Bài giảng chương 4 : Hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

235
lượt xem 91
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với những biến số . Mời các bạn tham khảo bài giảng dưới đây để hiểu thêm về hệ phương trình này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chương 4 : Hệ phương trình tuyến tính

Ch¬ng 4 HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 4.1 Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh A. Tãm t¾t lý thuyÕt 1. D¹ng tæng qu¸t cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh HÖ m ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn lµ hÖ cã d¹ng: a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm  Trong ®ã aij (i= 1, m ;j= 1, n ) vµ bi (i= 1, m ) lµ c¸c sè cho tríc trªn trêng K, cßn x1,x2,...,xn lµ n Èn sè cÇn t×m. NÕu b1=b2=...=bm=0 th× hÖ ®îc gäi lµ hÖ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt, ngîc l¹i hÖ ®îc gäi lµ hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt. NÕu m=n ta ®îc mét hÖ vu«ng. §Æt:  a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n b1   x1   b1          A=  a21 a22 ... a2 n  A*=  a21 a22 ... a2 n b2  X=  x2  b=  b2  ...   ...   ...   ...           am1 am2 ... amn   am1 am2 ... amn bm   xn   bm  Ta gäi A lµ ma trËn c¸c hÖ sè, A* lµ ma trËn c¸c hÖ sè më réng, X lµ vÐc t¬ Èn vµ b vÐc t¬ cét vÕ ph¶i cña hÖ. Khi ®ã cã hÖ díi d¹ng ma trËn 140
 a11 a12 ... a1n   x1   b1         a21 a22 ... a2 n   x2  =  b2   ...   ...   ...         am1 am2 ... amn   xn   bm  2 §iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm §Þnh lý (§Þnh lý Kronecker- Capeli) HÖ ph¬ng tr×nh a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm  cã nghiÖm khi vµ chØ khi r(A)=r(A*). §Þnh lý : HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi r(A)=r(A*)=n (n lµ sè Èn cña hÖ). Chó ý: V× trong kh«ng gian Km mét hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh cã kh«ng qu¸ m phÇn tö nªn hÖ ph¬ng tr×nh chØ cã thÓ cã nghiÖm duy nhÊt khi m≥ n. 4.2 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 1. HÖ Cramer §Þnh nghÜa : HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi n ph¬ng tr×nh vµ n Èn sè mµ ma trËn c¸c hÖ sè cña nã kh«ng suy biÕn gäi lµ hÖ Cramer. HÖ qu¶ : HÖ Cramer cã vµ chØ cã mét nghiÖm. C«ng thøc nghiÖm 1 n ∆ xi= ∑ b j A ji = i (i=1,2,...,n) ∆ j =1 ∆ Trong ®ã ∆=det(A) cßn ∆ i lµ ®Þnh thøc nhËn ®îc tõ ∆ b»ng c¸ch thay cét i bëi cét b. 2. Ph¬ng ph¸p Khö_Gauss Trong c¸c ph¬ng ph¸p khö chóng ta sö dông c¸c phÐp biÕn ®æi ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: 141
(i) Nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh trong hÖ víi cïng mét sè kh¸c kh«ng. (ii) Céng mét ph¬ng tr×nh víi ph¬ng tr×nh kh¸c sau khi nh©n ph¬ng tr×nh ®ã víi mét sè. (iii) §æi vÞ trÝ hai ph¬ng tr×nh trong hÖ cho nhau. Nh vËy c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cña hÖ chÝnh lµ c¸c phÐp biÕn ®æi Gauss theo hµng cña ma trËn c¸c hÖ sè më réng. a. Khö Gauss cho hÖ n ph¬ng tr×nh n Èn sè XÐt hÖ n ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ... an1 x1 + an 2 x2 +...+ ann xn = bn  Víi A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. Néi dung cña khö Gauss gåm hai bíc: ι (i) Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng lÇn lît khö c¸c hÖ sè trong phÇn tam gi¸c díi cña c¸c cét ®a hÖ ban ®Çu vÒ hÖ tam gi¸c trªn:  1 u12 ... u1n   x1   b'1        0 1 ... u2 n   x2  =  b'2   ...   ...   ...        0 0 ... 1   xn   b'n  Muèn vËy ta thùc hiÖn khö n lÇn vµ ë lÇn khö thø i (i= 1, n ) ta thùc hiÖn c¸c bíc sau aij−1 i bii −1 1. a = i (j= i, n ) , bii = i −1 víi aii ≠ 0 ij a i −1 ii aii−1 i 2. k= i + 1, n a kj = a kj−1 − aij a ki−1 (j= i, n ) i i i i 142
bki = bki −1 − bii a ki−1 i i −1 i −1 NÕu aii = 0 vµ a mi ≠ 0 (i
 x1   y1   c1   d1          x2  y2  c2  d2 X = Y= C= D=   ...   ...   ...   ...           xn   yn   cn  dn  Khi ®ã ta cã hÖ díi d¹ng ma trËn: (A+iB)(X+iY)=C+iD hay (AX-BY)+i(BX+AY)=C+iD Cho phÇn thùc b»ng phÇn thùc, phÇn ¶o b»ng phÇn ¶o ta cã hÖ: AX-BY=C BX+AY=D hay díi d¹ng ma trËn khèi ta cã: A − B  X  C     =  D B A Y    §ã lµ mét hÖ ph¬ng tr×nh víi c¸c hÖ sè thùc. Gi¶i hÖ ta t×m ®îc phÇn thùc X vµ phÇn ¶o Y. Khi ®ã nghiÖm cña hÖ lµ: X+iY 4. Ph¬ng ph¸p khö Gauss_Jordan a. Ph¬ng ph¸p khö Gauss_Jordan gi¶i hÖ XÐt hÖ ph¬ng tr×nh A.X=b víi A ≠ 0 , qu¸ tr×nh khö Gauss ®a hÖ vÒ hÖ míi UX=b* trong ®ã U lµ ma trËn tam gi¸c trªn. Khö Gauss_Jordan c¶i tiÕn khö Gauss b»ng c¸ch thùc hiÖn khö ®a hÖ vÒ d¹ng: E.X=b* Víi E lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n, khi ®ã nghiÖm cña hÖ chÝnh lµ X=b* Nh vËy trong khö Gauss_Jordan qu¸ tr×nh tÝnh to¸n trong bíc khö sÏ nhiÒu h¬n nhng l¹i thu ngay ®îc nghiÖm. §Ó ®a ma trËn A vÒ ma trËn E ta ph¶i biÕn ®æi sao cho sau lÇn khö thø i ( i=1,2,...,n) ta cã ®îc: aii = 1  a ki = 0 k ≠i 144
Muèn vËy ë lÇn khö thø i (i= 1, n ) ta thùc hiÖn: aij−1 i bii −1 1. a = i (j= i, n ), bii = ij aii−1 i aii−1 i 2. k= 1, n , k≠ i a kj = a kj−1 − aij a ki−1 (j= i, n ) i i i i bki = bki −1 − bii a ki−1 i Nh vËy so víi phÐp khö Gauss, ë lÇn khö thø i bíc 2 ta ph¶i biÕn ®æi tÊt c¶ c¸c hµng k=1,2,...,n trõ k=i. b. Khö Gauss_Jordan gi¶i ph¬ng tr×nh ma trËn XÐt ph¬ng tr×nh ma trËn: A.X=B víi A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. B lµ ma trËn cÊp n× p cho tríc, X lµ ma trËn cÊp n× p vµ lµ ma trËn ph¶i t×m. NÕu ¸p dông khö Gauss_Jordan ®a ma trËn A vÒ ma trËn ®¬n vÞ E , ph¬ng tr×nh míi cã d¹ng: E.X=B* Khi ®ã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh chÝnh lµ: X=B* c. Khö Gauss_Jordan tÝnh ma trËn ®¶o NÕu B lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n, khi ®ã xÐt ph¬ng tr×nh: A.X=E nh©n bªn ph¶i hai vÕ víi A-1 ta ®îc: A-1.A.X=A-1.E hay X=A-1 Nh vËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh chÝnh lµ ma trËn A -1 . d. Ma trËn ®¶o cña ma trËn c¸c sè phøc Ta còng cã thÓ dïng khö Gauss_Jordan ®Ó gi¶i ph- ¬ng tr×nh ma trËn vµ tÝnh ma trËn ®¶o cña ma trËn 145
phøc. XÐt ph¬ng tr×nh ma trËn phøc: (A+iB) (X+iY)=I+θ Ta ®a ®îc vÒ ma trËn khèi thùc:  A − B  X   I      =   B A   Y  θ  Thùc hiÖn khö Gauss_Jordan gi¶i ph¬ng tr×nh ma trËn ta ®îc: (A+iB)-1=(X+iY) B. Bµi tËp 1. Gi¶i c¸c hÖ Cramer sau: x + 3y = 1 2 x − y = 1 a.  b.  2 x + y = 0 2 x + 3 y = 2 3 2. Trong R cho c¸c vÐc t¬ a=(1,2,0),b=(0,1,2),c=(0,1,t),u=(1,3,2) a. T×m t ®Ó u biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua a,b,c. b. Víi t b»ng bao nhiªu biÓu diÔn lµ duy nhÊt, t×m biÓu diÔn ®ã. 3. BiÖn luËn nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tx1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1  x + tx + x + x = 1  1 2 3 4   x1 + x 2 + tx 3 + x 4 = 1  x1 + x 2 + x 3 + tx 4 = 1  Trong ®ã x1,x2,x3,x4 lµ Èn sè, t lµ tham sè. 4. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng khö Gauss 146
8 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 24 4 x + 10 x + 5x + 4 x = 32  1 2 3 4 a.  b. 2 x1 + 5x 2 + 6,5x 3 + 4 x 4 = 26   4 x 2 + 4 x 3 + 9 x 4 = 21  x1 + x 2 =1   x1 + x 2 + x 3  =4  x2 + x3 + x4 = −3  x 3 + x 4 + x5 =2    x 4 + x5 = −1  x1 − 2 x 2 + 3x3 − 4 x 4 = 2 2 x1 − x 2 + x 3 = 12 3 x + 3x − 5 x + x = −3   1 2 3 4 c.  x1 + 6 x 2 − x 3 = 2 d.  3x + x + 8 x = 16 − 2 x1 + x 2 + 2 x3 − 3 x 4 = 5  1 2 3 3 x1 + 3 x3 − 10 x 4 = 8  5. Gi¶i hÖ b»ng khö Gauss  x1 + 3x 2 − 2 x 3 + x 4 = 1  a.  x1 + 3x 2 − x 3 + 3x 4 = 3 b.  x + 3x − 3x − x = 2  1 2 3 4 2 x1 − x 2 + 3x 3 − 7 x 4 = 5  6 x1 − 3x 2 + x 3 − x 4 = 7 4 x − 2 x + 4 x − 3x = 18  1 2 3 4  x1 − x 2 + x 3 = 3  x1 + x 2 − 3x 3 = −1 2 x + x + 2 x = 0 2 x + x − 2 x = 1  1 2 3  1 2 3 c.  d.  2 x1 + x3 = 3  x1 + x 2 + x 3 = 3 2 x1 + 3x 2 + x 3 = −3   x1 + 2 x 2 − 3x 3 = 1  6. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh 147
 x + ay + a 2 z = a 3 tx + y + z = 1   a.  x + by + b 2 z = b 3 b.  x + ty + z = 1   x + y + tz = 1  x + cy + c z = c 2 3  2 x1 + 3x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3 4 x + 6 x + 3x + 4 x = 5  1 2 3 4 c.  d. 6 x1 + 9 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 7 8 x1 + 12 x 2 + 7 x 3 + tx 4 = 9  tx1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1  x + tx + x + x = 1  1 2 3 4   x1 + x 2 + tx 3 + x 4 = 1  x1 + x 2 + x 3 + tx 4 = 1  7. T×m ®iÒu kiÖn cña a,b,c,d ®Ó hÖ cã nghiÖm  x + 2 y + 2z = a 2 x − y + z = b  a.  3x + y − z = c  x − 3 y − 5z = d  8. Gi¶i vµ biÖn luËn theo a hÖ ph¬ng tr×nh (1 + a ) x + y + z = 1 x + y + z = 1   a.  x + (1 + a ) y + z = a b. ax + by + cz = d   2  x + y + (1 + a ) z = a a x + b y + c z = d 2 2 2 2 ax1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1  c.  x1 + ax 2 + x 3 + x 4 = a   x1 + x 2 + ax 3 + x 4 = a 2 9. Gi¶i hÖ thuÇn nhÊt b»ng khö Gauss 148
2 x + 4 y − 4 z = 0  3x + 5 y − 7 z = 0 4 x + 10 y − 6z = 0  10. Trong R3 cho c¸c vÐc t¬ a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),u=(1,3,2) a. Chøng tá r»ng u biÓu diÔn tuyÕn tÝnh duy nhÊt ®- îc qua c¸c cÆp vÐc t¬ {a,b},{a,c},{b,c} b. T×m c¸c biÓu diÔn ®ã. 11. Trong R3 cho c¸c vÐc t¬ a=(t,1,0),b=(1,t,2),c=(0,1,t),u=(1,3,2) a. T×m t ®Ó u biÓu diÔn tuyÕn tÝnh qua a,b,c. b. Víi t b»ng bao nhiªu th× biÓu diÔn cña u lµ duy nhÊt, t×m biÓu diÔn ®ã. 12. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh phøc (1 + 2i )( x1 + y1i ) + (2 − i )( x 2 + y 2 i ) = 2 − i a.  (2 + i )( x1 + y1i ) + ( 7 + i )( x 2 + y 2 i ) = 1 − 17i (1 + i ) x − (2 − i ) y = i (2 − i ) x + ( 3 + 2i ) y = 1 − 3i ιι b.  c.  (2 + i ) x − (1 − i ) y = 0 (3 − i ) x + i y = 2 + 2i 13. Gi¶i hÖ b»ng khö Gauss_Jordan 8 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 24 4 x + 10 x + 5x + 4 x = 32 2 x − y + z = 12  1  b.  x + y − z = 3 2 3 4 a.  2 x1 + 5x 2 + 6,5x 3 + 4 x 4 = 26 3 x + y + 7 z = 21    4 x 2 + 4 x 3 + 9 x 4 = 21 14. Gi¶i ph¬ng tr×nh ma trËn −1 3 − 2  1 −1 1     a.  1 − 2 2  X=  − 1 1 − 1      2 −6 3  2 2 − 2 149
 3 −1 0   x1 y1   1 − 1      b.  − 1 1 − 1   x2 y2  =  0 2   0 −1 2   x y   2 1     3 3   15. Dïng khö Gauss_Jordan t×m ma trËn ®¶o cña ma trËn: −1 3 − 2  2 1 6 2 3 1       A=  1 − 2 2  B=  3 1 − 1 C=  1 4 1        2 −6 3  1 8 1  1 1 − 2  0 1 1 1 1 3 − 5 7   1 1 1 1        1 0 1 1 E=  0 1 2 − 3 F=  1 1 − 1 − 1 D=  1 1 0 1 0 0 1 2  1 − 1 1 − 1        1 1 1 0 0 0 0 1  1 − 1 − 1 1 16. T×m ma trËn ®¶o cña c¸c ma trËn phøc  1+ i 1− i  2 + 3i 1 − 2i   − 2 + i 1+ i  A=  −1+ i 1   B=  1 + 3i 1 + i   C=   1− i − 2 − i         1 − i 0 0  2 − i 1+ i i      D=  1 + 2i 2 0  U=  0 2+i 1− i       2 − 2i 1 − 2i 1 + i   0 0 1  17. Gi¶i ph¬ng tr×nh ma trËn cÊp n 1 1 1 ... 1 1 2 3 ... n − 1 n      0 1 1 ... 1 0 1 2 ... n − 2 n − 1 a.  0 0 1 ... 1 X=  0 0 1 ... n − 3 n − 2      ...   ...      0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 1  150
1 0 0 ... 0  1 0 0 ... 0     1 1 0 ... 0  2 1 0 ... 0 b.  1 1 1 ... 0 X=  3 2 1 ... 0      ...   ...      1 1 1 ... 1  n n − 1 n − 2 ... 1 1 1 1 ... 1  2 1 0 ... 0     0 1 1 ... 1  1 2 1 ... 0 c.  0  0 1 ... 1  X=  0 1  2 ... 0    ...   ...  0 0 0 ... 1    0 0 0 ... 2  18. TÝnh ma trËn ®¶o cña ma trËn 1 1 1 ... 1   1 1 1 ... 1     1 0 1 ... 1   0 1 1 ... 1 B= 1 1 A=  0 ... 1  ...       ...   0 0 0 ... 1 1 1  1 ... 0   0 1 1 ... 1 1 0 0 ... 0      1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 0  C=  1 1 0 ... 1 D=  1 1 1 ... 0      ...   ...      1 1 1 ... 0 1 1 1 ... 1 151
1 + a 1 1 ... 1   1 a a 2 ... a n     n −1   1 1 + a 1 ... 1   0 1 a ... a    E=  1 1 1 + a ... 1  F=  0 0 1 ... a n − 2     ...   ...      0 0 0 ... 1    1 1 1 ... 1 + a    C. Lêi gi¶i híng dÉn hoÆc ®¸p sè 1 2 5 2 1. a. x= y= = b. x = y= −5 5 8 8 2. Gi¶ sö u=x1a+x2b+x3c hay 1   0  0  1          x1  2 + x 2  1  + x 3  1 =  3          0  2  t   2 §ã chÝnh lµ hÖ ph¬ng tr×nh  x1 =1  2 x1 + x2 + x3 = 3  2 x2 + tx3 = 2  Ma trËn c¸c hÖ sè më réng cã: 1 0 0 1  1 0 0 1     r(A*)=r  0 1 1 1 =r  0 1 1 1     0 2 t 2  0 0 t − 2 0 a. Víi mäi t, r(A)=r(A*) nªn hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm hay u biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua a,b,c. b. Khi t=2, r(A)=r(A*)=2 nªn biÓu diÔn cña u qua a,b,c lµ kh«ng duy nhÊt. Khi t≠ 2, r(A)=R(A*)=3 nªn biÓu diÔn cña u qua a,b,c lµ duy nhÊt. HÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x1,x2,x3)=(1,1,0), hay biÓu diÔn duy nhÊt cña u qua a,b,c lµ: u=a+b+0.c 3. Gäi ma trËn c¸c hÖ sè lµ A vµ ma trËn c¸c hÖ sè më réng lµ A*. XÐt h¹ng cña chóng b»ng c¸c phÐp biÕn ®æi 152
s¬ cÊp sau: Céng c¸c cét vµo cét ®Çu, råi lÇn lît lÊy c¸c hµng trõ ®i hµng ®Çu ®îc:  t 1 1 1 1  3 +t 1 1 1 1  3 + t 1 1 1 1        1 t 1 1 1   3 + t t 1 1 1  0 t − 1 0 0 0  1 1 t 1 1  ⇒ 3 + t 1 t 1 1 ⇒ 0 0 t −1 0 0       1 1 1 t 1   3 + t 1 1 t 1  0 0 0 t −1 0       a. NÕu t≠ -3 vµ t≠ 1 det(A)≠ 0 vµ r(A)=4 hÖ duy nhÊt nghiÖm. b. NÕu t=1 hÖ ®· cho trë thµnh hÖ: x1+x2+x3+x4=1 r(A)=r(A*)=1
x3=2,5-0,5 . x4=2,5-0,5.1 =2 x2=2,5-0,5.x3-0,5 x4=2,5-0,5.1-0,5. 2=1 x1=3-0,5 x2-0,25x3 =3-0,5. 1-0,25. 2=2 b. x1 tuú ý x2=1-x1 x3=3 x4=x1-7 x5=6-x1 263 29 3 c. x1 = x2 = − x3 = − 46 46 46 d. r(A)=3, r(A*)=4 hÖ v« nghiÖm. 5.a. LËp b¶ng:  1 3 − 2 1 1    1 3 − 1 3 3    1 3 − 3 − 1 2 Thùc hiÖn khö:  1 3 − 2 1 1  1 3 − 2 1 1      0 0 1 2 2 ⇒ 0 0 1 2 2      0 0 − 1 − 2 1  0 0 0 0 3  HÖ kh«ng cã nghiÖm do r(A)=2, r(A*)=3. 7 31 5 b. x1 tuú ý x 2 = 2 x1 − x3 = x4 = 6 6 3 c. LËp b¶ng  1 − 1 1 3    2 1 2 0 2 0 1 3    2 3 1 − 3 Thùc hiÖn khö  1 − 1 1 3  1 − 1 1 3  1 − 1 1 3        0 3 0 − 6  ⇒ 0 1 0 − 2  ⇒ 0 1 0 − 2   0 2 − 1 − 3  0 0 − 1 1   0 0 − 1 1         0 5 − 1 − 9   0 0 − 1 1  0 0 0 0  154
v× r(A)=r(A*)=3 b»ng sè Èn cña hÖ nªn hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: x3=-1 x2=-2 x1=3+x2-x3=3-2+1=2 d. HÖ v« nghiÖm 6.a. Cã c¸c trêng hîp sau 1. NÕu a=b=c hÖ trë thµnh: x+ay+a2z=a3 hÖ v« sè nghiÖm víi : nÕu a=0 x=0 ; y,z tuú ý. NÕu a≠ 0 x=a(a2-y-az) ; y , z tuú ý.  x + ay + a 2 z = a 3  2. NÕu cã a=c≠ b hÖ trë thµnh:   x + by + b 2 z = b 3   x + ay + a z = a  2 3 Hay   (b − a ) y + (b 2 − a 2 ) z = b 3 − a 3   x = −ab 2 − a 2 b + abz  hÖ cã nghiÖm  z tuú ý.  y = (b 2 + ab + a 2 ) − (a + b) z  NÕu a=b≠ c thay b bëi c, b=c≠ a thay a bëi c. 3. a≠ b≠ c hÖ trë thµnh  x + ay + a 2 z = a3   y + (b + a) z = b 2 + ab + a 2  (c − b) z = (c − b)(a + b + c)   x = abc  HÖ cã nghiÖm duy nhÊt:  y = −(ab + bc + ac) z = a + b + c  b. (i) t=-2 hÖ v« nghiÖm (ii) t=1 hÖ v« sè nghiÖm x=1-y-z (iii) t≠ -2 t≠ 1 hÖ cã nghiÖm 1 x= y=z= t+2 c. Víi mäi t hÖ cã v« sè nghiÖm t=8 hÖ cã nghiÖm 2x1+3x2+2x4=4 x3=-1 155
4 − 2 x1 t≠ 8 hÖ cã nghiÖm x1 tuú ý x 2 = x3=-1 3 x4=0 d. t=-3 hÖ v« nghiÖm t=1 hÖ v« sè nghiÖm x1+x2+x3+x4=1 1 t≠ -3 t≠ 1 hÖ cã nghiÖm x1=x2=x3=x4= t +3 7. ¸p dông c¸c phÐp biÕn ®æi Gauss cho ma trËn më réng cña hÖ ta ®îc: 1 2 2 a 1 2 2 a      2 −1 1 b  0 − 5 − 3 b − 2a  3 1 −1 ⇒ c 0 − 5 − 7 c − 3a      1 − 3 − 5 d 0 − 5 − 7 d − a      1 2 2 a  1 2 2 a       0 − 5 − 3 b − 2 a   0 − 5 − 3 b − 2a   0 0 − 4 c − a − b  ⇒ 0 0 −4 c−a−b      0 0 − 4 a − b + d  0 0 16 2a − c + d      VËy hÖ cã nghiÖm khi d-c+2a=0 8. a. LËp b¶ng 1 + a 1 1  1      1 1+ a 1  a   1  1 1+ a a2    LÊy hµng mét trõ hµng hai, hµng hai trõ hµng ba ®îc a −a 0  1 − a     0 a − a  a − a2  1  1 1+ a  a2    NÕu a=0 ph¬ng tr×nh mét v« nghiÖm nªn hÖ v« nghiÖm. NÕu a≠ 0, chia hµng mét vµ hai cho a, lÊy hµng ba trõ hµng mét ®îc 156
 1− a    1 −1 0   a    0 1 −1   1− a  0  3   2 1+ a  a + a −1    a  Nh©n hµng hai víi -2 råi céng vµo hµng ba ®îc  1− a    1 −1 0  a    0 1 −1   1− a  0  3   0 3 + a   a + 2a 2 − a − 1      a  NÕu a=-3 ph¬ng tr×nh ba v« nghiÖm nªn hÖ v« nghiÖm. NÕu a≠ -3 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt: − a2 + 2 2a − 1 a 3 + 2a 2 − a − 1 x= , y= , z= a (a + 3) a (a + 3) a (a + 3) b. 1 a=b=c≠ d hÖ v« nghiÖm. 2. a=b=c =d hÖ trë thµnh: x+y+z=1, hÖ v« sè nghiÖm: x=1-y-z, y,z tuú ý 3. a=b(≠ c) vµ d≠ c hÖ v« nghiÖm v× r(A)=2,r(A*)=3, 5. a=b(≠ c=d) hÖ trë thµnh: x + y + z = 1  cã nghiÖm: z=1, x=-y, y tuú ý. ax + ay + cz = c 6. C¸c trêng hîp a=c(≠ b), b=c(≠ a) cho kÕt qu¶ t¬ng tù nh trêng hîp trªn chØ cÇn ®æi c¸c tham sè cho nhau. 7. a≠ b≠ c , r(A)=3 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. (b − d )( c − d ) ( d − a )( c − d ) ( d − a )( d − b) x= y= z= (b − a )( c − a ) (b − a )( c − b) ( c − a )( c − b) c. a=1 hÖ v« sè nghiÖm vµ cã d¹ng x1+x2+x3+x4=1 157
a≠ 1 hÖ cã v« sè nghiÖm x1=2x3-a-1 x2=x3-a x3 tuú ý x4=(a+1)2- (a+2)x3 9. LËp b¶ng 2 4 −4 0   3 5 −7 0   4 10 −6 0 Thùc hiÖn khö 1 2 −2 0  1 2 −2 0     0 −1 −1 0  ⇒ 0 1 1 0 0  2 2 0  0   0 0  0 VËy nghiÖm cña hÖ lµ: x=-2y+2z, y=-z, z tuú ý. 10. a. XÐt h¹ng ma trËn cña hÖ {a,b,c,u} 1 0 1 1  1 0 1 1  1 0 1 1        1 1 2 3  ⇒ 0 1 1 2  ⇒ 0 1 1 2   0 1 1 2  0 1 1 2  0 0 0 0       Ta thÊy h¹ng cña hÖ {a,b,c,u}=2 vµ {a,b}, {a,c}, b,c} ®Òu lµ c¸c cét c¬ së cña ma trËn, hay lµ c¸c hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnh cùc ®¹i cña hÖ {a,b,c,u} do ®ã u cã biÓu diÔn duy nhÊt qua chóng. b. Tõ a.x+b.y=u ta cã hÖ: x =1  x = 1  x + y = 3 hay  vËy u=a+2b  y =1  y=2  Tõ a x+c y=u ta cã hÖ x + y = 1   x = −1  x + 2 y = 3 hay  vËy u= -a+2c  y=2 y = 2  Tõ bx+cy=u ta cã hÖ 158
 y =1  x + 2 y = 3 x=1,y=1 vËy u=b+c x + y = 2  11. HÖ {a,b,c,u} cã ma trËn  t 1 0 1  1 t 1 3  1 t 1 3        1 t 1 3  ⇒ 0 2 t 2  ⇒  0 2 t 2   0 2 t 2   t 1 0 1   0 1 − t 2 − t 1 − 3t        2 t XÐt = t (t 2 − 3) = 0 1− t − t 2 a. t=0 ta ®îc ma trËn cña hÖ 1 0 1 3  1 0 1 3       0 2 0 2 ⇒  0 1 0 1  0 1 0 1  0 0 0 0     r{a,b,c}=r{a,b,c.u} u biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc qua {a,b,c}. b. t= ± 3 ta ®îc ma trËn cña hÖ 1 ± 3 1 3  1 ± 3 1 3      0 2 ± 3 2  ⇒ 0 2 ± 3 2      0 − 2  3 1 3 3   0 0 0 3 3 3      r{a,b,c}=2, r{a,b,c,u}=3, u kh«ng biÓu diÔn ®îc qua {a,b,c}. c. NÕu t ≠ 0, t ≠ ± 3 , r{a,b,c}=r{a,b,c,u}=3, u biÓu diÔn ®îc duy nhÊt qua {a,b,c}. 12. a. Díi d¹ng ma trËn hÖ cã d¹ng: 159