích sự tiến triển giữa bốn trạng thái này là sự dịch
chuyển cộng hưởng. Hiện tượng này có thể chỉ ra một cách tường minh như sau:
Dưới sự giả thiết và thời gian tiến triển ngắn, phương trình (2.9), với
những giá trị , có thể xấp xỉ bằng:
, (2.10)
nghiệm của (2.10) là:
. (2.11)
Bằng cách chọn điều kiện đầu , với , lúc đó . Ngược
lại, đối với các giá trị , các số hạng tỉ lệ với hệ số phi tuyến Kerr
40
và triệt tiêu do sự suy biến của Hamiltonian và do đó các số hạng tỉ lệ với
và vẫn tồn tại. Lúc đó, hàm sóng của hệ sau khi “cắt” được viết dưới dạng đơn
giản như sau:
, (2.12)
là kí hiệu cho trường hợp các mode ban đầu ở trong trạng thái .
Từ phương trình (2.9), ta tìm được phương trình chuyển động cho biên độ
xác suất có dạng như sau:
(2.13)
Mặc dù các phương trình gần đúng (2.13) không phụ thuộc vào và , kết
quả thu được chỉ ra rằng tính chất phi tuyến Kerr đóng một vai trò chủ yếu trong
quá trình cắt. Bằng cách giả thiết rằng cả hai dao động tử ban đầu ở trạng thái
chân không ( ) và các tham số và là thực, khi đó nghiệm của
(2.13) cho các biên độ xác suất có dạng [20]:
(2.14)
với , . ,
41
Ở trên đã giả thuyết rằng cả hai mode ban đầu ở trạng thái chân không.
Bây giờ, chúng tôi sẽ phân tích một sự tiến triển tổng quát hơn khi mà ban đầu
một mode của hệ tồn tại trong trạng thái chân không và mode còn lại tồn tại
trong trạng thái Fock đơn photon ( ). Khi đó nghiệm của các biên
độ xác suất (2.13) có dạng:
(2.15)
Tiếp theo, ta sẽ xem xét sự tiến triển của hệ đối với các trường hợp khi
các mode ban đầu ở các trạng thái và . Khi đó, sự tiến triển của hệ
đối với các trạng thái ban đầu này có dạng như sau:
(2.16)
Trong phần tiếp theo, ta sẽ trình bày mô hình bộ nối phi tuyến tương tác
tuyến tính được bơm hai mode bởi trường ngoài.
2.1.1.2. Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode
Trong phần này chúng tôi tiếp tục mở rộng mô hình bộ nối đã được trình
bày ở Hình 2.1 cho trường hợp cả hai mode a và b đều được kích thích bởi hai
trường ngoài (Hình 2.2), trong khi mô hình trước đó chỉ một trong hai mode là
được liên kết với trường ngoài. Khi đó, Hamiltonian mô tả hệ này có dạng sau
[20, 21]:
. (2.17)
Hamiltonian này về cơ bản giống với (2.1), ngoại trừ được cho bởi:
42
, (2.18)
mô tả liên kết tuyến tính của mode b với trường ngoài, trong đó tham số là hệ
Hình 2.2: Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode
số của liên kết tuyến tính này.
Hoàn toàn tương tự như trường hợp bộ nối phi tuyến được bơm một
mode, sự tiến triển của hệ được mô tả bởi Hamiltonian (2.17) có thể được cho
bởi phương trình Schrödinger. Từ đó, ta dễ dàng tìm được hệ các phương trình
đối với các biên độ xác suất của hàm sóng (2.4) trong hình thức luận
tương tác như sau [20]:
(2.19)
Tương tự như trường hợp một mode, ta giả thiết thời gian tiến triển ngắn và độ lớn
của các tham số , và là rất nhỏ so với các phi tuyến Kerr và . Khi đó,
phương trình (2.19) với trường hợp có thể xấp xỉ bằng (2.10) có nghiệm
là (2.11) sẽ triệt tiêu đối với điều kiện đầu . Do đó, dưới sự giả thiết ở
trên, hệ các phương trình (2.19) rút gọn thành bốn phương trình vi phân sau:
43
(2.20)
là kí hiệu cho trường hợp các mode ban đầu ở trong trạng thái .
Giả thiết rằng tại thời điểm t = 0, cả hai mode của hệ đều ở trạng thái chân
không, ta có thể tìm nghiệm giải tích của hệ phương trình (2.20). Để giải (2.20)
cần tìm các giá trị không của đa thức bậc bốn, do đó, các nghiệm tổng quát của
chúng là phức tạp và khó hiểu hơn. Tuy nhiên, nếu giả thiết rằng tất cả các hệ số
liên kết là thực và các liên kết với trường ngoài có cường độ bằng nhau ( ),
thì các nghiệm trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn nhiều. Do đó, dưới các giả thiết
này, các nghiệm của (2.20) có dạng sau [20]:
(2.21)
trong đó . Nếu tại thời điểm t = 0, một mode của hệ ở trạng thái
chân không còn mode kia ở trạng thái Fock đơn photon thì
nghiệm của hệ phương trình (2.20) cho các biên độ xác suất có dạng sau:
44
(2.22)
Khi các mode của hệ ban đầu ở trong các trạng thái và
, ta cũng tìm được sự tiến triển của hệ đối với bộ nối được
bơm hai mode có dạng tương tự với trường hợp được bơm một mode.
Để đánh giá chất lượng của phép cắt các trạng thái quang học, ta ứng
dụng độ tin cậy như một phép đo sự khác nhau giữa trạng thái cắt hai qubit
, cho bởi (2.12), và trạng thái ra thực tế được
tính số từ:
, (2.23)
đối với không gian Hilbert hai mode. Độ tin cậy của trạng thái được định nghĩa
bởi [68]:
, (2.24)
Độ tin cậy đối với phép cắt hoàn hảo bằng 1. Hình 2.3 trình bày độ tin cậy
của trạng thái cắt. Từ Hình 2.3, ta thấy rằng độ tin cậy của trạng thái cắt xấp xỉ
bằng một, tức là kết quả giải tích thu được là khá chính xác. Hơn nữa, độ tin cậy
của trạng thái cắt đối với bộ nối phi tuyến được bơm hai mode nhỏ hơn so với
bộ nối phi tuyến được bơm một mode, nghĩa là phép cắt đối với bộ nối được
bơm một mode là chính xác hơn. Điều đó chứng tỏ rằng trạng thái cắt thu được
có độ chính xác rất cao so với kết quả thu được trong [20].
45
bơm một mode (đường nét liền) và hai mode (đường chấm chấm) với hệ số phi tuyến
rad/s,
rad/s và các mode ban đầu ở trạng thái chân không
Chúng tôi sẽ sử dụng các biên độ xác suất phức thu được ở các phần trên
để khảo sát sự tạo ra các trạng thái kiểu Bell ở phần tiếp theo.
2.1.2. Sự tạo ra trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác
tuyến tính
Chúng ta đã biết rằng sự đan rối của trạng thái thuần hai thành phần, mô
tả bởi ma trận mật độ , có thể được mô tả bởi entropy von Neumann của
hoặc
ma trận mật độ rút gọn , hoặc tương đương với entropy
. (2.25)
Shannon của các hệ số Schmidt bình phương có dạng như sau [106]:
, (2.26)
Đối với trường hợp của trạng thái thuần hai qubit, giá trị của entropy đan rối thay đổi từ không đối với trạng thái không đan rối đến một ebit đối với trạng thái đan rối cực đại và nó có dạng đơn giản như sau [20]:
và
. Từ đó, ta dễ dàng tìm
trong đó
46 được mối liên hệ giữa các entropy đan rối cho các trường hợp bộ nối được bơm một mode và hai mode bởi trường ngoài như sau:
. (2.27)
và
đối với bộ
nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với
rad/s,
(đường nét liền) và hai mode với
rad/s (đường nét gạch) và
rad/s,
rad/s (đường gạch chấm)
Các entropy đan rối của hệ đối với các điều kiện đầu khác nhau được chỉ
ra ở Hình 2.4. Các kết quả của đối với bộ nối được bơm một mode ( ) và
hai mode ( ) giống với những kết quả đã được trình bày ở [20]. Các
entropy đan rối và tiến triển theo chu kỳ thời gian và xấp xỉ bằng 1 ebit
đối với các trạng thái đan rối cực đại và bằng không đối với các trạng thái không
đan rối. Khi , các giá trị cực đại của và là lớn nhất trong khi chúng
là bé nhất đối với . Hơn nữa, entropy đan rối có nhiều cực đại hơn ,
tức là dao động nhanh hơn . Hệ quả là, các trạng thái đan rối cực đại và
entropy đan rối thay đổi một cách đáng kể đối với các mode ban đầu ở trong các trạng thái khác nhau.
Như một hệ quả, cực đại của các entropy đan rối có giá trị thay đổi theo chu kỳ, trong đó có một số giá trị gần bằng 1 ebit tương ứng với sự hình thành
47 của các trạng thái Bell. Để thể hiện rõ ràng hơn, ta có thể trình bày các trạng thái được tạo ra trong cơ sở
, (2.28)
được mở rộng thành các trạng thái kiểu Bell có dạng như sau [20]:
(2.29)
So sánh (2.12) và (2.28), ta tìm được các hệ số khai triển :
(2.30)
và
Dễ dàng thấy rằng , vì vậy các hình vẽ đối với xác suất
và
không cần phải trình
để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell
bày. Xác suất tìm thấy hệ trong các trạng thái kiểu Bell được trình bày ở các hình từ 2.5 đến 2.7.
đối với
bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với
rad/s,
(đường nét liền) và hai mode với
rad/s (đường nét gạch) và
rad/s,
rad/s (đường gạch chấm)
48
và
đối với
bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với
rad/s,
(đường nét liền) và hai mode với
rad/s (đường nét gạch) và
rad/s,
rad/s (đường gạch chấm)
và
đối với bộ
nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode với
rad/s,
(đường nét liền) và hai mode với
rad/s (đường nét gạch) và
rad/s,
rad/s (đường gạch chấm)
49
Từ các hình vẽ ta thấy rằng khi bộ nối được bơm một mode ( ), đối
với các mode ban đầu ở trạng thái , ta tìm được kết quả tương tự như kết
quả trong [20] (Hình 2.5 và Hình 2.6). Đối với các mode ban đầu ở trạng thái
, xác suất tạo ra các trạng thái đan rối cực đại là hàm của thời gian cho các
bộ nối điều khiển đơn mode và hệ cũng có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell đối
với các trạng thái và (Hình 2.7). Khi bộ nối được bơm hai mode, hệ
có thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại đối với các trạng thái ,
(Hình 2.5) và , (Hình 2.7), nhưng hệ không thể tạo trạng thái đan rối
cực đại cho các trạng thái và (Hình. 2.6). Đặc biệt, khi , các giá
trị cực đại của xác suất là lớn nhất đối với các trạng thái , và ,
trong khi chúng là nhỏ nhất đối với các trạng thái và . Hơn nữa, khi
tham số , xác suất để hệ tồn tại ở trạng thái , và , giảm,
trong khi xác suất để hệ thống tồn tại ở trạng thái và tăng.
Để không bị lặp lại, ở đây chúng tôi không trình bày các hình vẽ về xác
suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell và các entropy đan rối đối với
trường hợp các mode ban đầu ở các trạng thái và bởi vì chúng đã
được trình bày trong các hình vẽ từ 2.4 đến 2.7 khi các mode ban đầu ở các
trạng thái và .
2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến
2.2.1. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode
2.2.1.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode
Mô hình của một bộ nối phi tuyến được xem xét ở đây vẫn xây dựng dựa
trên hai dao động tử phi tuyến được đặc trưng bởi tính chất phi tuyến Kerr và
tương ứng với hai mode a và b và mode a liên kết tuyến tính với trường
ngoài tương tự như bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính đã trình bày ở phần trên. Ở đây chỉ khác là các dao động tử này được liên kết phi tuyến với nhau. Khi đó, Hamiltonian của hệ chỉ khác so với bộ nối tương tác tuyến tính là thành
50
phần liên kết hai dao động tử là phi tuyến thay cho thành phần tuyến tính
và có dạng như sau [23]:
, (2.31)
trong đó
(2.32)
(2.33)
(2.34)
ở đây chúng tôi chỉ xét trường hợp không có tắt dần, sự tiến triển của hàm sóng
phụ thuộc thời gian được biểu diễn dưới dạng trạng thái Fock n-photon như sau:
, (2.35)
trong đó, là các biên độ xác suất phức tìm hệ trong trạng thái g-photon của
mode a và trạng thái h-photon của mode b.
Sử dụng phương trình Schroedinger trong hình thức luận tương tác, ta được:
, (2.36)
(2.37)
(2.38)
51
(2.39)
Thay (2.37)-( 2.39) vào (2.36) ta thu được kết quả sau:
(2.40)
Đối với trường hợp này vì có quá trình tương tác của hệ với trường ngoài
nên năng lượng của hệ không được bảo toàn. Do đó, khi hệ tiến triển theo thời
gian sẽ có một số trạng thái có số lượng photon lớn. Khi giả thuyết rằng hệ số
phi tuyến thì các phần tử tỉ lệ với và sẽ triệt tiêu do và
, tạo ra các mức năng lượng suy biến. Mặt khác, với giả thiết
phương trình (2.40) chỉ ra rằng biên độ xác suất sẽ dao động nhanh hơn
nhiều so với các biên độ xác suất khác khi . Do đó, áp dụng phương
pháp gần đúng sóng quay [107], người ta bỏ qua sự ảnh hưởng của biên độ xác
suất trong trường hợp này. Từ đó, sự tiến triển của hệ tương ứng với chỉ ba
trạng thái cộng hưởng sau , và . Khi xét trong phép gần
đúng được sử dụng thì tiến triển của hệ chỉ khép kín trong ba trạng thái nói trên.
Khi đó, hàm sóng của hệ được viết lại dưới dạng [108]:
, (2.41)
với p,q = 0,2 là ký hiệu của các mode ở trạng thái đầu và ta thu được các
phương trình chuyển động của các biên độ xác suất có dạng như sau:
52
(2.42)
Giả sử tại thời điểm t = 0, cả hai photon ở mode a và không có photon nào ở
mode b, tức là và ( ). Khi đó dễ
dàng giải hệ phương trình (2.42) để thu được nghiệm có dạng [23]:
(2.43)
trong đó . Hơn nữa khi giả sử tại thời điểm , có một photon ở
mode a và hai photon ở mode b, có nghĩa là và
( ), nghiệm của hệ phương trình (2.42) có thể tìm được dưới dạng:
(2.44)
Mặt khác nếu giả sử rằng tại thời điểm , không có photon nào ở mode a và cả hai photon
ở mode b, có nghĩa là và , ta tìm
được nghiệm của hệ phương trình (2.42) có dạng:
(2.45)
53
Để đánh giá độ chính xác của kết quả giải tích, ta sẽ tính độ tin cậy của
trạng thái ra với trạng thái ban đầu là . Khi đó, sự tiến triển theo thời gian
của trạng thái có dạng sau:
. (2.46)
Độ tin cậy của trạng thái ra được tính bằng biểu thức [85]:
, (2.47)
trong đó
, . (2.48)
Đối với quá trình cắt hoàn hảo thì độ tin cậy sẽ cho giá trị bằng 1. Độ tin
cậy của trạng thái cắt được thể hiện ở Hình 2.8.
được bơm 1 mode. Trong trường hợp hệ số phi tuyến
rad/s,
rad/s
Có thể thấy rằng độ tin cậy của trạng thái cắt chỉ sai khác một lượng
khoảng 10-3 so với giá trị cực đại bằng 1. Điều đó cho thấy trạng thái cắt thu
được có độ chính xác rất cao, tương đương với kết quả thu được trong [23].
54
Ta sẽ sử dụng các biên độ xác suất từ (2.43) đến (2.45) để khảo sát sự tạo
ra các trạng thái đan rối ở phần tiếp theo.
2.2.1.2. Sự tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác
phi tuyến được bơm một mode
Ta có thể mong đợi rằng đối với mô hình được xem xét ở đây các trạng
thái kiểu Bell có thể được tạo ra. Để nghiên cứu chi tiết hiện tượng này ta vẽ đồ
thị các xác suất đối với ba điều kiện đầu , và của ba trạng
thái của hệ ở Hình 2.9.
(đường nét liền),
(đường nét gạch) và
(đường gạch chấm) với
rad/s,
(
),
(
) và
(
)
Từ Hình 2.9, có thể thấy rằng các xác suất này dao động và một số đồ thị
cắt nhau tại những giá trị gần bằng 0,5. Điều này chỉ ra rằng các trạng thái kiểu
Bell có thể được tạo ra trong trường hợp này. Cụ thể, ta quan sát được các cặp
trạng thái và ( ), và ( ) cũng như và
( ) cắt nhau tại những giá trị gần bằng 0,5. Ngoài ra có thể xem xét
các tổ hợp khác của các trạng thái thuần được thảo luận ở đây. Chẳng hạn, các
trạng thái kiểu Bell bao gồm và có thể được xem xét. Sau khi xem
xét kĩ các kết quả của đồ thị ở Hình 2.9, ta thấy rằng các trạng thái kiểu Bell này
55 có thể đóng một vai trò trong sự tiến triển của hệ. Ta quan sát sự giao nhau của
các đồ thị của các xác suất thích hợp, mặc dù các điểm cắt nhau của chúng
tương ứng với giá trị xác suất gần bằng không hoặc một. Vì thế, đối với những
khoảng thời gian này hệ gần như ở trạng thái thuần . Tuy nhiên, có thể
thấy rằng đối với một số khoảng thời gian khác các xác suất này trở nên gần
bằng 0,5, mặc dù chúng không cắt nhau. Cho nên, ta có thể mong đợi trạng thái
kiểu Bell lại được tạo ra. Kết quả là các trạng thái kiểu Bell có thể được hình
thành từ các cặp trạng thái của hệ được xét có dạng như sau:
Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell được tính bởi biểu thức sau:
. (2.50)
Trạng thái (2.41) có thể khai triển trong cơ sở các trạng thái Bell theo dạng:
. (2.51)
Do đó, ta có thể tìm được các hệ số có dạng:
(2.52)
Sự tạo ra các trạng thái đan rối cực đại có thể được mô tả bởi entropy von Neumann như đã trình bày ở chương 1. Để áp dụng cụ thể cho việc tính độ đan rối hình thành trong bộ nối phi tuyến, ở đây ta lần lượt tính các đại lượng sau:
56
(2.53)
Từ đó có thể tính vết thành phần trên mode b như sau
(2.54)
với các trị riêng lần lượt của là:
; và . (2.55)
Kết quả ta thu được biểu thức tính độ đan rối là:
. (2.56)
Sự tiến triển của entropy đan rối được trình bày ở Hình 2.10.
(đường nét liền),
(đường nét gạch)
và
(đường gạch chấm) với
rad/s (Hình bên trái) và
rad/s,
rad/s (Hình bên phải)
57
Các kết quả của ở Hình 2.10 trái tương tự với các kết quả tìm được
trong [23]. Các entropy đan rối thay đổi theo chu kỳ của thời gian tùy thuộc vào
các điều kiện đầu khác nhau và bằng 1 ebit đối với các trạng thái Bell, trong khi
các trạng thái tách ra có giá trị bằng không. Ngoại trừ cực đại thứ hai của ở
Hình 2.10 trái và các cực đại của ở Hình 2.10 phải, giá trị của tất cả các cực
đại còn lại xấp xỉ bằng đơn vị, nghĩa là hệ có thể là nguồn của các trạng thái kiểu
Bell. Như một hệ quả, giá trị của các entropy đan rối thay đổi một cách đáng kể
đối với các điều kiện đầu khác nhau.
Xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell với ba điều kiện đầu
, và được trình bày trong
các hình vẽ từ 2.11 đến 2.16.
(đường nét liền),
(đường nét gạch) và
(đường gạch chấm) với
rad/s (Hình bên
trái) và
rad/s,
rad/s (Hình bên phải)
58
(đường nét liền),
(đường nét gạch) và
(đường gạch chấm) với
rad/s (Hình bên
trái) và
rad/s,
rad/s (Hình bên phải)
(đường nét liền),
(đường nét gạch) và
(đường gạch chấm) với
rad/s (Hình bên
trái) và
rad/s,
rad/s (Hình bên phải)
59
(đường nét liền),
(đường nét gạch) và
(đường gạch chấm) với
rad/s (Hình bên
trái) và
rad/s,
rad/s (Hình bên phải)
(đường nét liền),
(đường nét gạch) và
(đường gạch chấm) với
rad/s (Hình bên
trái) và
rad/s,
rad/s (Hình bên phải)
60
(đường nét liền),
(đường nét gạch) và
(đường gạch chấm) với
rad/s (Hình bên
trái) và
rad/s,
rad/s (Hình bên phải)
Các giá trị cực đại cao nhất của các xác suất tương ứng với các trạng thái
(Hình 2.11 trái), (Hình 2.12 trái), (Hình 2.15 trái) và
(Hình 2.16 trái) với rad/s xấp xỉ bằng đơn vị, tức là các trạng thái
kiểu Bell được tạo ra đối với hệ được xem xét. Trong khi các trạng thái kiểu Bell
hầu như không được tạo ra với các trạng thái còn lại đối với các hình vẽ bên trái
từ 2.11 đến 2.16. Đối với trường hợp rad/s và rad/s, các giá
trị cực đại xác suất của các trạng thái và (Hình 2.11 phải), và
(Hình 2.12 phải) xấp xỉ bằng 1, tức là các trạng thái kiểu Bell được tạo ra
với độ chính xác cao. Ngược lại các trạng thái kiểu Bell hầu như không được tạo
ra đối với các trạng thái khác của các hình vẽ bên phải từ 2.11 đến 2.16. Như
vậy, hệ có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell với độ tin cậy cao đối với các giá trị
thích hợp của các tham số và .
61
2.2.2. Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode
2.2.2.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm hai mode
Tiếp theo, chúng tôi mở rộng mô hình bộ nối phi tuyến bao gồm hai dao
động tử phi tuyến tương tác phi tuyến với nhau đã trình bày ở trên cho trường
hợp, khi cả hai dao động tử phi tuyến được bơm bởi hai trường kết hợp ngoài.
Lúc đó, trong biểu diễn tương tác Hamiltonian của hệ có dạng như sau:
, (2.57)
giống (2.31), ngoại trừ số hạng [109]:
(2.58)
mô tả liên kết giữa mode b với trường ngoài, trong đó là hệ số của liên kết
giữa chúng. Khi sử dụng phương trình Schroedinger trong hình thức luận tương
tác, ta thu được hệ các phương trình chuyển động cho các biên độ xác suất
như sau:
(2.59)
Sử dụng hình thức luận kéo lượng tử phi tuyến tương tự như trường hợp
bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode, khi đó hàm sóng của
hệ là sự chồng chập của bốn trạng thái , , và được
viết lại dưới dạng [19, 20, 85]:
, (2.60)
trong đó . Thay (2.60) là ký hiệu của các mode ban đầu ở trạng thái
vào (2.59), ta được các phương trình chuyển động cho các biên độ xác suất phức:
62
(2.61)
Ta giả thiết rằng là các số thực, giải hệ phương trình (2.61) với
trạng thái ban đầu là và tìm được các biên độ xác suất có
dạng như sau:
(2.62)
trong đó
(2.63)
Khi giải hệ phương trình (2.61) với các trạng thái ban đầu lần lượt là ,
và , ta tìm được các biên độ xác suất tương ứng có dạng sau:
63
(2.64)
(2.65)
(2.66)
và
64 Đối với trường hợp một dao động tử phi tuyến được bơm bởi trường ngoài
(β=0), các kết quả thu được giống với kết quả trong [23]. Hơn nữa đối với
trường hợp , kết quả của chúng tôi cũng giống như kết quả [109].
Để đánh giá độ chính xác của kết quả giải tích, ta sẽ tính số độ tin cậy của
các trạng thái với trạng thái ban đầu là ( ). Kết quả số của sự tiến
triển theo thời gian của độ tin cậy đã được chỉ ra ở Hình 2.17. Có thể thấy rằng
độ tin cậy của trạng thái này xấp xỉ bằng đơn vị, nghĩa là kết quả giải tích thu
được là chính xác. Độ lệch của độ tin cậy so với đơn vị luôn nhỏ hơn 1,2.10-3.
Tương tự đối với trạng thái đầu , độ tin cậy nhỏ hơn một ít so với trường
hợp của trạng thái đầu là .
(đường nét liền) và
(đường nét gạch). Trong trường hợp hệ số phi tuyến
rad/s, các cường độ liên kết
rad/s,
rad/s
65
2.2.2.2. Sự tạo ra các trạng thái đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác
phi tuyến được bơm hai mode
Trong phần này chúng tôi cũng sử dụng entropy von Neumann để tính độ
đan rối của các trạng thái . Từ biểu thức (2.60) ta có thể xác định ma trận
mật độ sau khi cắt như sau [109]:
(2.67)
Từ đó, vết thành phần của trạng thái đối với mode b được viết dưới dạng:
(2.68)
Khi đó, độ đan rối của các trạng thái được tính bằng biểu thức sau đây:
, (2.69)
trong đó, có các trị riêng λ1, λ2 lần lượt là:
(2.70)
Đối với mô hình bộ nối phi tuyến được bơm hai mode ở đây, ta sẽ mong
đợi hệ có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell. Để xem xét cụ thể việc tạo ra các
trạng thái kiểu Bell của hệ, ta vẽ đồ thị các xác suất đối với các điều kiện đầu
, , và của các trạng thái của hệ ở Hình 2.18.
66
(đường nét liền),
(đường nét gạch),
(đường gạch chấm) và
(đường nét chấm) với
rad/s và các trạng thái đầu tương ứng là
(
),
(
),
(
) và
(
)
Từ đồ thị có thể chỉ ra rằng các xác suất của hệ cắt nhau tại những giá trị
gần bằng 0,5, cụ thể là các cặp trạng thái và ( ) cũng như
và ( ). Điều này chứng tỏ các trạng thái kiểu Bell có thể được
hình thành trong trường hợp này. Hơn nữa, chúng ta có thể nhận thấy rằng đối với
một số khoảng thời gian các xác suất này trở nên gần bằng 0,5, mặc dù chúng
67 không cắt nhau. Cho nên, chúng ta có thể mong đợi các trạng thái kiểu Bell cũng sẽ
được tạo ra trong trường hợp này. Kết quả là các trạng thái kiểu Bell có thể được
hình thành từ các cặp trạng thái của hệ được viết dưới dạng sau:
(2.71)
Tiếp theo, ta có thể biểu diễn hàm sóng thu được (2.60) trong cơ sở các
trạng thái Bell có dạng như sau:
, (2.72)
ở đây là các trạng thái đan rối cực đại.
Từ đó, có thể tìm được các hệ số :
(2.73)
và
Sự tiến triển của các entropy đan rối , , theo thời gian
và các giá trị khác nhau của cường độ liên kết β với bốn trạng thái ban đầu
tương ứng là , , và được biểu diễn ở Hình 2.19. Sự
đan rối của trạng thái trong hình 2.19 cho thấy rằng các giá trị cực đại của sự
đan rối phụ thuộc vào các giá trị của cường độ liên kết giữa hai mode với các
trường kết hợp ngoài. Khi β = 0, các đỉnh của entropy đan rối thay đổi theo chu
kỳ. Entropy đan rối giống với kết quả thu được trong [23]. Tất cả giá trị các
đỉnh của và đều xấp xỉ bằng 1. Khi β ≠ 0, đỉnh thứ hai của tăng,
trong khi giá trị của một số đỉnh của và giảm và trạng thái của hệ luôn là
68
trạng thái đan rối. Khi β tăng, đỉnh thứ hai của chia thành hai đỉnh và chúng
đạt giá trị xấp xỉ bằng đơn vị và chu kỳ của các entropy đan rối thay đổi. Do đó,
sự hiện diện của β làm thay đổi các giá trị và vị trí của các đỉnh của entropy đan
rối. Hơn nữa, trong cùng một khoảng thời gian, các entropy đan rối và
có nhiều giá trị cực đại hơn so với các kết quả của [23].
trạng thái đầu là
(
),
(
),
(
) và
(
) với
rad/s. Đường nét
liền
là cho
, đường nét gạch
là cho
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
69
Các Hình từ 2.20 đến 2.25 chỉ ra các xác suất để hệ tồn tại trong các trạng
thái kiểu Bell (i=1,2,3,...,6) tương ứng với các trạng thái đầu , ,
và .
(
),
(
(
) và
(
) tương ứng với các trạng thái đầu
),
,
và
với
rad/s. Đường nét liền là cho
, đường
,
nét gạch là cho
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
70
(
),
(
) và
(
) tương ứng với các trạng thái đầu
,
(
),
và
với
rad/s. Đường nét liền là cho
, đường
,
nét gạch là cho
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
71
),
,
(
(
) tương ứng với các trạng thái đầu
),
(
) và
và
với
rad/s. Đường nét liền là cho
, đường
,
nét gạch là cho
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
(
72
(
),
(
(
) và
(
) tương ứng với các trạng thái đầu
),
,
và
với
rad/s. Đường nét liền là cho
, đường
,
nét gạch là cho
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
73
(
),
(
(
) và
(
) tương ứng với các trạng thái đầu
),
,
và
với
rad/s. Đường nét gạch
là cho
,
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
74
(
),
(
(
) và
(
) tương ứng với các trạng thái đầu
),
,
và
với
rad/s. Đường nét gạch
là cho
,
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
75
Khi β = 0, ta thu được kết quả của trường hợp bộ nối liên kết phi tuyến
được bơm một mode đã trình bày ở phần 2.2.1. Đặc biệt, đối với trạng thái đầu
là , kết quả thu được cho trường hợp β = 0 còn trùng với xác suất để hệ
tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell được bơm một mode bởi trường ngoài được
thảo luận ở [23]. Khi β = α, chúng tôi cũng thu được các xác suất để hệ tồn tại
trong các trạng thái kiểu Bell được bơm bởi hai trường ngoài có cùng cường độ
[109].
Từ các Hình vẽ 2.20 đến 2.25, ta thấy rằng các trạng thái đan rối cực đại
có thể được tạo ra cho cả bốn trạng thái đầu , , và với
những giá trị khác nhau của tham số β. Cụ thể, các trạng thái đan rối cực đại
và (Hình 2.20), và (Hình 2.21), và (Hình
2.22), và (Hình 2.23), và (Hình 2.24), và
(Hình 2.25) có thể được tạo ra, ngược lại các trạng thái , ,
, , , , , , , và không thể tạo
ra các trạng thái đan rối cực đại. Như vậy, trong cùng một trạng thái kiểu Bell
đối với bốn điều kiện đầu khác nhau thì có hai điều kiện đầu hệ có thể tạo ra các
trạng thái kiểu Bell, trong khi hai điều kiện đầu còn lại hệ không thể tạo ra các
trạng thái kiểu Bell theo từng cặp và hoặc và . Khi β
càng tăng, trong một trạng thái kiểu Bell đối với bốn điều kiện đầu khác nhau thì
có hai điều kiện đầu giá trị xác suất của các trạng thái tăng, trong khi đối với hai
điều kiện đầu còn lại giá trị xác suất của các trạng thái lại giảm. Các trạng thái
(Hình 2.20), (Hình 2.21), (Hình 2.22), (Hình 2.23),
và (Hình 2.24), và (Hình 2.25) càng xấp xỉ bằng đơn
vị, nghĩa là các trạng thái kiểu Bell được tạo ra với độ chính xác cao, trong khi
các trạng thái còn lại hầu như không tạo ra được các trạng thái kiểu Bell. Hơn
76 nữa, vị trí cực đại và cực tiểu của các xác suất dịch chuyển về phía thời gian
bằng không so với khi β = 0.
Bộ nối phi tuyến được đề cập ở trên còn có nhiều ứng dụng trong các thiết
bị quang học như: cảm biến sợi, bộ tách kênh, cổng logic quang học, các máy
nén xung, máy thu bán dẫn, chuyển mạch quang.
2.3. Kết luận chương 2
Trong chương này, mô hình bộ nối phi tuyến gồm hai dao động tử phi
tuyến liên kết phi tuyến hoặc tuyến tính với nhau và được bơm một mode hoặc
hai mode bởi trường kết hợp ngoài đã được thảo luận.
Bằng cách sử dụng hình thức luận kéo lượng tử phi tuyến, sự tiến triển
của hệ theo thời gian chỉ là sự tổ hợp hữu hạn các trạng thái lượng tử đã được
chỉ ra. Các trạng thái này thay đổi tùy thuộc vào dạng tương tác giữa các mode
và giữa các mode với trường kết hợp ngoài.
Các kết quả thu được cho thấy hệ có thể tạo ra các trạng thái đan rối cực
đại với độ chính xác cao. Tính hợp lý của các kết quả được khẳng định khi so
sánh với các kết quả đạt được trong các công trình trước đó.
Chúng tôi đã mở rộng khảo sát các bài toán đối với các điều kiện đầu khác
nhau. Các kết quả chỉ ra rằng, giá trị và vị trí cực đại của các entropy đan rối và
các xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell thay đổi một cách đáng
kể đối với các điều kiện đầu khác nhau của các phương trình chuyển động của
biên độ xác suất, cũng như với các giá trị khác nhau của các tham số liên kết.
77 Chương 3
ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TRẮNG ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH TRẠNG
THÁI ĐAN RỐI CỰC ĐẠI TRONG BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR
Một trong những đặc điểm nổi bật của laser là tính đơn sắc cao. Trong
hầu hết các công trình đã nghiên cứu trước đây về bộ nối phi tuyến, người ta cho
rằng ánh sáng laser là đơn sắc. Ở chương này, chúng tôi xem xét ảnh hưởng của
nhiễu trắng đối với khả năng tạo ra các trạng thái lượng tử có độ đan rối cao
trong các bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính hay phi tuyến với nhau và được
bơm một mode hoặc hai mode bởi trường ngoài.
3.1. Trung bình của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu trắng
Trong bức tranh Heisenberg, các phương trình thu được đối với các biến
động lực học là tuyến tính, do đó có thể dễ dàng thu được các phương trình cho
các đại lượng trung bình tương ứng bằng cách sử dụng các kết quả quen thuộc từ
lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên [44, 52, 110, 111]. Đối với các vấn đề được
xem xét ở đây, chúng tôi giả sử rằng trường laser được tách thành hai thành phần:
, (3.1)
trong đó là thành phần kết hợp tất định của trường và quá trình ngẫu nhiên
được đặc trưng bởi nhiễu trắng dưới dạng sau:
, (3.2)
trong đó: a0 là tham số liên quan tới thành phần nhiễu, dấu ngoặc kép biểu thị
[44, 52]. Lúc đó, dạng tổng quát
giá trị trung bình trên toàn bộ các quá trình
, (3.3)
của các phương trình động lực học đối với hệ được xem xét được viết như sau:
78
ở đây Q là hàm véctơ theo thời gian và M1, M2 và M3 là các ma trận hằng.
Như đã biết từ lý thuyết quá trình ngẫu nhiên đã được trình bày ở chương
, (3.4)
một, hàm thỏa mãn phương trình trung bình sau [44, 52, 68]:
trong đó là hệ thức phản giao hoán của M2 và M3.
3.2. Các trạng thái có độ đan rối cực đại tạo ra trong bộ nối phi tuyến
kiểu Kerr khi trường laser được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên
3.2.1. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode
Mục tiêu ở đây là xem xét ảnh hưởng của nhiễu trường ngoài và trường liên
kết đối với việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến Kerr,
bao gồm hai dao động tử phi tuyến lượng tử. Các dao động tử này được ghép tuyến
tính với nhau và một trong số chúng được bơm bởi trường cổ điển bên ngoài, được
giả sử chia thành hai thành phần: thành phần kết hợp và thành phần nhiễu trắng.
Hơn nữa, nghiệm giải tích của phương trình vi phân ngẫu nhiên của biên độ xác
suất mô tả động lực học của hệ sẽ được rút ra cũng như biểu diễn bằng đồ thị và so
sánh chúng với các kết quả thu được trước đó trong tài liệu.
3.2.1.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode
Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode được
xét ở đây là sự mở rộng mô hình đã trình bày ở mục 2.1.1.1 cho trường hợp các
trường liên kết được mô hình hóa bởi nhiễu trắng, tức là trường liên kết được giả
thiết tách thành hai thành phần là phần kết hợp và nhiễu trắng.
Ta giả sử rằng các tham số liên kết và là bằng nhau, khi đó hệ phương trình
chuyển động của các biên độ xác suất (2.13) trở thành hệ phương trình có dạng sau:
79
(3.5)
Bằng cách áp dụng phương trình trung bình (3.4) cho hệ phương trình
chuyển động của các biên độ xác suất (3.5) trong đó các ma trận M1, M2 và M3
có dạng như sau:
, , , (3.6)
Để cho gọn, từ đây trở đi dấu ngoặc kép biểu thị giá trị trung bình đã được bỏ
qua. Khi đó, ta thu được các phương trình chuyển động cho trung bình ngẫu nhiên
của các biên độ xác suất có dạng:
(3.7)
và tham
Hơn nữa, giả sử rằng cả hai mode ban đầu ở trạng thái chân không
,
số liên kết là số thực, ta tìm được nghiệm của các biên độ xác suất phức
có dạng:
80
(3.8)
và
trong đó .
Có thể dễ dàng thấy rằng khi không có mặt của tham số liên quan đến thành
phần nhiễu , kết quả của chúng tôi giống với kết quả thu được trong [20].
Mặt khác, khi giả sử rằng một mode ban đầu ở trạng thái chân không và mode kia
ban đầu ở trạng thái Fock, cụ thể là trạng thái . Lúc này nghiệm của hệ
(3.9)
phương trình vi phân nói trên cho có dạng sau:
Các biên độ xác suất tìm được ở mục này sẽ được sử dụng để khảo sát sự
sinh các trạng thái đan rối cực đại của hệ trong phần tiếp theo.
3.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự tạo ra các trạng thái đan
rối trong bộ nối tương tác tuyến tính được bơm một mode
Ở đây, chúng tôi sử dụng công thức entropy von Neumann (2.26) cho các
biên độ xác suất ở (3.8) và (3.9) để khảo sát sự ảnh hưởng của nhiễu trắng đối
81 với sự tiến triển của entropy đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính
được bơm một mode. Hình 3.1 mô tả sự tiến triển của entropy đan rối với các
giá trị khác nhau của tham số a0.
và
Hình 3.1: Sự tiến triển của các entropy đan rối
(đơn vị ebit) của các trạng
rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
thái cắt với
rad/s và đường nét gạch chấm ứng với
rad/s
trở nên giống với kết quả của Miranowicz và
Khi , kết quả của
Leoński [20]. Entropy đan rối có thể đạt đến giới hạn 1 ebit hoặc gần với nó cho
các trạng thái kiểu Bell được hình thành. Vì vậy, nó chứng minh rằng các bộ nối
phi tuyến Kerr với các tương tác tuyến tính giữa các mode trường có thể được coi
là nguồn của các trạng thái đan rối cực đại. Chúng ta có thể thấy rằng trong Hình
có thể đạt đến giới hạn 1 ebit hoặc gần với nó hơn so với
3.1, entropy đan rối
và số lượng các đỉnh nhiều gấp đôi so với số đỉnh của , tức là các dao
động nhanh hơn hai lần. Đối với trường hợp a0 ≠ 0, chúng ta thấy rằng đối với , entropy đan rối tăng chậm trong khoảng 0 < t < 2x10-6s, giảm nhanh trong
khoảng 2x10-6s < t < 6x10-6s và tăng nhanh trong khoảng 6x10-6s < t < 8x10-6s so
với trường hợp không có mặt của tham số a0. Đối với , khi tham số a0 có mặt,
82 entropy đan rối hầu như giảm dần và các đỉnh có chiều cao thấp hơn sẽ biến mất
dần, nhưng khi a0 tăng, các đỉnh lại tách thành hai đỉnh có chiều cao gần bằng nhau. Có thể kết luận rằng nếu có tham số liên quan đến thành phần nhiễu, giá trị
cực đại của entropy đan rối giảm so với trường hợp và các giá trị của
entropy đan rối gần như lớn hơn không, có nghĩa là các trạng thái của hệ hầu như
là trạng thái đan rối. Kết quả là, tham số a0 liên quan đến thành phần nhiễu là một tham số quan trọng để điều khiển việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại.
Để khảo sát ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái
đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm một mode,
chúng tôi sử dụng công thức (2.30) cho các biên độ xác suất tìm được ở (3.8) và
và
, vì vậy ta không cần phải vẽ các
(3.9). Dễ dàng thấy rằng
và
đồ thị của xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell .
Trong trường hợp các trạng thái ban đầu là trạng thái chân không hai
mode và trạng thái Fock n-photon , các xác suất để tạo ra các
trạng thái kiểu Bell được mô tả trong các hình từ 3.2 đến 3.4.
và
với
rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và
đường nét gạch chấm ứng với
rad/s
83
và
với
rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường
nét gạch chấm ứng với
rad/s
và
rad/s.
với
Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường nét
gạch chấm ứng với
rad/s
84
Khi không có tham số a0, kết quả thu được giống với kết quả trong trong
và
[20]. Hình 3.2 cho thấy các trạng thái là sự chồng chập của
và , có thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Trong khi đó, các
và
trong hình 3.4, là sự chồng chập của
trạng thái và
, không thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Kết quả là, các trạng thái
và không thể trở thành trạng thái đan rối cực đại với trạng thái
ban đầu là các trạng thái chân không. Tuy nhiên, việc tạo ra các trạng thái đan
và
rối cực đại cho sẽ có khả năng bằng cách giả sử rằng hệ ban đầu
ở trạng thái Fock n-photon , được chỉ ra ở Hình 3.3. Tuy nhiên, khi tham số
, các hình từ 3.2 đến 3.4 chỉ ra rằng các trạng thái đan rối cực đại đến
và đến không được tạo ra, cụ thể là các xác suất đối với sự tồn
tại của các trạng thái đến và đến tương ứng chỉ có thể
đạt 0,793, 0,929, 0,798, 0,790 và 0,790, 0,798, 0,943, 0,844. Những điều này có
thể giải thích rằng sự hiện diện của tham số a0 làm cho giao thoa lượng tử của hệ bị suy yếu khi so sánh với trường hợp tham số này không có mặt.
Đặc biệt, ta thấy rằng khi tham số a0 xuất hiện, trong Hình 3.4, các xác
suất để hệ tồn tại trong trạng thái là lớn hơn và trong Hình 3.3, các đỉnh
càng cao sẽ giảm mạnh hơn trong khi các đỉnh càng thấp thì càng được tăng
cường khi so với trường hợp khi tham số a0 vắng mặt. Điều này có nghĩa là các
xác suất tìm thấy hệ trong trạng thái đan rối ổn định hơn. Ngoài ra, ở phía bên
trái của trạng thái đan rối cực đại, nếu tham số a0 tăng thì các xác suất cho
trong Hình 3.2 giảm và các đỉnh của xác suất có xu hướng tách thành và
hai đỉnh bắt đầu từ đỉnh cực đại, trong khi phía bên phải của trạng thái này, các
xác suất cho tăng hoặc giảm không theo quy luật như bên trái và
của nó. Thêm vào đó, các giá trị tối đa của các xác suất cho đến
85 dịch chuyển về phía thời gian bằng không so với trường hợp không có mặt của
tham số liên quan đến thành phần nhiễu.
Ở trên chúng tôi đã xét các trường hợp cả hai mode ban đầu ở trạng thái
chân không và trạng thái Fock n-photon . Chúng tôi xem xét các
trường hợp khác cho sự tiến triển của hệ khi các mode ban đầu ở trạng thái
, có nghĩa là , trong đó . Khi đó, và
dễ dàng tìm được sự tiến triển của các trạng thái ban đầu của hệ được xem xét ở
đây có dạng sau:
(3.10)
,
,
Từ đó cũng dễ dàng tìm được mối liên hệ giữa các entropy đan rối như sau:
(3.11)
và các biên độ xác suất phức:
(3.12)
Cần lưu ý rằng khi a0 = 0, hệ được xem xét đối với các trạng thái ban đầu
hoặc tiến triển với chu kỳ tương tự thành các trạng thái đan rối cực đại
, hoặc , , tương ứng với độ chính xác cao nhưng không
tiến triển thành các trạng thái hoặc . Điều này trái , ,
ngược với sự tiến triển của hệ đối với các trạng thái ban đầu . hoặc
Khi tham số a0 có mặt, các trạng thái của hệ được xem xét hầu như là các trạng
thái đan rối nhưng không tạo ra các trạng thái đan rối cực đại cho tất cả các
trạng thái ban đầu. Để cho ngắn gọn, chúng tôi không trình bày ở đây các đồ thị
về sự tiến triển của hệ cho các trạng thái đầu và vì chúng đã được
trình bày ở các hình từ 3.1 đến 3.4 cho các trạng thái ban đầu và .
86
3.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode
Trong phần này, chúng tôi sẽ nghiên cứu thăng giáng lượng tử của bộ nối
phi tuyến gồm hai dao động tử phi tuyến Kerr. Các dao động tử này liên kết với
nhau bởi tương tác tuyến tính và cả hai mode được kích thích bởi các trường
điện từ ngoài, được mô hình hóa bởi quá trình ngẫu nhiên, cụ thể là nhiễu trắng.
Chúng tôi sẽ tập trung khảo sát sự ảnh hưởng của nhiễu trắng vào khả năng tạo
ra các trạng thái đan rối cực đại. Các trạng thái này có thể được tạo ra với độ
chính xác cao.
3.2.2.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode
Ở phần trên chúng tôi đã nghiên cứu ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với
khả năng tạo ra các trạng thái đan rối cực đại của bộ nối phi tuyến tương tác
tuyến tính được bơm một mode bởi trường ngoài. Trong phần này chúng tôi tiếp
tục mở rộng khảo sát cho trường hợp bộ nối như trên nhưng được bơm cả hai
mode bởi trường ngoài. Mô hình này tương tự mô hình đã xem xét ở mục
2.1.1.2, chỉ khác là trường ngoài được mô hình hóa bởi nhiễu trắng.
Giả sử các tham số liên kết , lúc đó hệ phương trình chuyển động
của các biên độ xác suất (2.20) được viết lại như sau:
(3.13)
Bằng cách sử dụng phương trình (3.4) cho các phương trình chuyển động (3.13)
trong đó các ma trận hằng M1, M2 và M3 có dạng:
87
, , , (3.14)
ta tìm được hệ các phương trình vi phân trung bình ngẫu nhiên của các biến:
(3.15)
Bằng cách giả thiết rằng cả hai mode ban đầu ở trạng thái chân không và chỉ
xét trường hợp hệ số liên kết là thực, ta tìm được nghiệm của hệ phương trình
(3.16)
(3.15) dưới dạng sau:
trong đó và . Từ phương trình
(3.16), dễ dàng chỉ ra rằng khi , kết quả của chúng tôi giống với kết quả
tìm được trong [20]. Mặt khác, khi thời gian t = 0, một mode ở trạng thái chân
không và mode kia ở trạng thái Fock, cụ thể là trạng thái , ta thu được các
nghiệm cho với có dạng:
(3.17)
88
Có thể sử dụng các biên độ xác suất trong các phương trình (3.16) và (3.17) để xem xét việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại trong bộ nối phi tuyến Kerr ở phần tiếp theo.
3.2.2.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự tạo ra các trạng thái đan
rối trong bộ nối tương tác tuyến tính được bơm hai mode
Tương tự như trường hợp bộ nối được bơm một mode, công thức entropy von Neumann (2.26) được áp dụng cho các biên độ xác suất phức tìm được ở (3.16) và (3.17) để xem xét sự tiến triển của entropy đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính được bơm hai mode, khi các trường ngoài và trường liên kết được mô hình hóa bởi nhiễu trắng. Sự tiến triển của các entropy đan rối
và của các trạng thái cắt được chỉ ra trong Hình 3.5.
và
(đơn vị ebit) của các
trạng thái cắt với
rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng
với
rad/s và đường gạch chấm là cho
rad/s
89
Những kết quả này cho thấy rằng khi tham số , entropy của đan rối
tương tự kết quả thu được trong [20]. Có thể thấy rằng số lượng các đỉnh
của nhiều gấp ba lần của , nghĩa là các dao động theo thời gian của
nhanh hơn ba lần so với của . Cực đại đầu tiên của là cao nhất, trong
khi đối với có ba cực đại cao nhất bằng nhau đó là các cực đại thứ 2, 4 và 5.
Mặt khác, thông tin quan trọng nhất là giá trị cực đại của các entropy đan rối
và gần như xấp xỉ bằng đơn vị. Vì vậy, hệ được xét sẽ tạo ra các trạng
), giá trị của các thái đan rối cực đại thực sự. Khi tham số a0 có mặt (
giảm rất ít và cực đại cao nhất của các entropy đan rối
entropy đan rối và
thay đổi, cụ thể là cực đại thứ tư của là cao nhất, trong khi đối với các cực
đại cao nhất là cực đại thứ 2, 3 và 5 đối với trường hợp và cực đại thứ ba
đối với trường hợp so với trường hợp khi . Tức là, hệ mà ta xem
xét cũng có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell. Ngoài ra, khi tham số a0 tăng, vị
trí của các cực đại cững dịch chuyển về phía thời gian không. Vì vậy, trong một
khoảng nhất định, số lượng các cực đại tăng lên. Điều này có nghĩa là các chu
kỳ dao động tăng khi a0 tăng so với trường hợp khi . Do đó, tham số a0 là
một tham số quan trọng để điều khiển vị trí của các cực đại cao nhất và số cực
đại của hệ.
Mô hình bộ nối ở đây tương tự với mô hình ở mục 2.1.1.2, vì vậy, để xem xét
sự tạo thành các trạng thái đan rối cực đại của bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính
với nhau và được bơm hai mode bởi trường ngoài, được mô hình hóa bởi nhiễu trắng
chúng tôi sử dụng công thức (2.30) cho các biên độ xác suất phức ở (3.16) và (3.17).
Các xác suất để tìm thấy hệ trong các trạng thái kiểu Bell được biểu thị trong các
hình vẽ từ Hình 3.6 đến Hình 3.8.
90
và
với
rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s
và đường gạch chấm là cho
rad/s
với
và
rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s
và đường gạch chấm là cho
rad/s
91
với
và
rad/s
rad/s. Đường nét liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
và đường gạch chấm là cho
rad/s
Không khó để thấy rằng và , do đó để cho ngắn gọn,
các đồ thị của xác suất để hệ tồn tại trong các trạng thái kiểu Bell và
,
,
có thể được bỏ qua. Khi tham số , các kết quả của chúng tôi trong Hình
và
xấp xỉ bằng 1, có nghĩa là hệ thực sự có thể tạo ra các trạng thái
,
,
3.6 và 3.8 giống với các kết quả của [20]. Các xác suất lớn nhất của
và
kiểu Bell . Điều này trái ngược với các trường hợp
bằng nhau và chỉ
và trong đó các xác suất cực đại của và
và
đạt 0,235 tức là các trạng thái kiểu Bell không được tạo ra. Khi
tham số , các xác suất lớn nhất của và giảm từ từ, trong khi
,
và
xác suất lớn nhất của tăng dần. Vì vậy, hệ có thể tạo ra các trạng thái kiểu
. Ngược lại, xác suất lớn nhất của
Bell giảm nhanh
92
chóng, trong khi đó các xác suất lớn nhất của và tăng khi tham số a0
tăng nhưng chúng chỉ đạt các giá trị tương ứng là 0,310 và 0,306. Điều này có
nghĩa là hệ không thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell , và . Hơn
nữa, khi tham số a0 tăng, các xác suất cực đại dịch chuyển về phía thời gian
bằng không, tức là số lượng các đỉnh xác suất tăng lên trong một khoảng thời
gian nhất định. Do đó, tham số a0 liên quan đến thành phần nhiễu cũng là một
tham số quan trọng để kiểm tra một cách có hiệu quả việc tạo ra các trạng thái
kiểu Bell của hệ. Những kết quả này có thể giải thích rằng sự hiện diện của tham
số liên quan đến thành phần nhiễu làm thay đổi giao thoa lượng tử của hệ so với
trường hợp tham số này vắng mặt.
cả hai mode đã được giả định ở
Phần trên đã xét các trường hợp khi
các trạng thái chân không và trạng thái n-photon . Bây giờ chúng
ta xem xét sự tiến triển của hệ khi các mode dao động ban đầu ở các trạng thái
n-photon và , tức là , với . Do đó, sự
tiến triển của các trạng thái ban đầu của hệ được xem xét ở đây có dạng như sau:
(3.18)
Từ đó chúng ta dễ dàng tìm được entropy đan rối như sau:
, , (3.19)
và là:
Điều đáng chú ý là nếu thì hệ đối với các trạng thái ban đầu
,
,
hoặc gần như tiến triển theo chu kỳ thành các trạng thái kiểu Bell tương
hoặc
, với độ tin cậy cao nhưng không tiến triển thành
ứng
,
hoặc
,
93
. Điều này trái ngược với sự tiến triển
các trạng thái
của hệ đối với các trạng thái ban đầu hoặc . Nếu , trạng thái
của hệ là các trạng thái đan rối nhưng hệ không tạo ra các trạng thái kiểu Bell
cho cả bốn trạng thái ban đầu. Tất cả các đồ thị đối với sự tiến triển của hệ cho
các trạng thái ban đầu và đều trùng với các Hình từ 3.5 đến 3.8, vì
vậy để cho ngắn gọn, chúng sẽ không được biểu thị ở đây.
3.2.3. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự hình thành các trạng thái
đan rối trong bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode
Trong phần này chúng tôi sẽ xem xét bộ nối phi tuyến gồm hai dao động tử
phi tuyến liên kết phi tuyến với nhau, và một trong hai mode của bộ nối này được
kích thích bởi một trường thực tế hơn trong trường hợp độ rộng của trường này
được tính đến. Điều này có nghĩa là trường ngoài được giả định phân thành hai
thành phần: nhiễu trắng và tất định. Điều thú vị chủ yếu theo quan điểm của chúng
tôi là những hệ này có thể thay đổi việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại.
3.2.3.1. Mô hình bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode
Ở phần này bộ nối gồm hai dao động tử phi tuyến tương tác phi tuyến với
nhau và một trong hai dao động tử này được bơm bởi trường ngoài được xem
xét. Mô hình này là sự mở rộng mô hình đã trình bày ở mục 3.2.1 cho trường
hợp liên kết giữa hai dao động tử là liên kết phi tuyến thay cho liên kết tuyến
tính. Mô hình này cũng là sự mở rộng của mô hình ở mục 2.2.1 khi trường ngoài
được mô hình hóa bởi nhiễu trắng.
Bằng cách giả sử rằng các tham số liên kết , lúc đó hệ phương trình
chuyển động của các biên độ xác suất (2.42) được viết lại như sau:
(3.21)
94
Từ đó, ta áp dụng phương trình trung bình (3.4) cho các phương trình
chuyển động của các biên độ xác suất phức (3.21) với các ma trận hằng M1, M2
và M3 được viết dưới dạng:
, , , (3.22)
khi đó hệ các phương trình chuyển động cho các biên độ xác suất trở thành các
phương trình trung bình ngẫu nhiên với dạng sau:
(3.23)
Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu (t = 0), mode a chứa cả hai photon còn
mode b không chứa photon nào ( ) và tham số liên kết là số thực. Lúc
đó nghiệm của hệ phương trình (3.23) tìm được có dạng như sau:
(3.24)
Mặt khác nếu giả sử rằng khi , mode a chứa một photon và mode b chứa hai
photon ( ) thì nghiệm của hệ phương trình (3.23) có thể tìm được dưới dạng:
(3.25)
95
còn khi ta giả sử tại thời điểm , mode a không chứa photon nào còn mode b
chứa cả hai photon ( ) thì nghiệm của hệ phương trình (3.23) tìm được có dạng:
(3.26)
Từ hệ phương trình (3.26), dễ dàng thấy rằng sự tiến triển của entropy đan rối và
các trạng thái kiểu Bell đối với trường hợp trạng thái ban đầu không phụ
thuộc vào tham số liên quan đến thành phần nhiễu . Điều đó chứng tỏ rằng đối
với trạng thái ban đầu mà mode a không chứa photon nào, còn mode b chứa cả
hai photon thì nhiễu trắng của trường ngoài bơm vào mode a không làm ảnh
hưởng đến sự thăng giáng của hệ được xét. Nghĩa là đối với trường hợp này liên
kết của các mode rất bền vững, không bị ảnh hưởng bởi nhiễu trắng của các
trường liên kết.
Ta có thể sử dụng các biên độ xác suất tìm được trong các phương trình từ
(3.24) và (3.25) để thảo luận về sự tiến triển của entropy đan rối và các xác suất
cho sự tồn tại của hệ ở các trạng thái kiểu Bell đối với các giá trị khác nhau của
ở phần tiếp theo.
tham số
3.2.3.2. Ảnh hưởng của nhiễu trắng đối với sự tạo ra các trạng thái đan
rối trong bộ nối tương tác phi tuyến được bơm một mode
Bộ nối được xem xét ở đây tương tự với bộ nối đã khảo sát ở mục 2.2.1, vì
vậy, để khảo sát sự tiến triển của hệ khi trường ngoài được mô hình hóa bởi nhiễu
và
trắng, chúng tôi sử dụng công thức (2.56) cho các biên độ xác suất phức tìm được từ
(3.24) đến (3.26). Các entropy đan rối được chỉ ra trong Hình 3.9.
96
và
(đơn vị ebit)
trong bộ nối liên kết phi tuyến được bơm một mode với
rad/s. Đường nét
liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường gạch chấm
ứng với
rad/s
và
Những kết quả này cho thấy rằng khi tham số , entropy đan rối
trong Hình 3.9 giống kết quả tìm được trong [23]. thay đổi theo chu
kỳ và đối với các trạng thái kiểu Bell, chúng có giá trị bằng 1 ebit trong khi đối
với các trạng thái có thể phân tách, chúng có giá trị bằng 0. Hơn nữa, từ sự tiến
cho thấy rằng ngoài cực đại thứ hai của
triển của và , các cực đại
khác hầu như bằng đơn vị trong khi các cực tiểu hầu như bằng không, tức là hệ
này có thể được nghiên cứu như là nguồn của các trạng thái kiểu Bell.
Khi , các entropy đan rối và cũng thay đổi theo chu kỳ thời
gian. Khi tham số tăng, cực đại thứ hai của cũng tăng đến xấp xỉ bằng
đơn vị và khi đó nó tách thành hai vạch trong khi hai cực đại tiếp theo của
và hai cực đại đầu tiên của giảm dần và nhập lại thành một vạch. Như vậy,
97 các entropy tiến triển theo thời gian, khi cực đại này bị giảm xuống thì cực đại
khác lại tăng lên xấp xỉ bằng đơn vị theo tham số . Điều đó có nghĩa là hệ
được xét cũng có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell. Ngoài ra, các cực tiểu của
các entropy đều khác không khi tăng. Điều đó có nghĩa là các trạng thái của
hệ trong trường hợp này luôn là trạng thái đan rối. Hơn nữa, cường độ và vị trí
cực đại của các entropy đan rối cũng thay đổi theo thời gian khi tham số tăng.
Bộ nối được xem xét ở đây tương tự với bộ nối đã khảo sát ở mục 2.2.1, vì
vậy, để khảo sát sự tạo ra các trạng thái đan rối cực đại của bộ nối này khi trường
ngoài được mô hình hóa bởi nhiễu trắng, chúng tôi sẽ sử dụng công thức (2.52) cho
các biên độ xác suất phức tìm được từ việc giải hệ phương trình (3.23). Các Hình từ
3.10 đến 3.15 biểu diễn các xác suất cho sự tồn tại của hệ ở các trạng thái kiểu
Bell với các giá trị khác nhau của tham số liên quan đến thành phần nhiễu .
và
với
rad/s. Đường nét
liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường gạch chấm ứng với
rad/s
98
và
với
rad/s. Đường nét
liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường gạch chấm ứng với
rad/s
và
với
rad/s. Đường nét
liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường gạch chấm ứng với
rad/s
99
và
với
rad/s. Đường nét
liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường gạch chấm ứng với
rad/s
và
với
rad/s. Đường nét
liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường gạch chấm ứng với
rad/s
100
và
với
rad/s. Đường nét
liền ứng với
, đường nét gạch ứng với
rad/s và đường gạch chấm ứng với
rad/s
Khi , các kết quả thu được (đường nét liền trong các hình vẽ từ 3.10
đến 3.15) giống với các kết quả đã tìm được cho trường hợp bộ nối phi tuyến
tương tác phi tuyến được bơm một mode bởi trường ngoài ở chương 2. Các giá
trị của cực đại cao nhất của các xác suất tương ứng với các trạng thái (Hình
3.10), (Hình 3.11), (Hình 3.14) và (Hình 3.15) xấp xỉ bằng đơn
vị. Điều này có nghĩa là các trạng thái kiểu Bell được tạo ra, trong khi các trạng
thái đan rối cực đại không được tạo ra đối với các trạng thái còn lại. Đối với
trường hợp khi tham số càng tăng, các cực đại lớn nhất của các xác suất gần
bằng đơn vị của các trạng thái kiểu Bell (Hình. 3.10), (Hình. 3.11),
(Hình. 3.14) và (Hình. 3.15) càng giảm, trong khi các cực đại xác suất
có giá trị từ 0,5 trở xuống lại được tăng cường (từ Hình 3.10 đến 3.15) so với
khi không có mặt của tham số . Do đó, hệ được xem xét có thể tạo ra các trạng
101 là nhỏ, trong khi đối với giá trị lớn, thái kiểu Bell khi giá trị của tham số
các trạng thái đan rối cực đại không thể sinh ra trong hệ. Những kết quả này có
thể được giải thích rằng giao thoa lượng tử của hệ được khảo sát trở nên yếu hơn
khi tham số tăng. Ngoài ra có một số xác suất cực tiểu để của hệ luôn lớn hơn
không, nghĩa là các trạng thái này luôn tồn tại ở trạng thái đan rối. Cụ thể, Hình
3.13 cho thấy rằng khi tham số tăng, một số xác suất cực đại của hệ tồn tại ở các
trạng thái và tăng trong khi các xác suất khác giảm và các xác suất cực tiểu
để tìm thấy hệ ở các trạng thái này giảm dần về 0. Điều đó có nghĩa là các xác suất để
hệ tồn tại ở các trạng thái đan rối này là không ổn định.
Các trạng thái kiểu Bell được tạo ra trong các bộ nối phi tuyến kiểu Kerr
nghiên cứu ở đây sẽ được ứng dụng trong các công nghệ như mật mã lượng tử,
viễn tải lượng tử hay máy tính lượng tử. Mật mã lượng tử khai thác chính bản
chất vật lý của các trạng thái lượng tử. Nó cho phép bảo mật thông tin truyền đi
bằng truyền thông quang, qua sợi quang hay qua không gian với thông tin được
bảo mật tuyệt đối. Khi viễn tải lượng tử toàn bộ thông tin của qubit được truyền
chính xác trong không gian mà không cần sự di chuyển của vật thể mang qubit.
Máy tính lượng tử xuất hiện sẽ là thiết bị dùng trực tiếp các trạng thái đan rối
lượng tử để thực hiện những phép toán phức tạp của dữ liệu vào nhanh hơn rất
nhiều bất kỳ một máy tính hiện tại sử dụng các thuật toán tối ưu nhất hiện nay.
3.3. Kết luận chương 3
Trong chương này, chúng tôi đã nghiên cứu bộ nối phi tuyến gồm hai dao
động tử phi tuyến được ghép tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau và một hoặc cả
hai dao động tử này được bơm bởi các trường ngoài. Các trường ngoài này được
mô hình hóa bởi nhiễu trắng.
Bằng cách sử dụng hình thức luận kéo lượng tử phi tuyến, chúng tôi đã
chỉ ra rằng sự tiến triển của hệ đối với trường hợp các mode ban đầu ở trạng thái
102 chân không hoặc ở trạng thái Fock n-photon được khép kín trong một tập hợp
hữu hạn của các trạng thái Fock n-photon.
Các kết quả cho thấy rằng khi không có tham số liên quan đến thành phần
nhiễu a0, hệ đã tạo ra các trạng thái đan rối cực đại. Hơn nữa, khi tham số a0 có
giá trị nhỏ, hệ cũng có thể tạo ra các trạng thái đan rối cực đại so với khi không
có mặt của tham số a0. Vì vậy, hệ được xét có thể được xem là nguồn của các
trạng thái đan rối cực đại. Ngoài ra, vị trí các cực đại xác suất để hệ tồn tại trong
các trạng thái kiểu Bell bị dịch chuyển so với khi không có tham số a0. Kết quả
là, tham số a0 liên quan đến thành phần nhiễu là một tham số quan trọng để điều
khiển việc tạo ra các trạng thái đan rối cực đại.
Chúng tôi tin rằng mô hình được xét ở đây là thực tế hơn so với mô hình
được khảo sát trong trường hợp không có nhiễu trắng, bởi vì cường độ của
trường laser được sử dụng trong thực nghiệm luôn chứa một số thành phần
thăng giáng.
103 KẾT LUẬN CHUNG
Khi sự thăng giáng của laser được xét đến trong thực nghiệm, ta sử dụng
quá trình ngẫu nhiên để mô hình hóa ánh sáng laser. Khi đó, các phương trình
động lực học của hệ được xét trở thành các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Việc
lấy trung bình các phương trình vi phân ngẫu nhiên này cho ta khả năng phản ánh
sự ảnh hưởng của các thăng giáng laser vào các đại lượng nguyên tử được xem
xét. Hầu hết các mô hình ngẫu nhiên của laser có đặc điểm chung: laser là một
trường điện từ cổ điển và là quá trình ngẫu nhiên Gauss dừng với thời gian tương
quan hữu hạn. Việc lấy trung bình giải tích chính xác các phương trình vi phân
ngẫu nhiên với nhiễu Gauss có thời gian tương quan hữu hạn là rất khó. Chỉ
trường hợp đặc biệt của nhiễu trắng đã được nghiên cứu một cách đầy đủ và thu
được nhiều kết quả thú vị. Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu việc tạo ra
các trạng thái lượng tử có độ đan rối cao trong các bộ nối phi tuyến tương tác
tuyến tính hay phi tuyến với nhau được bơm một mode hoặc hai mode bởi trường
ngoài đơn sắc, hay được mô hình hóa bởi nhiễu trắng với các điều kiện đầu khác
nhau của các phương trình vi phân và đã thu được những kết quả mới, thú vị. Từ
đó, chúng tôi rút ra được những kết luận chính sau:
1. Bằng cách sử dụng hình thức luận kéo lượng tử phi tuyến, đề tài đã chỉ
ra rằng sự tiến triển của hệ đối với các bộ nối phi tuyến có thể được khép kín
trong một tập hợp hữu hạn các trạng thái n-photon. Cụ thể, sự tiến triển của hệ
được giới hạn trong bốn trạng thái , , và đối với bộ nối
phi tuyến tương tác tuyến tính, ba trạng thái , và đối với bộ
nối phi tuyến tương tác phi tuyến được bơm một mode và bốn trạng thái
, , và đối với bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến
được bơm hai mode.
2. Các bộ nối phi tuyến có thể được xem là nguồn của các trạng thái đan
rối cực đại. Các entropy đan rối và trạng thái kiểu Bell của hệ thay đổi một cách
đáng kể đối với các điều kiện đầu khác nhau của hệ các phương trình chuyển
động của các biên độ xác suất.
104
3. Hệ được xem xét có thể tạo ra các trạng thái kiểu Bell với độ tin cậy
cao đối với trường hợp trường liên kết không có nhiễu. Khi trường liên kết được
mô hình hóa bởi nhiễu trắng, xác suất cực đại để hệ tồn tại trong các trạng thái
có độ đan rối cao giảm và vị trí cực đại cũng thay đổi nhưng hệ vẫn có thể tạo ra
các trạng thái kiểu Bell đối với trường hợp giá trị của tham số liên quan đến
rad/s đối với bộ nối phi tuyến tương thành phần nhiễu a0 là nhỏ, cụ thể
rad/s đối với bộ nối phi tuyến
tác tuyến tính được bơm hai mode và
tương tác phi tuyến được bơm một mode.
4. Tham số liên quan đến thành phần nhiễu a0 là một tham số quan trọng
để điều khiển việc tạo ra các trạng thái có độ đan rối cực đại.
5. Mô hình được xem xét khi trường liên kết được mô hình hóa bởi quá
trình ngẫu nhiên là thực tế hơn so với mô hình được khảo sát trong trường hợp
trường liên kết là đơn sắc, bởi vì cường độ của trường liên kết được sử dụng
trong thực nghiệm luôn chứa một số thành phần thăng giáng. Các kết quả thu
được là hữu ích để các nhà thực nghiệm lựa chọn mô hình của laser khi nghiên
cứu thực nghiệm về thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến. Nó cũng là
nền tảng để nghiên cứu các ứng dụng trong xử lý thông tin lượng tử, truyền
thông tin quang và chế tạo máy tính lượng tử.
Trong tương lai, luận án có thể mở rộng nghiên cứu ảnh hưởng của trường
liên kết được mô hình hóa bởi nhiễu trắng đối với bộ nối gồm hai dao động tử
phi tuyến tương tác phi tuyến với nhau được bơm hai mode bởi trường ngoài.
Ngoài ra, luận án hoàn toàn có thể phát triển cho bộ nối gồm ba dao động tử phi
tuyến liên kết tuyến tính hoặc phi tuyến với nhau.
Các kết quả nghiên cứu của chúng tôi đã được trình bày trong một số hội
thảo khoa học chuyên ngành trong nước và quốc tế. Các kết quả nghiên cứu
chính trong luận án cũng đã được công bố trên các tạp chí uy tín trong nước và
quốc tế.
105 CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ
[1] D.Q. Khoa, L.T.T. Oanh, C.V. Lanh, N.T. Dung, N.V. Hoa, “Generation of
entangled states by a nonlinear coupler pumped in one mode induced by
broadband laser”, Optical and Quantum Electronics 52 (2020) 13(1-12).
[2] L.T.T. Oanh, D.Q. Khoa, C.V. Lanh, H.M. Dong, N.T. Dung, N.T. Thao, N.X. Cuong,
“Generation of entangled states by a linear coupling coupler pumped in two modes
induced by broadband laser”, Optik - International Journal for Light and Electron
Optics 208 (2020) 164028(1-8).
[3] N.T. Anh, L.T.T. Oanh, C.V. Lanh, N.T. Dung, H.M. Dong, D.Q. Khoa,
“Broadband laser-driven creation of entangled state for a nonlinear
coupling coupler pumped in one mode”, has been accepted for publication
in Optical and Quantum Electronics.
[4] D.Q. Khoa, L.T.T. Oanh, C.V. Lanh, N.T. Dung, D.H. Son, “Generation of
maximally entangled states by a Kerr-like nonlinear coupler interacting
with external fields”, Communications in Physics 3 (2019) 223-240.
[5] L.T.T. Oanh, C.V. Lanh, N.T. Mạnh, D.Q. Khoa, “Entangled state
generation in a linear coupling coupler”, Vinh University Journal of
Science 49 (2020) 38-45.
[6] L.T.T. Oanh, D.H. Sơn, C.V. Lanh, H.Q. Quy, D.Q. Khoa, “Entangled state
generation by a Kerr-like nonlinear coupling couple”, Journal of Military
Science and Technology 61 (2019) 170-175.
[7] D.Q. Khoa, L.T.T. Oanh, C.V. Lanh, N.T. Dung, N.V. Hoa, “Finite-
dimensional states and entanglement generation”, Tan Trao University
Journal of Science 7 (2018) 97-101.
[8] N.T.H. Sang, L.T.T. Oanh, C.V. Lanh, D.Q. Tuan, L.T. Thuy, L.T.T. Binh,
D.Q. Khoa, “Generation of maximally entangled states in pumped
nonlinear couplers induced by broadband laser light”, Journal of Military
Science and Technology, Special Issue 48A (2017) 122-127.
106 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. Einstein, B. Podolsky, B. Rosen (1935), Can quantum-mechanical
description of physical reality be considered complete, Phys. Rev, 47, 777.
[2] A. Luk, V. Perinov, Z. Hradil (1988), Nonstationary Casimir effect in
cavities with two resonantly coupled modes, Acta. Phys. Pol. 74, 713.
[3] M.K. Olsen (2015), Spreading of entanglement and steering along small
Bose-Hubbard chains, Phys. Rev. A 92, 033627.
[4] X.T. Zou, L. Mandel (1990), Photon-antibunching and sub-Poissonian
photon statistics, Phys. Rev. A 41, 475.
[5] L.M. Duan, G. Giedke, J.I. Cirac and P. Zoller (2000), Inseparability
Criterion for Continuous Variable Systems, Phys. Rev. Lett. 84, 2722.
[6] M. Hillery and M. S. Zubairy (2006), Entanglement Conditions for Two-
Mode States, Phys. Rev. Lett. 96, 050503.
[7] C.T. Lee (1990), Higher-order criteria for nonclassical effects in photon
statistics, Phys. Rev. A 41, 1721.
[8] M. Hillery (2000), Quantum Key Distribution with Continuous Variables
in Optics, Phys. Rev. A 61, 022309.
[9] A. Ekert (1991), Quantum cryptography based on Bell’s theorem, Phys.
Rev. Lett. 67, 661.
[10] C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau, R. Jozsa, A. Peres, W.K. Wootters
(1993), Teleporting an unknown quantum state via dual classical and
Einstein-Podolsky-Rosen channels, Phys. Rev. Lett. 70, 1895.
[11] C.H. Bennett, S.J. Wiesner (1992), Communication via one- and two-particle
operators on Einstein-Podolsky-Rosen states, Phys. Rev. Lett. 69, 2881.
107 [12] M. Stobińska, A.S. Villar, G. Leuchs (2011), Qubit-qubit entanglement
dynamics control via external classical pumping and Kerr nonlinearity
mediated by a single detuned cavity field powered by two-photon
processes, Euro. Phys. Lett. 94, 54002.
[13] A. Miranowicz, R. Tanaś, S. Kielich, (1990), Generation of discrete
superpositions of coherent states in the anharmonic oscillator model,
Quant. Opt. 2, 253.
[14] M. Paprzycka, R. Tanaś (1992), Quantum - optical states in finite -
dimensional Hibert space, J. Eur. Opt. Soc. B 4, 331.
[15] M. Stobińska, H. Jeong, and T. C. Ralph (2007), Violation of Bell’s
inequality using classical measurements and nonlinear local operations,
Phys. Rev. A 75, 052105.
[16] H. Wang, X. Gu, Y.X. Liu, A. Miranowicz, F. Nori (2015), Photon
blockade in a double-cavity optomechanical system with nonreciprocal
coupling, Phys. Rev. A 92, 033806.
[17] V. Peřinová, A. Lukš, J. Křapelka (2013), Dynamics of nonclassical
properties of two-and four-mode Bose-Einstein condensates, J. Phys. B:
At. Mol. Opt. Phys. 46, 195301.
[18] W. Leoński (1996), Quantum and classical dynamics for a pulsed
nonlinear oscillator, Physica A 233, 365.
[19] W. Leoński, A. Kowalewska-Kudłaszyk (2011), Quantum scissors -
Finite-dimensional states engineering, Progress in Optics 56, 131.
[20] A. Miranowicz, W. Leoński (2006), Two-mode optical state truncation
and generation of maximally entangled states in pumped nonlinear
couplers, J. Phys. B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 39, 1683.
108 [21] W. Leoński, A. Miranowicz (2004), Kerr nonlinear coupler and
entanglement, J. Opt. B 6, S37.
[22] A. Kowalewska-Kudłaszyk, W. Leoński, J. Peřina Jr. (2011), Photon-
number entangled states generated in Kerr media with optical
parametric pumping, Phys. Rev. A 83, 052326.
[23] A. Kowalewska-Kudłaszyk, W. Leoński (2006), Finite-dimensional states and
entanglement generation for a nonlinear coupler, Phys. Rev. A 73, 042318.
[24] Z. Zhang, M.O. Scully, G.S. Agarwal (2019), Quantum entanglement
between two magnon modes via Kerr nonlinearitydriven far from
equilibrium, Phys. Rev. Resaerch 1, 023021.
[25] J. K. Kalaga, A. Kowalewska-Kudłaszyk, M. W. Jarosik, R. Szczȩśniak,
W. Leoński (2019), Enhancement of the entanglement generation via
randomly perturbed series of external pulses in a nonlinear Bose-
Hubbard dimer, Nonlinear Dynamics 97, 1619.
[26] Z.B. Yang, J.S. Liu, H. Jin, Q.H. Zhu, A.D. Zhu, H.Y. Liu, Y. Ming,
R.C. Yang (2020), Entanglement enhanced by Kerr nonlinearity in a
cavity- optomagnonics system, Optics Express 28, 31862.
[27] K.M. Birnbaum, A. Boca, R. Miller, A.D. Boozer, T. E. Northup, H.J.
Kimble (2005), Photon blockade in an optical cavity with one trapped
atom, Nature 436, 87.
[28] A. Miranowicz, J. Bajer, M. Paprzycka, Y. Liu, A.M. Zagoskin, F. Nori
(2014), State-dependent photon blockade via quantum-reservoir
engineering, Phys. Rev. A 90, 033831.
[29] Y. Liu, A. Miranowicz, Y.B. Gao, J. Bajer, C.P. Sun, F. Nori (2010),
Qubit-induced phonon blockade as a signature of quantum behavior in
nanomechanical resonators, Phys. Rev. A 82, 032101.
109 [30] N. Didier, S. Pugnetti, Y.M. Blanter, R. Fazio (2011), Detecting phonon
blockade with photons, Phys. Rev. B 84, 054503.
[31] Li-hui Sun, Gao-xiang Li, Z Ficek (2012), Coherence and entanglement
in a nanomechanical cavity, Phys.Rev. A 85, 022327.
[32] Q. Ho Quang, S. Vu Ngoc, T. Nguyen Thi Thanh, H. Nguyen Van
(2010), Nonlinear coupler for optical fiber Mach-Zehnder
interferometer, Communications in Physics 20, 45.
[33] Q. Ho Quang, S. Vu Ngoc, T. Nguyen Thi Thanh, H. Nguyen Van
(2012), Using a nonlinear coupler to sort a sequence of weak and strong
pulses, Proc. Natl. Conf. Theor. Phys. 37, 193.
[34] A. Nguyen Ba (1991), Squeezed excitons in semiconductors, Modern
Physics Letters B 5, 587.
[35] A. Nguyen Ba (1992), Squeezed states of biexcitons in excited
semiconductors, International Journal of Modern Physics B 6, 395.
[36] A. Nguyen Ba, D. Truong Minh (2002), Even and odd trio coherent
states: Antibunching and violation of Cauchy-Schwarz inequalities,
Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics 4, 289.
[37] A. Nguyen Ba, T. Vo (1999), General multimode sum-squeezing,
Physics Letters A 261, 34.
[38] A. Nguyen Ba, T. Vo (2000), General multimode difference-squeezing,
Physics Letters A 270, 27.
[39] D. Truong Minh, H. Nguyen Thi Xuan, A. Nguyen Ba (2014), Sum
squeezing, difference squeezing, higher-order antibunching and
entanglement of two-mode photon-added displaced squeezed states, Int.
J. Theor. Phys. 53, 899.
110 [40] A. Nguyen Ba, J. Kim, K. Kim (2011), Generation of cluster-type
entangled coherent states using weak nonlinearities and intense laser
beams, Quantum Information and Computation 11, 0124.
[41] H. Nguyen Thi Xuan, D. Truong Minh (2016), Nonclassical properties
and teleportation in the two-mode photon-added displaced squeezed
states, International Journal of Modern Physics B 30, 1650032.
[42] A. Nguyen Ba, J. Kim (2008), Joint remote state preparation, Journal of
Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 41, 095501.
[43] D. Truong Minh, D. Dang Huu, D. Tran Quoc (2020), Higher-order
nonclassical properties of nonlinear charge pair cat states, Journal of
Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 53, 025402.
[44] V. Cao Long, M. Trippenbach (1986), Photoelectron spectra induced by
broad-band chaotic light, Z. Phys. B 63, 267.
[45] V. Cao Long, K. Doan Quoc (2012), An exact soluble equation for the
steady state probability distribution in a nonlinear system, application to
the noise reduction in Raman ring laser. Opt. Quant. Electron. 43, 137.
[46] K. Doan Quoc, T. Bui Dinh, V. Cao Long, W. Leoński (2013), A
stochastic model of the influence of buffer gas collisions on Mollow
spectra, Eur. Phys. J. Spec. Top. 222, 2241.
[47] K. Doan Quoc, V. Cao Long, L. Chu Van, H. Nguyen Van, H. Nguyen Ngoc
(2016), Mollow spectrum influenced by collisional fluctuations described by
a stochastic model of collisions, Opt. Quant. Electron. 48, 45.
[48] K. Doan Quoc (2016), Noise reduction in a Raman ring laser by two-
telegraph pre-Gaussian pump, Opt. Quant. Electron. 48, 323.
[49] K. Doan Quoc, V. Cao Long, W. Leoński (2012), A broad-band laser-driven
double Fano system—photoelectron spectra, Phys. Scr. 86, 045301.
111 [50] K. Doan Quoc, V. Cao Long, W. Leoński (2012), Electromagnetically
induced transparency for Λ-like systems with a structured continuum and
broad-band coupling laser, Phys. Scr. T 147, 014008.
[51] K. Doan Quoc, V. Cao Long, L. Chu Van, P. Huynh Vinh (2016),
Electromagnetically induced transparency for Λ-like systems with
degenerate autoionizing levels and a broadband coupling laser, Optica
Applicata 46, 93.
[52] K. Doan Quoc, D. Nguyen Ba, T. Thai Doan, Q. Ho Quang, V. Cao
Long, W. Leoński, (2018), Broadband laser-driven electromagnetically
induced transparency in three-level systems with a double Fano
continuum, J. Opt. Soc. Am. B 35, 1536.
[53] M. Sargent, M.O. Scully, W.E. Lamb (1974), Laser Physics, Addison
Wesley, Reading.
[54] G.E. Uhlenbeck, L.S. Ornstein (1930), On the theory of the Brownian
motion, Phys. Rev. 36, 823.
[55] J.L. Doob (1942), The Brownian movement and stochastic equations,
Annals of Math. 43, 351.
[56] R. Short, L. Mandel, R. Roy (1982), Correlation Functions of a Dye Laser:
Comparison between Theory and Experiment, Phys. Rev. Lett. 49, 647.
[57] K. Kaminishi, R. Roy, R. Short, L. Mandel (1981), Investigation of
photon statistics and correlations of a dye laser, Phys. Rev. A 24, 370.
[58] W.H. Louisell (1973), Quantum Statistical Properties of Radiation, John
Wiley and Sons, New York.
[59] H. Haken (1966), Theory of intensity and phase fluctuations of a
homogeneously broadened laser, Z. Phys. 190, 327.
112 [60] R. Graham, M. Höhnerbach, A. Shenzle (1982), Statisticalproperties of
light from a dye laser, Phys. Rev. Lett. 48, 1396.
[61] S.N. Dixit, P.S. Sahni (1983), Nonlinear stochastic processes driven by
colored noise: Application to dye-laser statistics, Phys. Rev. Lett, 50,
1273.
[62] P. Zoller, G. Alber, R. Salvador (1981), ac Stark splitting in intense
stochastic driving fields with Gaussian statistics and non-Lorentzian line
shape, Phys. Rev. A 24, 398.
[63] M. Abramowitz, I.A. Stegun (1964), Handbook of Mathematical
Functions, Natl. Bur. Stand. Washington.
[64] E. Janke, F. Emde, F. Lösch (1977), Special functions, Nauka, Moscow.
[65] P. Zoller (1979), Ac stark splitting in double optical resonance and
resonance fluorescence by a nonmonochromatic chaotic field, Phys. Rev. A
20, 1019.
[66] N.G. Van Kampen (2007), Stochastic Processes in Physics and
Chemistry, North-Holland Publishing Company, Amsterdam.
[67] R.F. Fox (1978), Gaussian stochastic processes in physics, Phys. Rep, 48, 181.
[68] S.N. Dixit, P. Zoller, P. Lambropoulos (1980), Nonlinear orentzian laser
line shapes and the reversed peak asymmetry in double optical
resonance, Phys. Rev. A 21, 1289.
[69] J. Peřina (1984), Quantum statistics of linear and nonlinear optical
phenomena, D. Reidel Publishing Company, Kulwer Academic Publisher
Group.
[70] C.C. Gerry, P.L. Knight (2005), Introductory quantum optics, Cambridge
University Press.
113 [71] R. Glauber (1963), Coherent and incoherent states of the radiation field,
Phys. Rev. 131, 2766.
[72] R. Glauber (1963), Photon correlations. Phys. Rev. Lett., 10, 84.
[73] V. Buzek, A.D. Wilson-Gordon, P.L. Knight, W.K. Lai (1992), Coherent
states in a finite-dimensional basis: Their phase properties and
relationship to coherent states of light. Phys. Rev. A 45, 8079.
[74] A. Miranowiacz, K. Piatek, R. Tanaś (1994), Coherent states in a finite-
dimensional Hilbert space, Phys. Rev. A 50, 3423.
[75] L.M. Kuang, F.B. Wang, Y.G. Zhou (1993), Dynamics of harmonic-
oscillator in a finite-dimensional Hilbert-space, Phys. Lett. A 183, 1.
[76] B. Schumacher (1995), Quantum coding, Phys. Rev. A 51, 2738.
[77] Cao Long Vân (2005), Tin học lượng tử và máy tính lượng tử (II), Tạp
chí Ứng dụng Toán học 3, 77.
[78] R. Mark (2005), Preparation of Entangled States and Quantum Teleportation
with Atomic Qubits, Innsbruck University Press 14, 89.
[79] J.S. Bell (1964), On the einstein podolsky rosen paradox, Physics 1, 195.
[80] J.F. Clauser, M.A. Horne, A. Schimony, R.A. Holt (1969), Proposed
experiment to test local hidden-variable theories, Phys. Rev. Lett. 23, 880.
[81] B.C. Sanders (1989), Quantum dynamics of the nonlinear rotator and the
effects of continual spin measurement, Phys. Rev. A 40, 2417.
[82] D. Sych, G. Leuchs (2009), A complete basis of generalized bell states,
New J. Phys. 11, 013006.
[83] L. Henderson (2003), The von Neumann Entropy, Brit. J. Phil. Sci. 54, 291.
114 [84] G. Jaeger (2009), Entanglement information and the interpretation of
quantum mechanics, Phys. Rev. A 18, 50.
[85] M. Nielsen, I. Chuang (2010), Quantum Computation and Quantum
Information, Cambridge University Press.
[86] W.K. Wootters (2001), Entanglement of fomation and concurrente, Quantum
information and computation, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys, 1, 27.
[87] Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Trippenbach Marek (2010), Nhập môn
quang học phi tuyến, NXB GD, Hà Nội.
[88] L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975), Điện động lực học các môi trường
liên tục, NXB KHKT.
[89] C. Christopher, P.L. Knight (2010), Introductory Quantum Optics,
Cambridge University Press.
[90] J. Peřina Jr, J. Peřina (2000), Quantum statistics of nonlinear optical
couplers, In E. Wolf (Ed.), Progress in optics, Amsterdam, Elsevier.
[91] J. Bajer, M. Dusek, J. Fiurasek, Z. Hradil, A. Luks, V. Perinova, J.
Rehacek, J. Peřina, O. Haderka, M. Hendrych, J. Peřina Jr, N. Imoto,
M. Koashi, A. Miranowicz (2001), Nonlinear phenomena in quantum
Optics, in M. Evans (Ed.), Contemporary optics and electrodynamics.
New York, Wiley.
[92] A. Kowalewska-Kudłaszyk, W. Leoński (2009), Sudden death and birth of entanglement effects for Kerr-nonlinear coupler, J. Opt. Soc. Am. B 26,
1289.
[93] W. Leoński, R. Tanaś (1994), Possibility of producing the one-photon state in a kicked cavity with a nonlinear Kerr medium, Phys. Rev. A 49, R20.
115 [94] W. Leoński, S. Dyrting, R. Tanaś (1997), Fock states generation in a
kicked cavity with a nonlinear medium, J. Mod. Opt. 44, 2105.
[95] W. Leoński (1996), Fock states in a Kerr medium with parametric
pumping, Phys. Rev. A 54, 3369.
[96] S.Ya. Kilin, D.B. Horoshko (1995), Fock state generation by the
methods of nonlinear optics, Phys. Rev. Lett. 74, 5206.
[97] W. Leoński, A. Miranowicz (2004), Kerr nonlinear coupler and
entanglement, J. Opt. B: Quantum and Semiclass. Opt. 6, S37.
[98] A. Kowalewska-Kudłaszyk, W. Leoński (2010), The phase of the
coupling effect on entanglement decay in nonlinear coupler system,
Phys. Scr. T140, 014050.
[99] A. Kowalewska-Kudłaszyk, W. Leoński (2010), Squeezed vacuum
reservoir effect for entanglement decay in the nonlinear quantum
scissors system, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 43, 205503.
[100] A. Kowalewska-Kudłaszyk, W. Leoński (2010), Sudden death of
entanglement and its rebirth in a system of two nonlinear oscillators,
Phys. Scr. T140, 014051.
[101] A. Kowalewska-Kudłaszyk, W. Leoński, J. Peřina Jr (2011), Photon-
number entangled states generated in Kerr media with optical
parametric pumping, Phys. Rev. A 83, 052326.
[102] Nguyễn Thị Thanh Tâm (2011), “Giao thoa kế Mach-Zehnder sợi quang phi tuyến hai cổng”, Luận án tiến sĩ vật lý, Trường Đại học Vinh.
[103] A. Miranowicz, W. Leoński (2004), Dissipasion in systems of linear and
nonlinear quantum scissors, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 6, S43.
[104] A. Chefles, S.M. Barnett, (1996), Quantum theory of two-mode
nonlinear directional couplers, J. Mod. Opt. 43, 709.
116 [105] F.A.A. El-Orany, M. Sebawe Abdalla, J. Peřina (2005), Quantum
properties of the codirectional three-mode Kerr nonlinear couple, Eur.
Phys. J. D 33, 453.
[106] V. Vedral (2002), The role of relative entropy in quantum information
theory, Rev. Mod. Phys. 74, 197.
[107] L. Allen, J.H. Eberly (1975), Optical Resonance and Two-Level Atoms,
Wiley, New York.
[108] W. Leoński (1997), Finite-dimensional coherent-state generation and
quantum-optical nonlinear oscillator models, Phys. Rev. A, 55, 3874.
[109] V. Le Duc, V. Cao Long (2016), Entangled state creation by a nonlinear
coupler pumped in two modes, Comput. Meth. Sci. Technol. 22, 245.
[110] K. Wódkiewicz (1979), Exact solutions of some multiplicative stochastic
processes, J. Math. Phys. 20, 45.
[111] K. Wódkiewicz (1979), Stochastic incoherences of optical Bloch
equations, Phys. Rev. A 19, 1686.
PL 1
PHỤ LỤC
1. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.6) và (3.7)
Từ hệ bốn phương trình:
, (P1)
, (P2)
, (P3)
. (P4)
Khi có nhiễu: thay vào hệ bốn phương trình trên
ta được:
, (P5)
, (P6)
, (P7)
. (P8)
Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P5) - (P8)) có
dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:
, (P9)
trong đó V là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng
có dạng
PL 2
, , , .
Thay vào phương trình (P9), ta tìm được
.
Đồng nhất với (P5) ta thu được:
.
Đồng nhất với (P6) ta thu được:
Đồng nhất với (P7) ta thu được:
PL 3
Đồng nhất với (P8) ta thu được:
Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3 có dạng sau:
, , .
Từ lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên hàm thỏa mãn phương trình:
(P10) ,
trong đó
Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến:
,
,
PL 4
,
.
PL 5
2. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.14) và (3.15)
Từ hệ bốn phương trình:
(P11)
Khi có nhiễu: thay vào hệ phương trình trên ta
được:
, (P12)
(P13)
, (P14)
. (P15)
Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P12) - (P15))
,
có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:
(P16)
trong đó Q là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng,
với dạng như sau:
, , ,
Thay vào phương trình (P16)
PL 6
Đồng nhất với (P12):
Đồng nhất với (P13):
Đồng nhất với (P14):
Đồng nhất với (P15):
PL 7
Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3:
, , .
Từ lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên hàm thỏa mãn phương trình:
(P17)
(P19)
(P18)
Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến:
3. Tìm các ma trận ở các biểu thức (3.22) và (3.23)
Từ hệ ba phương trình:
(P20)
PL 8
Khi có nhiễu: thay vào hệ ba phương trình trên
ta được:
(P21)
(P22) (P23)
Trong trường hợp này, tập hợp các phương trình chuyển động ((P21) - (P23)) có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:
, (P24)
trong đó Q là một hàm véctơ theo thời gian và M1, M2, M3 là các ma trận hằng có dạng
, , ,
Thay vào phương trình (P24), ta được:
Đồng nhất với (P21), ta thu được
Đồng nhất với (P22), ta thu được
PL 9
Đồng nhất với (P23), ta thu được
Từ đó, ta tìm được các ma trận M1, M2, M3:
, , .
Từ lý thuyết về các quá trình ngẫu nhiên hàm thỏa mãn phương trình:
trong đó
khi đó ta được:
Từ đó ta có thể rút ra hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên của các biến có
dạng như sau:
PL 10
