zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán kinh tế: Chương 5 - Nguyễn Ngọc Lam

Chia sẻ: Vdgv Vdgv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Báo xấu

243
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của chương 5 Hàm nhiều biến nằm trong bài giảng toán kinh tế nhằm trình bày về các nội dung chính như sau: khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục của hàm số, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán kinh tế: Chương 5 - Nguyễn Ngọc Lam

C5. HÀM NHIỀU BIẾN 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… x n) (xi  R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… x n): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. 118
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)  Rn: n d( x , y )   ( x i  yi ) 2 i1 Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  Rn: 0 < d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. 119
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điểm trong: Điểm x0Rn được gọi là điểm trong của D  Rn nếu D chứa một lân cận của x0. Điểm biên: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D  Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 120
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D  R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x , y )  z  f ( x , y ) • D: miền xác định • f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 2 2 z  1x y z = ln(x + y -1) Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x 1 , x 2 ,... x n )  z  f ( x 1, x 2 ,... x n ) 121
C5. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M 0(x0,y0), có thể không xác định tại M 0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M 0) <  => f(M) – L <  d(M, M 0 )  (x - x 0 )2  (y - y 0 )2 lim f (M )  L lim f (x , y)  L lim f (x , y)  L MM0 ( x ,y )  ( x 0 , y 0 ) x  x0 y  y0 122
C5. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. 2 2 xy sin( x  y ) lim Ví dụ: lim ( x ,y )  ( 0 ,0 ) x 2  y2 ( x ,y )  ( 0 ,0 ) x2  y2 123
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu lim f (x , y)  f ( x 0 , y0 ) ( x ,y )  ( x 0 , y 0 ) Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R2 thì: • Tồn tại số A>0: |f(x,y)| ≤ A • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 124
C5. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M 0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0. Ký hiệu: ' f z fx ( x 0 , y 0 ), ( x 0 , y 0 ), (x 0 , y0 ) x x Đặt  xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M 0. '  xf fx  lim x 0 x 125
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. '  yf fy  lim  y 0  y Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: z  x 4  5 x 3 y2  2 y 4 u  xy 126
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. 2 2   f   f ''   f   f ''     fxx ( x , y )     fyx ( x , y )  x  x   x 2  y   x   y x   f   2f ''   f   2f ''    fxy ( x , y )    fyy ( x , y )  x  y   x y  y   y  yy Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… 127
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwartz): Nếu trong lân cận nào đó của M 0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M 0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3) 128
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) có các đạo hàm riêng theo u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng theo x,y thì:  z f u f v z f u f v      x u x v x y u y v y Ví dụ: Tính z = exy+lnxcos(x2+xy+y2) 129
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Vi phân toàn phần: Nếu hàm z = f(x,y) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu tồn tại A,B sao cho: f(x0+x,y0+y) - f(x0,y0)=Ax + By + 0x + 0y Biểu thức df = Ax + By được gọi là vi phân toàn phần Định lý: Nếu f(x,y) khả vi tại (x0,y0) A = f’x(x0,y0), B=f’y(x0,y0) Công thức tính xấp xỉ: f(x0+x,y0+y)  f(x0,y0) + f’x(x0,y0)x + f’y(x0,y0)y Tương tự ta có thể mở rộng cho hàm n biến (n3) 130
C5. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0. Ví dụ: xy – ex + ey = 0 131
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: Fx y'  f ' ( x )   Fy Ví dụ: Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 132
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0. Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: z Fx z Fy   x Fz y Fz Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(2x+3y+4z) 133
C5. HÀM NHIỀU BIẾN 4. CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M 0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận  của M 0 sao cho f(M)  f(M 0), M   (f(M)  f(M 0), M  ). f(M 0) gọi chung là cực trị. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực trị: Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 134
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa zx = zy = 0, ta gọi định thức Hessian: z xx zxy H z yx z yy z xx zxy Đặt: H1  z xx , H2  z yx z yy • Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0: z đạt cực đại Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, 135
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x1,x2…xn). Tại những điểm thỏa fx1 = fx2 = … fxn = 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt fij  fxi x j Ta có định thức Hessian: f11 f12 ... f1n f11 f12 f21 f22 ... f2n H1  f11 , H2  ,... Hn  f21 f22 ... ... ... ... fn1 fn2 ... fnn • Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z 136
C5. HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c (c: hằng số) gọi là cực trị có điều kiện. Định lý: Nếu M 0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên. Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì: Lx  fx   gx  0  L y  fy  gy  0  L  c  g(x , y)  0  là nhân tử Lagrange, điểm M 0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng. 137

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.