Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục

Chia sẻ: HidetoshiDekisugi HidetoshiDekisugi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục. Chương này cung cấp cho học viên những kiến thức về: định nghĩa và các phép tính trên hàm số; giới hạn hàm một biến và các tính chất, phép tính về giới hạn; sự liên tục của hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 5: Hàm số, giới hạn và sự liên tục

Chƣơng 5 HÀM SỐ,GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC
1. Hàm số 1.1. Định nghĩa Cho tập 𝐷 ⊂ ℝ, một hàm 𝑓 từ 𝐷 vào ℝ là một qui tắc đặt tƣơng ứng mỗi giá trị của 𝑥 ∈ 𝐷 với duy nhất một giá trị 𝑦 ∈ ℝ theo đẳng thức: 𝑦 = 𝑓(𝑥). • D: tập xác định của 𝑓. • 𝑓 𝐷 = {𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐷}: Tập giá trị của hàm số • Tập các cặp điểm {(𝑥, 𝑓 𝑥 ): 𝑥 ∈ 𝐷} trên hệ tọa độ Oxy gọi là đồ thị của hàm số.
1.2. Các phép tính trên hàm số a. Cộng, trừ, nhân, chia b. Hàm hợp Cho hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝑋 và TGT 𝑌. Hàm số 𝑧 = 𝑔(𝑦) với TXĐ là 𝑌1 và TGT là 𝑍 Nếu 𝑌 ⊂ 𝑌1 thì ta có thể xác định hàm số từ 𝑋 vào 𝑍 nhƣ sau 𝑧 = 𝑔 𝑓 𝑥 ≔ 𝑕(𝑥) Hàm số này gọi là hàm số hợp của 𝑔 và 𝑓. Kí hiệu 𝑕 = 𝑔 ∘ 𝑓
Ví dụ 1: Cho 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 + 4, 𝑔(𝑦) = tan 𝑦 thì ta có hàm số hợp 𝑕 𝑥 = 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔 𝑓 𝑥 = tan(𝑥 3 − 2𝑥 + 4)
c. Hàm ngƣợc Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) với TXĐ là 𝐷 và tập giá trị là 𝑌. Nếu phƣơng trình 𝑦 = 𝑓 𝑥 có nghiệm duy nhất 𝑥 ∈ 𝐷 thì ta có thể xác định hàm số 𝑥 = 𝑔 𝑦 ,𝑦 ∈ 𝑌 Thỏa mãn 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝑌, hàm g xác định nhƣ trên gọi là hàm số ngƣợc của hàm 𝑓, ký hiệu 𝑔 = 𝑓 −1 .
Ví dụ 2: Tìm hàm ngƣợc của hàm số 𝑦 = 𝑥 2 , với 𝑥 ∈ [−4,0].
1.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản a. Hàm lũy thừa: 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝛼 − 𝑕ằ𝑛𝑔 𝑠ố) b. Hàm mũ: 𝑦 = 𝑎 𝑥 , (0 < 𝑎 ≠ 1) c. Hàm lôgarit: 𝑦 = log 𝑎 𝑥 , (0 < 𝑎 ≠ 1) d. Các hàm lƣợng giác sin 𝑥; cos 𝑥; tan 𝑥; cot 𝑥 e. Các hàm lƣợng giác ngƣợc:
1) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝑥 = sin 𝑦 𝑦 = arcsin 𝑥 ⇔ −𝜋 𝜋 ≤𝑦≤ 2 2 𝑦 tính theo đơn vị rad. Ví dụ 𝑥 -1 3 2 −1 0 1 2 3 1 − − 2 2 2 2 2 2 arcsin 𝑥 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 − 𝜋 0 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 2 3 4 6 6 4 3 2 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arcsin 𝑥 đồng biến trên [-1; 1] −𝜋 𝜋  Tập giá trị [ ; ] 2 2
2) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝑥 = cos 𝑦 𝑦 = arccos 𝑥 ⇔ 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋 𝑦 tính theo đơn vị rad. Ví dụ: 𝑥 -1 3 2 −1 0 1 2 31 − − 2 2 2 2 2 2 arccos 𝑥 𝜋 5𝜋 3𝜋 2𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 0 6 4 3 2 3 4 6 Tính chất  Tập xác định [-1; 1]  Hàm arccos 𝑥 nghịch biến trên [-1; 1]  Tập giá trị [0 ; 𝜋]
3) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝑥 = tan 𝑦 𝑦 = arctan 𝑥 ⇔ −𝜋 𝜋
4) Hàm 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝑥 = cot 𝑦 𝑦 = arccot 𝑥 ⇔ 0
1.4. Hàm sơ cấp Định nghĩa: Hàm 𝑦 = 𝑓(𝑥) đƣợc gọi là một hàm sơ cấp trên (a; b) nếu f(x) đƣợc cho bởi một biểu thức giải tích, biểu thức đó thu đƣợc từ các hàm sơ cấp cơ bản và hằng số nhờ một số hữu hạn các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp hàm. Ví dụ 3: a. Hàm số 𝑦 = sin 𝑥 2 − 5𝑥 + 7 + cos 𝑥 là hàm sơ cấp. b. Hàm số 𝑦 = ln 𝑥 + 1 . cos 𝑥 + 𝑥 2 + 1 là hàm sơ cấp
𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 > 0 Ví dụ 4: Hàm số 𝑦 = |𝑥 | = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 = 0 −𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0 không phải là hàm sơ cấp trên R. Nhƣng trên khoảng −∞; 0 , hàm số 𝑦 = −𝑥 là hàm sơ cấp. Trên khoảng 0; ∞ , hàm số 𝑦 = 𝑥 là hàm sơ cấp.
2. Giới hạn hàm một biến 2.1. Định nghĩa Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định tại một lân cận của 𝑥0 , (hàm số 𝑓(𝑥) có thể không xác định tại 𝑥0 ). Ta nói hàm số 𝑓(𝑥) dần tới số thực L nếu ∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0: 0 < |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 𝑡𝑕ì |𝑓 𝑥 − 𝐿| < 𝜖 Kí hiệu: lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = 𝐿.
sin x Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim x 0 x x -0.2 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.2 f(x) 0.993 0.998 0.9995 0.9995 0.998 0.993 Khi x rất gần 0, f(x) tiến dần đến giá trị 1
2.1. 1. Giới hạn 1 phía Giới hạn trái tại 𝑥0 : 𝑓 𝑥0− = lim− 𝑓 𝑥 = 𝑥→𝑥 lim 𝑓 𝑥 𝑥→𝑥 0 0 𝑥𝑥 0 Đ ịnh l ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số 𝑓(𝑥) có giới hạn khi 𝑥 → 𝑥0 là nó có giới hạn phải và giới hạn trái tại 𝑥0 và hai giới hạn đó bằng nhau. lim− 𝑓 𝑥 = lim+ 𝑓 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 𝑥→𝑥 0 𝑥→𝑥 0 𝑥→𝑥 0
Ví dụ 2: Xét hàm f(x)=|x| lim f ( x)  0 x 0 lim f ( x)  0 x 0 lim f ( x)  0 x 0 Ví dụ 3: Xét hàm f(x)=|x|/x lim f ( x)  1 x 0 lim f ( x)  1 x 0 không tồn tại lim f ( x) x0
Ví dụ 4: Xét các giới hạn của hàm số sau 𝑥2 − 3 khi 𝑥 ≥ 1 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 khi 𝑥 < 1 𝑥−1 Khi : 𝑥 → 1+ , 𝑥 → 1− , 𝑥 → 1 Giải: lim− 𝑓 𝑥 𝑥→1 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = lim− = lim− 𝑥 − 2 𝑥→1 𝑥−1 𝑥→1 = −1 lim+ 𝑓 𝑥 = lim+(𝑥 2 − 3 ) = − 2 𝑥→1 𝑥→1 Vậy hàm số không có giới hạn khi 𝑥 → 1.
2.1.2. Tính chất, phép tính về giới hạn Tính chất: Giới hạn của hàm số trong 1 quá trình nếu tồn tại là duy nhất. Phép tính Định lý: Cho lim 𝑓 𝑥 = 𝐿1 , 𝑙𝑖𝑚 𝑔 𝑥 = 𝐿2 (𝐿1 , 𝐿2 𝑙à 𝑕ữ𝑢 𝑕ạ𝑛) Khi đó a. lim 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝐿1 + 𝐿2 b. lim 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = 𝐿1 . 𝐿2 𝑓 𝑥 𝐿1 c. lim = (𝐿2 ≠ 0) 𝑔 𝑥 𝐿2
Nhận xét: Định lý về tổng hiệu, tích, thƣơng của các giới hạn chỉ đúng cho trƣờng hợp 𝐿1 , 𝐿2 hữu hạn. Vậy bài toán giới hạn thƣờng đặt ra là tính các giới hạn ở dạng vô định. Đó là các dạng sau: 0 ∞ ; ; 0 × ∞; ∞ − ∞; 1∞ , 00 , ∞0 . 0 ∞