intTypePromotion=3

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn Bài giảng 4 - Nguyễn Xuân Thành

Chia sẻ: Nguyentrungquan Nguyentrungquan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

0
63
lượt xem
17
download

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn Bài giảng 4 - Nguyễn Xuân Thành

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn do Nguyễn Xuân Thành biên soạn cung cấp cho các bạn những kiến thức về ma trận độ cứng một số phần tử khác; bài toán động lực học và ma trận khối lượng; mô hình hóa toàn hệ kết cấu. Mời các bạn tham khảo bài giảng để nắm bắt nội dung chi tiết.

 

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn Bài giảng 4 - Nguyễn Xuân Thành

  1. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp Trường Đại học Xây dựng Ngày 16 tháng 4 năm 2015
  2. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu BÀI GIẢNG 4 (hệ thanh - phần 2/3 ma trận độ cứng một số phần tử khác, ma trận khối lượng, mô hình hóa toàn hệ kết cấu) Nguyễn Xuân Thành tkris1004@nuce.edu.vn Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp Trường Đại học Xây dựng Ngày 16 tháng 4 năm 2015
  3. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu NỘI DUNG CHÍNH 1 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Phần tử thanh dàn phẳng Thanh lăng trụ chịu xoắn Phần tử thanh không gian 2 Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Phương trình Lagrange Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử 3 Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ghép nối và khử trùng lặp Đưa vào điều kiện biên của hệ Một quy trình ghép nối nhanh hơn
  4. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu NỘI DUNG CHÍNH 1 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Phần tử thanh dàn phẳng Thanh lăng trụ chịu xoắn Phần tử thanh không gian 2 Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Phương trình Lagrange Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử 3 Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ghép nối và khử trùng lặp Đưa vào điều kiện biên của hệ Một quy trình ghép nối nhanh hơn
  5. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh dàn phẳng y q2 q5 q1 E, A q4 i j x L  T Véc-tơ chuyển vị tại nút: q = q1 q2 q4 q5 Trường chuyển vị:     ux (x) a1 + a2 x u= = uy (x) a3 + a4 x
  6. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh dàn phẳng Ma trận các hàm dạng:  x x  1− 0 0 N= L L  x x 0 1− 0 L L Biến dạng pháp tuyến tại thớ cách trục trung hòa 1 khoảng bằng y: dux d2 uy εx = −y dx dx2 Ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút:     d d2 1 1 B= −y 2 N = − 0 0 dx dx L L
  7. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh dàn phẳng Ma trận liên hệ giữa ứng suất và biến dạng: E=E Ma trận độ cứng phần tử:   Z ZL Z K= BT EB dΩ =  dA BT EB dx Ω 0 A Triển khai cụ thể: EA EA    L 0 − 0 L  0 0 0 0   K =  EA EA  − 0 0 L L   0 0 0 0
  8. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Thanh lăng trụ chịu xoắn q7 i G, Jρ j q8 x L  T Véc-tơ chuyển vị tại nút: q = q7 q8 Trường chuyển vị: u = θx = a1 + a2 x Ma trận các hàm dạng: h x xi N= 1− L L
  9. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Thanh lăng trụ chịu xoắn Ma trận liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút: dN h r ri B=r = − dx L L Ma trận liên hệ giữa ứng suất và biến dạng: E = G (nhắc lại: τ = Gγ) Ma trận độ cứng phần tử:     1 GJρ GJρ ZL −   − 1 1 Z K=  r2 dA  L G  L dx =  L  −  GJρ  1 GJρ    L L 0 A − L L L
  10. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh không gian y q5 q11 q2 q8 q4 q1 E, A, Iy , Iz , Jρ q7 q10 q3 i q9 j x q6 q12 L z  T Véc-tơ chuyển vị nút phần tử: q = q1 q2 · · · q12 Cách thiết lập ma trận độ cứng phần tử: giống như trước ... Nhưng từ các phần tử thanh phẳng đã học, dễ suy luận để có ...
  11. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh không gian   a 0 0 0 0 0 −a 0 0 0 0 0   b 0 0 0 c 0 −b 0 0 0 c    d 0 −e 0 0 0 −d 0 −e 0    f 0 0 0 0 0 −f 0 0    g 0 0 0 e 0 g/2 0  h 0 −c 0 0 0 h/2    K=  a 0 0 0 0 0    b 0 0 0 −c     d 0 e 0     đ.x.    f 0 0     g 0  h
  12. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phần tử thanh không gian Các ký hiệu từ a đến i [chỉ] trong công thức trên như sau: EA 12EIz a= ; b= L L3 6EIz 12EIy c= 2 ; d= L L3 6EIy GJρ e= 2 ; f = L L 4EIy 4EIz g= ; h= L L
  13. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu NỘI DUNG CHÍNH 1 Ma trận độ cứng một số phần tử khác Phần tử thanh dàn phẳng Thanh lăng trụ chịu xoắn Phần tử thanh không gian 2 Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Phương trình Lagrange Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử 3 Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình cân bằng phần tử trong hệ tọa độ chung Ghép nối và khử trùng lặp Đưa vào điều kiện biên của hệ Một quy trình ghép nối nhanh hơn
  14. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học y q2 q5 q3 q6 q1 E, A, I, ρ q4 i j x L Gọi T là động năng của hệ và định nghĩa Lagrangian của hệ L như sau L = T − Πp trong đó Πp là thế năng tổng cộng của hệ
  15. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Nguyên lý biến phân trong bài toán động lực học Trong mọi cách chuyển động mà thỏa mãn các điều kiện biên động học của hệ tại mọi thời điểm, và bắt đầu cũng như kết thúc với các giá trị chuyển vị thực tại hai thời điểm t1 và t2 bất kỳ, tại mọi điểm của hệ, thì chuyển động thực của hệ từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 của hệ là chuyển động mà làm cho phiếm hàm I đạt cực trị:   Zt2 I = L dt → cực trị t1 tức: Zt2 Zt2 δI = δ L dt = δL dt = 0 t1 t1
  16. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình Lagrange Gọi Ri là các lực khái quát ứng với các tọa độ khái quát qi Động năng T của hệ phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị của hệ (thể hiện thông qua các tọa độ khái quát qi ) và trạng thái vận tốc của hệ (thể hiện thông qua đạo hàm theo thời gian q˙ i của các tọa độ khái quát): T = T (q1 , q2 , . . . , qN , q˙ 1 , q˙ 2 , . . . , q˙ N , t) Thế năng biến dạng U của hệ phụ thuộc vào trạng thái chuyển vị của hệ: U = U(q1 , q2 , . . . , qN , t) Thế năng của các lực khái quát: V = − (R1 q1 + R2 q2 + · · · + RN qN )
  17. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình Lagrange Từ các phương trình trên và biểu thức của Nguyên lý biến phân Hamilton, giao hoán thứ tự phép tích phân và phép lấy biến phân, ta có: Zt2  ∂T ∂T ∂T ∂T δq1 + δq2 + · · · + δqN + δq˙ 1 ∂q1 ∂q2 ∂qN ∂q˙ 1 t1 ∂T ∂T ∂U ∂U + δq˙ 2 + · · · + δq˙ N − δq1 − δq2 − · · · ∂q˙ 2 ∂q˙ N ∂q1 ∂q2  ∂U − δqN + R1 δq1 + R2 δq2 + · · · + RN δqN dt = 0 ∂qN Tích phân từng phần của số hạng sau Zt2 t2 Zt2 ∂T ∂T d ∂T    δq˙ i dt = δqi − δqi dt ∂q˙ i ∂q˙ i t1 dt ∂q˙ i t1 t1
  18. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Phương trình Lagrange Số hạng đầu tiên của biểu thức tích phân từng phần có giá trị bằng 0 vì δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = 0 là điều kiện cơ bản ngay khi phát biểu nguyên lý biến phân Hamilton. Do đó: Zt2 N  ! ∂T ∂T    d ∂U ∑ − dt ∂q˙ i + ∂qi − ∂qi + Ri δqi dt = 0 t1 i=1 Do biểu thức này phải đúng với mọi δqi và mọi t1 ≤ t2 , nên: d ∂T ∂T   ∂U − + = Ri dt ∂q˙ i ∂qi ∂qi
  19. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử Động năng của phần tử: 1 Z T = u˙ T uρ ˙ dΩ 2 Ω trong đó: ρ là khối lượng riêng trên một đơn vị thể tích của vật liệu; u˙ là véc-tơ vận tốc Từ biểu thức u = Nq, rút ra: u˙ = Nq˙ Thay vào biểu thức động năng, ta có:   1 Z T = q˙ T  ρNT N dΩ q˙ 2 Ω | {z } M
  20. Ma trận độ cứng một số phần tử khác Bài toán động lực học và ma trận khối lượng Mô hình hóa toàn hệ kết cấu Ma trận khối lượng và phương trình cân bằng phần tử Ma trận M được gọi là ma trận khối lượng. Kết hợp vớibiểu thức của thế năng biến dạng U = qT Kq /2, từ các phương trình Lagrange ta có Phương trình chuyển động không cản của phần tử: Mq¨ + Kq = R trong đó M là ma trận khối lượng của phần tử. Nhận xét: Khi hệ chuyển động với gia tốc nhỏ, số hạng Mq¨ không đáng kể, có thể bỏ qua, ta lại có phương trình quen thuộc trong bài toán tĩnh Kq = R

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản