Bài giảng "Không gian véctơ con, tổng và giao của các không gian véctơ con" cung cấp cho người học các kiến thức: Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con, hạng của một hệ véctơ, tổng và giao các không gian con. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Không gian véctơ con, tổng và giao của các không gian véctơ con - TS. Lê Xuân Đại
- KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA
CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ1CON
/ 53
- Nội dung
1
Không gian véc-tơ con: bao tuyến tính, không
gian nghiệm của hệ thuần nhất
2
Tổng và giao của các không gian véc-tơ con
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ2CON
/ 53
- Số véctơ trong bất kỳ 2 cơ sở nào cũng bằng nhau= n.
∀ tập có số véctơ lớn hơn n 1 tập ĐLTT thì số véctơ 6 n
đều PTTT
∀ tập có số véctơ nhỏ hơn n 1 tập là tập sinh của E thì
đều không là tập sinh của E . số véctơ > n.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ3CON
/ 53
- 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E .
1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E .
M = {x1 , x2 , . . . , xk } (k < n) ĐLTT, x không là THTT
của k véctơ của M khi đó M ∪ {x} ĐLTT
Nếu M = {x1 , x2 , . . . , xm } (m > n) là tập sinh của E , xi
là THTT của những véctơ còn lại của M thì khi bỏ xi ta
được M 0 = M\{xi } là tập sinh của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ4CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con
Định nghĩa
Giả sử E là một K −kgv, F ⊂ E . Ta nói F là một
không gian véctơ con của E khi và chỉ khi
1
F 6= ∅
2
∀x, y ∈ F , x + y ∈ F
3
∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F .
Ký hiệu F là một K -kgvc của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ5CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Định nghĩa không gian véctơ con
Định lý
Giả sử E là một K -kgv, F ⊂ E . Nếu F là một
K -kgvc của E thì F là một K −kgv với luật
1
+:F ×F →F
(x, y ) 7−→ x + y
2
•:K ×F →F
(λ, x) 7−→ λ.x
cảm sinh bởi các luật của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ6CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = R × {0} = {(x1, x2) : x1 ∈ R, x2 = 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R2.
Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅. Với mọi
x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F thì
x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ7CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : 2x1 − 2x2 + x3 = 0} là 1
không gian véctơ con của R−kgv R3.
Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F 6= ∅.
∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒
2x1 − 2x2 + x3 = 0 và 2y1 − 2y2 + y3 = 0. Từ đó,
suy ra x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3),
2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(2x1 −2x2 +x3)+(2y1 −2y2 +y3) = 0 ⇒ x +y ∈ F ,
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ8CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), khi đó
2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = 0
⇒ λx ∈ F .
Vậy F là không gian véctơ con của R3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP.
KHÔNG
HCM GIAN
— 2013.
VÉCTƠ9CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
F = {(x1, x2, x3) : x1, x2, x3 ∈ R, x1 +2x2 +x3 = 1}
không là 1 không gian véctơ con của R−kgv R3.
Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F
thì x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) và
(x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) =
(x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = 1 + 1 = 2. Do
đó x + y ∈/ F.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
10CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính
Bao tuyến tính
Định lý
Cho S = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E , E − là một K -kgv.
Khi đó W =< x1, x2, . . . , xn >= {x ∈ E , x =
Pn
λi xi , ∀λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , n} là một không
i=1
gian véctơ con của E . Ta gọi W là một bao tuyến
tính của tập {x1, x2, . . . , xn }. Kí hiệu
W = span(S)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
11CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Bao tuyến tính
Chứng minh
1
0 = 0.x1 + 0.x2 + . . . + 0.xn ⇒ 0 ∈ W
⇒ W 6= ∅.
Pn n
P
2
∀x, y ∈ W ⇒ x + y = λi xi + γi xi =
i=1 i=1
n
P
(λi + γi )xi ⇒ x + y ∈ W .
i=1
n
P
3
∀λ ∈ K , ∀x ∈ W ⇒ λx = λ λi xi =
i=1
n
P
(λ.λi )xi ⇒ λx ∈ W .
i=1
Vậy W là một không gian véctơ con của E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
12CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R − kgv R3 cho
M = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Xác định
.
Giải.
< M >= {x ∈ R3, x = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) +
λ3(0, 0, 1), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3} = {x ∈ R3, x =
(λ1, λ1 + λ2, λ1 + λ2 + λ3), ∀λi ∈ R, i = 1, 2, 3}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
13CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R − kgv P2(x) cho
M = {(x − 2), (x − 2)2}. Xác định < M > .
Giải.
< M >= {λ1(x −2)+λ2(x −2)2, ∀λ1, λ2 ∈ R} =
{λ2x 2 + (λ1 − 4λ2)x + (−2λ1 + 4λ2), ∀λ1, λ2 ∈ R}
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
14CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Hệ quả
Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không
gian véctơ con của E thì dim(F ) 6 n.
Chứng minh.
Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính
của F đều có số phần tử 6 n.
Gọi B = {x1, x2, . . . , xk }(k 6 n) là 1 tập con
độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn
nhất. Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ
cần chứng minh B là tập sinh của F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
15CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con
Chứng minh B là tập sinh của F .
Phản chứng. Với mọi ∀x ∈ F
B = {x1, x2, . . . , xk } (k < n) ĐLTT, x không là
THTT của k véctơ của B khi đó B ∪ {x} ĐLTT
Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần
tử của nó là k + 1 > k. (trái với giả thiết k lớn
nhất).
Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của
những véctơ của B ⇒ B là tập sinh của F
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
16CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv P2(x) cho không gian con
F = {p(x) ∈ P2(x) : p(1) = 0, p(−1) = 0}. Tìm
một cơ sở và số chiều của không gian con F .
∀p(x) = ax 2 + bx + c ∈ F , ta có
p(1) = a + b + c = 0 và
p(−1) = a − b + c = 0. Giải hệ phương trình
a+b+c =0 a = −c
⇔
a−b+c =0 b=0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
17CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Vậy p(x) = c(−x 2 + 1). Do đó {−x 2 + 1} là tập
sinh của F .
−x 2 + 1 6= 0 nên luôn độc lập tuyến tính.
Như vậy, −x 2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều
dim(F ) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
18CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Ví dụ
Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W
của R3 cho bởi
W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0}
Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình
x1 + x2 + x3 = 0 ⇔ x1 = −x2 − x3.
Nghiệm cơ sở là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1).
Ta sẽ chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở
của W .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
19CON
/ 53
- Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ
Hai véctơ (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) độc lập
tuyến tính.
Ta chứng minh (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) sinh ra
W . Thật vậy, ∀x = (x1, x2, x3) ∈ W thì
x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1).
Như vậy, (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là 1 cơ sở của W
và số chiều dim(W ) = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON. TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC
TP.
KHÔNG
HCM —
GIAN
2013.
VÉCTƠ
20CON
/ 53
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
