Bài tập toán cao cấp-Chương 3

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

755
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập toán cao cấp-chương 3', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán cao cấp-Chương 3

Bài t p chương 3 Bài 3.1. Cho V = (0,+∞) và R = R. V i α∈ R và u, v ∈ V , ta đ t: u = uα . u ⊕ v = uv và α Ch ng minh (V, ⊕, ) là không gian vectơ trên R. Tìm cơ s và s chi u c a V . Bài 3.2. Cho V = R2 . Ch ng t r ng V không là không gian vectơ trên R n u ta đ nh nghĩa các phép toán (+) và (.) trên V b i: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 y2 ); a) α(x1 , y1 ) = (αx1 , αy1 ), (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (3x1 + 3x2 , y1 + y2 ); b) α(x1 , y1 ) = (3αx1 , αy1 ), (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , 0); c) α(x1 , y1 ) = (αx1 , 0). Bài 3.3. Trong các câu sau, xét xem veto u có là t h p tuy n tính c a các vecto u1 , u2 , u3 hay không? Hãy tìm d ng bi u di n tuy n tính c a nó (n u có)? a) u = (1, 3, 2), u1 = (1, 1, 1), u2 = (2, 0, 2), u3 = (0, 1, 1). b) u = (1, 4, −3), u1 = (2, 1, 1), u2 = (1, −1, 1), u3 = (1, 1, −2). c) u = (4, 1, 2), u1 = (1, 2, 3), u2 = (2, 1, 2), u3 = (1, −1, −1). d) u = (1, 3, 5), u1 = (1, 2, 3), u2 = (3, 2, 1), u3 = (2, 1, 0). e) u = (4, 3, 10), u1 = (1, 2, 5), u2 = (1, 3, 7), u3 = (−2, 3, 4). Bài 3.4. Trong các câu sau, xem xét đa th c f có là t h p tuy n tính c a các đa th c f1 , f2 , f3 hay không? Hãy tìm d ng bi u di n tuy n tính c a nó (n u có). a) f = x2 + 4x + 7, f1 = x2 + 2x + 3, f2 = 2x2 + 5x + 8, f3 = 3x2 + 8x + 13 b) f = 4x2 + 9x + 22, f1 = 2x2 + 5x + 5, f2 = 5x2 + 7x + 10, f3 = 2x2 + 4x + 7 Bài 3.5. Trong các câu sau, xét xem veto u có là t h p tuy n tính c a các vecto u1 , u2 , u3 hay không? Hãy tìm d ng bi u di n tuy n tính c a nó (n u có)? a) u = (10, 6, 5, 3), u1 = (1, 1, −1, 0), u2 = (3, 1, 2, 1), u3 = (2, 1, 3, 1). b) u = (1, 1, 1, 0), u1 = (1, 1, 0, 1), u2 = (1, 0, 1, 1), u3 = (0, 1, 1, 1). 1
c) u = (1, 3, 7, 2), u1 = (1, 2, 1, −2), u2 = (3, 5, 1, −6), u3 = (1, 1, −3, −4). d) u = (−2, 1, 3, 1), u1 = (2, 4, 3, 1), u2 = (0, 1, −2, 3), u3 = (1, 0, 2, −1). Bài 3.6. Trong không R4 . Tìm đi u ki n a, b, c, d đ vectơ u = (a, b, c, d) là t h p tuy n tính c a a) u1 = (1, −1, 2, 1), u2 = (1, 1, 1, 1), u3 = (2, −1, 3, 1). b) u1 = (−1, 3, 1, −2), u2 = (4, 2, 1, −3), u3 = (−1, 1, −2, −4). Bài 3.7. Cho V là m t không gian vectơ trên trư ng K và u, v, w ∈ V. Ch ng minh r ng {u, v, w} đ c l p tuy n tính khi và ch khi {u + v, v + w, w + u} đ c l p tuy n tính. Bài 3.8. Xét xem các vectơ sau là đ c l p tuy n tính hay ph thu c tuy n tính? a) (1, 1, 1) và (0, 1, −2); b) (−1, 1, 0) và (0, 1, 2); c) (1, 1, 0), (1, 1, 1) và (0, 1, −1); d) (0, 1, 1), (1, 2, 1) và (1, 5, 3); e) (1, 1, 1, 1), (1, 2, −1, 1), (0, 1, −2, 2) f) (1, −2, 3, −4), (3, 3, −5, 1) và (3, 0, 3, −10). Bài 3.9. Ki m tra t p nào sau đây là cơ s c a R3 a) u1 = (1, −1, 1), u2 = (1, 0, 2), u3 = (2, 1, 1). b) u1 = (2, 1, 1), u2 = (1, −1, 1), u3 = (4, −1, 3). c) u1 = (1, 2, −1), u2 = (0, −1, 2), u3 = (5, 1, 0). Bài 3.10. Trong các t p con W sau đây c a R3 thì t p h p nào là không gian con c a Rn ? a) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 , x2 , x3 ≥ 0}; b) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 + 2x2 = 3x3 }; c) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 + 3x2 = 1}; d) W = {(x1 , x2 , x3 )|x2 = x2 }; 1 e) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 x2 = 0}; f) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 = x2 = x3 }; 2
g) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 + x2 + x3 = 3}; h) W = {(x1 , x2 , x3 )|x1 ∈ Q}. Bài 3.11. Cho V = Mn (K ) là không gian các ma tr n vuông c p n trên K . T p con nào sau đây là không gian con c a V ? a) T p t t c các ma tr n A có A11 = 0; b) T p t t c các ma tr n tam giác trên; c) T p t t c các ma tr n đư ng chéo; d) T p t t c các ma tr n kh ngh ch; e) T p t t c các ma tr n đ i x ng; f) T p t t c các ma tr n có đ nh th c b ng 1. Bài 3.12. Trong R3 ch ng minh r ng không gian sinh b i các vectơ (1, 2, 3), (−1, −1, 2), và (−1, 1, 12) trùng v i không gian con sinh b i các vectơ (0, 1, 5) và (1, 3, 8). Bài 3.13. Trong R4 , cho các vectơ u1 = (1, 1, 2, 4), u2 = (2, −1, −5, 2), u3 = (1, −1, 4, 0) và u4 = (2, 1, 1, 6). Ch ng t các vectơ trên ph thu c tuy n tính. Tìm m t cơ s cho không gian con c a R4 sinh b i các vectơ này. Bài 3.14. Tìm s chi u và m t cơ s c a không gian nghi m c a các h phương trình tuy n tính sau:   6x1 − 3x2 + 4x3 − 3x4 = 0; − 3x5 = 0; 3x1 + 2 x3 a) 9x1 − 3x2 + 6x3 − 3x4 − 3x5 = 0,    x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4x4 + 5 x5 = 0;   2x1 + 3 x2 + 4 x3 + 5x4 + x5 = 0;   3x1 + 4 x2 + 5 x3 + x4 + 2 x5 = 0; b)  x1 + 3 x2 + 5 x3 + 12x4 + 9 x5 = 0;    − 3x4 4x1 + 5 x2 + 6 x3 + 3 x5 = 0,    2x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0; 3x1 − 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0; c) 4x1 − 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0,   −x3  x1 +x5 = 0;  − x4 x2 +x6 = 0;  d) x1 −x2 +x3 − x6 = 0;   −x4 +x5 x1 = 0,  3
 − 2x3  5x1 + 6 x2 + 7 x4 + 4 x5 = 0;  − x3 2x1 + 3 x2 + 4 x4 + 2 x5 = 0;  e) − 3x3 7x1 + 9 x2 + 5 x4 + 6 x5 = 0;   − 3x3 5x1 + 9 x2 + x4 + 6 x5 = 0.  Bài 3.15. Trong không gian vectơ K 4 xét các vectơ sau đây: u1 = (1, 2, 0, 1), u2 = (2, 1, 3, 1), u3 = (7, 8, 9, 5), u4 = (1, 2, 1, 0), u5 = (2, −1, 0, 1), u6 = (−1, 1, 1, 1), u7 = (1, 1, 1, 1). Đ t U = u1 , u2 , u3 , W = u4 , u5 , u6 , u7 . Hãy tìm m t cơ s cho m i không gian con U, W, U + W và U ∩ W. Bài 3.16. Trong K 4 cho các vectơ u = (1, 1, 0, −1), v = (1, 0, 0, −1), w = (1, 0, −1, 0). Đ t U = u, v, w và W = {(x1 , x2 , x3 , x4 )|x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0}. a) Ch ng t r ng W là m t không gian con c a V . b) Tìm m t cơ s cho m i không gian con U, W, U + W, U ∩ W. Bài 3.17. Trong K 4 cho các vectơ u1 = (1, 2, 0, 1), u2 = (1, 1, 1, 0), v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, 3, 0, 1) và U = u1 , u2 , W = v1 , v2 . Tính dim(U + W ), dim(U ∩ W ). Bài 3.18. Trong K 4 cho các vectơ u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (1, −1, 1, −1), u3 = (1, 3, 1, 3) v1 = (1, 2, 0, 2), v2 = (1, 2, 1, 2), v3 = (3, 1, 3, 1), và U = u1 , u2 , u3 , W = v1 , v2 , v3 . Tính dim(U + W ), dim(U ∩ W ). Bài 3.19. Ch ng minh r ng các vectơ u1 = (1, 0, −1), u2 = (1, 2, 1) và u3 = (0, −3, 2) l p thành m t cơ s c a K 3 . Tìm t a đ c a các vectơ c a cơ s chính t c e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) và e3 = (0, 0, 1) trong cơ s (u1 , u2 , u3 ). Bài 3.20. Ch ng minh r ng các vectơ u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (0, 0, 1, 1), u3 = (1, 0, 0, 4) và u4 = (0, 0, 0, 2) l p thành m t cơ s c a K 4 . Tìm t a đ các vectơ c a cơ s chính t c e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) và e4 = (0, 0, 0, 1) trong cơ s (u1 , u2 , u3 , u4 ). Bài 3.21. Cho W là không gian con c a K 4 sinh b i các vectơ u1 = (1, 2, 2, 1), u2 = (0, 2, 0, 1) và u3 = (−2, 0, −4, 3). a) Ch ng t r ng B = (u1 , u2 , u3 ) là m t cơ s c a W . b) Tìm đi u ki n đ x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ W . V i đi u ki n này hãy tìm [x]B . c) Cho v1 = (1, 0, 2, 0), v2 = (0, 2, 0, 1), v3 = (0, 0, 0, 3). Ch ng t r ng B = (v1 , v2 , v3 ) là m t cơ s c a W . d) Xây d ng ma tr n chuy n cơ s t B sang B . 4
Bài 3.22. Trong K 4 , cho các vectơ u1 = (1, 1, −2, 1), u2 = (3, 0, 4, −1), u3 = (−1, 2, 5, 2), v1 = (4, −5, 9, −7), v2 = (3, 1, −4, 4), v3 = (−1, 1, 0, 1). a) Ch ng t r ng B = (u1 , u2 , u3 ) đ c l p tuy n tính. b) Ki m ch ng xem t p h p B = (v1 , v2 , v3 ) có ph i là cơ s c a không gian con W c a K 4 sinh b i các vectơ u1 , u2 , u3 hay không? Bài 3.23. Trong K 3 , cho các vectơ u1 = (2, 1, −1), u2 = (2, −1, 2), u3 = (3, 0, 1), v1 = (−3, 1, 2), v2 = (1, −2, 5), v3 = (2, 4, 1). a) Ki m B = (u1 , u2 , u3 ) và B = (v1 , v2 , v3 ) là các cơ s c a K 3 . b) Tìm [u]B , v, [w]B n u bi t     4 7 u = (1, 2, 3) ∈ K 3 , [v ]B =  5  =  8 . và [w]B 6 9 Bài 3.24. Trong K 4 , cho các vectơ u1 = (1, 1, −1, 0), u2 = (−2, 3, 4, 1), u3 = (−1, 4, 3, 2), v1 = (1, 1, −1, −1), v2 = (2, 7, 0, 3), v3 = (2, 7, 0, 2) và đ t W = {u1 , u2 , u3 } . a) Ki m B = (u1 , u2 , u3 ) là m t cơ s c a W . b) Cho u = (a, b, c, d) ∈ K 4 . Tìm đi u ki n đ u ∈ W và v i đi u ki n đó hãy tìm [x]B . c) Ki m B = (v1 , v2 , v3 ) là m t cơ s c a W và tìm ma tr n chuy n cơ sơ (B → B ). d) Tìm [u]B , v, [w]A n u bi t    1 5 u = (a, b, c, d) ∈ W, [v ]A =  2  và [w]B =  1  . 3 4 5