intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Lê Trường Giang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST
Báo xấu
7
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 3 - Không gian vectơ" trình bày những nội dung chính sau đây: Khái niệm không gian vectơ; Không gian vectơ con; Tổ hợp tuyến tính; Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; Cơ sở và số chiều; Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở; Ma trận chuyển cơ sở;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - ThS. Lê Trường Giang

  1. 1
  2. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ NỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang  3.1. Khái niệm  3.2. Không gian vectơ con  3.3. Tổ hợp tuyến tính  3.4. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính  3.5. Hệ sinh  3.6. Cơ sở và số chiều  3.7. Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở  3.8. Ma trận chuyển cơ sở  3.9. Không gian n 2
  3. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.1. KHÁI NIỆM Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Cho V   trên đó có hai phép toán: một phép toán trong mà ta gọi là phép cộng và một phép toán ngoài mà ta gọi là phép nhân với số thực:  : VV  V  u, v  uv  : R  VV  k,u  ku Tập V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ trên nếu: u, v, w  V; ,   các 3 phép toán trên V thỏa các tính chất sau:
  4. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) u  v  v  u 2)  u  v   w  u   v  w  3) O  V : u  O  u 4)  u   V : u   u   O 5)   u      u 6)   u  v   u  v 7)      u  u  u 8) 1  u  u 4
  5. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.2. KHÔNG GIAN VECTƠ CON Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Cho V là một không gian vectơ, W  , W  V. Nếu u, v  W,k  mà: u  v  W   ku  W Thì W được gọi là không gian vectơ con của V. Chú ý:  Cho L n , L là một không gian con của:  OL n  5 x, y  L;k  :x  ky  L
  6. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ  Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một không gian vectơ con của n Ví dụ 3.1. Cho biết tập nào sau đây là một không gian con của 2 a) L1  x  2 : x   a,3  2a  ,a   b) L 2  x  2 : x   a,3a  ,a   6
  7. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.3. TỔ HỢP TUYẾN TÍNH Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Cho S  u1,u 2 , ,u n ;k1,k 2 , k n  ; ta có: u  k1u1  k 2u 2   k n u n Khi đó u được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ S. Ví dụ 3.2. Trong 3, xét xem vectơ u có phải là tổ hợp tuyến tính của u1 ,u 2 ,u 3 hay không. a) u1  1,0,1 ;u 2  1,1,0  ;u 3   0,1,1 ;u  1,2,1 b) u1  1, 1,2  ;u 2  1,1, 1 ;u 3   1, 3,4  ;u  1, 3,5  Ví dụ 3.3. Hãy biểu diễn x thành tổ hợp tuyến tính của u,v,w. Trong đó: x   7, 2,15  ;u   2,3,5  ; v   3,7,8  ; w  1, 6,1 7
  8. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.4. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang TUYẾN TÍNH Xét phương trình: k1u1  k 2 u 2  ...  k n u n  0 (1) i. (1)  k1  k 2   k n  0 : hệ S là độc lập tuyến tính. ii. k i  0 : k1u1  k 2 u 2   k n u n  0 : hệ S phụ thuộc tuyến tính. 3 Ví dụ 3.4. Trong , xét xem hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) u1  1,1,1 ;u 2  1,1,2  ;u 3  1,2,3  8 b) u1   1,2,1 ;u 2  1,1, 2  ;u 3  (0,3, 1)
  9. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Ví dụ 3.5. Trong không gian 3 cho hệ vectơ sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang   u1  1,1,1,1 ;u 2  1, 1, 1,1 ; u 3  1, 1,1, 1 ;u 4  1,1, 1, 1 Chứng minh hệ vectơ trên là độc lập tuyến tính? 9
  10. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.5. HỆ SINH Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Cho V là một không gian vectơ, S  u1 ,u 2 , ,u n   V W  k1u1  k 2 u 2   k n u n / k1 k 2 , ,k n   Ta nói W là tập các tổ hợp tuyến tính của S, hay W sinh bởi S, hay S sinh ra W. Kí hiệu: W  S  u1 ,u 2 , ,u n  Span S  10
  11. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.6. CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Cho V là một không gian vectơ, S  u1 ,u 2 , ,u n   V; u1,u 2 , ,u n  được gọi là cơ sở nếu như hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: i. S  V ii. Hệ S độc lập tuyến tính Không gian vectơ V được gọi là không gian hữu hạn chiều nếu trong V tồn tại hệ gồm n vectơ  sao cho  hệ độc lập tuyến tính và mọi hệ chứa nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. Khi đó ta cũng nói số chiều của V là n và kí hiệu là dim V  n. 11
  12. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Định lý: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1) Không gian vectơ V là không gian n chiều khi và chỉ khi V có chứa một cơ sở gồm n vectơ. 2) Trong không gian n chiều V, ta có a) Mọi hệ chứa nhiều hơn n vectơ đều phụ thuộc tuyến tính. b) Mọi hệ độc lập tuyến tính và chứa đúng n vectơ đều là cơ sở của V. c) Mọi hệ sinh và có chứa đúng n vectơ đều là cơ sở của V. d) Mọi hệ độc lập tuyến tính và có chứa ít hơn n vectơ 12 đều có thể bổ sung để trở thành cơ sở của V.
  13. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Ví dụ 3.6. Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang cơ sở của 3 a) 1  1,2,3 ;  0,2,3 ;  0,0,5  b) 2   1,0,1 ;  1,1,0  ; 1, 1,1 ;  2,0,5  Ví dụ 3.7. Xác định cơ sở và số chiều của các không gian nghiệm của các hệ phương trình sau:  x1  3x 2  x 3  0  x1  2x 2  x 3  x 4  0   a) 2x1  6x 2  2x 3  0 b)  2x1  4x 2  3x 3  0  3x  9x  3x  0  x  2x  x  5x  0  1 2 3  1 2 3 4 13
  14. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.7. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ TRONG MỘT Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang CƠ SỞ Cho cơ sở   u1;u 2 ; ;u n  , u  V ta có biểu diễn: u  1u1   2 u 2   nu n Khi đó tọa độ của u đối với cơ sở  là:  u    1;  2 ; 3 ; ; n  3 Ví dụ 3.8. Trong không gian , xét hệ vectơ   1  1,1,1 ;  2  1,1,2  ;  3  1,2,3  a) Chứng minh rằng  là một cơ sở của 3 14 b) Tìm tọa độ của x   6,9,14  trong cơ sở 
  15. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Ví dụ 3.9. Trong không gian 3, xét hệ vectơ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang   1  1,2,1 ;  2  1,3,1 ;  3   2,3, 1 a) Chứng minh rằng  là một cơ sở của 3 b) Tìm tọa độ của x   2,1,7  trong cơ sở  4 Ví dụ 3.10. Trong không gian , xét hệ vectơ   1   0,1,1,1 ;  2  1,0,1,1 ; 3  1,1,0,1 ;  4  1,1,1,0  a) Chứng minh rằng  là một cơ sở của 4 b) Tìm tọa độ của x  1,1,1,1 trong cơ sở  15
  16. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.8. MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 3.8.1. Định nghĩa Trong n, cho hai cơ sở: 1  u1;u 2 ; ;u n ; 2  v1; v 2 ; ; v n  Và u  có các tọa độ đối với cơ sở 1 , 2 lần lượt n được ký hiệu như sau:  u 1 ,  u 2 Khi đó, ma trận P12 thỏa mãn hệ thức:  u  1  P12  u  2 u  n () Được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở 1 sang cơ sở 16 2 . Khi đó công thức (*) được gọi là công thức biến đổi tọa độ của vectơ u giữa hai cơ sở 1 và 2.
  17. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 3.8.2. Định lý Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Giả sử P12 là ma trận chuyển từ cơ sở 1 sang cơ sở 2 Khi đó: 1) P12 khả nghịch.   1 2) P12 là ma trận chuyển từ cơ sở 2 sang cơ sở 1 3.8.3. Cách xác định ma trận chuyển cơ sở Ma trận chuyển từ cơ sở 1 sang 2 được xác định như   sau: P12   v1   v 2   vn  1 1 1   Trong đó:  vi 1 i  1,n là tọa độ của vectơ vi đối với 17 cơ sở 1 được viết dưới dạng cột.
  18. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Ví dụ 3.11. Trong 3 cho các hệ vectơ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1  u1  1,2,1 ;u 2   1,1,2  ;u 3  1, 2,3 ; 2  v1  1,1,1 ; v 2  1,1,2  ;u 3  1, 1,m  a) Chứng minh rằng 1 là cơ sở của 3 b) Tìm tọa độ của vectơ u   2, 1,3 trong cơ sở 1 c) Tìm ma trận chuyển từ 1 sang 2 18
  19. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Ví dụ 3.12. Trong 3 cho các hệ vectơ Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1  u1  1,1,1 ;u 2  1,1,2  ;u 3  1,2,3 ; 2  v1   2,1, 1 ; v 2   3,2,5  ;u 3  1, 1,m  a) Chứng minh rằng 1 là cơ sở của 3 b) Tìm tọa độ của vectơ u   a,b,c  trong cơ sở 1 c) Tìm m để 2 là một cơ sở của 3 d) Cho m = 1, tìm ma trận chuyển từ 1 sang 2 và ngược lại. 19
  20. Chƣơng 3. KHÔNG GIAN VECTƠ Ví dụ 3.13. Cho Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang   e1  1,0,0  ;e 2   0,1,0  ;e3   0,0,1; 1  u1  1,1, 1 ;u 2   0,1,2  ;u 3   0,0,1; 2  v1  1, 1,1 ; v 2   2,3,1 ; v3  1,2,1 3 Là các cơ sở của a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ  sang 1 và ngược lại. b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ 1 sang 2 c) Cho biết  u 2   2,1,3 . Hãy xác định  u 1 và  u  20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0