Bài tập Toán cao cấp A1 - ThS. Trần Bảo Ngọc

Bài tập môn học<br /> <br /> TOÁN CAO CẤP A1<br /> (học kỳ 1 năm học 2014 - 2015)<br /> <br /> Ths. Trần Bảo Ngọc.<br /> Bộ môn: Toán, Khoa: Khoa học,<br /> Trường Đại học Nông Lâm TP. Hồ Chí Minh.<br /> Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn<br /> Điện thoại cơ quan: (+84) 83 7220 262.<br /> Địa chỉ cơ quan: Khu phố 6, phường Linh Trung, quận Thủ Đức, Tp. Hồ Chí Minh.<br /> <br /> 1<br /> <br /> Bài tập 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau<br /> x<br /> 10<br /> <br /> 1<br /> 1−x<br /> <br /> c. y =<br /> <br /> √<br /> arcsin x<br /> <br /> √<br /> 1 − cos 2x<br /> b. lim<br /> x→0<br /> tan2 x<br /> <br /> a. y = arcsin log<br /> <br /> c. lim<br /> <br /> 2x + 3<br /> 2x + 8<br /> <br /> b. y = arcsin<br /> <br /> Bài tập 2. Tính các giới hạn sau<br /> 2x − x2<br /> a. lim<br /> x→2 x − 2<br /> <br /> e. lim (1 + ex ) x2<br /> <br /> x→0<br /> <br /> f. lim<br /> <br /> x→+∞<br /> <br /> 2x − cos x<br /> x→0<br /> x<br /> <br /> esin 5x − 1<br /> x→0 ln (1 + 2x)<br /> <br /> 1 + cos πx<br /> x→1 x2 − 2x + 1<br /> <br /> h. lim<br /> <br /> g. lim<br /> <br /> x→0<br /> <br /> 5 sin5 x<br /> x→0 (ex − 1)5<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> d. lim (cos x) tan x<br /> <br /> j. lim<br /> <br /> x→∞<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> − x<br /> x e −1<br /> <br /> k. lim<br /> <br /> x→0<br /> <br /> x−1<br /> <br /> i. lim<br /> <br /> 1<br /> − cot x<br /> x<br /> <br /> Bài tập 3. Tìm a để các hàm số sau liên tục<br /> <br /> π π<br />  ln cos x<br /> <br /> , x∈ − ;<br /> \ {0}<br /> x<br /> 2 2<br /> a. f (x) =<br /> tại x0 = 0.<br />  a arctan 1 ,<br /> <br /> x=0<br /> x2<br /> <br /> √<br />  1 − cos 2x<br /> π π<br /> ,<br /> x∈ − ;<br /> \ {0} tại x = 0.<br /> 2<br /> b. f (x) =<br /> 0<br /> x<br /> 4 4<br />  a + ln (1 + arctan x),<br /> x=0<br /> Bài tập 4. Tính đạo hàm<br /> a. cấp 6 của y = sin2 x<br /> d. cấp 10 của y =<br /> <br /> 5x − 2<br /> 2x − 5<br /> <br /> b. cấp 5 của y =<br /> e. cấp 8 y = ln<br /> <br /> 1<br /> x2 + 5x + 2<br /> <br /> 1−x<br /> 1+x<br /> <br /> c. cấp 8 của y = e−2x (3x2 − 4)<br /> f. của<br /> <br /> x = sin3 t<br /> y = cos2 t<br /> <br /> Bài tập 5. Tìm gần đúng các giá trị<br /> a. y = (1, 03)5<br /> <br /> b. y = arcsin (0, 51)<br /> <br /> d. y = ln (10, 21)<br /> <br /> c. y = sin 31o<br /> <br /> e. y = tan 46o<br /> <br /> Bài tập 6. Viết công thức Taylor của hàm<br /> a) f (x) = x4 − 5x3 + 5x2 + x + 2 ở lân cận x0 = 2.<br /> b) f (x) = x5 + 2x4 − x2 + x + 1 ở lân cận x0 = −1.<br /> Bài tập 7. Viết khai triển MacLaurin đến x5 với phần dư Peano của hàm<br /> a. y = tan x<br /> <br /> b. y =<br /> <br /> 1<br /> (x + 1)(x − 2)<br /> <br /> 2<br /> <br /> c. y =<br /> <br /> 1<br /> (2x − 3)(x + 1)<br /> <br /> d. y = (1 − 2x)ex<br /> <br /> e. y = sin x + cos x<br /> <br /> f. y = ln<br /> <br /> 1−x<br /> 1+x<br /> <br /> Bài tập 8. Tìm<br /> √<br /> a) Toạ độ cực của điểm M (1; 3) trong hệ toạ độ Oxy.<br /> 2π √<br /> ; 2 3 trong hệ toạ độ cực.<br /> b) Toạ độ Đề-các của điểm M<br /> 3<br /> c) Phương trình theo toạ độ cực của đường tròn (x − 2)2 + (y − 1)2 = 4 trong hệ toạ độ Đề-các.<br /> c) Phương trình theo toạ độ Đề-các của đường cong r = 4 cos φ trong hệ toạ độ cực.<br /> Bài tập 9. Tính các tích phân bất định, tích phân suy rộng sau<br /> a.<br /> <br /> 2ex<br /> √<br /> dx<br /> 2 + 2e2 + e2x<br /> <br /> b.<br /> <br /> 4 sin3 xdx<br /> 1 + cos x<br /> <br /> c.<br /> <br /> dx<br /> (sin x + 2 cos x)2<br /> <br /> d.<br /> <br /> arcsin x − x<br /> √<br /> dx<br /> 1 − x2<br /> <br /> e.<br /> <br /> sin2 xdx<br /> 3 + cos2 x<br /> <br /> f.<br /> <br /> x cos xdx<br /> <br /> g.<br /> <br /> x sin x cos2 xdx<br /> <br /> h.<br /> <br /> xdx<br /> √<br /> 3<br /> x+1<br /> <br /> i.<br /> <br /> (x2 + 2x)ex dx<br /> <br /> j.<br /> <br /> √<br /> <br /> x<br /> dx<br /> 1 − 4x4<br /> <br /> k.<br /> <br /> cos2 xdx<br /> e2x<br /> <br /> l.<br /> <br /> ln xdx<br /> (x + 1)2<br /> <br /> 1<br /> <br /> m.<br /> −∞<br /> 2<br /> <br /> p.<br /> 1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> dx<br /> 3−x<br /> <br /> n.<br /> 0<br /> 2<br /> <br /> dx<br /> x ln x<br /> <br /> q.<br /> 1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> dx<br /> (x + 2)2<br /> <br /> o.<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> dx<br /> (1 + x)3<br /> <br /> xdx<br /> √<br /> x−1<br /> x<br /> <br /> Bài tập 10. Tính a) diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xe 2 , trục Ox, x = 0 và<br /> x = 1.<br /> b) thể tích vật thể tròn xoay khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x − x2 và y = 0<br /> xung quanh trục Ox.<br /> c) thể tích vật thể tròn xoay khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = sin x cos x, y=0,<br /> 2<br /> π<br /> x = 0 và x = xung quanh trục Ox.<br /> 2<br /> x3<br /> d) diện tích mặt tròn xoay khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi các đường y = , 0 ≤ x ≤ 2 xung<br /> 3<br /> quanh trục Ox.<br /> √<br /> 1<br /> e) độ dài cung xác định bởi y = (3 − x) x, 0 ≤ x ≤ 3.<br /> 3<br /> Bài tập 11. Xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau<br /> +∞<br /> <br /> a.<br /> n=1<br /> +∞<br /> <br /> n<br /> <br /> (−1)<br /> <br /> d.<br /> n=1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> n2 ( 1 )n + n + 1<br /> 3<br /> n2 + 1<br /> n<br /> n+1<br /> <br /> b.<br /> n=1<br /> +∞<br /> <br /> n<br /> <br /> e.<br /> n=1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> (−1)n<br /> (2n + 1)2n<br /> <br /> c.<br /> n=1<br /> <br /> (−1)n n<br /> n+1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> n2 + 3<br /> n3 + 2<br /> <br /> f.<br /> n=1<br /> <br /> 3<br /> <br /> n2<br /> <br /> 1<br /> + 2n<br /> <br /> +∞<br /> <br /> g.<br /> n=1<br /> <br /> √<br /> n n−1<br /> 3n2 − 2<br /> <br /> +∞<br /> n<br /> <br /> 4<br /> <br /> g.<br /> n=1<br /> <br /> n<br /> n+1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> h.<br /> n=1<br /> n2<br /> <br /> +∞<br /> <br /> h.<br /> n=1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> n2<br /> (2n)!<br /> 2n + 1<br /> 2n + 5<br /> <br /> i.<br /> n=1<br /> <br /> 2n + 1<br /> 3n<br /> <br /> n2<br /> <br /> Bài tập 12. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau<br /> +∞<br /> <br /> a.<br /> n=1<br /> +∞<br /> <br /> d.<br /> n=1<br /> <br /> +∞<br /> <br /> (−1)n xn<br /> (3n − 2)2n−1<br /> <br /> b.<br /> <br /> 1<br /> √ n<br /> n nx<br /> <br /> e.<br /> <br /> n=1<br /> +∞<br /> <br /> n=1<br /> <br /> n+1<br /> 2n<br /> <br /> +∞<br /> <br /> 2n−1<br /> <br /> x<br /> <br /> n<br /> <br /> c.<br /> n=1<br /> +∞<br /> <br /> (x + 1)3n<br /> n2<br /> <br /> f.<br /> n=1<br /> <br /> 4<br /> <br /> (−1)n (n + 1)<br /> (x − 2)2n<br /> n−1<br /> 2n − 1 n<br /> x<br /> n!<br /> <br />