Bài giảng Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi Fourier

Chia sẻ: May Trời Gio Bien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

126
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi Fourier" cung cấp cho người đọc các kiến thức: Tín hiệu và vectơ, so sánh tín hiệu - Tương quan, biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao, chuỗi Fourier lượng giác, chuỗi Fourier dạng mủ,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 3: Biểu diễn tín hiệu dùng chuỗi Fourier

CHƢƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DÙNG CHUỖI FOURIER Nội dung 3.1 Tín hiệu và vectơ 3.2 So sánh tín hiệu: Tương quan 3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao 3.4 Chuỗi Fourier lượng giác 3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ 3.6 Tính toán giá trị Dn 3.7 Đáp ứng của hệ LT-TT-BB với tín hiệu tuần hoàn 3.8 Phụ chương 3.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Chương quan trọng, tạo kiến thức cơ bản để biểu diễn tín hiệu và so sánh tín hiệu. Trong chương 2, ta đã viết ngõ vào bất kỳ f(t) thành tổng của các thành phần xung. Đáp ứng (trạng thái zêrô) của hệ TT-BB khi có ngõ vào f(t) là tổng các thành phần đáp ứng hệ thống dưới dạng tính tích phân chập (convolution). Có nhiều phương thức nhằm biểu diễn ngõ vào f(t) theo các dạng tín hiệu khác. Do đó, vấn đề biểu diễn tín hiệu dùng tập các tín hiệu là rất quan trọng khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống. Chương này đề cập đến phương thức biểu diễn tín hiệu thành tổng của nhiều thành phần. Bài toán này tương tự như vấn đề biểu diễn vectơ theo các thành phần. Tín hiệu và vectơ Có sự tương đồng hoàn hảo giữa tín hiệu và vectơ. Tuy nhiên tín hiệu không chỉ giống vectơ, mà tín hiệu là vectơ! Một vectơ có thể được biểu diễn thành tổng các thành phần theo nhiều phương thức khác nhau, tùy theo cách chọn hệ trục. Một tín hiệu cũng có thể được biểu diễn thành tổng các thành phẩn theo nhiều cách khác nhau. Ta hảy bắt đầu với một số ý niệm vectơ cơ bản rồi áp dụng vào các tín hiệu. 3.1-1 Thành phần của vectơ Vectơ được đặc trưng bởi biên độ và chiều. Ta viết các vectơ ở dạng chử in đậm. Thí dụ, x là một vectơ nào đó có biên độ hay chiều dài là x . Trong hình 3.1, với hai vectơ f và x, định nghĩa phép dot (tích trong hay tích vô hướng) là: f.x  f x cos  (3.1) với  là góc giữa hai vectơ. Từ đó, biểu diễn độ dài của vectơ x là x theo: 2 x = x.x (3.2)
Gọi thành phần của f dọc theo x là cx vẽ trong hình 3.1. Thành phần f dọc theo x là ánh xạ của f theo x , và có được bằng cách vẽ đường thẳng góc từ đỉnh của f xuống x, vẽ trong hình 3.1. Như thế thì ý nghĩa toán học của một thành phần vectơ theo một vectơ khác là gì? Xem trong hình 3.1, vectơ f có thể viết theo vectơ x là f  cx  e (3.3) Tuy nhiên, đây không phải là phương pháp duy nhất biểu diễn f theo x. Hình 3.2 vẽ hai trong vô số các phương pháp khác. Từ hình 3.2a và 3.2b, ta có f  c1 x  e1  c2 x  e2 (3.4) Trong từng phương pháp thì f được biểu diễn theo x cộng vơói một vectơ gọi là vectơ sai số. Nếu ta xấp xỉ f bằng cx f  cx (3.5) Sai số trong phép xấp xỉ này là vectơ e  f  cx . Tương tự, sai số trong phép xấp xỉ trong hình 3.2a và 3.2b là e1 và e2 . Như thế phép xấp xỉ nào trong hình 3.1 cho ta vectơ sai số bé nhất. Định nghĩa thành phần của vectơ f theo vectơ x là cx với c được chọn sao cho vectơ sai số e  f  cx là bé nhất. Gọi độ dài của thành phần của f theo x là f cos  nhưng cũng đồng thời là c x như vẽ trong hình 3.1, đo đó c x  f cos  Nhân hai vế cho x c x  f x cos   f .x , do đó 2 2 f .x 1 c  f .x (3.6) x.x x Hình 3.1 cho thấy có vẽ như là khi f và x thẳng góc, hay trực giao, thì f có thành phần theo x là zêrô, do đó c  0 . Từ phương trình (3.6), ta định nghĩa f và x là trực giao nhau nếu tích trong (tích vô hướng hay tích chấm) của hai vectơ là zêrô, nếu
f .x  0 (3.7) 3.1-2 Thành phần của tín hiệu Ý niệm về thành phần của vectơ là tính trực giao có thể được mở rộng cho tín hiệu. Xét bài toán xấp xỉ một tín hiệu thực f (t ) theo một tín hiệu thực x(t ) trong khoảng [t1 , t 2 ] là f (t )  cx(t ) t1  t  t2 (3.8) Sai số e(t ) trong phép xấp xỉ này là:  f (t )  cx (t ) t1  t  t 2 e(t )   (3.9)  0 các _ giá _ tri _ khác Chọn một số tiêu chí cho phép “xấp xỉ tốt nhất”. Ta biết là năng lượng tín hiệu là một khả năng đo lường kích thước của tín hiệu. Để xấp xỉ tốt nhất, ta cần tối thiểu sai số tín hiệu, tức là, tối thiểu kích thước của nó, nhằm tối thiểu hóa năng lượng Ee trong khoảng [t1 , t 2 ] , cho bởi: t2 t2 Ee   e 2 (t )dt  [ f (t )  cx(t )]2 dt t1 t1 Chú ý là vế bên phải là tích phân xác định với t là biến giả. Do đó, Ee là hàm theo biến c (không phải t) và Ee tối thiểu theo lựa chọn của c. Để tối thiểu Ee, điều kiện cần là: dEe 0 (3.10) dt Hay d  t2 2    dc  1t [ f ( t )  cx (t )] dt   0  Khai triển thừa số bậc hai, ta có: d  t2 2 f (t )dt   2c  f (t )x(t )dt   c 2  x 2 (t )dt   0 d t2 d t2  dc  t1  dc  t1  dc  t1  Từ đó t2 t2 2 f (t )x(t )dt  2c  x 2 (t )dt  0 t1 t1 Và t2  f (t )x(t )dt 1 t2 c   t1 t2 f (t )x(t )dt (3.11)  Ex t1 x 2 (t )dt t1 Ta thấy có sự tương đồng đáng kể giữa hoạt động của vectơ và tín hiệu, từ các phương trình (3.6) và (3.11). Rõ ràng từ hai biểu thức song song này, thì phần diện tích của tích hai tín hiệu tương đương với tích trong (tích vô hướng) của hai vectơ. Trong thực tế, phần diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích hai vectơ. Thực ra, diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích trong của f(t) và x(t), được viết là  f , x  . Năng lượng của tín hiệu là tích trong của tín hiệu với chính nó, và tương đương với bình phương độ dài (chính là tích trong của vectơ với chính nó).
Tóm lại, nếu tín hiệu f (t ) được xấp xỉ bằng một tín hiệu x(t ) khác thì f (t )  cx(t ) Thì giá trị tối ưu của c làm tối thiểu năng lượng của tín hiệu sai số trong xấp xỉ này cho bởi phương trình (3.11). Từ ý niệm vectơ, chúng ta nói là tín hiệu f (t ) chứa thành phần cx (t ) , với c cho bởi phương trình (3.11). Chú ý là trong thuật ngữ của vectơ thì cx (t ) là ánh xạ của f (t ) lên x(t ) . Tiếp tục, ta nói là nếu thành phần của tín hiệu f (t ) của dạng x(t ) là zêrô (tức là c  0 ) thì tín hiệu f (t ) và x(t ) trực giao nhau trong khoảng [t1 , t 2 ] . Do đó, ta định nghĩa tín hiệu thực f (t ) và x(t ) trực giao nhau trong khoảng [t1 , t 2 ] nếu t2 t1 f (t ) x(t )dt  0 (3.12)  Thí dụ 3.1 Từ tín hiệu f(t) vẽ trong hình 3.3, tìm thành phần sint có trong f(t). Nói cách khác, ta xấp xỉ f(t) theo sint. f (t )  c sin t 0  t  2 để năng lượng tín hiệu sai số là tối thiểu. Trường hợp này 2 x(t )  sin t và Ex   sin 2 (t )   0 Từ phương trình (3.11) ta có 1 2 1   c   f (t ) sin tdt    sin tdt   sin tdt   4 (3.13)  0   0 0   Do đó: 4 f (t )  sin t (3.14)  Biểu diễn phép xấp xỉ tốt nhất của f (t ) dùng hàm sin t , và tối thiểu hóa được sai số. Thành phần sin của f (t ) là phần tô bóng trong hình 3.3. Từ tính tương đồng với vectơm ta nói hàm vuông f (t ) mô tả trong hình 3.3 có thành phần sóng sin t và biên độ là 4/.  Bài tập E3.1
Chứng tõ là khoảng (    t   ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu f (t )  t theo hàm sin t là 2 sin t . Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số e(t )  t  2 sin t là trực giao với tín hiệu sin t trong khoảng    t   . Vẽ đồ thị t và 2 sin t trong khoảng    t   .  3.1-3 Tính trực giao trong tính hiệu phức Ta chỉ mới giới hạn trong trường hợp hàm thực của t. Nhằm tổng quát kết quả cho hàm phức của t, xét lần nửa bài toán xấp xỉ hàm f (t ) bằng hàm x(t ) trong khoảng thời gian ( t1  t  t2 ): f (t )  cx(t ) (3.15) Trong đó f (t ) và x(t ) là hàm phức theo t. Nhắc lại là năng lượng E x của tín hiệu phức x(t ) trong khoảng [ t1 ,t 2 ] là t2 E x   x(t ) dt 2 t1 Trường hợp này, thường hệ số c và sai số là số phức e(t )  f (t )  cx(t ) (3.16) Để xấp xỉ “tốt nhất”, ta cần chọn c để năng lượng Ec của tín hiệu sai số e(t) là tối thiểu t2 Ee   f (t )  cx (t ) dt 2 (3.17) t1 Nhắc lại u  v  (u  v)(u * v*)  u  v u * v  uv * 2 2 2 (3.18) Tiếp tục, sắp xếp phương trình (3.17) 2 2 t2 1 t2 1 t2 Ee   f (t ) dt   f (t ) x * (t )dt  c E x   2 f (t ) x * (t )dt t1 Ex 0 Ex t1 Do hai thừa số đầu tiên của vế phải không phụ thuộc vào c, rõ ràng là Ee được tối thiểu hóa bằng cách chọn c sao cho thừa số thứ ba của vế phải là zêrô, tức là 1 t2 E x t1 c f (t ) x * (t )dt (3.19) Từ kết quả trên, ta cần định nghĩa lại tính trực giao trong trường hợp số phức như sau: Hai hàm phức x1 (t ) và x2 (t ) trực giao trong khoảng ( t1  t  t2 ) nếu t2 t2 t1 x1 (t ) x2* (t )dt  0 hay  t1 x1* (t ) x2 (t )dt  0 (3.20) Đây là định nghĩa tổng quát về tính trực giao, làm phương trình trở thành phương trình (3.12) khi hàm là thực.  Bài tập E3.2 Chứng tõ là khoảng ( 0  t  2 ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu vuông f (t ) trong hình 2 jt 2 3.3 theo tính hiệu e jt là e . Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số e(t )  f (t )  e jt là j jt trực giao với tín hiệu e .jt 
Năng lƣợng của tổng tính hiệu trực giao Ta biết là bình phương độ dài của tổng hai vectơ trực giao là bằng tổng của độ dài hai vectơ. Do đó, nếu x và y trực giao, thì z = x + y, thì z  x  y 2 2 2 Tương tự, cho trường hợp tín hiệu. Năng lượng của tổng hai tín hiệu trực giao thì bằng tổng năng lượng của hai tín hiệu. Do đó, nếu tín hiệu x(t ) và y(t ) trực giao trong khoảng [ t1, t 2 ] , và nếu z(t )  x(t )  y(t ) , thì Ez  Ex  E y (3.21) Ta chứng minh kết quả cho tín hiệu phức mà tín hiệu thực là một trường hợp đặc biệt. Từ phương trình (3.18): t2 t2 t2 t2 t2  x(t )  y(t ) dt   x(t ) dt   y(t ) dt   x(t ) y * (t )dt   x * (t ) y(t )dt 2 2 2 t1 t1 t1 t1 t1 t2 t2   x(t ) dt   y(t ) dt 2 2 (3.22) t1 t1 Do tính trực giao, hai tích phân của các tích x(t ) y * (t ) và x * (t ) y(t ) là zêrô. Kết quả này có thể được mở rộng với tổng của một số tín hiệu trực giao tương hỗ. 3.2 So sánh tín hiệu: tính tƣơng quan Phần 3.1 đã chuẩn bị cơ sở để so sánh tín hiệu. Một lần nữa, ta có dùng lại ý niệm của phép so sánh vectơ. Hai vectơ f và x là tương đồng khi f có thành phần lớn theo x. Nói cách khác, nếu c trong phương trình (3.6) lớn, thì hai vectơ f và x là tương đồng. Ta có thể xem c là phép đo định lượng tính tương đồng giữa f và x. Tuy nhiên, đo lường này có nhược điểm. Mức tương đồng giữa f và x cần độc lập với độ dài của f và x. Thí dụ, khi tăng đôi độ dài của f, mức tương đồng giữa f và x là không thay đổi. Tuy nhiên, từ phương trình (3.6), ta thấy là khi tăng đôi f, thì cũng tăng đôi giá trị c (trong khi tăng đôi x làm giảm nửa giá trị c). Đo lường của ta rõ ràng là sai. Tính tương đồng giữa hai vectơ được cho từ góc  giữa hai vectơ. Góc  càng bé thì tính tương đồng càng cao, và ngược lại. Do đó, có thể dùng cos để đo mức tương đồng. Cos càng lớn, thì tính tương đồng giữa hai vectơ càng cao. Vật, đo lường hợp lý sẽ là cn = cos, được cho bởi f .x cn  cos   (3.23) f x Có thể kiểm nghiệm lại về tính độc lập của đo lường này với độ dài của f và x . Tương đồng này đo lường cn được gọi là hệ số tƣơng quan. Quan sát thấy:  1  cn  1 (3.24) Do đó, biên độ của cn không bao giờ lớn hơn đơn vị. Hai vectơ thẳng hàng có tính tương đồng lớn nhất (cn = 1). Hai vectơ thẳng hàng đối chiều có tính không tương đồng cao nhất (cn = - 1). Hai vectơ trực giao có tính tương đồng là zêrô. Dùng phương pháp tương tự để định nghĩa chỉ số tương đồng (hệ số tương tương quan) của tín hiệu. Xét các tín hiệu trong khoảng từ -  đến . Muốn c trong phương trình (3.11) độc lập với năng lượng (kích thước) của f(t) và x(t), ta cần chuẩn hóa c bằng cách hai tín hiệu về năng lượng đơn vị. Do đó, chỉ số tương đồng thích hợp cn cho phương trình (3.23) là
1  cn  E f Ex   f (t ) x(t )dt (3.25) Nhận thấy khi nhân f(t) hay x(t) với hằng số bất kỳ không ảnh hường đến chỉ số này, nên chỉ số độc lập với kích thước (năng lượng) của f(t) và x(t). Dùng bất đẳng thức Schwarz, ta chứng minh được là biên độ của cn không bao giờ lớn hơn 1.  1  cn  1 (3.26) The Best Friends, Worst Enemies, and Complete Strangers Ta có thể chứng tõ là nếu f (t )  Kx(t ) thì cn = 1 khi K là hằng số dương bất kỳ, và cn = - 1 khi K là hằng số âm bất kỳ. Đồng thời cn = 0 nếu f(t) và x(t) trực giao. Đo đó, tương đồng lớn nhất [khi f (t )  Kx(t ) ] được cho bởi cn = 1, không tương đồng lớn nhất [khi f (t )   Kx(t ) ] được cho bởi cn = - 1. Khi hai tín hiệu trực giao, tương đồng là zêrô. Một cách định lượng, ta có thể xem tín hiệu trực giao là tín hiệu không tương quan. Chú ý, địng lượng thì tính không tương đồng khác với tính không tương quan. Thí dụ, ta có bạn tốt (cn = 1), kẻ thù xấu nhất (cn = -1), và kẻ lạ hoàn toàn, không cần quan tâm là ta có tồn tại hay không (cn = 0). Kẻ thù không phải là người lạ, nhưng trong một số trường hợp người ta có thể nghĩ giống chúng ta, nhưng ngược lại?!!. Mở rộng ý niệm khi so sánh tín hiệu phức, định nghĩa cn lúc này là. 1  cn   E f E x  f (t ) x * (t )dt (3.27)  Thí dụ 3.2 Tìm hệ số tương quan C giữa xung x(t) và xung fi(t), i = 1, 2, 3, 4, 5 và 6 vẽ trong hình 3.4. Ta tính cn dùng phương trình (3.25) cho từng trường hợp. Đầu tiên ta tính năng lượng của mọi tín hiệu. 5 5 Ex   x 2 (t )dt  dt  5 (3.28) 0 0 Dùng phương pháp này, ta tìm được Ef1 = 5, Ef2 = 1,25, và Ef3 = 5. Để tìm Ef4 và Ef5 , ta tìm năng lượng E của e-atu(t) trong khoảng thời gian từ t = 0 đến T: T   T E   e at dt   e 2 at dt  0 2 0 1 2a  1  e 2 aT 
Trường hợp f4(t), a = 1/5 và T = 5. Do đó Ef4 =2,1617. Trường hợp f5(t), a = 1 và T = . Do đó Ef5 =0,5. Năng lượng Ef6 cho bởi 5 E f 6   sin 2 2tdt  2,5 0 Dùng phương trình (3.25), hệ số tương quan của sáu trường hợp được tìm là: 1 5 1 5 (1)  (5)(5) 0 dt  1 (2)  (1,25)(5) 0 (0,5)dt  1 1 5 1 5 (3) (5)(5) 0 (1)dt  1 (4) (2,1617)(5) 0 e t / 5 dt  0.961 1 5 1 5 (5) (0,5)(5) 0 e t dt  0,628 (6) (2,5)(5) 0 sin 2tdt  0  Nhận xét về kết quả: Do f1(t) = x(t), hai tín hiệu có khả năng tương đồng tối đa và cn = 1. Tuy nhiên, tín hiệu f2(t) còn cho thấy khả năng tương đồng tối đa với cn = 1. Lý do từ định nghĩa cn dùng đo lường tính tương đồng của dạng sóng; và độc lập với biên độ (cường độ) của các tín hiệu so sánh. Tín hiệu f2(t) giống hệt x(t) về hình dạng; chỉ có biên độ (cường độ) là khác nhau. Do đó, cn = 1. Mặt khác, tín hiệu f3(t) cho thấy khả năng không tương đồng tối đa với x(t) do bằng với - x(t). Trường hợp f4(t), cn = 0,961, cho thấy có độ tương đồng cao với x(t). Điều này hợp lý do f4(t) rất giống với x(t) trong thời gian tồn tại của x(t) (từ 0  t  5). Qua kiểm tra, ta chú ý là là độ biến thiên hay thay đổi trong x(t) và f4(t) có tốc độ giống nhau. Đây không phải là trường hợp của f5(t), khi ta nhận thấy là tốc độ thay đổi của f5(t) thường cao hơn của x(t). Hai tín hiệu vẫn còn tương đồng nhau, đều còn giữa giá trị dương, và chưa có dao động. Hai tín hiệu đều có giá trị zêrô hay cường độ rất bé khi t > 5. Như thế, f5(t) tương đồng với x(t), nhưng không tương đồng như f4(t). Điều này giải thích tại sao f5(t) có cn = 0,628. Tín hiệu f6(t) thì trực giao với x(t), nên có cn = 0. Điều này cho thấy sự không tương đồng trong trường hợp này không mạnh như như trường hợp f3(t) có cn = – 1. Kết luận này có vẽ kỳ cục do f3(t) có vẽ như tương đồng với x(t) nhiều hơn so với f6(t). Tính không tương đồng giữa x(t) và f6(t) có bản chất từ sự không ưa nhau (worst enemy); đó là chúng rất tương đồng nhau, nhưng theo hướng ngược lại. Nói khác đi, tính không tương đồng giữa x(t) và f6(t) bắt nguồn từ việc chúng có không giống nhau. Do đó tính không tương đồng giữa x(t) và f3(t) có mức độ thấp hơn.  Bài tập E3.3 Chứng tõ là cn của tín hiệu f2(t) và f3(t) trong hình 3.4 là – 1; của f2(t) và f4(t) là 0,961, và của f3(t) và f6(t) là zêrô.  3.2-1 Ứng dụng để phát hiện tín hiệu Tính tương quan giữa hai tín hiệu là ý niệm cực kỳ quan trọng nhằm đo lường mức tương đồng giữa hai tín hiệu. Ý niệm này được dùng rộng rải để xử lý tín hiệu radar, sonar, thông tin số, quân sự và nhiều ứng dụng khác. Ta giải thích ý niệm này dùng thí dụ trong radar khi tín hiệu xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu.
Sự hiện diện hay không hiện diện của xung phản xạ xác nhận sự hiện diện hay không hiện diện của mục tiêu. Vấn đề cốt lõi ở đây là để phát hiện được xung phản xạ bị suy giảm rất nhiều (dạng sóng đã biết) bị nhiễu che lấp. Trong trường hợp này, yếu tố tương quan giữa xung nhận được và xung phát đi là trợ giúp quan trọng. Tình huống tương tự tồn tại trong thông tin số khi ta cần phát hiện sự hiện diện của một trong hai dạng sóng đã biết với sự hiện diện của nhiễu. Ta bắt đầu giải thích phương thức phát hiện tín hiệu dùng kỹ thuật tương quan. Xét trường hợp thông tin nhị phân (hai bit), trong đó hai dạng sóng đã được biết được nhận theo trình tự ngẫu nhiên.Trong mỗi thời điểm, ta nhận một xung và nhiệm vụ của ta là xác định xem đã nhận xung nào trong hai dạng xung đã biết. Để phát hiện dễ dàng hơn, ta cần làm cho hai xung này không tương đồng càng nhiều càng tốt. Do đó, ta nên chọn xung âm so với xung kia. Lựa chọn này cho ta tính không tương đồng lớn nhất (cn = – 1). Sơ đồ này đôi khi còn được gọi là sơ đồ đối cực (antipodal). Ta cũng có thể chọn xung trực giao để có cn = 0. Trong thực tế thường dùng cả hai lựa chọn này, cho dù sơ đồ đối cực cho phép phân biệt hai xung tốt nhất. Xét tiếp sơ đồ đối cực trong đó hai xung là p(t) và – p(t). Hệ số tương quan cn của các xung này là –1. Giả sử không có nhiễu và truyền dẫn là hoàn hảo. Máy thu có bộ tương quan để tính tương quan giữa p(t) và xung thu được. Nếu tương quan là 1, ta khẳng định thu được p(t), và nếu tương quan là –1, ta khẳng định thu được – p(t). Nhờ có khả năng không tương đồng lớn nhất giữa hai xung, nên việc tách xung dễ dàng. Tuy nhiên trong thực tế, quá trình truyền thường không hoàn hảo, có nhiễu len vào tín hiệu thu. Đồng thời, khi truyền, tín hiệu còn bị méo dạng và có thể bị trùng lắp nhau, làm thay đổi hình dạng tín hiệu thu được nên hệ số tương quan không còn là 1, có biên độ bé, làm giảm khả năng phân biệt xung. Ta dùng bộ tách xung theo ngưỡng, nhằm quyết định là nếu hệ số tương quan là dương (cn > 0), thì xung thu được là p(t), và nếu tương quan là âm (cn < 0), thì xung là – p(t). Thí dụ, giả sử ta truyền p(t). Trong trường hợp lý tưởng, tương quan giữa xung này tại máy thu là 1, là khả năng tối đa. Do ảnh hưởng của nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác, tương quan sẽ nhỏ hơn 1. Trong một số trường hợp tới hạn, yếu tố nhiễu và trùng lắp với các xung khác làm xung này rất khác với xung p(t) và tương quan có giá trị âm. Trong trường hợp này thì bộ tách xung theo ngưỡng lại khẳng định xung nhận được là – p(t), làm quá trình tách xung bị sai. Tương tự, khi truyền – p(t), thì yếu tố nhiễu trong kênh truyền, yếu tố méo dạng xung và trùng lắp xung có thể làm tương quan là dương, làm quá trình tách xung bị sai. Nhiệm vụ của ta là đảm bảo xung truyền có năng lượng đủ lớn nhằm giữa cho các tổn thất do nhiễu nằm trong một giới hạn và sai số nằm trong biên cho phép. Trong trường hợp lý tưởng, biên này do tương quan cn cung cấp nhằm phân biệt được hai xung là 2 (từ 1 đến –1 và ngược lại). Yếu tố nhiễu và tính không hoàn hảo khi truyền làm giảm biên này. Điều này, giải thích tại sao yếu tố quan trọng nhất vẫn là bắt đầu với biên càng lớn càng tốt. Do đó, sơ đồ đối cực có tính năng tốt nhất nhằm để chống nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khi truyền. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, do còn có các lý do khác, nên nhiều sơ đồ, thí dụ sơ đồ trực giao với cn = 0 cũng được dùng dù có biên nhỏ hơn (từ 0 đến 1 và ngược lại) nhằm phân biệt các xung. Một số dạng tán xạ xung đã được thảo luận trong phần 2.7-5 và 2.7-6. Trong chương 4, ta sẽ thảo luận về méo dạng xung khi truyền. Tính toán xác suất sai số khi có
nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác nằm ngoài phạm vi tài liệu này, độc giả có thể tham khảo thêm tài liệu. 3.2-2 Hàm tƣơng quan Xét ứng dụng tương quan để phát hiện tín hiệu trong radar, trong đó xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu. Bằng cách phát hiện sự tồn tại hay không tồn tại của xung phản xạ ta khẳng định được sự tồn tại hay không tồn tại của mục tiêu. Bằng cách đo thời gian trễ giữa xung truyền và xung nhận được (phản xạ) ta xác định được cự ly của mục tiêu. Gọi xung truyền và xung phản xạ lần lượt là g(t) và f(t), như vẽ trong hình 3.5. Nếu ta đã dùng trực tiếp phương trình (3.25) để đo hệ số tương quan cn, ta có: 1  cn   E f E g  f (t ) g (t )dt  0 (3.29) Tương quan là zêrô do các xung này tách biệt theo thời gian. Tích phân (3.29) có giá trị zêrô ngay khi các xung giống hệt nhau nhưng có dời theo thời gian. Để giải quyết vấn đề này, ta so sánh xung nhận được f(t) với xung bị trễ theo thời gian g(t) với nhiều giá trị trễ. Nếu với một số tham số trễ làm tương quan mạnh hơn, ta không chỉ phát hiện được xung mà cỏn phát hiện được thời gian dời của f(t) theo g(t). Do đó, thay vì dùng tích phân bên vế phải, ta dùng một tích phân fg(t) được gọi là hàm tƣơng quan chéo của hai tín hiệu thực f(t) và g(t), được định nghĩa theo:   fg (t )   f ( ) g (  t )d (3.30)  Với  là biến phụ, và xung g( – t) là xung g() dời đi t giây theo xung f(). Do đó, fg(t) chỉ thị tính tương đồng (tương quan) giứa xung f và xung g dời đi t giây. Do đó, fg(t) đo lường tính tương đồng của xung kể cả khi chúng tách biệt nhau. Trong trường hợp tín hiệu trong hình 3.5, fg(t) cho thấy tương quan đáng kể chung quanh t = T. Quan sát này cho phép ta không chỉ phát hiện sự hiện hữu của mục tiêu mà còn tính được cự ly của mục tiêu. Tích chập và tƣơng quan Ta xem xét quan hệ khắn khít giữa tích chập và tương quan của f(t) và g(t) (từ phương trình 3.30). Chú ý là xung g( – t) là xung g() dời đi t giây. Do đó, fg(t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không có đảo). Tương tự, ta thấy trong phép tính tích chập cũng theo các bước tương tự, trừ việc xung g được
đảo trước khi dời t theo thời gian. Quan sát này gợi đến ý fg(t) bằng f(t)*g(–t) [tích chập của f(t) với g(t) đảo theo thời gian), tức là:  fg (t )  f (t ) * g (t ) (3.31) Phần chứng minh như sau: Đặt g( – t) = w(t)   f (t ) * g (t )  f (t ) * w(t )   f ( )w(t   )d   f ( ) g (  t )d   fg (t )   Nhắc lại, fg(t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không có đảo), và cho bởi tích chập của f(t) và g(–t).  Bài tập E 3.4 Chứng minh là fg(t), hàm tương quan của f(t) và g(t) trong hình 2.11 cho bởi c(t) trong hình 2.12.   Bài tập E 3.5 Chứng minh fg(t), hàm tương quan của f(t) và g(t) trong hình 2.12 cho bởi c(t) trong hình 2.12.  Hàm tự tƣơng quan Tương quan giữa tín hiệu với chính nó được gọi là tự tƣơng quan. Hàm tự tương quan f(t) của tín hiệu f(t) được định nghĩa là   f (t )   f ( ) f (  t )d (3.32)  Trong chương 4, ta sẽ chứng minh là hàm tự tương quan cung cấp thông tin phổ rất có giá trị về tín hiệu. 3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao Phần này trình bày phương pháp biểu diễn tín hiệu theo tổng các tín hiệu trực giao. Dùng ý niệm vectơ, ta biết là có thể biểu diễn vectơ thành tổng các vectơ trực giao, nhằm tạo hệ trục trong không gian vectơ. Vấn đề này tương tự trong tín hiệu với kết quả là tín hiệu song song với trường hợp của vectơ. Hảy xét lại trường hợp biểu diễn dùng vectơ.
3.3-1 Không gian vectơ trực giao Xét không gian vectơ 3 chiều Cartesian mô tả dùng ba vectơ trực giao tương hỗ x1, x2, x3 vẽ trong hình 3. 6. Đầu tiên, ta tìm cách xấp xỉ vectơ ba chiều f theo hai vectơ trực giao tương hỗ x1 và x2: f  c1 x1  c2 x2 Sai số e của xấp xỉ này là e  f  ( c1 x1  c2 x2 ) Hay f  ( c1 x1  c2 x2 )  e Dùng các phương pháp hình học, ta thấy trong hình 3.6 là độ dài của e tối thiểu khi e vuông góc với mặt phẳng x1 – x2, và c1x1 và c2x2 là lần lượt là hình chiếu (các thành phần) của f lên x1 và x2. Do đó, các hằng số c1 và c2 được cho bởi phương trình (3.6). Quan sát thấy vectơ sai số trực giao với cả hai vectơ x1 và x2. Tiếp tục xác định xấp xỉ “tốt nhất” cho f theo mọi thành phần vectơ trực giao tương hỗ x1, x2, và x3: f  c1 x1  c2 x2  c3 x3 (3.33) Hình 3.6 vẽ chọn lựa duy nhất của tồn tại c1, c2, và c3, theo đó phương trình (3.33) không còn là phép xấp xỉ mà là đẳng thức: f  c1 x1  c2 x2  c3 x3 (3.34) Trong trường hợp này, c1x1 , c2x2 và c3x3 lần lượt là ánh xạ (thành phần) của f lên x1, x2, và x3; tức là f .xi ci  (3.35a) xi .xi 1 ci  2 f .xi i  1,2,3 (3.35b) xi Chú ý là sai số trong phép xấp xỉ là zêrô khi f được xấp xỉ theo ba vectơ trực giao tương hỗ: x1, x2, và x3. Lý do là f là vectơ ba chiều, và các vectơ x1, x2, và x3 biểu diễn tập đầy đủ của vectơ trực giao trong không gian ba chiều. Tính đầy đủ ở đây tức là không thể tìm vectơ x4 khác trong không gian này, và trực giao được với tất cả ba vectơ x1, x2, và x3. Mọi vectơ trong không gian này đều có thể được biểu diễn (với sai số zêrô) theo ba vectơ trên. Các vectơ này được gọi là các vectơ cơ sở. Nếu tập các vectơ {xi} không đầy đủ, sai số xấp xỉ thường khác zêrô. Do đó, trong trường hợp không gian ba chiều vừa thảo luận, thường không thể biểu diễn vectơ f chỉ với hai vectơ cơ sở mà không bị sai số. Có nhiều cách lựa chọn vectơ cơ sở. Trong thực tế, tập các vectơ cơ sở tương ứng với chọn lựa đặc thù của hệ trục tọa độ. Do đó, vectơ ba chiều f có thể được biểu diễn với nhiều cách khác nhau, tùy theo hệ trục được dùng. 3.3-2 Không gian tín hiệu trực giao Đàu tiên, ta khảo sát tín hiệu thực, rồi mở rộng sang trường hợp tín hiệu phức. Dùng ý niệm về xấp xỉ tín hiệu hiệu phát triển từ phương pháp xấp xỉ vectơ. Ta định nghĩa tính trực giao ta tập tín hiệu thực x1(t), x2(t), . . . , xN(t), trong khoảng [t1, t2] là t2 0 mn t1 xm (t ) xn (t )dt  En m  n (3.36)
Nếu năng lượng En = 1 với mọi n, thì tập là chuẩn và được gọi là tập trực giao. Tập trực giao có thể chuẩn hóa bằng cách chia xn(t) cho En với mọi n. Xét phép xấp xỉ tín hiệu f(t) trong khoảng [t1, t2] dùng tập thực N, gồm các tín hiệu trực giao tương hỗ x1(t), x2(t), . . . , xN(t) là f (t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t )    cN xN (t ) (3.37a) N f (t )   cn xn (t ) (3.37b) n 1 Sai số e(t) trong xấp xỉ (3.37) là N e(t )  f (t )   cn xn (t ) (3.38) n 1 Trong phụ lục 3A sẽ chứng minh là năng lượng Ee của tín hiệu sai số e(t), được tối thiểu hóa nếu chọn t1 cn   t1 f (t ) xn (t )dt (3.39a) t1 x 2 n (t )dt t1 1 t1 En t1 cn  f (t ) xn (t )dt n  1,2, , N (3.39b) Trong phụ lục 3A cho thấy khi lựa chọn cn, thì năng lượng Ee của tín hiệu sai số e(t) sẽ là N Ee   f 2 (t )dt   cn2 En t1 (3.40) t1 n1 Ta thấy thường năng lượng sai số Ee giảm theo số lượng thừa số N, nhưng trường hợp này lại tăng do thừa số ck2Ek là không âm. Vậy, năng lượng sai số có thể 0 khi N  . Trường hợp này, tập tín hiệu trực giao được gọi là tập đầy đủ. Phương trình (3.37a) không còn là xấp xỉ mà là đẳng thức. f (t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t )    cN xN (t )  f (t )   cn xn (t ) t1  t  t 2 (3.41) n1 Trong đó các hệ số cn lấy từ phương trình (3.39). Do năng lượng tín hiệu sai số tiến về zêrô, nên năng lượng của f(t) bằng với tổng của năng lượng các thành phần trực giao c1x1(t), c2x2(t), c3x3(t) . . . , . Chuỗi bên vế phải của phương trình (3.41) được gọi là chuỗi Fourier tổng quát của f(t) theo tập {xn(t)}. Khi tập {xn(t)} có năng lượng sai số Ee 0 khi N   với mọi thành phần của một lớp tín hiệu đặc thù, ta nói là tập {xn(t)} là tập đầy đủ trong [t1, t2] với lớp tín hiệu f(t), và tập {xn(t)} được gọi là hàm cơ sở hay tín hiệu cơ sở. Ngoài những ghi chú riêng, từ đây về sau, tài liệu này chỉ khảo sát tín hiệu năng lượng. Vậy, khi tập {xn(t)} là đầy đủ, ta có đẳng thức (3.41). Một điểm nhỏ cần được làm rõ là ý nghĩa của đẳng thức trong phương trình (3.41). Đẳng thức trong trường hợp này không phải là đẳng thức theo nghĩa thông thường, mà theo ý nghĩa của năng lượng sai số, tức là, năng lượng của sai biệt giữa hai vế của phương trình (3.41) tiến về zêrô.
Nếu hiểu theo nghĩa thông thường thì năng lượng sai số phải luôn là zêrô, nhưng ngược lại là không đúng. Năng lượng sai số có thể tiến về zêrô ngay cả khi sai biệt hai vế e(t) là khác zêrô trong một khỏng thời gian tách biệt nào đó. Lý do là nagy cả khi e(t) khác zêrô trong các khoảng thời gian này, thì phần diện tích e2(t) vẫn là zêrô; nên chuỗi Fourier bên vế phải phương trình (3.41) có thể khác f(t) tại một số hữu hạn các điểm. Trong thực tế, khi f(t) có bước nhảy gián đoạn tại t = t0, chuỗi Fourier tương ứng tại hội tụ về trị trung bình của f(t0+) và f(t0-). Trong phương trình (3.41), năng lượng vế trái là Ef, và năng lượng của vế phải là tổng năng lượng các thành phần trực giao. Do đó  f 2 (t )dt  c12 E1 c22 E2     cn2 En t2  t1 n1 (3.42) Phương trình này được gọi là định lý Parseval. Nhắc lại là năng lượng tín hiệu (vùng diện tích của trị bình phương tín hiệu) thì tương tự như độ dài của vectơ trong phép tương đồng vectơ – tín hiệu. Trong không gian vectơ ta biết là bình phương của vectơ thì bằng với tổng các bình phương của độ dài và các thành phần trực giao. Phương trình (3.42) khẳng định điều áp dụng cho các tín hiệu. Tổng quát cho tín hiệu phức Kết quả trên có thể dùng cho các tín hiệu phức: Tập các hàm x1(t), x2(t), . . . , xN(t) là trực giao tương hỗ trong khoảng [t1, t2] khi t2 0 mn t1 x m (t ) x n * (t ) dt    En m  n (3.43) Nếu tập là đầy đủ trong một số lớp tín hiệu, thì hàm f(t) trong lớp này có thể viết thành f (t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t )    ci xi (t )   (3.44) 1 t2 En t1 cn  f (t ) xn *(t )dt (3.45) Phương trình (3.39) hay phương trình (3.45) cho thấy một tính chất quan trọng của hệ số c1, c2, . . . , cN; giá trị tối ưu của các hệ số trog phép xấp xỉ (3.37) là độc lập với số lượng thừa số dùng trong phép xấp xỉ. Thí dụ, nếu ta chỉ dùng một thừa số (N=1) hay hai thừa số (N=2) hay với bất kỳ thừa số nào, trị tối ưu của hệ số c1 là như nhau (như trong phương trình (3.39). Ưu điểm của phép xấp xỉ tín hiệu f(t) dùng các tín hiệu trực giao tương hỗ là việc ta có thể tiếp tục thêm các thừa số vào phép xấp xỉ mà không làm ảnh hưởng đến các thừa số trước đó. Đặc tính về tính finality các giá trị của các hệ số là rất quan trọng trong thực tế. Một số thí dụ về chuỗi Fourier tổng quát Tín hiệu là vectơ theo mọi ý nghĩa. Tương tự vectơ, một tín hiệu có thể được biểu diễn thành tổng các thành phần theo nhiều cách khác nhau. Giống như hệ trục tọa độ vectơ được tạo nên từ các vectơ trực giao tương hỗ (hệ vuông góc, hệ trụ, hệ cầu), ta cũng có hệ tọa độ tín hiệu (tín hiệu cơ sở) tạo nên từ nhiều tập tín hiệu trực giao tương hỗ. Có rất nhiều tập tín hiệu trực giao có thể dùng như tín hiệu cơ sở trong chuỗi Fourier tổng quát. Một số tập tín hiệu nổi tiếng là hàm lượng giác (sin), hàm mủ, hàm Waish, hàm Bessel, đa thức Legendre, hàm Laguerre, đa thức Jacobi, đa thức Hermite, và đa thức Chebyshev. Tài liệu này chỉ quan tâm đến các tập hàm lượng giác và hàm mủ.
Đôi dòng lịch sử: Nam tƣớc Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) 3.4 Chuỗi Fourier lƣợng giác Xét tập tín hiệu {1, cos0t, cos20t, . . . , cosn0t, , . . .; sin0t, sin20t, . . . , sinn0t, . . . } (3.46) Sóng sin với tần số n0 đươc gọi là hài bậc n của sóng sin tần số 0 khi n là số nguyên. Trong tập này sóng sin tần số 0 được gọi là thành phần cơ bản. Chú ý là thừa số hằng 1 là hài bậc 0 trong tập do cos(0 x 0t) = 1. Phụ lục 3B chứng minh đây là tập trực giao trong mọi khoảng tồn tại T0 = 2/0, gọi là chu kỳ cơ bản. Đặc biệt, cũng chứng minh là  0 nm T0 cos n0t cos m0t  T0 / 2 n  m  0 (3.47a)  0 nm T0 sin n0t sin m0t   T0 / 2 n  m  0 (3.47b) T0 sin n0t cos m0t  0 với mọi n và m (3.47c) Ý niệm fT0 là tích phân trong khoảng từ t = t1 đến t1 + T0 với mọi giá trị của t1. Phương trình này cho thấy tập (3.46) là trực giao trong mọi khoảng kề nhau của thời gian tồn tại T0. Đây là tập lƣợng giác, có thể chứng minh là tập đủ. Do đó, có thể biểu diễn tín hiệu f(t) thành chuỗi Fourier lượng giác trong thời gian T0 giây theo f(t) = a0 + a1cos0t + a2cos20t + . . . + b1sin0t + b2sin20t + . . . t1  t  t1+T0 (3.48a) Hay  f (t )  a0   an cos n0t  bn sin n0t t1  t  t1+T0 (3.48b) n1 Với 2 0  (3.49) T0 Từ phương trình (3.39), ta xác định các hệ số Fourier a0, an, và bn. Do đó t1 T0 an   t1 f (t ) cos n0tdt n = 1, 2, 3, … (3.50) t1 T0  t1 cos 2 n0tdt Tích phân trong mẫu số của phương trình (3.50) theo phương trình (3.47a) (với m = n) là T0/2 khi n  0. Hơn nữa, khi n = 0 thì mẫu số là T0. Do đó t1 T0 a0   f (t ) cos n0tdt n = 1, 2, 3, … (3.51a) t1 Và 2 t1 T0 an  T0  t1 f (t ) cos n0tdt n = 1, 2, 3, … (3.51b) Tương tự
2 t1 T0 bn  T0  t1 f (t ) sin n0tdt n = 1, 2, 3, … (3.51c) Dạng gọn của chuỗi Fourier Chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) chứa các thừa số sin và cos với cùng tần số. Có thể kết hợp lại thành một dạng sin với dùng tần số dùng đẳng thức lượng giác ancos n0t + bnsin n0t = Cncos(n0t + n) (3.52) với Cn  an2  bn2 (3.53a)   bn   n  tan 1   (3.53b)  n  a Để thống nhất, ta viết thừa số dc a0 theo C0, tức là C0 = a0 (3.53c) Dùng đẳng thức (3.52), chuỗi Fourier lượng giác trong phương trình (3.48) có thể viết thành dạng gọn của chuỗi Fourier theo  f (t )  C0   Cn cos(n0t   n ) t1  t  t1+T0 (3.54) n1 Các hệ số Cn và n được tính từ an và bn dùng phương trình (3.53). Phương trình 3.51a cho thấy a0 (hay C0) là trị trung bình của f(t) (lấy trung bình trong một chu kỳ). Giá trị này thường được xác định bằng cách kiểm tra f(t).  Thí dụ 3.3 Tìm dạng gọn của chuỗi Fourier của hàm mủ e-t/2 vẽ trong hình 3.7a trong khoảng tô bóng 0  t  . Do chỉ biểu diễn f(t) thành dạng chuỗi Fourier lượng giác trong khoảng 0  t  , T0 = , và tần số cơ bản là 2 0   2 , do đó T0  f (t )  a0   an cos 2nt  bn sin 2nt 0  t  . n1 Với (từ phương trình (3.51a)
1   a0  e t / 2 dt  0,504 0 2   2   an  e t / 2 cos 2ntdt  0,504 2  0  1  16n  2   8n  bn   e t / 2 sin 2ntdt  0,504 2   0  1  16n  Do đó   2  f (t )  0,5041   ( cos 2nt  4n sin 2nt ) 0t   n1 1  16n 2  Để tìm dạng chuỗi Fourier gọn, tính các hệ số từ phương trình (3.53) theo C0  a0  0,504 4 64n 2  2  Cn  an2  bn2  0,504   0,504  (1  16n ) 2 2 (1  16n )2 2  1  16n  2   bn   n  tan 1    tan 1 (4n)   tan 1 4n (3.55)  n  a Các giá trị Cn và n cho trường hợp dc và bảy hài đầu được tính tứ các phương trình trên và vẽ trong bảng 3.1. Từ các giá trị này, ta biểu diễn f(t) theo dạng chuỗi Fourier gọn
 2 f (t )  0,504  0,504 cos( 2nt  tan 1 4n) 0t  (3.56a) n1 1  16n 2 = 0,504 + 0,244cos(2t - 75,960) + 0,125cos(4t - 82,870) + 0,084cos(6t - 85,240) + 0,063cos(6t - 86, 420) + … 0  t   (3.56b) – t/2 Nhắc lại vế phải chỉ biểu diễn e trong khoảng từ 0 đến . Ngoài khoảng này, hai vế không nhất thiết phải bằng nhau. Bảng 3.1 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Cn 0,504 0,244 0,125 0,084 0,063 0,0504 0,042 0,036 n 0 -75,96 - 82,87 -85,24 -86,42 -87,14 -87,61 -87,95  Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lƣợng giác Ta đã chứng minh phương thức biểu diễn một tín hiệu bất kỳ f(t) thành chuổi Fourier lượng giác trong các khoảng T0 giây. Trong thí dụ 3.3, ta chỉ biểu diễn e – t/2 trong một khoảng từ 0 đến /2. Chuỗi Fourier tính từ phương trình (3.56) chỉ bằng e – t/2 trong khoảng này thôi. Bên ngoài khoảng này chuỗi không nhất thiết phải bằng e – t/2. Cũng cần xem bên ngoài khoảng này thì chuỗi Fourier ra sao. Ta sẽ chứng minh là chuỗi Fourier lượng giác là hàm tuần hoàn với chu kỳ T0 (chu kỳ cơ bản). Gọi chuỗi Fourier bên vế phải của phương trình (3.54) là (t), thì   (t )  C0   Cn cos(n0t   n ) với mọi t n1 Và   (t  T0 )  C0   Cn cos[n0 (t  T0 )   n ] n1   C0   Cn cos[n0 (t  2n )   n ] n1   C0   Cn cos(n0t   n )   (t ) với mọi t (3.57) n1 Kết quả này chứng tõ là chuỗi Fourier lượng giác là hàm tuần hoàn với chu kỳ T0 (chu kỳ cơ bản). Thí dụ, (t) là chuỗi Fourier bên vế phải của phương trình (3.56), là hàm tuần hoàn với các thời đoạn của f(t) trong khoảng (0  t  ) lập lại tuần hoàn theo từng  giây, vẽ trong hình 3.7b. Do đó, khi ta biểu diễn tín hiệu f(t) dùng chuỗi lượng giác trong một thời khoảng T0 nào đó, thì hàm f(t) và chuỗi Fourier tương ứng (t) chỉ cần bằng nhau trong khoảng T0 này thôi. Ngoài khoảng này, chuỗi Fourier lặp lại một cách tuần hoàn với chu kỳ T0. Nếu khi f(t) tự thân đã là hàm tuần hoàn với chu kỳ T0, thì chuỗi Fourier biểu diễn f(t) trong khoảng T0 cũng biểu diễn f(t) với mọi t (không chỉ trong khoảng T0). Một điều thú vị nữa, là theo hình 1.7 thì tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được sinh ra từ việc lặp lại có chu kỳ các thời đoạn có độ rộng là T0. Do đó, chuỗi Fourier lượng giác biểu diễn một thời đoạn của f(t) tại thời điểm bắt đầu bất kỳ cũng biểu diễn f(t) với mọi t. Do đó, khi tính toán các hệ số a0, an và bn, ta có thể dùng giá trị t1 bất kỳ trong phương trình (3.51). Nói cách khác, ta có thể lấy tích phân này trong mọi khoảng T0. Vậy các hệ số của chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần hoàn f(t) (với mọi t) có thể viết thành.
1 T0 T0 a0  f (t )dt (3.58a) 2 an   f (t ) cos n0tdt n = 1, 2, 3, … (3.58b) T0 T0 2 bn   f (t ) sin n0tdt n = 1, 2, 3, … (3.58c) T0 T0 Với  T0 là tích phân trong khoảng T0 giây Phổ Fourier Chuỗi Fourier gọn trong phương trình (3.54) cho thấy là tín hiệu tuần hoàn f(t) có thể được viết thành tổng các sóng sin có tần số 0 (dc), 0, 20, . . . , n0, với các biên độ lần lượt là C0, C1, C2, . . . , Cn, . . . và có pha là 0, 1, 2, . . . , n, . . . .. Ta vẽ đồ thị biên độ Cn theo  (phổ biên độ) và n theo  (phổ pha). Hai đồ thị này gọi chung là phổ tần số của f(t). Hình 3.7c và 3.7d vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn (t); tức là biên độ và pha của nhiều thành phần sóng sin của (t). Khi biết được phổ tần số, ta có thể tái tạo hay tổng hợp (t), như trong vế phải của phương trình (3.56). Do đó, phổ tần số trong hình 3.7c và 3.7d cung cấp dạng mô tả khác là dạng mô tả trong miền tần số của (t). Mô tả trong miền thời gian của (t) vẽ trong hình 3.7b. Do đó, một tín hiệu có hai dạng: mô tả trong miền thời gian (t) và mô tả trong miền tần số (phổ Fourier). Hai dạng này bổ sung cho nhau, giúp hiểu rõ hơn bản chất của tín hiệu. Hội tụ của chuỗi và các bƣớc nhảy gián đoạn Điều thú vị trong chuỗi Fourier là khi f(t) có bước nhảy gián đoạn, chuỗi tại điểm gián đoạn lại hội tụ về trung bình của vế trái và giới hạn của vế phải của f(t) tại thời điểm gián đoạn. Thí dụ, hình 3.7b, (t) gián đoạn tại t = 0 với (0+) = 1 và (0 -) = e-/2 = 0,208. Chuỗi Fourier tương ứng hội tụ về giá trị (1+0,02008)/2 = 0,604 tại t = 0. Có thể kiểm nghiệm dễ dàng từ hình 3.56b bằng cách cho t = 0. Tồn tại của chuỗi Fourier: Điều kiện Dirichlet Hai điều kiện cơ bản cho tồn tại của chuỗi Fourier là: 1. Để chuỗi tồn tại thì các hệ số a0, an, và bn trong phương trình (3.51) phải hữu hạn. Từ các phương trình (3.51a), (3.51b), và (3.51c) thì các hệ số này tồn tại nếu f(t) là tích phân tuyệt đối trong một chu kỳ, tức là:  f (t ) dt   T0 (3.59) Điều kiện này gọi là điều kiện Dirichlet yếu. Nếu hàm f(t) thỏa điều kiện Dirichlet yếu, thì điều kiện tồn tại của chuỗi Fourier được thỏa, nhưnh chuỗi có thể không hội tụ tại mọi điểm. Thí dụ, nếu hàm f(t) là không hữu hạn tại một số điểm, thì rõ ràng chuỗi biểu diễn hàm sẽ không hội tụ tại các điểm này. Tương tự, nếu hàm có vô số điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ, thì hàm chứa lượng đáng kể các thành phần tần số tiến về vô cùng. Do đó, các hệ số của chuỗi tại tần số cao không suy giảm nhanh, nên chuỗi không hội tụ
đều và nhanh. Vậy, để chuỗi Fourier hội tụ, ngoài điều kiện (3.59), cần có thêm điều kiện sau 2. Hàm f(t) chỉ có hữu hạn các điểm cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ, và chỉ có một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ. Hai điều kiện này được gọi là điều kiện Dirichlet mạnh. Cần chú ý là các tín hiệu tuần hoàn từ các phòng thí nghiệm thỏa điều kiện Dirichlet, nên đều có chuỗi Fourier hội tụ. Vậy, các tín hiệu tuần hoàn trong thực tế đều thỏa điều kiện đủ để chuỗi hội tụ.  Thí dụ 3.4 Tỉm chuỗi Fourier lượng giác dạng gọn của sóng vuông tuần hoàn f(t) vẽ trong hình 3.8a, rồi vẽ phổ biên độ và phổ pha. Trường hợp này, T0 = 2 và 0 = 2/ T0 = 1. Do đó  f (t )  a0   an cos nt  bn sin nt , với n1 1 a0   f (t )dt T0 T0 Trong các phương trình trên, ta có thể lấy tích phân f(t) trong các khoảng thời gian T0 = 2. Hình 3.8 cho thấy chọn lựa tốt nhất để lấy tích phân là từ -  đến . Do f(t) chỉ    bằng 1 trong khoảng   ,  và f(t) = 0 trong đoạn còn lại,  2 2 1  /2 1 2  / 2 2 a0  dt  (3.60a) Ngoài ra, từ hình 3.8a, ta cũng có thể tìm được trị trung bình của f(t) là a0 là ½. Đồng thời 1  /2 2  n  an   cos ntdt  sin    / 2 n  2 