Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh

Chia sẻ: Thanh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

370
lượt xem 32
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục" cung cấp cho người học các kiến thức: Giới hạn của dãy số thực, giới hạn của hàm số, liên tục của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 1: Giới hạn và liên tục • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn
Mục tiêu của môn học Toán 1 Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật.
Giới hạn và liên tục Đạo hàm và vi phân Tích phân hàm một biến Phương trình vi phân
Nhiệm vụ của sinh viên. Đi học đầy đủ. Làm tất cả các bài tập cho về nhà. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.
ài liệu tham khảo Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm một biến. XBGD, 2005 Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia James Stewart. Calculus, fifth edition, 2005. 5. http://tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Giới hạn của dãy số thực 0.2 – Giới hạn của hàm số 0.3 – Liên tục của hàm số
h nghĩa á trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A ược gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA, upremum của A) iá trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp A ược gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA, nfimum của A) Nguyên lý supremum. Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng. Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.
I. Giới hạn của dãy số thực ------------------------------------------------------------ Định nghĩa Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R. u:N  R n  u ( n)  Thường dùng ký hiệu:   un n 1 hay đơn giản  un  un được gọi là số hạng thứ n của dãy.
Dãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số theo thứ tự: u1, u2 ,..., un ,... Ví dụ:  (1)n   un      n 1  Ghi ở dạng tường minh, ta có  1 1 1 n  1   un    , , ,...., ,...  2 3 4 n 1  
Định nghĩa Số a được gọi là giới hạn của dãy số  un , nếu   0, n0  n  n0  un  a    lim u Ký hiệu: n n  a u hay n n  a Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi là dãy hội tụ. Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ.
í dụ: n Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng lim 1 n n  1 n 1 1   0 1     n 1 n 1 n 1  1 Chọn số tự nhiên n0  1  n 1 1 Khi đó n  n0 :| un  1| 1    n 1 n  1 n0  1 n  lim 1 (theo định nghĩa) n n  1
Số a không là giới hạn của dãy số  un , nếu    0, n0  N n1  n0 & un1  a    Số a không là giới hạn của dãy  un  , nếu tồn tại số dương   0 để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự n1  n0 sao cho un  a   . 1
Ví dụ:   n 1 Chứng tỏ rằng dãy   1   không có giới hạn  n n 1 Chứng tỏ: | un  un 1 | 1 Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với chỉ số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ. 1 1 u2 k  1  1 u2k 1  1   0 | un  un 1 | 1 2k 2k  1 1 a  R Xét khoảng  a  , a    1  2 2 Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng này. Vậy không tồn tại giới hạn.
Định nghĩa Ta nói  un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn) khi và chỉ khi: A  0, n0  N  n  n0  un  A  n  lim u Ký hiệu: n n   hay un   Ta nói  un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn) khi và chỉ khi: B  0, n0  N  n  n0  un  B  n lim u Ký hiệu: n n   hay un 
Mệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn) Nếu dãy  un  hội tụ đến hai số a và b, thì a = b.  lim un  a a b Giả sử  n và a  b . Đặt   lim  n u n  b 3 na :  n  na  un  a     Đặt n0  Max na , nb   nb :  n  nb  un  b    a  b  a  un  u n  b  un  a  un  b 2  a  b      2  | a  b | Mâu thuẫn. 3
ính chất của giới hạn Nếu các dãy  un  ,  vn  hội tụ và  un   a,  vn   b , thì  un  các dãy un  vn  ; un  vn  ;   , (vn  0 & b  0);  un   vn  đều hội tụ. Ta có  un  a 1) lim  un  vn   a  b 3) lim    n n  vn  b 2) lim  un  vn   a  b 4) lim un | a | n n 
Định nghĩa Ta nói dãy  un  bị chặn trên, nếu A  R : n  N , un  A Ta nói dãy  un  bị chặn dưới, nếu B  R : n  N , un  B Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn.
Định nghĩa Ta nói dãy  un  là dãy tăng, nếu n  N , un 1  un Ta nói dãy  un  là dãy giảm, nếu n  N , un 1  un Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Mệnh đề 2 Nếu dãy  un  hội tụ, thì  un  bị chặn. Giả sử nlim un  a  n0 :  n  n0 | un  a | 1   a  1  un  a  1   Đặt: M  Max u1 , u2 ,..., un0 ,1 | a |  un  M Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ n  Ví dụ.  (1)  n 1
Mệnh đề 3 (định lý kẹp) Cho 3 dãy  un  ,  vn  ,  wn  sao cho n0 , n  n0  un  vn  n  và  n   n  cùng hội tụ đến a, khi đó  vn   a u , w Cho   0 . Vì  un  ,  wn  hội tụ đến a, nên n1 , n2  N :  n  n1 | un  a |  Đặt n0  Max n1 , n2   n  n2 | wn  a |  Khi đó n  n0 , ta có  | un  a |      un  a  vn  a  wn  a   | vn  a |  | wn  a |  n  Vậy  vn   a