Vấn đề 3: Phương trình bậc 2

Chia sẻ: Trần Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu vấn đề 3 "Phương trình bậc 2" giới thiệu đến các bạn một số dạng bài tập toán về phương trình bậc 2, điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R, so sánh nghiệm của phương trình bậc 2,... Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vấn đề 3: Phương trình bậc 2

Vaán ñeà 3 ⎧∆ ≥ 0 ⎪⎧f(x)coù 2 nghieäm x1 ≤ x 2 ⎨ ⇔⎨ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI ⎩af(α) > 0 ⎪⎩α ∉ [ x1 ,x 2 ] 3. Ñieàu kieän ñeå tam thöùc khoâng ñoåi daáu treân R I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ Cho f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ⎧a > 0 1. Phöông trình baäc hai: f(x) > 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩∆ < 0 a. Cho phöông trình : ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) (*) ⎧a > 0 ∆ = b2 − 4ac f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ ⎩∆ ≤ 0 ∆ < 0 : (*) voâ nghieäm b ⎧a < 0 ∆ = 0 : (*) coù nghieäm keùp x1 = x 2 = − f(x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ 2a ⎩∆ < 0 −b ± A ⎧a < 0 ∆ > 0 : (*) Coù 2 nghieäm phaân bieät x1,2 = f(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⎨ 2a ⎩∆ ≤ 0 b. Ñònh lyù Viete : Neáu phöông trình : ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) Neáu chöa coù a ≠ 0 thì ta phaûi xeùt tröôøng hôïp a = 0. ⎧ b 4. So saùnh nghieäm cuûa phöông trình baäc hai vôùi hai soá ⎪⎪x1 + x 2 = − a cho tröôùc. coù 2 nghieäm x1 ,x 2 thì : ⎨ Cho phöông trình : f(x) = ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) vaø hai soá α, β(α < β) ⎪x + x = c ⎪⎩ 1 2 a ⎧af(α) < 0 x1 < α < β < x 2 ⇔ ⎨ 2 2. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai : f(x) = ax + bx + c(a ≠ 0) ⎩af(β) < 0 a. Ñònh lyù thuaän: ⎧af(α) < 0 x1 < α < x 2 < β ⇔ ⎨ ∆ < 0 : f(x) luoân cuøng daáu vôùi a ⇔ af(x) > 0, ∀x ∈ R ⎩af(β) > 0 b b ⎧af(α) < 0 ∆ = 0 : f(x) cuøng daáu vôùi a vôùi moïi x ≠ − vaø f( − ) = 0 α < x1 < β < x 2 ⇔ ⎨ 2a 2a ⎩af(β) > 0 ∆ > 0 : f(x) coù 2 nghieäm phaân bieät : x1 < x 2 x1 < α < x 2 < β ∨ α < x1 < β < x 2 ⇔ phöông trình coù 2 nghieäm phaân Baûng xeùt daáu: ⎧f(α ).f(β) < 0 bieät vaø chæ coù moät nghieäm thuoäc (α; β) ⇔ ⎨ ⎩a ≠ 0 b. Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc: Cho tam thöùc f(x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) vaø moät soá thöïc α . ⎧f(x)coù 2 nghieämx1 < x 2 af(α) < 0 ⇔ ⎨ ⎩x1 < α < x 2 12 13
⎧ Ví duï 2: ⎪ Ñònh m ñeå phöông trình : x 2 − 2mx + 2 − m = 0 coù 2 nghieäm x1 ,x 2 vaø ⎪∆ > 0 ⎪ x12 + x 22 ñaït giaù trò nhoû nhaát. ⎪af(α) > 0 ⎪ Giaûi Phöông trình coù 2 nghieäm x1 ,x 2 vaø α < x1 < x 2 < β ⇔ ⎨af(β) > 0 Phöông trình coù 2 nghieäm ⎪s ⎪ −α > 0 ⇔ ∆ ' = m 2 − (2 − m) = m 2 + m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ −2 ∨ m ≥ 1 ⎪2 ⎧x + x 2 = 2m ⎪s Ñònh lyù viete: ⎨ 1 ⎪ −β < 0 ⎩x1x 2 = 2 − m ⎩2 ⇒ x12 + x 22 = (x1 + x 2 )2 − 2x1x 2 = 4m 2 − 2(2 − m) = 4m 2 + 2m − 4 II. Caùc ví duï: Xeùt haøm soá f(x) = 4m 2 + 2m − 4 vôùi m ≤ −2 ∨ m ≥ 1. Ví duï 1: 1 Ta coù : f '(m) = 8m + 2 , f '(m) = 0 ⇔ m = − Ñònh m ñeå phöông trình : x 2 + 2(m − 3)x + m − 13 = 0 coù 2 nghieäm. 4 x1 ,x 2 vaø x1x 2 − x12 − x 22 ñaït giaù trò lôùn nhaát. F(-2) = 8 , f(1) = 2 Giaûi BBT Ta coù: ∆ ' = (m − 3) − (m − 13) = m 2 − 7m + 22 > 0 ∀m vì 2 ∆ = 49 − 88 < 0 ⎧x1 + x 2 = −2(m − 3) = 6 − 2m Ñònh lyù viete cho : ⎨ ⎩x1x 2 = m − 13 ⇒ x1x 2 − x12 − x 22 = x1x 2 − (x12 + x 22 ) = 3x1x 2 − (x1 + x 2 )2 = 3(m − 13) − (6 − 2m)2 Vaäy Min (x12 + x 22 ) = 2 khi m = 1 = −4m 2 + 27m − 75 = −(4m 2 − 27m + 75) Ví duï 3: ⎛ 27 ⎞ 2 ⎛ 27 ⎞ 2 ⎛ 27 ⎞ 2 Cho haøm soá f(x) = 2x + m + log2 ( mx 2 − 2(m − 2)x + 2m − 1) = −4 ⎜ m − ⎟ + 4 ⎜ ⎟ − 75 ≤ 4 ⎜ ⎟ − 75 (m laø tham soá). ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠ 2 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå f(x) xaùc ñònh vôùi moïi x ⎛ 27 ⎞ 27 (ÑAÏI HOÏC CAÀN THÔ – Khoái D naêm 2000) Vaäy max(x1x 2 − x12 − x 22 ) = 4 ⎜ ⎟ − 75 khi m = ⎝ 8 ⎠ 8 Giaûi 2 f(x) xaùc ñònh ∀x ⇔ mx − 2(m − 2)x + 2m − 1 > 0 ∀x (1) 1 . m = 0 : (1) ⇔ 4x − 1 > 0 ⇔ x > khoâng thoaû vôùi ∀x 4 14 15
⎧⎪m > 0 4 . m ≠ 0 : (1) ⇔ ⎨ 5m – 4 = 0 ⇔ m = 2 ⎪⎩∆ ' = (m − 2) − m(2m − 1) < 0 5 4 8 ⎛ 8⎞ ⎪⎧ m > 0 ⎧m > 0 Theá m = vaøo phöông trình cho: x 2 − x = 0 ⇔ ⎜ x − ⎟ = 0 ⇔⎨ 2 ⇔⎨ ⇔ m >1 5 5 ⎝ 5⎠ ⎪⎩ m + 3m − 4 > 0 ⎩m < −4 ∨ m > 1 8 4 ⇔ x = 0 ∈ [ 0,1] ∨ x = ∉ [ 0,1] ⇒ m = nhaän. Ví duï 4: 5 5 Tìm a ñeå hai phöông trình : * Phöông trình cho coù ñuùng moät nghieäm ∈ (0,1) : ax 2 + x + 1 = 0 vaø x 2 + ax + 1 = 0 ⎡ x1 < 0 < x 2 < 1 (1) Coù nghieäm chung. ⎢ ⇔ ⎢ 0 < x1 < 1 < x 2 (2) (ÑAÏI HOÏC THAÙI NGUYEÂN – Khoái D naêm 2000) ⎢⎣ 0 < x1 = x 2 < 1 (3) Giaûi Goïi x0 laø nghieäm chung cuûa 2 phöông trình cho, ta coù: 4 (1) vaø (2) ⇔ f(0).f(1) < 0 ⇔ (5m − 4)(3m − 3) < 0 ⇔ < m
⎛ m ⎞ Ví duï 8 : ⎜ x1 + x 2 = 2 ⎟ Ñònh m ñeå phöông trình: x13 + x32 = (x1 + x 2 )3 − 3x1x 2 (x1 + x 2 ) ⎜ ⎟ ⎜ 1⎛ 2 12 ⎞ ⎟ (m − 5)x 2 − 2mx + m − 4 = 0 (*) ⎜ x1x 2 = 12 ⎜ m − 4 + 2 ⎟ ⎟ Coù moät nghieäm nhoû hôn 1 vaø moät nghieäm lôùn hôn 2. ⎝ ⎝ m ⎠⎠ 3 Giaûi ⎛m⎞ ⎛m⎞ 1 ⎛ 12 ⎞ m 3 = ⎜ ⎟ − 3⎜ ⎟. ⎜ m2 − 4 + 2 ⎟ = − = f(m) Ñaët f(x) = (m − 5)x 2 − 2mx + m − 4 2 ⎝ ⎠ 2 ⎝ ⎠ 12 ⎝ m ⎠ 2 2m 1 3 Goïi x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa (*), ta coù : f '(m) = + > 0, ∀m ≠ 0, vaäy haøm soá luoân taêng trong hai ñoaïn x1 < 1 < 2 < x2 2 2m 2 ⎧af(1) < 0 ⎧(m − 5)(−9) < 0 ⎧m > 5 ⎡ −2 3, −2 ⎤ vaø ⎡2,2 3 ⎤ . ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ 5 < m < 24 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩af(2) < 0 ⎩(m − 5)(m − 24) < 0 ⎩5 < m < 24 1⎫ Ví duï 9 : f(−2 3) < f(−2) = − ⎪ Ta coù : 4 ⎪ ⇒ f( −2 3) < f(2 3) Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm : ⎬ 1 ⎪ 1 ⎛ 1⎞ f(2) = < f(2 3) x 2 + 2 + (1 − 3m) ⎜ x + ⎟ + 3m = 0 . 4 ⎪⎭ x⎠ x ⎝ Vaäy x13 + x32 ñaït giaù trò nhoû nhaát öùng vôùi m = −2 3 vaø ñaït giaù trò lôùn Giaûi nhaát öùng vôùi m = 2 3 . 1 1 1 Ñaët t = x + ⇒ t 2 = x 2 + 2 + 2 ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2 Ví duï 7 : x x x ⎛π 3 ⎞ Ñieàu kieän t ≥ 2 Ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm thuoäc ⎜ , π ⎟ ⎝2 2 ⎠ Phöông trình cho ⇔ t 2 − 2 + (1 − 3m)t + 3m = 0 cos2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ⇔ t 2 + (1 − 3m)t + 3m − 2 = 0 (a + b + c = 0) Giaûi ⎡ t = 1 khoâng thoaû t ≥ 2 ⎛π 3 ⎞ Ñaët t = cosx, vì x ∈ ⎜ , π ⎟ ⇒ t ∈ [ −1,0 ) ⇔⎢ ⎝2 2 ⎠ ⎢⎣ t = 3m − 2 cos2x = 2 cos2 x − 1 = 2t 2 − 1 Ñeå phöông trình coù nghieäm : Phöông trình cho ⇔ 2t 2 − 1 − (2m + 1)t + m + 1 = 0 ⎡ 4 ⎡3m − 2 ≥ 2 ⎢ m≥ ⇔ 3m − 2 ≥ 2 ⇔ ⎢ ⇔ 3 ⇔ 2t 2 − (2m + 1)t + m = 0 ⎣3m − 2 ≤ −2 ⎢ ⎢⎣ m ≤ 0 ⎡ 2m + 1 + 2m − 1 2 2 ⎢t = 4 =m ∆ = (2m + 1) − 8m = (2m − 1) ≥ 0 ⇔ ⎢ ⎢ t = 2m + 1 − 2m − 1 = 1 ∉ −1,0 ⎢⎣ 4 2 [ ) Vaäy ñeå nghieäm t ∈ [ −1,0 ) ⇔ −1 ≤ m < 0 18 19
HÖÔÙNG DAÃN VAØ ÑAÙP SOÁ III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ 3.1. Cho hai phöông trình : x 2 − x + m = 0 (1) 3.1. Ñieàu kieän ñoàng thôøi coù nghieäm cuûa 2 phöông trình cho laø : 2 x − 3x + m = 0 (2) ⎧∆1 = 1 − 4m ≥ 0 1 ⎨ ⇔m≤ Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m, thì phöông trình (2) coù moät nghieäm khaùc ⎩∆ 2 = 9 − 4m ≥ 0 4 0, gaáp 2 laàn moät nghieäm cuûa phöông trình (1). Goïi x 0 ≠ 0 laø 1 nghieäm cuûa phöông trình (1), nghieäm phöông trình (2): ⎧ 5 2 3.2. Cho hai phöông trình : x + 3x + 2s = 0 ⎧⎪x 20 − x 0 + m = 0 ⎧⎪3x 20 − 5x 0 = 0 ⎪⎪ x 0 = 3 x = 2x 0 ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ x 2 + 6x + 5s = 0 ⎪ m = − 10 2 2 ⎪⎩4x 0 − 6x 0 + m = 0 ⎪⎩m = − x 0 + x 0 Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa s ñeå moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân ⎪⎩ 9 bieät, vaø giöõa 2 nghieäm cuûa phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa phöông trình kia. 3.2. Ñaët f(x) = x 2 + 3x + 2s, g(x) = x 2 + 6x + 5s Moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân bieät vaø giöõa 2 nghieäm cuûa 3.3. Chöùng minh raèng neáu a1a2 ≥ 2(b1 + b2 ) thì ít nhaát moät trong hai phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa phöông trình kia, ta phaûi coù phöông trình ⎧∆1 > 0 x 2 + a1x + b1 = 0 ⎨ vôùi x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 coù nghieäm. ⎩g(x1 ).g(x 2 ) < 0 x 2 + a2 x + b 2 = 0 ⎧ 8 ⎪s < ⇔⎨ 9 ⇔ 0 < s
⎧⎪ t ≥ 2 (1) ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩f(t) = t + ht − 1 = 0 3 f(t) coù 2 nghieäm traùi daáu YCBT ⇔ f(−2) < 0 ⇔ h > 2 2x 3.5. Ñaët t = Ñieàu kieän −1 ≤ t ≤ 1 1 + x2 4x 2 2ax 2 ⎧⎪−1 ≤ 1 ≤ 1 + + 1 − a = 0 ⇔ ⎨ 2 2 1 + 2x 2 + x 4 1 + x 2 ⎪⎩f(t) = t + at + 1 − a = 0 ⎧∆ ≥ 0 ⎪f(−1) > 0 ⎪⎪ 2 (1) coù nghieäm x ⇔ f(−1)f(1) ≤ 0 ∨ ⎨f(1) > 0 ⇔ < a