zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Báo xấu

109
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 3: Quy luật phân phối xác suất thường gặp" cung cấp cho người học các kiến thức: Biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục, định lý giới hạn trung tâm. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Nguyễn Văn Tiến (2019)

2/15/2019 Chương 3 Chương 3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 1 2 3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối Không – một • Luật “không - một” A(p) Bernoulli • Ký hiệu khác: X~A(p) • Luật nhị thức B(n,p) Binomial • Còn gọi là phân phối Bernoulli. • Luật Poisson P() Poisson • Bảng ppxs: • Luật siêu bội H(N,M, n) Hypergeometric X 0 1 P q p • Tham số đặc trưng: EX   p V  X   pq 3 4 Phân phối Nhị thức (Binomial) Khi nào có phân phối B(n,p) • Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có • Kí hiệu: X~B(n,p) phân phối Nhị thức nếu: • Hàm khối xác suất: • Một thí nghiệm hoặc một phép thử được thực hiện trong cùng một điều kiện đúng n lần p  x   Cnk p x q n x • Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố. Một biến cố gọi là “thành công” và một biến cố “thất bại”. • n phép thử độc lập nhau. • x={0,1,2,3…n} • Xác suất thành công, ký hiệu p, là như nhau trong mỗi phép thử. Xác suất thất bại là q=1-p. • n,p gọi là các tham số (parameter) • Biến ngẫu nhiên X = số lần thành công trong n phép thử 5 6 1
2/15/2019 Ví dụ 1 Ví dụ 2 • Một đồng xu được chế tạo sao cho xác suất xuất • Một cuộc khảo sát với cỡ mẫu n = 1000 người Mỹ hiện mặt ngửa mỗi lần tung là 70%. Tung đồng xu trưởng thành ngẫu nhiên được tiến hành. Đặt X là 100 lần, theo các cách y hệt nhau. Gọi X là số lần số người sở hữu một chiếc xe thể thao đa dụng đồng xu xuất hiện mặt ngửa. X có phải là biến (SUV) trong mẫu. X có phải là biến ngẫu nhiên nhị ngẫu nhiên có phân phối Nhị thức? thức không? • Một giảng viên đại học lấy mẫu ngẫu nhiên các sinh • Một nhân viên kiểm soát chất lượng điều tra một viên cho đến khi anh ta tìm thấy bốn sinh viên tình lô gồm 15 sản phẩm. Anh ta lấy mẫu ngẫu nhiên nguyện đi mùa hè xanh. Đặt X là số sinh viên được (không thay thế) 5 sản phẩm từ lô. Đặt X bằng số lấy mẫy. X có phải là biến ngẫu nhiên có phân phối sản phẩm đạt yêu cầu. X có phải là biến ngẫu nhiên nhị thức không? nhị thức không? 7 8 Effect of n and p on Shape Effect of n and p on Shape For small p and small n, For large p and small n, For p = 0.5 and large and For small p and large n, the the binomial distribution the binomial distribution small n, the binomial distribution binomial distribution is what we call skewed is what we call skewed is what we call symmetric. approaches symmetry. right left 9 10 Tham số đặc trưng Ví dụ 3 • Xác suất để 1 bệnh nhân được chữa khỏi khi điều • Cho bnn X~B(n,p). Ta có: trị một bệnh hiếm gặp về máu là 0,4. Nếu 15 i ) E  X   np người đồng ý chữa trị thì xác suất: • A) Có ít nhất 10 người khỏi ii ) VX  npq • B) Có từ 3 đến 8 người khỏi iii )  n  1 p  1  ModX   n  1 p • C) Có đúng 5 người khỏi Là bao nhiêu? 11 12 2
2/15/2019 Ví dụ 4 Ví dụ 5 • Một chuỗi cửa hàng bán lẻ lớn mua một loại thiết • Có giả thiết cho rằng 30% các giếng nước ở vùng bị điện tử về để bán. Nhà sản xuất cho biết tỷ lệ bị nông thôn có tạp chất. Để có thể tìm hiểu kỹ hơn hư hỏng của loại thiết bị này là 3%. người ta đi xét nghiệm một số giếng (vì không đủ a) Bộ phận kiểm tra lấy ngẫu nhiên 20 thiết bị từ lô tiền xét nghiệm hết). hàng được giao. Xác suất có ít nhất 1 thiết bị • A) Giả sử giả thiết trên đúng, tính xác suất có đúng hỏng là bao nhiêu? 3 giếng có tạp chất. b) Giả sử cửa hàng nhập 10 lô hàng 1 tháng và với mỗi lô hàng đều được kiểm tra ngẫu nhiên 20 • B) Xác suất có nhiều hơn 3 giếng có tạp chất? thiết bị. Xác suất có đúng 3 lô hàng có chứa ít • C) Giả sử trong 10 giếng đã kiểm tra thì có 6 giếng nhất 1 thiết bị hỏng trong số 20 thiết bị được có tạp chất. Có thể kết luận gì về giả thiết trên? kiểm tra? 13 14 Phân phối siêu bội Phân phối siêu bội • Định nghĩa. Nếu ta chọn ngẫu nhiên n phần tử, • Các giá trị của bnn X thỏa mãn: không hoàn lại, trong một tập hợp gồm N phần tử i) x  n CNx A .CNnxN A với: ii ) x  N A p  x  • NA phần tử thuộc một loại, giả sử loại A. CNn iii ) n  x  N  N A • Và N- NA phần tử còn lại thuộc loại khác. • Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu bội. • Gọi X là số phần tử loại A trong số n phần tử được • Ký hiệu: X~H(N,NA,n) chọn. Khi này PDF của X dạng CNx A .CNnxN A p  x  CNn 15 16 Các tham số đặc trưng ModX Cho bnn X~H(N,NA,n) ta có: • Ta có: N n k0  ModX  k0  1 E  X   np; V  X   npq N 1 • Với Trong đó: k0   N A  1 n  1  1 NA N 2 p ; q  1 p N • Công thức trên cho ta khoảng chứa ModX. 17 18 3
2/15/2019 Ví dụ 7 Ví dụ 8 • Một hồ có 600 con cá, 80 con được đánh dấu bởi • Giả sử có 5 người, trong đó có bạn và một người các nhà khoa học. Một nhà nghiên cứu chọn ngẫu bạn của bạn, xếp hàng một cách ngẫu nhiên. Gọi X nhiên 15 con từ hồ. Hãy tìm công thức cho hàm là biến ngẫu nhiên thể hiện số người ở giữa bạn P.M.F của biến ngẫu nhiên X, với X là số cá được và bạn của mình. Hãy xác định PMF của X dưới đánh dấu có trong mẫu lấy ra. dạng bảng. Hãy kiểm ta tính hợp lý của hàm PMF này. X 0 1 2 3 P 0,4 0,3 0,2 0,1 19 20 Ví dụ 9 Ví dụ 10 • Kiện hàng chứa 40 sản phẩm. Bên mua sẽ không Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5 bóng mua kiện hàng nếu có từ 3 sản phẩm lỗi trở lên. hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X Để tiện, bên mua quy ước lấy 5 sản phẩm ra kiểm là số bóng hỏng người đó mua phải. tra, nếu có đúng 1 sản phẩm lỗi thì không mua lô a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức? hàng. Xác suất tìm thấy đúng 1 sản phẩm lỗi biết lô hàng có 3 sản phẩm lỗi là bao nhiêu? b) Tính kì vọng, phương sai của bnn X? c) Tính ModX? 21 22 Ví dụ 11 Quan hệ giữa Nhị thức và siêu bội Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế phẩm n
2/15/2019 Ví dụ 12 Phân phối Poisson • Nhà sản xuất thông báo rằng trong số 5000 lốp xe • X: số lần một sự kiện xh trong 1 khoảng thời gian máy gửi cho một nhà phân phối ở HCM có 1000 (không gian) lốp có lỗi nhẹ. Nếu một người mua ngẫu nhiên 10 • X=0,1,2,… lốp xe từ nhà phân phối này thì xác suất có 3 lốp • X có thể là bnn Poisson mắc lỗi là bao nhiêu? • Ví dụ: • Số lỗi sai trên 1 trang in • Số khách hàng vào ATM trong 10 phút • Số người qua ngã tư trong 2 phút 25 26 Phân phối Poisson P(λ) Điều kiện để xấp xỉ phân phối Poisson Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật • X: số lần sự kiện xh trong 1 khoảng liên tục. Poisson P(λ) nếu có PMF dạng: • X tuân theo quá trình xấp xỉ Poisson với tham số λ>0 nếu: x p  x   e . a) Số lượng các sự kiện xh trong những khoảng rời nhau x! là độc lập. b) Xác suất có đúng 1 sự kiện xh trong 1 khoảng ngắn có • x=0,1,2,3… và λ>0 độ dài h=1/n xấp xỉ với λh = λ(1/n) = λ/n. • Kí hiệu: X~ P(λ) c) Xác suất có đúng 2 hoặc nhiều hơn hai sự kiện xh trong một khoảng ngắn là 0 (rất nhỏ). 27 28 Các tham số và tính chất Một số ví dụ • Cho X~ P(λ). Ta có: • Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi phút. i) E  X    • Số cuộc điện thoại tại một trạm điện thoại trong mỗi ii ) V  X    phút. • Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời iii )   1  ModX   gian xác định. • X1, X2 là hai bnn độc lập và X1~ P(λ1); X2~ P(λ2). • Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy. Ta có: • Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi đơn vị độ dài của một con đường. X 1  X 2 ~ P  1  2  • Số lượng cây thông trên mỗi đơn vị diện tích rừng hỗn hợp. 29 30 5
2/15/2019 Ví dụ 13 Ví dụ 14 Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác gọi trong một giờ. Tính xác suất: suất trong 1 giờ có a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút. a. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A) b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút. b. Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B) 31 32 Xấp xỉ B(n,p) bằng P(λ) Ví dụ 15 • Khi n lớn và p nhỏ thì ta có thể xấp xỉ phân phối • Năm phần trăm (5%) bóng đèn cây thông Giáng sinh Nhị thức bằng phân phối Poisson do một công ty sản xuất bị lỗi. Giám đốc của bộ phận kiểm soát chất lượng của công ty khá quan ngại và do • Nghĩa là: x  đó lấy mẫu ngẫu nhiên 100 bóng đèn ra khỏi dây Cnx p x q n x  e   chuyền lắp ráp. Gọi X là số bóng đèn trong mẫu bị lỗi. x! Xác suất mà mẫu chứa nhiều nhất là ba bóng đèn bị lỗi • Trong đó:   n. p  E  X  là bao nhiêu? • Điều kiện để xấp xỉ tốt: n  20 n  100  hay   p  0,05  p  0,1 33 34 3.2. Biến ngẫu nhiên liên tục Phân phối đều • Phân phối đều U(a, b) Uniform Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối • Phân phối lũy thừa Exponential đều U(a,b) nếu hàm mật độ có dạng: • Phân phối chuẩn Normal 1 f ( x)  • Phân phối Student ba Trong đó: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 • Phân phối Khi bình phương Chi-squared, • Phân phối Fisher xa F ( x)  ba 35 36 6
2/15/2019 Phân phối đều Ứng dụng của phân bố đều • Các tham số đặc trưng • Bài 1. Lớp có 40 sinh viên, giảng viên cần chia thành 2 nhóm mỗi nhóm 20 sinh viên. Làm cách b  a  2 ab i) E  X   Var  X   nào chia nhóm một cách ngẫu nhiên? 2 12 • Bài 2. Làm cách nào chọn được ngẫu nhiên 100 ab ii ) ModX  x0   a, b  MedX  sinh viên trong toàn bộ sinh viên đang học tại 2 FTU2 (giả sử gồm 4000 sinh viên) để tham gia khảo sát về chất lượng giảng dạy. • Xem bài viết gốc tại: • https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat 414/node/137/ 37 38 Biểu đồ Q-Q (quantile-quantile plot) Ví dụ 17 • Làm thế nào chúng ta có thể đánh giá nếu một tập • Tập hợp 19 số dưới đây được phát sinh ngẫu hợp dữ liệu cụ thể tuân theo phân phối xác suất nhiên từ phân phối U(0,1) bằng phần mềm cụ thể? Minitabs. Hãy xem xét xem các số này có phù hợp • Cách 1: so sánh các số đặc trưng  không đủ với mô hình xác suất cho bởi f(x)=1 với 0
2/15/2019 Ví dụ 18 Ví dụ 19 • Các cuộc gọi đến một tổng đài điện thoại tuân theo • Quãng đường (km) một chiếc xe hơi có thể chạy một quy trình Poisson gần đúng với tốc độ trung bình trước khi phải thay pin ắc quy có phân phối lũy 30 cuộc gọi mỗi giờ. Xác suất để tổng đài viên phải chờ thừa với trung bình là 10.000 km. Chủ xe muốn đi hơn 3 phút để có cuộc gọi tiếp theo là bao nhiêu? du lịch bụi với quãng đường khoảng 5000km. Xác suất để anh ta có thể hoàn thành chuyến đi mà không cần phải thay pin ắc quy là bao nhiêu? 43 44 Phân phối chuẩn N(, 2) Tính chất Neáu X ~ N   ,  2  thì: • Định nghĩa. Một biến ngẫu nhiên X gọi là có phân i) E  X    V X  2 phối chuẩn N(, 2) nếu hàm mật độ có dạng: ii ) ModX   MedX     x   2 1 f ( x)  e 2 2 Đối xứng  2 Dạng hình chuông “bell sharped” • Trong đó:   x  ,     , 0     lim f  x   0  x   • Ký hiệu: X ~ N(, 2)      45 46 Chuẩn hóa phân phối chuẩn Xác suất của phân phối chuẩn • Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 thì biến ngẫu nhiên Ta có thể tìm xác suất dạng P(a
2/15/2019 Bảng phân phối chuẩn tắc Tính chất của hàm 𝜑(x) • Đồ thị của N(0,1) i )    z     z  • Bảng phụ lục xác suất N(0,1) thể hiện giá trị xác ii )      0,5      0,5 suất dạng: iii )   z   0,5 khi z  5 P 0  Z  z     z  z 1   z  2 0 e  x /2 dx 2 z 1   z  2 0 e  x /2 dx 2 z z 49 50 Giá trị tới hạn Zα Quy tắc k-sigma • Giá trị tới hạn chuẩn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số P  X    k   P  Z  k   2  k  thực ký hiệu Zα sao cho với Z~N(0;1) thì: a ) P  X       0,6826 b) P  X    2   0,9544 c) P  X    3   0,9974 d ) P  X    4   1 P  Z  Z    • Trong thực nghiệm, nếu một tập số liệu có phân phối • Chú ý: chuẩn thì: • Khoảng 68% dữ liệu nằm trong một độ lệch chuẩn so với trung bình Z 0   Z1   • Khoảng 95% dữ liệu nằm trong hai độ lệch chuẩn so với trung bình Z 0,5  0 Z1   Z • khoảng 99,7% dữ liệu nằm trong ba độ lệch chuẩn so với Z trung bình 51 52 Nhận biết phân phối chuẩn Ví dụ 20 • Q-Q plot 1) Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10 và • http://www.jbstatistics.com/normal-quantile- P(10
2/15/2019 Ví dụ 21 Ví dụ 22 Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ tại • Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5; 1,21) phối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4 triệu a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5 phút? đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành thì lỗ 1,8 b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t là triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung bình khi bán không quá 5%? loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng thì cần qui định thời gian bảo hành là bao lâu? 55 56 Phân phối Khi bình phương Khi bình phương và Chuẩn • Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n • Định lý. Nếu 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 thì: bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:  X   2 Z   ~  1 2 2  1 n 1  x     x2 e 2 , x  0  n n f  x     22 • Định lý. Cho n biến ngẫu nhiên độc lập cùng có  2 phân phối chuẩn tắc. 0 ,x  0 X i ~ N  0,1 • Ký hiệu: X ~   n  2 • Khi đó: n • Là trường hợp riêng của pp Gamma. X i 1 i 2 ~  2  n 57 58 Phân phối Khi bình phương Bậc tự do n và dạng đồ thị • Nếu X~χ2(n) thì EX   n ; V  X   2n • Đồ thị dạng: Neáu X ~  2  n  thì X F n   N  n, 2 n  59 60 10
2/15/2019 Giá trị tới hạn 𝜒2 (n; α) Bảng giá trị tới hạn Khi bình phương • Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký hiệu 𝜒2(n;𝛼) sao cho với Z~ 𝜒2(n) thì: P  Z   2  n;      2  n;  61 62 Ví dụ 23 Phân phối Student • Cho 𝑍~𝜒 2 20 • Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝑁 0,1 và 𝑌~𝜒 2 𝑛 là hai • Tìm các xác suất sau: biến ngẫu nhiên độc lập thì biến ngẫu nhiên: a )  2  20;0,95  X X n T  b) P  Z  8,2604   ? n ; Y Y c) P 10,8508  Z  31,4104   ? có phân phối Student hay phân phối t với n bậc tự do. • Ký hiệu: T~𝑡 𝑛 63 64 Phân phối Student t(n) Tính chất • Định nghĩa. Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối • Nếu X ~ t(n) thì: Student với n bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng: a ) E T   0  n  1 ;  n 1   n 1 b) V T   n  n  2 .    x2  2 n2 f  x  1  2  1 ,   x     c) T F  N  0,1 n n  n  n    2 • Kí hiệu: X ~ t(n) 65 66 11
2/15/2019 Giá trị tới hạn 𝑡(𝑛, 𝛼) Bảng giá trị tới hạn Student • Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký hiệu 𝑡(𝑛, 𝛼) sao cho với Z~ 𝑡(n) thì:   P Z  t n;    t n;0   t n;1   t n;0,5  0 t n;1   t n;  n t n;    Z 67 68 Ví dụ 24 Phân phối Fisher - Snedecor • Cho 𝑍~𝑡 15 . Tìm các giá trị tới hạn và xác suất • Định nghĩa. Nếu 𝑋~𝜒 2 𝑛 ; 𝑌~𝜒 2 𝑚 là hai biến sau: ngẫu nhiên độc lập nhau thì biến ngẫu nhiên: a) P  Z  a   0,025 hay t15;0,025  ? X /n F b) P  Z  2,602   ? Y /m c) P  2,0343  Z  2,9467   ? • có phân phối Fisher – Snedecor với (n,m) bậc tự do. d) P  Z  b   0,975 hay t15;0,975  ? • Ký hiệu: F ~ F  n; m  69 70 Đồ thị hàm mật độ Tính chất • Cho X~F 𝑛, 𝑚 thì: m EX   ,  m  2 m2 2m  n  m  2  2 V X   n  m  2  m  4 2 𝑛, 𝑚 F  n, m   F m  N 1,0  n F  n, m   F m  N 1,0  F  n, m   F m  N 1,0  n n 71 72 12
2/15/2019 Giá trị tới hạn phân phối Fisher Bảng giá trị tới hạn Fisher • Giá trị tới hạn mức α (0 ≤ 𝛼 ≤ 1) là số thực ký hiệu F(n, m, α) hay 𝑓(n, m, α) sao cho với F~ 𝐹(n,m) thì: P  F  f  n, m,     • Tính chất: 1 f (n, m,1   )  f (n, m, ) f  n, m,   73 74 Ví dụ 25 3.3 Định lý giới hạn trung tâm • Cho F~F(20; 30). Tìm a, b, c sao cho: • Central Limit Theorem a ) P  F  a   0,05 • Giả sử X1, X2, ... , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất (bất kỳ dạng nào) với kỳ b) P  F  b   0,01 vọng μ và phương sai hữu hạn σ2. Khi n đủ lớn thì: a) Trung bình cộng của Xi, ký hiệu 𝑋, có phân phối xấp xỉ a ) P  F  c   0,95 với phân phối chuẩn. b) Với kỳ vọng là 𝐸 𝑋 = 𝜇 𝜎2 c) Và phương sai là V 𝑋 = 𝑛 X 1  ...  X n  2  X  n  N  ,  n  n  75 76 Ví dụ 28 Xấp xỉ xác suất • Gọi Xi biểu thị thời gian chờ đợi (tính bằng phút) của khách hàng thứ i. Một trợ lý quản lý tuyên bố n
2/15/2019 Xấp xỉ pp chuẩn Công thức xấp xỉ • Cho 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) ≈ 𝑁(𝜇; 𝜎2) n rất lớn X ~ B  n, p  X ~ N   , 2  i) P  X  k   1 f  k  np  ; f  x  1  x2 /2 e 0,1

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.