Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 4

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

134
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 4', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 4

S 2a A C M a3 B 1 3 3a 2  3a 2 3 S∆ABC = = o 2 a 3.a 3. sin 60 2 2 4 1 3a3 VSABC = 3 SA.S∆ABC = . Gọi M là trung điểm BC 2 AM  BC BC  SA ⇒BC  SM  a 3. 3 3a AM = 2 2 25 9 5 ∆SAM vuông tại A có SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 + a2 = a2 ⇒ SM = a 4 2 4 53 1 a2 S∆SBC = SM.BC = 2 2 33 3. .a  3a 3VSABC 2 d(A, (SBC)) = S SBC 5 53 2 .a 2 Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = 5. Tính d(A, (BCD)) ? GIẢI D M 4 5 A C 3 5 B http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
1 1 Dễ thấy ∆ABC vuông tại A .S∆ABC = 2 AB.AC = 6. VDABC = 3 S∆ABC.DA = 8 ∆DAC có DC = 4 2 . ∆DAB có DB = 5 ∆DBC có BC = BD = 5 ⇒ ∆DBC cân tại B, gọi M là trung điểm DC ⇒BM  DC 1 1 BM = 25  8  17 . S∆DBC = BM.DC = . 17 .4 2 = 2 34 2 2 d(A, (DBC)) = SDBC  34 a 3VDABC 12 Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c. Tính d(A, (BCD)) GIẢI A N a D B M C ∆ACD = ∆BCD. Gọi M là trung điểm CD ⇒AM = BM, DC  (ABM) Gọi N là trung điểm AB ⇒ MN  AB  a4  4c b a b2 2 2 2 2 MN2 = BM2 - BN2 = c2 + 4 4  4c 2  b 2  a 2 4c 2 b2 a 2 S∆AMN = a . a 2 2 4 VABCD = 2 VBCMA = 2. 1 CM.S(∆ABM) = 2 . b . a 4c 2  b 2  a 2  12 4c 2  b 2  a 2 ab 3 324 b c 2  b4 .b = 2 1 V∆BCD = BM.CD = 4c 2  b 2 4 2 4 c 2 b 2  a 2 ab  a 3VABCB 4 c 2 b 2  a 2 4 d(A, (BCD)) = S BCD 4 c 2 b 2 4 c 2 b 2 b . 4 Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1. a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x b)Tính d(A, (BCD)) Tương tự bài 4 x2 Đáp số: VABCD = 6 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
 2x 4 d(A, (BCD)) = x 4 x 2 4 x 2 Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC = 120o. Gọi m là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh rằng MB  MA1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) GIẢI z B C A M x y B1 C1 2a A1 Đưa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc như hình vẽ: gốc toạ độ A1. trục A1Z hướng theo A1 A Trục A1y hướng theo A1C1 Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong MP (A1B1C1). Toạ độ các điểm: ; a ;0) , C1(0; 2a; 0) a3 A1(0 ; 0; 0), B1( 2 2 ; a ;2a 5 ) , C(0; 2a; 2a a3 A(0 ; 0; 2a 5 ), B( 5) 2 2 M(0; 2a; a 5 ) BM (  2 ; 52a ; -a a3 5) ; a ; 0) a3 A1 M (0; 2a; a 5 ), AB ( 2 2 2 2 BM . A1 M = 0+5a - 5a = 0 (BM  MA1 ) 1 Thể tích khối chóp AA1BM bằng V = 6 | AB [ BM , A1 M ]| a3 a3 BM . A1 M = -a 5 -a 5   5a 5a 2 2 2 2 2a a5 ; 0 a5; 0 2a http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
  9a2 5 2 ; a 2 3 ;a 15 = 2 2 2 2 a 2 15 . 9a 2 5  a . a 0  1a3 15 ⇒VAA BM = 62 2 2 3 1 . BM . A1 M  = 3a2 3 ⇒ Khoảng cách từ A tới (BMA1) bằng 1 S∆BMA = 6 1 h= S  3 a5 3V Bài 7: Cho tứ diện OABC. Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua M // với OA, OB. OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A1, B1, C1.  MB1  MC1  1 MA1 Chứng minh rằng: OA OB OC GIẢI O H A1 K C A M B Nối M với các đỉnh O,A,B,C. Khi đó VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA VMOAB  VMOBC  VMOCA 1= VOABC VOABC VOABC VMOAB Xét VOABC Kẻ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK  OA AH ∆OAH ∾ A1MK ⇒ MA1 MK   VMOBC MA1 MK VOABC AH OA  VMOAB MC1 Tương tự ta có VOABC OC  VMOCA MB1 VOABC OB   1 MA1 MB1 MC1 Vậy OA OB OC http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1.  MB11  MC11  MD11  1 MA1 Chứng minh rằng A AA1 BB CC DD GIẢI M Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có: V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC  VMACD  VMABD  VMABC VMBCD 1= D V V V V B A1 H K VMBCD Xét V C  MA1 MK Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒ AH AA1   VMBCD MA MK 1 V AH AA1  BB1 ; V  CC1 ; V  DD1 VMACD VMABC MB1 MD1 VMABD MC1 Tương tự: V Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, 2; 1; 1 SA1 SB1 SC1 B1, C1 sao cho SA 3 SB 2 SC 3  SD1 2 Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD tại D1. Chứng minh rằng SD 5 GIẢI V Ta có VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = 2 S VSA1B1C1   SA1 SB1 SC1 . . 1 (1) VSABC SA SB SC 9 VSA1D1C1  . SD1 . SC1  9 . SD1 (2) SA1 2 C1 VSADC SA SD SC SD D1 Cộng vế với vế (1) và (2) ta được VSA1B1C1D1  1  9 . SD1 2 B1 9 SD 1V A1 2 C D VSA1B1D1  . SA1 SB1 SD1 1 SD1 . . Tương tự: (4) VSABD SA SB SD 3 SD VSB1C1D1   1 . SD1 (5) SB1 SC1 SD1 . . A VSBCD SB SC SD 6 SD B Cộng vế với vế (4) và (5) ta được VSA1B1C1D1  1 . SD1 2 SD 1V 2  1  9 . SD1  1 SD1 SD1 . 2 2 Từ (3) và (6) ta có ⇒ 2 SD 9 SD SD 5 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
PHẦN 2 THỂ TÍCH KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN A. LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa: -Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44) -Thể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50) -Thể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56) 2.Các công thức: a)Thể tích khối cầu V = 4 R , R: bán kính mặt cầu 3 3 b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao c)Thể tích khối nón V = 1 Sđáy.h , h: chiều cao 3 B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thức trên. Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b. Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ GIẢI C O A1 B I A' C' a O' A1' B' -Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của các đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’ -Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ -Bán kính mặt cầu là R = IA AA1   2a 3 a3 2 Tam giác vuông AOI có: AO = 3 32 3 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
OO'  1 AA'  b 1 OI = 2 2 2 a7 ⇒AI2 = OA2+OI2 = a3  b4  2 2 7a2 ⇒ AI = 12 23 V= 4 R  4  21.a 3    a3 a 3 .28 7a 3 3 .7 7 7 7 3 3 8 3 3 72 3 18 3 54 4 a 2  3b 2 AI2 =  AI  R 4 a 2  3b 2 12 23 3 3 V=  R   (4a  3b )  .(4 a  3b ) 3 2 22 2 22 4 4 1 1 3 3 8.3 3 18 3 Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. GIẢI S M I C D O A a B Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có SO b (ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o Gọi M là trung điểm SA Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SM . SA ⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SO a   a2 2a2 a2 AO , SO = SA sin30o = Với AO = , AS = 6 2 32 cos 30 o 3 a a2 3 6 2 a 3  a3 8 4 2 2 2 ⇒SI = =a ⇒ VMcầu = a 3 3 3 3 9 3 6 Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi thêm thể tích mặt cầu http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60o. Tính thể tích khối trụ GIẢI B' A'  AD  DC ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) và đáy   A' D  DC Do đó: ADA’ = 60o ∆OAD vuông cân nên AD = OA 2 = R 2 ∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60o = R 6 B V = R2h = R3 6 A C D Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tròn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45o. Tính thể tích khối trụ. GIẢI D Gọi I, J là trung điểm của AB và CD Ta có: OI AB; IJ cắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’ O' MIO = 45o là góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó: C' a  a4  a2 2 3a 2 O’I = 2 2 ; R = 8 8 a M' h = 2OM = 2 A 3. .a 3 2  3a3 . a 2 Vậy V = R h =  8 16 2 J O B Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6. Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của khối trụ này lớn nhất. GIẢI STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6 ⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R2 = 3 V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R = 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax ⇔R = 1 và h = 2 Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung ỏ và (P) tạo với đáy một góc õ. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón. GIẢI S M O B E A Gọi E là trung điểm AB ta có OES= õ ; AOB= ỏ Vẽ OM (SAB) thì SOM= ta có: a a SO= và OE= cos  sin  OE a Bán kính đáy R=OA=    sin  cos cos 2 2  .a3 1 Thể tích khối nón là:V=  R 2 h   3 3sin 2  .cos .cos  2 Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C). 1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C). 2.Tìm x để thể tích này lớn nhát GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
S (C) M O h  x R' SM R ' R Ta có     R '  (h  x) SO R h R h 1 R2 1 R2 1 Thể tích khối nón V= R '2 .SM   2 (h  x) 2 .x   2 ( x 3  2hx 2  h 2 x) 3 3h 3h   2 1R V’=  2 3x 2  4hx  h 2 , 3h x  h 3 V’ = 0 ⇔  x= h (loại) x  h h Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x = 3 Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2  .Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V. GIẢI Ta có Stp=Sxq+2Sđ= 2xy  2x 2  2 ( xy  x 2 ) Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2)=2 1 x2 ⇔xy+x2 =1 ⇔ y = .Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x2> 0 ⇔0 < x < 1 x Khi đó V = x2y = x(1-x2) = -x3+x  2 1 Khảo sát hàm số trên với x (0,1) ta được giá trị lớn nhất của V= x 33 3 Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= ỏ ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng õ và khoảng cách tư O đến (SAM) bằng a. Tính thể tích khối nón theo a, ỏ, õ. GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến
Gọi I là trung điểm AM ∆SAM cân nên SI  AM ∆OAM cân nên OI  AM (SOI)  AM nên SOI là góc phẳng nhị diện cạnh AM ⇒ SIO = õ Kẻ OH  (SAM) (SOI)  (SAM) ⇒ H ∈ SI và OH = a OH a OI a a Ta có OI= ; SO  IO tan    ; OM     sin  sin  cos  cos sin  cos 2 2 a  .a3 2 1 a V= SO. .OM  .  2 . 3 cos  cos2  .sin 2  3sin 2  .cos  .cos 2  3 2 2 Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C). +Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). +Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất. GIẢI O E I F B Gọi EFlà 1 đường kính cua (C) ta có : IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = h(2 R  h) h 2 1 Thể tích cần tính là:V= r 2 h  (2r  h) với 0 < h < 2R 3 3  V = 3 (4 Rh  3h 4R 2 ’ , V’ = 0  h  3 4R Vmax  h  4 R hay AI = 3 3 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến