Bài tập chương 3
Bài 3.1. Cho V= (0,+∞) và R=R. Với α∈Rvà u, v ∈V, ta đặt:
u⊕v=uv và αu=uα.
Chứng minh (V, ⊕,)là không gian vectơ trên R. Tìm cơ sở và số chiều của V.
Bài 3.2. Cho V=R2.Chứng tỏ rằng Vkhông là không gian vectơ trên Rnếu ta
định nghĩa các phép toán (+) và (.)trên Vbởi:
a) (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1y2);
α(x1, y1) = (αx1, αy1),
b) (x1, y1)+(x2, y2) = (3x1+ 3x2, y1+y2);
α(x1, y1) = (3αx1, αy1),
c) (x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2,0);
α(x1, y1) = (αx1,0).
Bài 3.3. Trong các câu sau, xét xem veto ucó là tổ hợp tuyến tính của các vecto
u1, u2, u3hay không? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính của nó (nếu có)?
a) u= (1,3,2), u1= (1,1,1), u2= (2,0,2), u3= (0,1,1).
b) u= (1,4,−3), u1= (2,1,1), u2= (1,−1,1), u3= (1,1,−2).
c) u= (4,1,2), u1= (1,2,3), u2= (2,1,2), u3= (1,−1,−1).
d) u= (1,3,5), u1= (1,2,3), u2= (3,2,1), u3= (2,1,0).
e) u= (4,3,10), u1= (1,2,5), u2= (1,3,7), u3= (−2,3,4).
Bài 3.4. Trong các câu sau, xem xét đa thức fcó là tổ hợp tuyến tính của các đa
thức f1, f2, f3hay không? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính của nó (nếu có).
a) f=x2+ 4x+ 7, f1=x2+ 2x+ 3, f2= 2x2+ 5x+ 8, f3= 3x2+ 8x+ 13
b) f= 4x2+ 9x+ 22, f1= 2x2+ 5x+ 5, f2= 5x2+ 7x+ 10, f3= 2x2+ 4x+ 7
Bài 3.5. Trong các câu sau, xét xem veto ucó là tổ hợp tuyến tính của các vecto
u1, u2, u3hay không? Hãy tìm dạng biểu diễn tuyến tính của nó (nếu có)?
a) u= (10,6,5,3), u1= (1,1,−1,0), u2= (3,1,2,1), u3= (2,1,3,1).
b) u= (1,1,1,0), u1= (1,1,0,1), u2= (1,0,1,1), u3= (0,1,1,1).
1
c) u= (1,3,7,2), u1= (1,2,1,−2), u2= (3,5,1,−6), u3= (1,1,−3,−4).
d) u= (−2,1,3,1), u1= (2,4,3,1), u2= (0,1,−2,3), u3= (1,0,2,−1).
Bài 3.6. Trong không R4.Tìm điều kiện a, b, c, d để vectơ u= (a, b, c, d)là tổ hợp
tuyến tính của
a) u1= (1,−1,2,1), u2= (1,1,1,1), u3= (2,−1,3,1).
b) u1= (−1,3,1,−2), u2= (4,2,1,−3), u3= (−1,1,−2,−4).
Bài 3.7. Cho Vlà một không gian vectơ trên trường Kvà u, v, w ∈V. Chứng minh
rằng {u, v, w}độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {u+v, v +w, w +u}độc lập tuyến
tính.
Bài 3.8. Xét xem các vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
a) (1,1,1) và (0,1,−2);
b) (−1,1,0) và (0,1,2);
c) (1,1,0),(1,1,1) và (0,1,−1);
d) (0,1,1),(1,2,1) và (1,5,3);
e) (1,1,1,1),(1,2,−1,1),(0,1,−2,2)
f) (1,−2,3,−4),(3,3,−5,1) và (3,0,3,−10).
Bài 3.9. Kiểm tra tập nào sau đây là cơ sở của R3
a) u1= (1,−1,1), u2= (1,0,2), u3= (2,1,1).
b) u1= (2,1,1), u2= (1,−1,1), u3= (4,−1,3).
c) u1= (1,2,−1), u2= (0,−1,2), u3= (5,1,0).
Bài 3.10. Trong các tập con Wsau đây của R3thì tập hợp nào là không gian con
của Rn?
a) W={(x1, x2, x3)|x1, x2, x3≥0};
b) W={(x1, x2, x3)|x1+ 2x2= 3x3};
c) W={(x1, x2, x3)|x1+ 3x2= 1};
d) W={(x1, x2, x3)|x2
1=x2};
e) W={(x1, x2, x3)|x1x2= 0};
f) W={(x1, x2, x3)|x1=x2=x3};
2
g) W={(x1, x2, x3)|x1+x2+x3= 3};
h) W={(x1, x2, x3)|x1∈Q}.
Bài 3.11. Cho V=Mn(K)là không gian các ma trận vuông cấp ntrên K. Tập
con nào sau đây là không gian con của V?
a) Tập tất cả các ma trận Acó A11 = 0;
b) Tập tất cả các ma trận tam giác trên;
c) Tập tất cả các ma trận đường chéo;
d) Tập tất cả các ma trận khả nghịch;
e) Tập tất cả các ma trận đối xứng;
f) Tập tất cả các ma trận có định thức bằng 1.
Bài 3.12. Trong R3chứng minh rằng không gian sinh bởi các vectơ (1,2,3),(−1,−1,2),
và (−1,1,12) trùng với không gian con sinh bởi các vectơ (0,1,5) và (1,3,8).
Bài 3.13. Trong R4, cho các vectơ u1= (1,1,2,4), u2= (2,−1,−5,2), u3=
(1,−1,4,0) và u4= (2,1,1,6). Chứng tỏ các vectơ trên phụ thuộc tuyến tính.
Tìm một cơ sở cho không gian con của R4sinh bởi các vectơ này.
Bài 3.14. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm của các hệ phương
trình tuyến tính sau:
a)
6x1−3x2+ 4x3−3x4= 0;
3x1+ 2x3−3x5= 0;
9x1−3x2+ 6x3−3x4−3x5= 0,
b)
x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4+ 5x5= 0;
2x1+ 3x2+ 4x3+ 5x4+x5= 0;
3x1+ 4x2+ 5x3+x4+ 2x5= 0;
x1+ 3x2+ 5x3+ 12x4+ 9x5= 0;
4x1+ 5x2+ 6x3−3x4+ 3x5= 0,
c)
2x1−4x2+ 5x3+ 3x4= 0;
3x1−6x2+ 4x3+ 2x4= 0;
4x1−8x2+ 17x3+ 11x4= 0,
d)
x1−x3+x5= 0;
x2−x4+x6= 0;
x1−x2+x3−x6= 0;
x1−x4+x5= 0,
3
e)
5x1+ 6x2−2x3+ 7x4+ 4x5= 0;
2x1+ 3x2−x3+ 4x4+ 2x5= 0;
7x1+ 9x2−3x3+ 5x4+ 6x5= 0;
5x1+ 9x2−3x3+x4+ 6x5= 0.
Bài 3.15. Trong không gian vectơ K4xét các vectơ sau đây:
u1= (1,2,0,1), u2= (2,1,3,1), u3= (7,8,9,5), u4= (1,2,1,0), u5= (2,−1,0,1),
u6= (−1,1,1,1), u7= (1,1,1,1).
Đặt U=hu1, u2, u3i, W =hu4, u5, u6, u7i.Hãy tìm một cơ sở cho mỗi không gian
con U, W, U +Wvà U∩W.
Bài 3.16. Trong K4cho các vectơ
u= (1,1,0,−1), v = (1,0,0,−1), w = (1,0,−1,0).
Đặt U=hu, v, wivà
W={(x1, x2, x3, x4)|x1+x2−x3+ 2x4= 0}.
a) Chứng tỏ rằng Wlà một không gian con của V.
b) Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con U, W, U +W, U ∩W.
Bài 3.17. Trong K4cho các vectơ u1= (1,2,0,1), u2= (1,1,1,0),v1= (1,0,1,0),
v2= (1,3,0,1) và U=hu1, u2i, W =hv1, v2i.Tính dim(U+W),dim(U∩W).
Bài 3.18. Trong K4cho các vectơ u1= (1,1,1,1), u2= (1,−1,1,−1), u3=
(1,3,1,3) v1= (1,2,0,2), v2= (1,2,1,2), v3= (3,1,3,1),và U=hu1, u2, u3i,
W=hv1, v2, v3i.Tính dim(U+W),dim(U∩W).
Bài 3.19. Chứng minh rằng các vectơ u1= (1,0,−1), u2= (1,2,1) và u3=
(0,−3,2) lập thành một cơ sở của K3. Tìm tọa độ của các vectơ của cơ sở chính tắc
e1= (1,0,0), e2= (0,1,0) và e3= (0,0,1) trong cơ sở (u1, u2, u3).
Bài 3.20. Chứng minh rằng các vectơ u1= (1,1,0,0), u2= (0,0,1,1), u3=
(1,0,0,4) và u4= (0,0,0,2) lập thành một cơ sở của K4. Tìm tọa độ các vectơ của
cơ sở chính tắc e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0) và e4= (0,0,0,1)
trong cơ sở (u1, u2, u3, u4).
Bài 3.21. Cho Wlà không gian con của K4sinh bởi các vectơ u1= (1,2,2,1), u2=
(0,2,0,1) và u3= (−2,0,−4,3).
a) Chứng tỏ rằng B= (u1, u2, u3)là một cơ sở của W.
b) Tìm điều kiện để x= (x1, x2, x3, x4)∈W. Với điều kiện này hãy tìm [x]B.
c) Cho v1= (1,0,2,0), v2= (0,2,0,1), v3= (0,0,0,3).Chứng tỏ rằng B0=
(v1, v2, v3)là một cơ sở của W.
d) Xây dựng ma trận chuyển cơ sở từ Bsang B0.
4
Bài 3.22. Trong K4, cho các vectơ u1= (1,1,−2,1), u2= (3,0,4,−1), u3=
(−1,2,5,2), v1= (4,−5,9,−7), v2= (3,1,−4,4), v3= (−1,1,0,1).
a) Chứng tỏ rằng B= (u1, u2, u3)độc lập tuyến tính.
b) Kiểm chứng xem tập hợp B0= (v1, v2, v3)có phải là cơ sở của không gian con
Wcủa K4sinh bởi các vectơ u1, u2, u3hay không?
Bài 3.23. Trong K3, cho các vectơ u1= (2,1,−1), u2= (2,−1,2), u3= (3,0,1),
v1= (−3,1,2), v2= (1,−2,5), v3= (2,4,1).
a) Kiểm B= (u1, u2, u3)và B0= (v1, v2, v3)là các cơ sở của K3.
b) Tìm [u]B0, v, [w]Bnếu biết
u= (1,2,3) ∈K3,[v]B=
4
5
6
và [w]B0=
7
8
9
.
Bài 3.24. Trong K4, cho các vectơ
u1= (1,1,−1,0), u2= (−2,3,4,1), u3= (−1,4,3,2),
v1= (1,1,−1,−1), v2= (2,7,0,3), v3= (2,7,0,2)
và đặt W=h{u1, u2, u3}i.
a) Kiểm B= (u1, u2, u3)là một cơ sở của W.
b) Cho u= (a, b, c, d)∈K4. Tìm điều kiện để u∈Wvà với điều kiện đó hãy
tìm [x]B.
c) Kiểm B0= (v1, v2, v3)là một cơ sở của Wvà tìm ma trận chuyển cơ sơ
(B → B0).
d) Tìm [u]B, v, [w]Anếu biết
u= (a, b, c, d)∈W, [v]A=
1
2
3
và [w]B=
5
1
4
.
5