Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 (Lecture 6) - Trần Quang Việt

Chia sẻ: Star Star | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier. Trong bài này tập trung trình bày những nội dung chính sau: Chuỗi Fourier, điều kiện tồn tại chuỗi Fourier, các tính chất của chuỗi Fourier, chuỗi Fourier và hệ thống LTI. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 (Lecture 6) - Trần Quang Việt

Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier Lecture-6 3.3. Chuỗi Fourier và tính chất 3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất 3.3.1. Chuỗi Fourier 3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier 3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1
3.3.1. Chuỗi Fourier 2π { } Xét tập tín hiệu: e jnω0 t ; n=0, ±1, ±2,.... và T0 = ω0 t1 + T0 t1 +T0 Ta có: (e jnω0t , e jmω0t )= ∫ e jnω0 t e− jmω0t dt = ∫ e j(n −m)ω0t dt t1 t1 1 t1 + T0 1 = e j(n −m)ω0t = e j(n −m)ω0t1 [e j(n −m)ω0T0 − 1] =0 j(n − m)ω0 t1 j(n − m)ω0 t1 + T0 Và: (e 0 , e 0 )= ∫ jnω t jnω t e jnω0 t e − jnω0 t dt = T0 = E n t1 Vậy tập tín hiệu trên là không gian tín hiệu trực giao. Dùng kết quả phần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t) trong khoảng t1
3.3.1. Chuỗi Fourier Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hoàn như hình vẽ 1 1 T1 2T 1 D0 = ∫ T -T1 dt = 1 = T 3 1 T1 1 T1 1 D n = ∫ e − jnω0 t dt = e − jnω0t = (e − jnω0T1 − e jnω0T1 ) T 1 -T − jnω0 T − T1 − j2nπ 1 1  nπ  1  nπ  = sin(nω0 T1 ) = sin   = sinc   nπ nπ  3  3  3  ∞ 1  nπ  jnω0 t f(t)= ∑ sinc  e n= −∞ 3  3  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.1. Chuỗi Fourier Chuỗi Fourier lượng giác: trong trường hợp f(t) là tín hiệu thực ∞ ∞ ∞ f(t)=f * (t) f(t)= ∑ D n e jnω0 t = ∑De * − jnω0 t n = ∑D * −n e jnω0t n= −∞ n= −∞ n= −∞ ∗ * Dn = D −n D = D− n n chuỗi Fourier được viết lại như sau: ∞ ∞ f(t)=D0 + ∑ (D n e jnω0 t + D− n e − jnω0 t ) =D 0 + ∑ (D n e jnω0 t + D*n e− jnω0 t ) n=1 n=1 ∞ f(t)=C0 + ∑ Cn cos(nω0 t+θ n ) n=1 C0 =D0 ; Cn =2|D n |; θ n = ∠D n Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3
3.3.1. Chuỗi Fourier Phổ của tín hiệu tuần hoàn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần hoàn thành tổng các thành phần tần số. Phân bố giá trị của các thành phần trên thang tần số gọi là phổ tần số (thường gọi là phổ) tín hiệu. Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổ biên độ và phổ pha. ∞ 1  nπ  jnω0 t Xét ví dụ trước: f(t)= ∑ 3 sinc  n= −∞ 3 e  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier Các tín hiệu tuần hoàn có năng lượng trong 1 chu kỳ hữu hạn đều có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier (Dn hữu hạn & năng lượng sai số bằng 0). Thực tế f(t) & chuỗi Fourier sẽ không có sự phân biệt đối với các hệ thống vật lý vì chúng đáp ứng trên cơ sở năng lượng Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụ về giá trị trung bình tại điểm gián đoạn Điều kiện 1: ∫ |f(t)|dt
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier Điều kiện 2: có số cực đại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ Ex: f(t)=sin(2π /t); 0
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier Tính tuyến tính: f1 (t) ↔ D1n f(t)=k1f1 (t)+k 2f 2 (t) ↔ D n =k1D1n + k 2 D 2n f 2 (t) ↔ D 2n Phép dịch thời gian: f(t) ↔ D n f(t − t 0 ) ↔ e − jnω0 t 0 D n Phép đảo thời gian: f(t) ↔ D n f( − t) ↔ D − n Phép tỷ lệ thời gian: ∞ f(t) ↔ D n f(at) ↔ D n ; f(at)= ∑ D n e jnaω0 t n =−∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier Nhân 2 tín hiệu: f1 (t) ↔ D1n ∞ f(t)=f1 (t)f 2 (t) ↔ D n = ∑ D1n D 2(n-k) f 2 (t) ↔ D 2n k= −∞ Liên hiệp phức: f(t) ↔ D n f * (t) ↔ D*− n Định lý Parseval : ∞ 1 Pf = ∫ |f(t)| dt= ∑ |D n |2 2 T T n= −∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6
3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung là h(t) và f(t) là tín hiệu tuần hoàn thỏa điều kiện Dirichlet. Khi đó có thể biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier là tổng của các thành phần TS ejnωot ∞ f(t)= ∑ D n e jnω0 t n= −∞ ∞ y(t)=f(t) ∗ h(t)= ∑ D n [e jnω0t ∗ h(t)] n= −∞ ∞ ∞ y(t)= ∑ D n ∫ h(τ)e jnω0 (t −τ) dτ = ∑ D n  ∫ h(τ)e − jnω0 τ dτ  e jnω0 t ∞ ∞ n= −∞ −∞ n= −∞  −∞  ∞ y(t)= ∑ D n H(nω0 )e jnω0 t ∞ H(ω)= ∫ h(t)e − jωt dt n= −∞ −∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3.4. Chuỗi Fourier và hệ thống LTI Nhận xét về đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu tuần hoàn y(t) cũng được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier với các hệ số là DnH(nω0) y(t) là tín hiệu tuần hoàn cùng tần số với f(t) Các thành phần tần số khác nhau của f(t) khi qua HT LTI sẽ bị thay đổi khác nhau về biên độ và pha tùy thuộc vào H(ω) HT LTI đóng vai trò là một bộ chọn lọc tần số; H(ω): đáp ứng tần số. Ví dụ: xác định chuỗi Fourier của ngỏ ra HT LTI có đáp ứng xung h(t)=e-2tu(t) với ngõ vào f(t) như ví dụ phần 3.3.1 có T=π ∞ 1  nπ  jnω0 t 1 f(t)= ∑ sinc  ∞ e ; H(ω)= ∫ h(t)e − jωt dt = n= −∞ 3  3  −∞ 2+jω ∞ 1  nπ  j2nt f(t)= ∑ sinc  e n= −∞ 6(1+jn)  3  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7