intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Không gian véctơ - TS. Lê Xuân Đại

Chia sẻ: May Trời Gio Bien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

Thêm vào BST
Báo xấu
109
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Không gian véctơ" cung cấp cho người học các kiến thức: Cấu trúc không gian véctơ, sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính, cơ sở và số chiều của không gian véctơ, tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Không gian véctơ - TS. Lê Xuân Đại

  1. KHÔNG GIAN VÉCTƠ Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 1 / 112
  2. Nội dung 1 Định nghĩa không gian véc-tơ 2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 3 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ 4 Hạng của một hệ véc tơ 5 Tọa độ của véctơ, ma trận chuyển cơ sở TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 2 / 112
  3. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực Đa thức có bậc không lớn hơn n 1 +:R×R→R 1 + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x) (x, y ) → x + y (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) 2 •:R→R 2 • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, x) → λ.x (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức 1 +:C×C→C (x, y ) → x + y 2 •:C→C KHÔNG GIAN VÉCTƠ (λ, x) → λ.x TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 3 / 112
  4. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Véc-tơ trong mặt phẳng 1 + : R2 × R2 → R2 (→ − x ,→ − y)→→ − x +→ − y −−→ −−→ −−→ −−→ (OM, ON) → OM + ON 2 • : R × R2 → R2 (λ, → −x ) → λ.→ − x −−→ −−→ (λ, OM) → λ.OM Véc-tơ trong không gian 1 + : R3 × R3 → R3 (→ − x ,→ − y)→→ − x +→ − y −−→ −−→ −−→ −−→ (OM, ON) → OM + ON KHÔNG GIAN VÉCTƠ 2 • : R × R3 → R3 (λ, → −x ) → λ.→ − x −−→ −−→ (λ, OM) → λ.OM TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 4 / 112
  5. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E 6= ∅ và trường K (R hoặc C) với 2 phép toán 1 +:E ×E →E 2 •:K ×E →E (x, y ) 7−→ x + y (λ, x) 7−→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: ∀x, y , z ∈ E , ∀λ, µ ∈ K 1 x +y =y +x 5 (λ + µ)x = λx + µx 2 x +(y +z) = (x +y )+z 6 λ(x + y ) = λx + λy 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = x 4 ∃(−x) ∈ E : 7 λ(µx) = (λ.µ)x x + (−x) = 0 8 1.x = x thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 5 / 112
  6. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1, . . . , xn ), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × R n → Rn , (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn ) • : R × R n → Rn (λ, x) → (λx1, . . . , λxn ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 6 / 112
  7. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Cn = {x = (x1, . . . , xn ), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × C n → Cn , (x, y ) → x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn ) • : C × C n → Cn (λ, x) → (λx1, . . . , λxn ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 7 / 112
  8. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ X 6= ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } + : EX × EX → EX, (f , g ) → (f + g )(x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ X • : K × EX → EX (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ X Mm×n (K ) + : Mm×n (K ) × Mm×n (K ) → Mm×n (K ), (A, B) → A + B = (aij + bij ) • : K × Mm×n (K ) → Mm×n (K ) (λ, A) → λA = (λaij ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 8 / 112
  9. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x) • : K × C[a,b] → C[a,b] (λ, f ) → λf = λf (x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 9 / 112
  10. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R2 , + : E × E → E , •:R×E →E ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) → (x1 y1 , x2 y2 ) λ(x1 , x2 ) → (x1λ , x2λ ). Chứng minh. Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E . Kiểm tra 8 tiên đề 1 x + y = (x1 y1 , x2 y2 ) = y + x, ∀x, y ∈ E . 2 x + (y + z) = (x1 y1 z1 , x2 y2 z2 ) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E . 3 ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + 0 = 0 + x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( x11 , x12 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0 = (1, 1) 5 (λ + µ)x = (x1λ+µ , x2λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 6 λ(x + y ) = ((x1 y1 )λ , (x2 y2 )λ ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E . 7 λ(µx) = (x1λµ , x2λµ ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E . 8 1.x = (x11 , x21 ) = x, ∀x ∈ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 10 / 112
  11. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ VÍ DỤ TẬP HỢP KHÔNG PHẢI LÀ KGVT Đa thức có bậc đúng bằng n > 0 +:P fn (x) × P fn (x) → P fn (x), (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) •:R×P fn (x) → P fn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x). Tuy nhiên, ∀p(x) ∈ Pfn (x) thì 0.p(x) = 0 ∈ /Pfn (x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 11 / 112
  12. Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ E = R2 , + : E × E → E , ((x1, x2), (y1, y2)) → (x1y1, x2y2) •:R×E →E λ(x1, x2) → (λx1, λx2). Tuy nhiên, λ(x + y ) = λ(x1y1, x2y2) = (λx1y1, λx2y2) 6= (λx1.λy1, λx2.λ.y2) = λx + λy với λ 6= 0 và λ 6= 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 12 / 112
  13. Cấu trúc không gian véctơ Định lý Một số tính chất đầu tiên của không gian véctơ Định lý Giả sử E làm một K − kgv , ∀λ, µ ∈ K , ∀x, y ∈ E ta có 1 λx = 0 ⇔ λ = 0 ∨ x = 0. 2 (λ − µ)x = λx − µx. 3 λ(x − y ) = λx − λy 4 phần tử 0 ∈ E là duy nhất. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 13 / 112
  14. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Cho E là 1 K -kgv, n ∈ N∗, x1, x2, . . . , xn ∈ E , λ1, λ2, . . . , λn ∈ K . Ta gọi Pn x= λi xi = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λn xn là tổ hợp i=1 tuyến tính của x1, x2, . . . , xn . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 14 / 112
  15. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Kiểm tra x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn hay không? Giải hệ x = λ1x1 + λ2x2 + . . . + λn xn với ẩn λ1, . . . , λn ∈ R. Nếu hệ có nghiệm (duy nhất hoặc vô số) thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn . Nếu hệ vô nghiệm thì thì x không là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, . . . , xn . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 15 / 112
  16. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (1, 4, −3) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) hay không? Giải. λ1x1 + λ2x2 + λ3x3 = x ⇔ (2λ1, λ1, λ1) + (−λ2, λ2, −λ2) + (λ3, λ3, −2λ3) = (1, 4, −3)  2λ1 − λ2 + λ3 = 1 ⇔ λ + λ2 + λ3 = 4  1 λ1 − λ2 − 2λ3 = −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 16 / 112
  17. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ      2 −1 1 λ1 1 ⇔  1 1 1   λ2  =  4  1 −1 −2 λ3 −3   λ1 = 1 ⇔ λ2 = 2 λ3 = 1  Vậy véctơ x = (1, 4, −3) là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (2, 1, 1), x2 = (−1, 1, −1), x3 = (1, 1, −2) và x = x1 + 2x2 + x3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 17 / 112
  18. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ Ví dụ Xét xem véctơ x = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các véctơ x1 = (1, 2, 5), x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP. HCM — 2013. 18 / 112
  19. Sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính Ví dụ .
  20.  1 1 −2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2