Bài tập thể tích khối đa diện - GV. Trương Quang Thành

Chia sẻ: Tran Van Cong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

115
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích và học toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu. Qua thực tế giảng dạy GV. Trương Quang Thành có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập thể tích khối đa diện - GV. Trương Quang Thành

Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Quảng Nam Trường THPT Lê Quý Đôn BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN GIÁO VIÊN : TRƯƠNG QUANG THÀNH Tổ : Toán - Tin Trường THPT Lê Quý Đôn
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng tứ ” SỢ” học.Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm của quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện. Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích và học toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu .Qua thực tế giảng dạy tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán. I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu a) xác định đường cao b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy Để xác định đường cao ta lưu ý • Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy. • Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy. • Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy. • Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy. • Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mp đó
Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý • Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông. • Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định. Sau đây là các bài tập Bài1 Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó. Bài giải Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy S A B E D C Khi đó 2 a 3 AE= AD= 3 3 Ta có ∠ SAD=600 nên SE=AE.tan600=a a2 3 1 a3 3 SABC= Do đó VSABC= SE.SABC= 4 3 12 BÀI 2: Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp Bài giải Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy
AB + BC + CA Ta có p= =9a Nên SABC= p( p − a)( p − b)( p − c) =6a2. 6 2 S 2 mặt khác SABC=pr ⇒ r= p = a 6 3 trong ∆ SDK có SD=KDtan600 = r.tan600= 2a. 2 1 Do đó VSABC= SD.SABC=8a3. 3 3 S B A D k C Bài 3 Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600, đáy là tam giác cân AB=AC=a và ∠ BAC=1200 .Tính thể tích khối chóp đó. Bài giải S A C O B O Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Có SO chính là đường cao a2 3 SABC=1/2.AB.AC.sin1200= và BC=2BD=2.ABsin600=a. 3 4
a.b.c OA=R= =a ⇒ SO=OA.tan600=a. 3 4s 1 Do vậy VSABC= SO.SABC=1/4a3. 3 Bài 4 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a 3 và mpSAB vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC. Hãy tính thể tích khối chóp SBMDN. Bài giải S D A H M B N C Hạ SH ⊥ AB tại H thì SH chính là đường cao SADM=1/2AD.AM=a2 SCDN=1/2.CD.CN=.a2 Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2. 1 1 1 SA 2 .SB 2 a 3 mặt khác 2 = 2 + 2 ⇒ SH= 2 = SH SA SB SA + SB 2 2 1 a3 3 do đó VSBMDN= .SH.SBMDN= 3 3 Bài 5
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a. Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600. Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Bài giải S B J A H I C D Gọi H trung điểm là của I lên BC, J là trung điểm AB. Ta có SI ⊥ mpABCD IC= ID 2 + DC 2 =a 2 IB= IA 2 + AB 2 =a 5 và BC= CJ 2 + JB 2 =a 5 SABCD=1/2AD(AB+CD)=3a2 2 3a SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2 ⇒ SIBC=SABCD-SIAB-SDIC= 2 1 2 S IBC 3 3 mặt khác SIBC= .IH.BC nên IH = = a 2 BC 5 9. 3 SI=IH.tan600= a. 5 1 3 15 3 Do đó VABCD= SI.SABCD= a 3 5 Bài 6 Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ∠ ASB= 600, ∠ CSB=900, ∠ CSA=1200 CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp.
Bài giải S C E A D B Gọi E,D lần lượt là AC,BC ∆ SAB đều AB=a, ∆ SBC Vuông BC=a. 2 a 3 ⇒ 1 ∆ SAC có AE=SA.sin600= AC=a 3 và SE=SAcos600= a. 2 2 ⇒ ∆ ABC có AC2=BA2+BC2 =3a2 vậy ∆ ABC vuông tại B 1 a2 2 Có SABC= .BA.BC= 2 2 1 a 3 ∆ SBE có BE= AC= 2 2 SB2=BE2+SE2=a2 nên BE ⊥ SE AC ⊥ SE Do đó SE chính là đường cao 1 2 VSABC= SE.SABC= a 3 3 12 Bài 7 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,AC=a, ∠ ACB=600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ. Bài giải
A B C A1 B1 C1 Trong tam giác ABC có AB=AC.tan600=a 3 AB ⊥ AC và AB ⊥ A1A Nên AB ⊥ mp(ACC1A) do đó ∠ AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a. Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= AC1 2 − AC 2 =2a 2 1 Do vậy VLT=CC1.SABC= 2a 2 . .a.a 3 =a3. 6 2 Bài 8 Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách đều ba điểm A,B.C,cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600.Hãy tính thể tích khối trụ đó. Bài giải A1 B1 C1 A B G I H C a2 3 Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC= 4 mặt khác A1A= A1B= A1C ⇒ A1ABC là tứ diện đều gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao
a 3 Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH= và ∠ A1AG=600 3 a3. 3 A1G=AG.tan600=a. vậy VLT=A1G.SABC= 4 Bài 9 Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB= 2 .Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A= 3 ,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600. hãy tính thể tích trụ. Bài giải Tam giác ABC có cạnh huyền AB= 2 và cân nên CA=CB=1; SABC=1/2.CA.CA=1/2. . MpABB1vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G ⊥ AB tại G. A1G chính là đường cao Từ G hạ GH ⊥ AC tại H Gt ⇒ góc A1HG=600 Đặt AH=x(x>0) Do ∆ AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x 2 ∆ HGA1 có A1G=HG.tan600=x. 3 15 ∆ A1AG có A1A2=AG2+A1G2 ⇔ 3=2x2+3x2 hay x= 5 3 5 3 5 Do đó A1G= vậy VLT=A1G.SABC= 5 10
A1 B1 C1 A G B H C Bài 10 Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= 3 và AD= 7 . Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1. giải F B1 A1 D1 C1 A N B M H C D Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD Từ H hạ HM ⊥ AD tại M và HN ⊥ AB tại N Theo gt ⇒ ∠ A1MH=600 và ∠ A1NH=450 x 2x Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= = sin 60 0 3 tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông) 3 − 4x 2 Nên HN=AM mà AM= AA − A1 M 1 2 2 = 3
Mặt khác trong tam giác A1HN có HN=x.cot450 3 − 4x 2 3 Suy ra x = hay x= vậy VHH=AB.AD.x= 3. 3 7 II ) TÍNH GIÁN TIẾP Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện(chóp tam giác) Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm A1,B1,C1 khác V A1B1C11 SA1 SB1 SC1 với S thì = V ABC SA SB SC Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác) A A1 B B1 S E H C1 C Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A,A1 trên mpSBC ⇒ AH / / A1E nên ∆ SAH và ∆ SA1E đồng dạng AH SA = A1 E SA1 1 1 Khi đó VSABC= 3 AH.SSBC= 3 AH.SB.SC.sinBSC. 1 1 VSA 1 B 1 C 1 = 3 A1E.SSB 1 C 1 = 3 A1E.SB1.SC1.sinBSC.
1 . AH .SB.SC. sin BSC VSABC 3 AH SB SC Do vậy = = . . VSA1B1C1 1 A1 E SB1 SC1 . A1 E.SB1 .SC1 . sin BSC 3 V A1B1C11 SA1 SB1 SC1 Nên = V ABC SA SB SC Bài 1 Cho hình chóp SABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và ∠ BSA=600, ∠ ASC=1200, ∠ CSB=900. Hãy tính thể tích chóp Bài giải Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Ta liên tưởng đến bài 6 phần I Vây ta có lời giải sau C C1 A S B1 B Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a, Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a, a3. 2 Ta có VSAB C = (theo bài 6) 1 1 12 SA SB SC 3 Mà VSABC = . . .VSAB1C1 . = a . 2 SA SB1 SC1 2
Bài 2 : Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. A1A =2a và A1A tạo với mpABC một góc 600. Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA. giải A1 C1 B1 C A H K B Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a. 3 a 2 . 3 3a 3 Mà VLT=A1H.SABC= a. 3. = 4 4 nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp 1 khối chóp CA1B1C1 có VCA B C = VLT 1 1 1 3 1 khối chóp B1ABC có VB ABC = VLT 1 3 1 a3 Khối chóp A1B1CA do đó V A B AC = VLT = 1 1 3 4 Bài 3 :Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1. Mặt phẳng FEA chia khối hộp thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó Bài giải
DDF A D B C K D1 J A1 H F B1 E C1 I Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv) Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1 Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c” HB IB 1 KD1 JD1 1 Theo TA-LET AA = IA = 3 Và = = 1 1 1 1 AA1 JA1 3 1 1 1 a b c abc V HIEB1 = .HB1 .B1 E.B1 I = . . . . = = V KFJD1 3 3 2 2 2 3 72 1 1 1 1 3a 3b 3abc V AAJ JI = . AA1 . . AI .JA = . . . .c = 3 2 3 2 2 2 8 3abc abc 25abc V1= V AA JI -2. VHIEB = − 2. = J 1 8 72 72 47abc V1 25 V2= Vhh-V1= do vậy V = 47 72 2 III) BÀI TOÁN ÔN TẬP
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp Bài 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C. b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F. Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE. Giải a) Cách 1 tính trực tiếp 1 1 a. 3 a 2 a 3 . 3 gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd= . A1 H .S BCB = . . = 3 1 3 2 2 12 A C K B C1 A1 H B1 Tương tự gọi K là trung điểm AB 1 Cách 2 VCA B C = V A ABC = .VLT 1 1 1 1 3 1 1 a 2 . 3 a3. 3 Nên VBCA B1 = .VLT = .a. = 1 3 3 4 12
b) cách 1 Tính trực tiếp gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=AC ∩ d và F=BC ∩ d MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE a 3 a 3 a2 13 CK = , GK = ⇒ QG = KQ 2 + KG 2 = a 2 + = a. Ta có 2 6 12 12 2 2 1 1 a. 3 a 2 . 3 S CQG = S CQK = . .CK .QK = .a. = 3 3 2 3 2 6 1 2.S CQG 2a 2 3 13 2a 13 S CQG = .QG.d (C , QG ) ⇒ d (C , QG ) = = . = 2 QG 6 a 12 13 Mặt khác 1 1 2a 13 1 3a 13 5a 3 . 3 ⇒ VC .FEA1B1 = .d (C , QG ).S FEA1B1 = . . .(a + ).a. = 3 3 13 2 2 12 54 Cách 2 dùng gián tiếp (sử dụng bài toán tỉ lệ thể tích ) A E C C2 G K F B C1 A1 Q B1 CG CF 2 2 1 1 a. 3 a 2 a 3 . 3 VCFEA1B1 = 2VCGQB1 = 2. . VCKQB1B = 2. . . . . = CK CB 3 3 3 2 2 2 54
Bài 2 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3 ,SA=2a và SA ⊥ ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K. Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a Bài giải Cách 1 tính trực tiếp Ta có AC 2 = AD 2 + CD 2 = 3a 2 + a 2 = 4a 2 ⇒ AC = 2a Nên ∆SAC ⊥ cân tại A mà AI ⊥ SC nên I là trung điểm SC 1 2a 2 AI=SI= SC = = a. 2 2 2 BC ⊥ AB, BC ⊥ SA( SA ⊥ ABCD) ⇒ BC ⊥ SAB Mà AH ⊥ SC cho nên ABC 1 1 1 SA.BA 2a 2 = 2 + ⇒ AH = = AH AB AS 2 SA + AB 2 2 5 4a 2 a 6 Trong tam giác vuông HAI có HI = AI 2 − AH 2 = 2a 2 − = 5 5 S I K H A D B C Tương tự ta có
a 14 AK= 7 1 1 1 1 1 VSAHIK = VSIHA + VSIKA = .SI . . AH .HI + .SI . AK .KI = SI .( AH .HI + AK .KI ) 3 2 3 2 6 3 1 2a a 6 2a 3 a 14 8a . 3 ⇒ VSAHIK = .a 2 ( . + . )= 6 5 5 7 7 35 Cách 2 tính gián tiếp Tương tự như các 1 ta chỉ lập luận AH ⊥ SB, AK ⊥ SD SH .SI 1 SA 2 1 4a 2 1 4a 3 . 3 VSAHI = .VSABC = . 2 .VSABC = . 2 .. .2a.a. 3 = SB.SC. 2 SB 2 5a 3 35 4a 3 . 3 Tương tự VSAIK = 35 8a 3 . 3 Do đó VSAHIK= 35 Bài 3 Cho hai đường thẳng chéo nhau x và y. lấy đoạn thẳng AB có độ dài a trượt trên x, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt trên y. CMR VABCD không đổi giải nhận xét các yếu tố không đổi a,b,góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng x và y đặt (x,y)= α và d(x,y)=d Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv) Khi đó d=d(x,y)=d(AB,CD)=d(AB,CDE)=d(B,CDE) hay d chính là chiều cao lăng trụ 1 1 VLT= d.SCDE=d. CD .CE.sin α = d.b.a.sin α 2 2 mặt khác Khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm 1 1 Tứ diện BCDE có VBCDE= .d(B,CDE).SCDE= .VLT 3 3 Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau
1 1 Do vậy VABCD= .VLT= .d.a.b.sin α = hằng số 3 6 B A F E C D l Cách 2 Dựng hình hộp, cách 3 dựng hbh “ Như hai hv sau” D H B A G C E C E B A F D Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c. Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắt cạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K . Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó
Bài giải S K M G N A D O B C Gọi O Là tâm hcn ABCD 2 Ta có SG= .SO và K=A G ∩ SC và K là trung điểm SC 3 VSMAK SM SA SK 1 SM 1 SM 1 SM = . . ⇒ VSMAK = . .VSBAC = . .VSABCD = .a.b.c VSBAC SB SA SC 2 SB 4 SB 12 SB 1 SN Tương tự VSNAK = . .a.b.c 12 SC 1 SM SN Do đó VSAMKN .( + ).a.b.c 12 SB SC S H M G N D O B Trong mpSBD S SMN SM SN S SMG + S SGN S S SG.SM SG.SN = . = = SGM + SGN = + S SBD SB SC 2 S SBO 2S SBO 2 S SOD 2.SO.SB 2.SO.SC SM .SN 1 SM SN ⇒ = ( + ) SB.SC 3 SB SC