Bài tập Phương trình vi phân (31 bài tập kèm lời giải)

Chia sẻ: Nguyễn Hữu đức | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

1.304
lượt xem 266
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập Phương trình vi phân sau đây gồm 31 bài tập kèm lời giải giúp các bạn dễ dàng kiểm tra và ôn tập hiệu quả hơn. Chúc các bạn học tập tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Phương trình vi phân (31 bài tập kèm lời giải)

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1) Kiểm tra rằng là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu trên khoảng Lời giải: 2) Giải các phương trình tách biến a. Lời giải: b. Lời giải: 3) Tìm nghiệm của PTVP thoả mãn điều kiện ban đầu a. ; Lời giải: với thì nghiệm của phương trình : b. ; Lời giải: với thì nghiệm của phương trình : c. . Lời giải: với thì nghiệm của phương trình 4) Tìm phương trình đường cong thoả mãn và cắt trục Oy tại 7. Lời giải: ,từ giả thiết thì nên Đó là đường cong có phương trình 1
5) Dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc không đổi r. Khi glucose được đưa vào, nó chuyển thành các chất khác và bị đẩy khỏi máu với vận tốc tỷ lệ thuận với nồng độ tại thời điểm đó. Như vậy, mô hình biểu diễn nồng độ của dung dịch glucose trong máu là , trong đó k là hằng số dương.Giả sử nồng độ tại thời điểm là . Xác định nồng độ tại thời điểm tuỳ ý bằng cách giải PTVP nói trên. Giả sử rằng , tìm giới hạn và diễn giải đáp án của bạn. Lời giải: Tại .Vậy a. Giả sử rằng , tìm giới hạn và diễn giải đáp án của bạn. Lời giải: Hiển nhiên Khi dung dịch glucose được truyền theo đường tĩnh mạch vào máu với vận tốc không đổi,và thời gian truyền vô hạn thì nồng độ glucose của dung dịch glucose trong máu coi như không đổi. 6) Lượng cá bơn halibut Thái bình dương được mô hình hoá bởi PTVP ,trong đó y(t) là sinh khối (khối lượng tổng cộng của các cá thể trong quần thể) theo kilogram tại thời điểm t (đo theo năm), dung lượng cực đại được ước lượng bởi và theo năm. a. Nếu , tìm sinh khối một năm sau. b. Bao lâu nữa sinh khối đạt được ? Lời giải: Từ với Khi thì a) Sinh khối một năm sau được xác định: b) Ta cần tìm t sao cho . Vậy sau năm sinh khối đạt được . 7) Trong mô hình sinh trưởng theo mùa, một hàm tuần hoàn theo thời gian được đề nghị để tính đến những biến đổi có tính mùa vụ liên quan đến vận tốc sinh trưởng. Những biến đổi ấy có thể, chẳng hạn, gây ra do những thay đổi có tính chất mùa vụ về nguồn thức ăn.Tìm nghiệm của mô hình sinh trưởng theo mùa , trong đó k, r và φ là những hằng số dương. Lời giải: với 2
8) Giải PTVP thuần nhất hoặc bài toán ban đầu: a. ; Lời giải: khi Đặt b. ; Lời giải: Đặt ta có với thì nghiệm của phương trình c. ; Lời giải: Đặt d. ; Lời giải: Đặt với thì e. Lời giải: với ta có Đặt nghiệm của phương trình , ngoài ra thỏa mãn phương trình nên là nghiệm kì dị của phương trình 9) Xét xem phải chăng phương trình là tuyến tính: a. Lời giải: Từ 3
Giả sử và là hai nghiệm của phương trình,tức là nhưng đó không phải là phương trình vi phân tuyến tính .Xong đó là phương trình Becnuli nên có thể đưa phương trình về phương trình vi phân tuyến tính bằng cách đặt . b. Lời giải: Từ đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. c. Lời giải: Từ đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. d. Lời giải: Từ đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. 10) Giải các PTVP: a. ; Lời giải: phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định là nghiệm phương trình b. ; Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định là nghiệm phương trình. c. ; Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định d. ; Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nên nghiệm được xác định e. ; 4
Lời giải: coi đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định f. ; Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định g. . Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định 11) Giải bài toán giá trị ban đầu: a. ; Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định với b. . Lời giải: đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định với 12) Những nhà tâm lý quan tâm đến lý luận học tập khảo sát đường cong học. Đường cong học là đồ thị của hàm số P(t), hiệu quả của một ai đó học một kỹ năng được coi là hàm của thời gian huấn luyện t. Đạo hàm thể hiện vận tốc mà tại đó hiệu suất học được nâng lên. a. Bạn nghĩ P tăng lên nhanh nhất khi nào? Điều gì xảy ra với khi t tăng lên? Giải thích. Lời giải: P tăng lên nhanh nhất khi thời gian huấn luyện ít nhất Khi t tăng, tức là thời gian huấn luyện tăng lên dẫn đến giảm đi b. Nếu M là mức cực đại của hiệu quả mà người học có khả năng đạt được,giải thích tại sao PTVP , k là hằng số dương là mô hình hợp lý cho việc học. Lời giải: 5
Khi thì c. Giải PTVP để tìm ra một biểu thức của P(t).Dùng lời giải của bạn để vẽ đồ thị đường cong học.Giới hạn của biểu thức này là gì? Lời giải: Từ Từ giả thiết của bài toán ta có 13) Giải PTVP Bernoulli: a. ; Lời giải: ,đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định b. ; Lời giải: đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nên nghiệm được xác định c. ; Lời giải: đặt ta được đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nên nghiệm được xác định d. ; Lời giải: đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định e. ; Lời giải: coi đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nên nghiệm được xác định f. ; Lời giải: đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định 6
g. . Lời giải: đặt đó là phương trình vi phân tuyến tính cấp một,nên nghiệm được xác định 14) Một vật khối lượng m rơi xuống từ trạng thái nghỉ và chúng ta giả sử rằng sức cản không khí tỷ lệ thuận với vận tốc của vật. Nếu S(t) là khoảng cách rơi được sau t giây thì vận tốc là và gia tốc là . Nếu g là gia tốc trọng trường thì lực hướng xuống dưới tác động lên vật là , trong đó c là hằng số dương, Định luật Newton thứ hai dần đến . a. Giải PT này khi coi nó là PT tuyến tính để chỉ ra rằng . Lời giải: Khi vật không rơi tức ,từ ta có b. Vận tốc giới hạn là bao nhiêu? Lời giải: c. Tính quãng đường vật rơi được sau t giây. Lời giải: từ 15) Tìm các quỹ đạo trực giao của họ các đường cong . Vẽ một vài đường của mỗi họ trên cùng một hệ trục. Lời giải: Quỹ đạo trực giao của họ các đường cong là quỹ tích của tọa độ khúc tâm của chính đường cong đó,và tọa độ đó được xác định Từ ; và 16) Giải các PTVP toàn phần: a. ; Lời giải: 7
Nhận thấy là PTVP toàn phần vì nên không phụ thuộc đường lấy tích phân Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định b. ; Lời giải: Nhận thấy là PTVP toàn phần vì nên không phụ thuộc đường lấy tích phân Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định c. ; Lời giải: Nhận thấy là PTVP toàn phần vì nên không phụ thuộc đường lấy tích phân Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định d. . Lời giải: Nhận thấy là PTVP toàn phần vì nên không phụ thuộc đường lấy tích phân Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định 17) Giải các PTVP dùng thừa số tích phân: a. ; Lời giải: Nhận thấy là PTVP toàn phần nên không phụ thuộc đường lấy tích phân Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định 8
b. ; Lời giải: khi đó thừa số tích phân .Ta được là PTVP toàn phần nên không phụ thuộc đường lấy tích phân Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định c. ; Lời giải: khi đó thừa số tích phân Ta được là PTVP toàn phần nên không phụ thuộc đường lấy tích phân Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định d. ; Lời giải: khi đó thừa số tích phân Ta được là PTVP toàn phần nên không phụ thuộc đường lấy tích phân. Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định e. . Lời giải: khi đó thừa số tích phân Ta được là PTVP toàn phần nên không phụ thuộc đường lấy tích phâ Do vậy ta chọn ,khi đó nghiệm của phương trình được xác định 18) Giải các PTVP a. ; Lời giải: 9
Đặt b. . Lời giải: Đặt 19) Giải các PTVP a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình c. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình d. . Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình 20) Giải bài toán giá trị ban đầu: a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình .Từ điều kiện ta có 10
nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu: b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình .Từ điều kiện ta có nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu: 21) Giải các PTVP a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình .Từ điều kiện ta có (xem lại điều kiện) b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình .Từ điều kiện ta có nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện đầu: với 22) Giải các PTVP a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho c. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng 11
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho .Từ điều kiện ta có nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu: d. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho e. Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho f. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nghiệm riêng của phương trình có dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho g. . Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 23) Tìm nghiệm riêng của PTVP a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được 12
Nghiệm riêng của phương trình nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là Từ điều kiện ta có Nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện là b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là Từ điều kiện ta có Nghiệm riêng của phương trình thỏa mãn điều kiện là 24) Viết ra dạng nghiệm riêng đối với phương pháp hệ số bất định, không xác định các hệ số này. a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm riêng của phương trình có dạng b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm riêng của phương trình có dạng c. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm riêng của phương trình có dạng d. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm riêng của phương trình có dạng e. Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm riêng của phương trình có dạng f. ; 13
Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm riêng của phương trình có dạng g. . Lời giải: Phương trình đặc trưng Nghiệm riêng của phương trình có dạng 25) Giải PTVP (i) dùng phương pháp hệ số bất định và (ii) dùng phương pháp biến thiên hằng số. a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Cách 1 Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho Cách 2: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình và b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Cách 1 Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho Cách 2: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình c. ; Lời giải: 14
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Cách 1 Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: Cách 2: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình và d. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Cách 1 Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: Cách 2: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình e. Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Cách 1 Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: Cách 2: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình: và f. . 15
Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất Cách 1 Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho Cách 2: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình 26) Tìm nghiệm của PTVP a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho: b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: phương trình có nghiệm riêng phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình : c. ; Lời giải: 16
Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: phương trình có nghiệm riêng phương trình có nghiệm riêng dạng ,thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình : Với điều kiện ta có được . Khi đó nghiệm riêng tương ứng của phương trình : d. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình e. Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn ta được nghiệm tổng quát của phương trình f. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn Nghiệm riêng của phương trình có nghiệm riêng nghiệm tổng quát của phương trình g. . Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Nghiệm riêng của phương trình có dạng thay vào phương trình và rút gọn nghiệm tổng quát của phương trình Với điều kiện ta có được (XEM LẠI Đ/K) 27) Tìm nghiệm tổng quát của PT Lời giải: Phương trình đặc trưng có các nghiệm 17
Từ ta có hai nghiệm riêng và Từ ta có hai nghiệm riêng và Nghiệm tổng quát của PT là 28) Dùng phương pháp biến thiên tham số hãy giải PTVP: a. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình và nghiệm tổng quát của phương trình : b. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình và nghiệm tổng quát của phương trình : c. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình và nghiệm tổng quát của phương trình : d. ; 18
Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình và nghiệm tổng quát của phương trình e. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình và nghiệm tổng quát của phương trình f. ; Lời giải: Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: Coi bằng phương pháp biến thiên hằng số thì được xác định bởi hệ phương trình nghiệm tổng quát của phương trình 29) Dùng phép đổi biến giải phương trình Euler: a. ; Lời giải: Đặt thì ; và thay vào phương trình và rút gọn .Phương trình có nghiệm b. Lời giải: 19
Đặt thì ; và thay vào phương trình và rút gọn . Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình là Phương trình có nghiệm tổng quát c. Lời giải: Đặt thì ; và thay vào phương trình và rút gọn . Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình là Phương trình có nghiệm tổng quát d. ; Lời giải: Đặt thì ; và thay vào phương trình và rút gọn . Phương trình đặc trưng nghiệm tổng quát của phương trình theo t : e. Lời giải: Đặt thì ; và thay vào phương trình và rút gọn . Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình là nghiệm tổng quát của phương trình theo t : 30) Dùng phép đổi biến giải phương trình:. Lời giải: Đặt khi đó và thay vào phương trình và rút gọn Phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát và nghiệm riêng của phương trình là nghiệm tổng quát của phương trình : 20