zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính - Không gian vecto - Phạm Thanh Tùng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:89

Báo xấu

18
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Không gian vecto; Không gian vecto con; Hệ sinh của một không gian vecto; Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính; Cơ sở và số chiều của không gian vecto; Tọa độ; Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con; Bài toán đổi cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Không gian vecto - Phạm Thanh Tùng

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH §8: KHÔNG GIAN VECTO Pham Thanh Tung-3I-SEE-K64 1
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bài giảng Đại số tuyến tính, thầy Bùi Xuân Diệu [2] “Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân Hiển. [3] “Bài tập Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), PGS.TS Trần Việt Dũng, PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Trần Xuân Hiển. [4] Sách “Giúp ôn tập tốt Toán Cao Cấp: Đại số tuyến tính”, thầy Tống Đình Quỳ, thầy Nguyễn Cảnh Lương. [5] “Phương pháp giải bài tập toán cao cấp”, tập 1, Bài tập Đại số, thầy Nguyễn Cảnh Lương, thầy Nguyễn Văn Nghị [6] “Bài tập Toán cao cấp” tập một - GS.TS Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đinh, Nguyễn Hồ Quỳnh Pham Thanh Tung-3I-SEE 2
TÀI LIỆU THAM KHẢO [7] Bộ đề thi môn Đại số tuyến tính các năm Trường ĐH Bách Khoa HN. [8] Đề cương môn Đại số tuyến tính Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội. Pham Thanh Tung-3I-SEE 3
KỸ NĂNG CẦN NẮM VỮNG • Biến đổi ma trận bậc thang • Biện luận hạng của ma trận • Biện luận số nghiệm của hệ phương trình • Tính định thức Pham Thanh Tung-3I-SEE 4
KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG I. Không gian vecto II. Không gian vecto con III. Hệ sinh của một không gian vecto IV. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính V. Cơ sở và số chiều của không gian vecto VI. Tọa độ VII. Bài toán tìm số chiều và một cơ sở của không gian vecto con VIII.Bài toán đổi cơ sở Pham Thanh Tung-3I-SEE 5
I. Không gian vecto: Định nghĩa: Tập hợp 𝑉 ≠ ∅ được gọi là một không gian vecto nếu nó được quy định hai phép toán cộng vecto và nhân vô hướng thỏa mãn các điều kiện sau: 𝑎+𝑏 ∈𝑉 ➢ Tính đóng kín: Giả sử ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 thì ቊ 𝑘. 𝑎 ∈ 𝑉 (𝑘 ∈ 𝑅) ➢ Phép cộng thỏa mãn: ➢ Phép nhân vô hướng thỏa mãn: Với 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑉 Với 𝑘, 𝑘 ′ ∈ 𝑅 • 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) • 𝑘. 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 • 𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 • 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘𝑎 + 𝑘 ′ 𝑎 • ∃0 ∈ 𝑉: 0 + 𝑎 = 𝑎 • 𝑘. 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘. 𝑘 ′ . 𝑎 • ∀𝑎 ∈ 𝑉, ∃𝑎′ ∈ 𝑉: 𝑎 + 𝑎′ = 0 • 1. 𝑎 = 𝑎 (∀𝑎 ∈ 𝑉) Pham Thanh Tung-3I-SEE 6
I. Không gian vecto: Bài tập 1: Tập 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} với các phép toán kèm theo có là KGVT hay không? 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ = (𝑥 + 𝑥 ′ , 𝑦 + 𝑦 ′ , 𝑧 + 𝑧 ′ ) ቊ 𝑘 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, 𝑘 𝑧 (𝑘 ∈ 𝑅) Bài tập 2: Tập 𝑉 = 𝑥1 , 𝑥2 𝑥1 > 0; 𝑥2 > 0} với các phép toán kèm theo có là KGVT hay không? 𝑥1 , 𝑥2 + 𝑦1 , 𝑦2 = (𝑥1 𝑦1 , 𝑥2 𝑦2 ) ൝ 𝑘 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑥1 𝑘 , 𝑥2 𝑘 (𝑘 ∈ 𝑅) Pham Thanh Tung-3I-SEE 7
I. Không gian vecto: Bài tập 1: ➢ Phép nhân vô hướng Giải • 𝑘. 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 • 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘𝑎 + 𝑘 ′ 𝑎 Kiểm tra phép nhân: Giả sử 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉; 𝑘, 𝑘 ′ ∈ 𝑅 • 𝑘. 𝑘 ′ 𝑎 = 𝑘. 𝑘 ′ . 𝑎 • 1. 𝑎 = 𝑎 (∀𝑎 ∈ 𝑉) 𝑘 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑧 𝑘. 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 𝑥, 𝑘 𝑦, 𝑘 𝑧 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 ′ 𝑧 = 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑥, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑦, 𝑘 + 𝑘 ′ 𝑧 𝑘 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 𝑘. 𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑘 ′ . 𝑥, 𝑦, 𝑧 (Do 𝑘 + 𝑘 ′ ≠ 𝑘 + 𝑘 ′ ) Tập 𝑉 cùng các phép toán đã cho không tạo thành KGVT Pham Thanh Tung-3I-SEE 8
I. Không gian vecto: ➢ Một số không gian vecto thường gặp: • Tích Đề-Các: 𝑅𝑛 = 𝑥1 , 𝑥2 , . . , 𝑥𝑛 | 𝑥1 , 𝑥2 , . . , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅 • Tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 𝑛 𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝑅 • Tập hợp các ma trận cỡ 𝑚 × 𝑛: 𝑀𝑚×𝑛 • Tập hợp các ma trận vuông cấp 𝑛: 𝑀𝑛 Pham Thanh Tung-3I-SEE 9
II. Không gian vecto con: • Định nghĩa: Với ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑊; 𝑘 ∈ 𝑅, 𝑊 là KGVT con của 𝑉 xảy ra khi và chỉ khi 𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑊 ≠ ∅ Tập hợp ൝ 𝑎+𝑏 ∈𝑊 𝑘𝑎 ∈ 𝑊 Pham Thanh Tung-3I-SEE
II. Không gian vecto con: 𝑎 𝑏 Bài tập 1: Chứng minh tập hợp 𝐺 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 với phép cộng ma 𝑏 𝑐 trận và nhân ma trận với một số thực là một không gian vecto con của không gian 𝑀2 (không gian vecto các ma trận vuông cấp hai) Giải: 1. 𝐺 ⊂ 𝑀2 , 𝐺 ≠ 0 3. Giả sử với 𝑘 ∈ 𝑅 𝑎 𝑏 𝑎′ 𝑏′ 𝑎 𝑏 𝑘𝑎 𝑘𝑏 2. Giả sử ∀ 𝐴 = ,𝐵 = ′ 𝑘. ∈𝐺 ቐ 𝑏 𝑐 = 𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 ′ 𝑘𝑏 𝑘𝑐 ⇒ 𝑘. 𝐴 ∈ 𝐺 với 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑎′ , 𝑏 ′ , 𝑐 ′ ∈ 𝑅 𝑘𝑎, 𝑘𝑏, 𝑘𝑐 ∈ 𝑅 𝑎 𝑏 𝑎′ 𝑏′ 𝑎 + 𝑎′ 𝑏 + 𝑏′ + ′ = ൝𝑏 𝑐 𝑏 𝑐 ′ 𝑏 + 𝑏′ 𝑐 + 𝑐 ′ ⇒ 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝐺 Đpcm 𝑎 + 𝑎′ , 𝑏 + 𝑏′ , 𝑐 + 𝑐 ′ ∈ 𝑅 Pham Thanh Tung-3I-SEE
II. Không gian vecto con: 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 Bài tập 2: Cho tập hợp 𝐻 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3 ቐ 𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 0 . Chứng minh 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 rằng 𝐻 là KGVT con của 𝑅3 . Bài tập 3: Cho tập 𝑉1 , 𝑉2 là hai KGVT con của KGVT 𝑉. Chứng minh: 1) 𝑉1 ∩ 𝑉2 là một KGVT con của 𝑉. 2) Cho 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑥1 ∈ 𝑉1 , 𝑥2 ∈ 𝑉2 . Chứng minh 𝑉1 + 𝑉2 là KGVT con của 𝑉. 12
III. Hệ sinh của một không gian vecto: • Định nghĩa: Cho 𝑉 là một không gian vecto và 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 là một họ các vecto thuộc 𝑉. Nếu mọi vecto 𝑢 ∈ 𝑉 đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 nghĩa là ∃ 𝑚1 , 𝑚2 , . . , 𝑚𝑛 ∈ 𝑅 sao cho 𝑢 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣1 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 thì ta nói 𝑆 là hệ sinh ra 𝑉. • Kí hiệu: 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑆 13
III. Hệ sinh của một không gian vecto: Dạng bài tập 1 (Bài toán xuôi): Kiểm tra hệ sinh của một KGVT. ➢ Bài toán: Cho 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 với 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 → Kiểm tra xem 𝑆 có là hệ sinh của KGVT 𝑉 hay không? ➢ Phương pháp giải: • B1: Giả sử ∀𝑣 ∈ 𝑉, xét quan hệ tuyến tính 𝑣 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 ∗ • B2: Biện luận Nếu hệ ∗ có nghiệm → 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 14
III. Hệ sinh của một không gian vecto: Bài tập 1: Xét xem hệ 𝑆 = 𝑣1 = 2,3, −1 , 𝑣2 = 3, −1,5 , 𝑣3 = −1,3, −4 có là hệ sinh của 𝑅3 không? Giải: Với ∀𝑢 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅3 , để 𝑆 là hệ sinh của 𝑅3 ⇔ ∃𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅 sao cho 𝑢 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + 𝑚3 𝑣3 ⇔ ∃𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅: 𝑚1 2,3, −1 + 𝑚2 3, −1,5 + 𝑚3 −1,3, −4 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 2𝑚1 + 3𝑚2 − 𝑚3 = 𝑎 ⇔ Hệ ቐ 3𝑚1 − 𝑚2 + 3𝑚3 = 𝑏 ∗ có nghiệm với ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 −𝑚1 + 5𝑚2 − 4𝑚3 = 𝑐 15
III. Hệ sinh của một không gian vecto: Bài tập 1: Xét xem hệ 𝑆 = 𝑣1 = 2,3, −1 , 𝑣2 = 3, −1,5 , 𝑣3 = −1,3, −4 có là hệ sinh của 𝑅3 không? Giải: (Tiếp) 2 3 −1 det 𝐴 = 3 −1 3 = −9 ≠ 0 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất (Cramer) −1 5 −4 Vậy 𝑆 là hệ sinh của 𝑅3 . 16
III. Hệ sinh của một không gian vecto: Bài tập 2: Hỏi 𝑆 = 𝑢1 = −1 + 2𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢2 = −3 + 3𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢3 = −2 + 2𝑥 có là hệ sinh của 𝑃2 𝑥 không? Giải: Với ∀𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 ∈ 𝑃2 𝑥 , 𝑆 là hệ sinh của 𝑃2 𝑥 ⇔ ∃ 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅 để 𝑢 = 𝑚1 𝑢1 + 𝑚2 𝑢2 + 𝑚3 𝑢3 ⇔ ∃ 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ∈ 𝑅 để 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 = 𝑚1 −1 + 2𝑥 + 𝑥 2 + 𝑚2 −3 + 3𝑥 + 𝑥 2 + 𝑚3 −2 + 2𝑥 −𝑚1 − 3𝑚2 − 2𝑚3 = 𝑎 ⇔ Hệ ቐ 2𝑚1 + 3𝑚2 + 2𝑚3 = 𝑏 ∗ có nghiệm với ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑚1 + 𝑚2 = 𝑐 17
III. Hệ sinh của một không gian vecto: Bài tập 2: Hỏi 𝑆 = 𝑢1 = −1 + 2𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢2 = −3 + 3𝑥 + 𝑥 2 ; 𝑢3 = −2 + 2𝑥 có là hệ sinh của 𝑃2 𝑥 không? Giải: (Tiếp) −1 −3 −2 𝐴= 2 3 2 ⇒ 𝐴 = −2 ≠ 0 ⇒ Hệ ∗ có nghiệm duy nhất 1 1 0 Vậy 𝑆 là hệ sinh của 𝑃2 𝑥 18
III. Hệ sinh của một không gian vecto: 1 −5 1 1 2 −4 Bài tập 3: Hỏi 𝑆 = ቄ𝑢1 = , 𝑢2 = , 𝑢3 = , −4 2 −1 5 −5 7 1 −7 𝑢4 = ቅ có phải hệ sinh của 𝑀2 không? −5 2 Giải: Hệ 𝑆 không phải là hệ sinh của 𝑀2 19
III. Hệ sinh của một không gian vecto: Dạng bài tập 2 (Bài toán ngược): Tìm điều kiện để 𝑣 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ➢ Bài toán: Cho 𝑆 = 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 với 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 và 𝑣 = 𝑣 𝑚 ∈ 𝑉 → Tìm điều kiện của 𝑚 để 𝑣 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ➢ Phương pháp giải: • B1: Xét quan hệ tuyến tính 𝑣 𝑚 = 𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 ∗ • B2: 𝑣 ∈ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ⇔ ∃𝑚1 , 𝑚2 , … , 𝑚𝑛 ∈ 𝑅 thỏa mãn ∗ → Biện luận điều kiện của 𝑚 để hệ ∗ có nghiệm. 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.