Bài tập về phương trình vi phân

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

174
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong hoạt động khoa học kỹ thuật thường gặp nhiều vấn đề có liên quan đến việc tính tổng vô hạn các số hạng (là số hoặc hàm số), hoặc tìm nghiệm của phương trình hàm trong đó có chứa cả đạo hàm của hàm cần tìm. Giáo trình nay đề cập tới hai vấn đề và chia ra làm hai chương

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập về phương trình vi phân

www.VNMATH.com 1 BAI ˆ. P PHU.O.NG TR`INH VI PHAN ` TA ˆ . . 1) ' i phu o ng tr Gia nh: 2xy 0 y” = y 02 − 1 HD gia’i: - a D .t y0 = p : 2xpp0 = p2 − 1 . 2 2pdp dx 2 √ o i x(p − 1) 6= 0 ta co V : = ⇔ p − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1 p2 − 1 x dy √ 2 3 p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2 dx 3C1 . . √ 2) ' i phu o ng tr Gia nh: y.y” = y 0 dp . . √ dp HD gia’i: - a D .t y 0 = p ⇒ y” = p m theo y). Phu o ng tr (ha '. tha nh tro nh: yp =p dy dy . . . . . dy √ dy √ oi V p 6= 0 ta d u o . c phu o ng tr nh: dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ = 2 y + C1 ⇒ y dx dy dx = √ 2 y + C1 . √ C1 √ u d T o nghi^ e o'ng qua . m t^ t: x= y− ln |2 y + C1 | + C2 2 Ngoa i ra y = c: ng cu h a ~ ng la nghi^ e . m. . . 3) ' i phu o ng tr Gia nh: a(xy 0 + 2y) = xyy 0 HD gia’i: a(xy 0 + 2y) = xyy 0 ⇒ x(a − y)y 0 = −2ay . . . . . . . a−y 2a u N^ e y 6= 0, ta co phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v oi dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C y x Ngoa i ra y=0 ~ ng la cu nghi^ e . m. . . 4) ' i phu o ng tr Gia nh: y” = y 0 ey dp . . dp HD gia’i: - a D .t y 0 = p ⇒ y” = p thay va o phu o ng tr nh: p = pey dy dy . dp dy dy o ip V 6= 0 : = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx dy dx e + C1 . R dy 1 R ey + C1 − ey 1 R ey dy y V oi C1 6= 0 ta co : = dy = (y − ) = − ey + C1 C1 ey + 1 C1 ey + C1 C1 1 ln(ey + C1 ) C1  dx −e−y nˆe´u C1 = 0 . R nhu v^a . y: = 1 ey + C1  (y − ln |ey + C1 |) nˆe´u C1 6= 0. C1 Ngoa ng la i ra y = C : h a m^o . t nghi^ e .m . . . 5) ' i phu o ng tr Gia nh: xy 0 = y(1 + ln y − ln x) v oi y(1) = e
2 www.VNMATH.com - u.a phu.o.ng tr y y . . HD gia’i: D nh v^ e: y0 = (1 + ln ), da . t y = zx d 0 . c: xz = z ln z u o x x dz dx y • z ln z 6= 0 ⇒ = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx z ln z x x x y(1) = e → C = 1. V^ . y y = xe a . . 6) ' i phu o ng tr Gia nh: y”(1 + y) = y 02 + y 0 dz . . dz dy HD gia’i: - a D .t y 0 = z(y) ⇒ z 0 = z thay va o phu o ng tr nh: = dy z+1 y+1 dy ⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ = dx (∗) C1 y + C1 − 1 • C1 = 0 ⇒ (∗) cho y =C −x 1 • C1 6= 0 ⇒ (∗) cho ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 Ngoa i ra y=C la nghi^ e . m. 1 To m la . i nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y = C, y = C − x; ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 . . 2 7) ' i phu o ng tr Gia nh: y0 = y2 − x2 2 0 2 HD gia’i: Bi^ n d e ^'i (3) v^ o . ng: x y = (xy) − 2 (∗) e da - a 0 0 D . t z = xy ⇒ z = y + xy thay va o (∗) suy ra: r 0 2 dz dx 3 z−1 xz = z + z − 2 ⇔ 2 = ⇔ = Cx z +z−2 x z+x xy − 1 V^ a . y TPTQ: = Cx3 . xy + 2 . . 8) ' i phu o ng tr Gia nh: yy” + y 02 = 1 dz HD gia’i: - a D .t y 0 = z(y) ⇒ y” = z. dy . . z dy C1 n d Bi^ e o^'i phu o ng tr nh v^ e: 2 dz = ⇔ z2 = 1 + 2 r 1−z y y dy C1 R dy ⇒ =± 1+ 2 ⇔± r = dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2 dx y C1 1+ 2 y 2 Nghi^ e . m t^ o'ng qua t: y + C 1 = (x + C2 )2 . . √ 9) ' i phu o ng tr Gia nh: 2x(1 + x)y 0 − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0 3x + 4 1 HD gia’i: y 0 − .y = − √ ; x 6= 0, x 6= −1 2x(x + 1) x+1 Nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a phu.o.ng tr t cu nh thu^ t: an nh^ a R dy R 3x + 4 R 2 1 Cx2 = dx = ( − )dx ⇔ y = √ y 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1
www.VNMATH.com 3 1 1 n thi^ Bi^ e ng s^ en h a : o C0 = − 2 ⇒ C = − + ε. x x x2 1 V^ a . y nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y=√ ( + ε) x+1 x ( . . y(0) = 0 10) ' i phu o ng tr Gia nh: y” = e2y ' thoa y 0 (0) = 0 dz . . dz z2 e2y HD gia’i: - a D .t z = y 0 → y” = z. phu o ng tr '. tha nh tro nh z. = e2y ⇔ = +ε dy dy 2 2 1 . y 0 (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^ 2 .y z = e a 2y − 1. Tu do: 2 dy √ 2y √ Z dy z= = e −1⇒ √ = x + ε. d¯ˆo’i biˆe´n t = e2y − 1 dx e2y − 1 √ arctg e2y − 1 = x + ε 1 y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^ a . y nghi^ e . m ri^eng thoa ' d i^ eu ki^e .n d ^ e bai: y = ln(tg 2 x + 1). 2 . . 11) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: xy 0 + 2y = xyy 0 ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y(−1) = 1. HD gia’i: t phu.o.ng tr Vi^ e nh la . i: x(1 − y)y 0 = −2y ; do y(−1) = 1 n^ en y 6≡ 0. - u.a v^ D e . . 1−y dx phu o ng tr nh ta n: ch bi^ e dy = −2 y x . . 1 t ch ph^ o'ng qua an t^ t: x2 ye−y = C . Thay d i^ eu ki^ e . n va o ta d u o .c C= . V^ a . y t ch ph^ an e ri^ eng c^ an t m la : x2 ye1−y = 1. . . p 12) B a ng ca ch d a .t y = ux, ~ y gia ha ' i phu o ng tr nh: xdy − ydx − x2 − y 2 dx = 0. (x > 0) - t y = ux; du = udx + xdu thay va . . ' n u.o. √ HD gia’i: Da . o phu o ng tr . nh va . . gia c x: xdu − 1 − u2 dx = 0. Ro ~ ra ng u − ±1 la nghi^ e . m. khi u ≡ 6 ±1 d u a phu o ng tr nh v^ e ta n: ch bi^ e du dx = . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0). 1 − u2 x y V^a . y NTQ cu ' a phu.o.ng tr nh: y = ±x; arcsin = ln x + C . x . . p 13) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: xy 0 = x2 − y 2 + y ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y(1) = 0. HD gia’i: r 0 p 0 y2 y xy = x2 − y 2 + y ⇐⇒ y = 1− + x2 x y d a .t u= hay y = ux suy ray 0 = xu0 + u x . . √ du dx phu o ng tr nh tha nh: xu0 = 1 − u2 ⇐⇒ √ = 1 − u2 x
4 www.VNMATH.com ⇐⇒ arcsin u = ln Cx ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e y(1) = 0 C = 1. y = ±x. .n d a ^u khi V^ a . y nghi^ e .m . . 14) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: y 0 sin x = y ln y π ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y( ) = e. 2 HD gia’i: dy dx y 0 sin x = y ln y ⇐⇒ = y ln y sin x x x C tan ⇐⇒ ln y = C tan ⇐⇒ y = e 2 2 x π tan thoa ~n d ' ma i^ eu ki^ e .n d ^u y( ) = e khi C = 1. V^ a .y y = e a 2. 2 . . 15) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: (x + y + 1)dx + (2x + 2y − 1)dy = 0 ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y(0) = 1. HD gia’i: - a z =⇒ dy = dz − dx D .t x + y = . . phu o ng tr nh thanh: (2 − z)dx + (2z − 1)dz = 0; ' i ra gia x − 2z − 3 ln |z − 2| = C . V^ a .y x + 2y + 3 ln |x + y − 2| = C ' ma thoa ~n d i^ eu ki^ e ^u y(0) = 1 khi C = 2. .n d a 1 16) B a ng ca ch d a .t y= r^ oi d . t z = ux,ha y giai a ~ ' . . z phu o ng tr nh: (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 1 . . . . HD gia’i: - a D .t y = u o d . c: (z 2 − x2 )dz + 2zxdx = 0; r^ oi d a .t z = ux, d u o .c z (u2 − 1)(udx + xdu) + 2udx = 0 dx u2 − 1 ⇐⇒ + 3 du = 0 x u +u u2 + 1 x(u2 + 1) ⇐⇒ ln |x| + ln = ln C ⇐⇒ =C |u| u 1 . . thay u= d u o . c nghi^ e .m 1 + x2 y 2 = Cy . xy . . 17) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a phu o ng tr t cu nh sau: y 0 − xy = x + x3 HD gia’i: - a . . D ^y la phu o ng tr n t nh tuy^ e p 1 va nh c^ a co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la x2 x2 y = Ce 2 . +1 2 .
www.VNMATH.com 5 . . 18) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: y0 − y = y2. - a . . HD gia’i: D phu o ng tr ^y la nh ta n va ch bi^ e co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la y ln | | = x + C. y+1 . . y 19) T m nghi^ e ' . m cua ca c phu o ng tr nh sau: y0 + = ex x HD gia’i: - a . . C x ex D ^y la phu o ng tr n t nh tuy^ e p 1 va nh c^ a co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la y = +e − . x x . . 20) T m nghi^ e ' . m cua ca c phu o ng tr nh sau: y0 − y = y3. - a . . HD gia’i: D ^y la phu o ng tr nh ta n va ch bi^ e co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la C + x = ln |y| − arctgy. . . y y . π 21) ' i phu o ng tr Gia nh: y0 = + sin , oi v y(1) = x x 2 . . '. tha HD gia’i: y = zx ⇒ y 0 = z 0 x + z , phu o ng tr nh tro nh: dz dx z z z 0 x = sin x ⇔ = ⇔ ln |tg | = ln |x| + ln C ⇔ tg = Cx sin z x 2 2 y π V^ a . y nghi^ e o'ng qua . m t^ t: tg = Cx; y(1) = ⇒ C = 1. 2x 2 y V^ a . y: tg = x. 2x . . y y 22) ' i phu o ng tr Gia nh: (x − y cos )dx + x cos dy = 0 x x y HD gia’i: - a D .t = z ⇒ y 0 = z 0 x + z phu.o.ng trnh du.o..c du.a v^ e da . ng: x Z 0 dx x cos z.z + 1 = 0 ⇔ cos zdz = − + C ⇔ sin z = − ln |x| + C x y V^ a . y TPTQ: sin = − ln |x| + C x . . 23) ' i phu o ng tr Gia nh: (y 02 − 1)x2 y 2 + y 0 (x4 − y 4 ) = 0 . . p nhu.ng gia . HD gia’i: La phu o ng tr nh d ' ng c^ a a ' i kha ph u c ta . p.
6 www.VNMATH.com . . . y2 x2 Xem phu o ng tr nh b^ a . c hai d oi v ^ oi y 0 : 4 = (x4 + y 4 )2 ⇒ y10 = 2 ; y20 = − 2 . x y . x 3 3 u d T o co hai ho . nghi^ e o'ng . m t^ t: y = qua ; x + y = C2 C1 x + 1 . . 24) ' i phu o ng tr Gia nh: y 2 + x2 y 0 = xyy 0 y2 HD gia’i: t phu.o.ng tr Vi^ e nh la .i y = 0 x2 d a . . phu o ng tr ^y la nh thu^ t, gia an nh^ a 'i y x −1 y . . u o ra d . c nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y 2 = Cxe x . . 25) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0 ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y(1) = 0. ( - a x =u−1 . . . . HD gia’i: D .t thay va o phu o ng tr nh d u o . c: y = v + 3. . . (u + v)du + (u − v)dv = 0, d a phu o ng tr ^y la nh thu^ t co an nh^ a t ch ph^ o'ng qua an t^ t la : u + 2uv − v 2 = C . 2 V^ a . y t ch ph^ o'ng qua an t^ ' a phu.o.ng tr t cu nh ban d a ^u la : x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C . . 26) ' i phu o ng tr Gia nh (x + y − 2)dx + (x − y + 4)dy = 0. ( - a x =X −1 . . HD gia’i: D .t , phu o ng tr nh tha nh: y =Y +3 (X + Y )dX + (X − Y )dY = 0 . . . dX 1−u d a .t Y = uX d u a phu o ng tr nh v^ e + du = 0. X 1 + 2u − u2 ' i ra Gia X 2 (1 + 2u − u2 ) = C hay x2 + 2xy − y 2 − 4x + 8y = C . . . 2xy 27) T m t ch ph^ o'ng qua an t^ ' a phu o ng tr t cu nh sau: b) y 0 = . x2− y2 - a . . y . . HD gia’i: D ^y la phu o ng tr nh d ' ng c^ a p, ta d a a .t z= . Khi d o phu o ng tr nh tr^ en z z(1 + z 2 ) 1 2z dx '. tha tro nh xz 0 = . Hay ( − )dz = . Suy ra nghi^ e .m ' a phu.o.ng tr cu nh 1−z 2 z 1+z 2 x z na y la = Cx, C 6= 0. 1 + z2 V^ a . y nghi^e . m cu' a phu.o.ng tr nh d~ a cho la 2 2 x + y = C1 y, C1 6= 0. . . 2x + y − 1 28) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: y0 = . 4x + 2y + 5 - a . . . HD gia’i: D .t u = 2x + y phu o ng tr nh d u a v^ e da . ng du 5u + 9 = . dx 2u + 5
www.VNMATH.com 7 Gia' i phu.o.ng trnh nay ta d . . u o . m 10u + 7 ln |5u + 9| = . c nghi^ e 25x + C. . . ~ V^ a . y nghi^ e . m cu' a phu o ng tr nh d 10y + 7 ln |10x + 5y a cho la = 9| − 5x = C. . . 29) T m t ch ph^ o'ng qua an t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: (x − y + 4)dy + (y + x − 2)dx = 0 - a . . . . . HD gia’i: D phu o ng tr ^y la nh d u a v^ e da . ng d ' ng c^ a p d a u o . c b a ng ca ch d a .t x = . . dv u+v u + 1, y = v − 3, ta d u o .c = . ' i phu.o.ng tr Gia nh ta co nghi^ e ' a phu.o.ng . m cu du −u + v tr nh la v 2 − 2uv − v 2 = C. V^ a . y nghi^ e ' a phu.o.ng tr . m cu ~ nh d a cho la y 2 − x2 − 2xy − 8y + 4x = C1 . . . 30) a) T m mi^ en ma trong d o nghi^ e ' . m cua ba i toa ' a phu o ng tr n Cauchy cu √ nh sau d ^ ay t^on ta. i va duy nh^t a y0 = x − y. . . b) T m t ch ph^ o'ng qua an t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: (x2 − y 2 )dy − 2xydx = 0. HD gia’i: a) Ba i toa n Cauchy co duy nh^ t nghi^ a e . m trong mi^ en 2 . D = {(x, y) ∈ R |x − y ≥ δ} v o i δ > 0 tu y y. - u.a phu.o.ng tr dy xy - a . . b) D nh v^ e da = 2 ' ng c^ p, ta d . ng . D ^y la phu o ng tr nh d a a a .t dx x − y2 y . . z= . Khi d o phu o ng tr nh tr^ '. tha en tro nh x 0 z(1 + z 2 ) xz = . 1 − z2 1 2z dx Hay ( − 2 )dz = . z 1+z x z Suy ra nghi^ e ' a phu.o.ng tr . m cu nh na y la = Cx, C 6= 0. 1 + z2 V^ a . y nghi^ e ' a phu.o.ng tr . m cu ~ nh d a cho la 2 2 x + y = C1 y, C1 6= 0. . . 2x 2x 2 31) a) Ch u ng minh r a ng h^ e. ca c vecto {e , xe , x } la h^ e . d ^o . c l^ a n t . p tuy^ e nh. . . b) T m t ch ph^ o'ng qua an t^ t cu' a phu o ng tr nh sau: (x − y)dy − (x + y)dx = 0; HD gia’i: a) Du ng d .inh ngh e'm tra h^ ~a ki^ e . d o^ . c l^ a n t . p tuy^ e nh . - u.a phu.o.ng tr x+y . . b) D nh v^ e da . ng y0 = . - a D ^y la phu o ng tr nh d ' ng c^ a p, ta d a a .t x−y y . . z= . Khi d o phu o ng tr nh tr^ '. tha en tro nh x 1 + z2 xz 0 = . 1−z ' i phu.o.ng tr Gia nh na y ta d . . .c u o p y x2 + y 2 = Cearctg x . . . 2 2 32) a) Chu ng minh r a ng h^e . ca c vecto {cos 2x, sin 2x, 2} la h^ e . phu . thu^ o n t . c tuy^ e nh. . T nh di nh th u c Wronski cu' a chu ng. . . . b) T m t ch ph^ o'ng qua an t^ t cu' a phu o ng tr nh sau: (x − 2y + 1)dy − (x + y)dx = 0.
8 www.VNMATH.com HD gia’i: 2 2 a) H^ e . nay phu. thu^ o n t . c tuy^ e nh v 2 cos 2x + 2 sin 2x − 2 = 0. . . . . . b) Phu o ng tr nh nay co e' d th^ u a v^ e da. ng d a' ng c^ p, ta d a u o .c x+y y0 = . x − 2y + 1 1 1 . . - a D .t u=x− , v =y+ , khi d o phu o ng tr nh tr^ '. tha en tro nh 3 3 u+v v0 = . u − 2v √ √1 arctg( √ 2u ' i phu.o.ng tr . . ) Gia nh na y ta d u o .c u2 + 2v 2 = Ce √ 3x−1 2 v . 1 √ arctg( 2 ) p Hay (3x − 1)2 + 2(3y + 1)2 = C1 e 2 3y+1 . . . 33) ' i phu o ng tr Gia nh: y 2 + x2 y 0 = xyy 0 . . HD gia’i: Phu o ng tr nh thu^ t: d an nh^ a a .t y = zx → y 0 = z 0 x + z . . z−1 dx Phu o ng tr '. tha nh tro nh dz = → z − ln |z| = ln |x| + C z x y y − ln | | = ln |x| + C x x . . 34) ' i phu o ng tr Gia nh y 2 + x2 y 0 = xyy 0 . y2 HD gia’i: t phu.o.ng tr Vi^ e nh la .i y = 0 x2 d a . . phu o ng tr ^y la nh thu^ t, gia an nh^ a 'i y x −1 y . . ra d u o . c nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y 2 = Cxe x . . 35) ' i phu o ng tr Gia nh: y” cos y + (y 0 )2 sin y = y 0 HD gia’i: y = C : ng la h a m^ o . t nghi^ e . m. dp y 6= C (h a - a ng). D .t y 0 = p ⇒ y” = p (ha m theo y) dy dp . . thay va o (2): cos y + p sin y = 1: phu o ng tr n t nh tuy^ e nh. dy . . Phu o ng tr nh thu^ an nh^at co nghi^ e o'ng qua . m t^ t: p = C cos y. . . bi^ e n thi^ en h a ng s^ o d . c C = tgy + C1 . u o . dy dy t u d o p= = sin y + C1 cos y ⇔ = dx dx sin y r + C1 cos y y 1 1 tg + 1 + 2 − 1
2 C1 C1
t ch ph^ an d i d ^n: p e ln
= x + C2
r C12 + 1 y 1 1 −tg + 1 + 2 + 2 C1 C1 . . 1 36) ' i phu o ng tr Gia nh: y0 + =0 2x − y 2 1 . . HD gia’i: Coi x = x(y) la ha 'a m cu y ta co : y0 = thay va o phu o ng tr nh: x0
www.VNMATH.com 9 1 1 . . 0 + = 0 ⇔ x0 + 2x = y 2 : phu o ng tr n t nh tuy^ e nh. x 2x − y 2 Nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a phu.o.ng tr t cu nh thu^ t: an nh^ a x = Ce−2y 1 1 1 n thi^ Bi^ e en ha : C 0 (y) = y 2 e2y ⇒ C(y) = y 2 e2y − ye2y + e2y + C ng s^ o 2 2 4 . . −2y 1 1 1 V^ a . y nghi^ e o'ng qua . m t^ t cu nh: x = Ce ' a phu o ng tr + y2 − y + 2 2 4 . . 37) ' i phu o ng tr Gia nh: xy” = y 0 + x2 HD gia’i: - a D .t y 0 = p, '. tha (1) tro nh: xp0 − p = x2 n t tuy^ e nh Nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a phu.o.ng tr t cu nh thu^ t: an nh^ a p = Cx n thi^ Bi^ e en h ng s^ a → o C(x) = x + C1 dy x3 x2 Suy ra: = x(x + C1 ) →y= + C1 . + C2 dx 3 2 . . 38) ' i phu o ng tr Gia nh: y 02 + yy” = yy 0 . . . . . . . dp HD gia’i: - a D .t p = y 0 (p 6= 0), phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v o i: p2 + yp = yp dy dp . . . dp p ⇔p+y = y, xe t y 6= 0 u a phu o ng tr d nh v^ e: + =1 n t (tuy^ e nh) dy dy y C ' a phu.o.ng tr NTQ cu nh thu^ t: an nh^ a p= , n thi^ bi^ e ng s^ en h a o y y2 ⇒ C(y) = + C1 2 . y 2 + 2C1 dy y 2 + 2C1 2ydy Nhu v^ a . y: p= ⇒ = ⇒ 2 = dx 2y dx 2y y + 2C1 ⇒ y 2 = A1 ex + A2 . 0 0 0 0 x x 2 x Chu y : V^ e i (yy ) = yy ⇔ yy = C1 e ⇔ ydy = C1 e dx ⇔ y = 2C1 e + C2 tra . . . 39) ' i phu o ng tr Gia nh: yey = y 0 (y 3 + 2xey ) v oi y(0) = −1 1 . . 2 HD gia’i: yx0 = n d bi^ e o^'i phu o ng tr nh v^ e: x0 − x = y 2 e−y x0 y y Nghi^ e o'ng qua . m t^ t: x = y 2 (C − e−y ) y(0) = −1 ⇒ C = e. 2 −y V^. y x = y (e − e ) a . . 40) ' i phu o ng tr Gia nh: xy” = y 0 + x . . 1 HD gia’i: - a D .t y 0 = p; phu o ng tr '. tha nh tro nh: p0 − p = 1 x Nghi^ e o'ng qua . m t^ t: p = Cx n thi^ bi^ e ng en h a o : C = ln |x| + C1 s^
10 www.VNMATH.com Z dy ⇒p= = (ln |x| + C1 )x ⇒ y = (ln |x| + C1 )xdx + C2 dx x2 x2 = C1 x2 + ln |x| − + C2 2 4 . . 41) ' i phu o ng tr Gia nh: y 0 + xy = x3 x2 HD gia’i: Nghi^e o'ng qua . n t^ ' a phu.o.ng tr t cu nh thu^ t an nh^ a y = Ce− 2 x2 n thi^ bi^ e ng s^ en h a : C(x) = (x2 − 2)e− 2 + ε o x2 V^ a . y nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y = εe− 2 + x2 − 2. . . 42) ' i phu o ng tr Gia nh: (x2 − y)dx + xdy = 0 . . 0 . . HD gia’i: Phu o ng tr nh vi^ e 2 . i: xy − y = −x , phu o ng tr t la nh thu^ t: an nh^ a xy 0 − y = 0 co nghi^e o'ng qua . m t^ t: y = Cx bi^ n thi^ e en h ng s^ a suy ra C = −x + ε o ' 2 V^ a . y nghi^e . m t^ o ng qua t : y = −x + εx . . 2 3 . 43) ' i phu o ng tr Gia nh: y0 − y = 2 v oi y(1) = 1 x x . . 3 1 HD gia’i: Phu o ng tr n t nh tuy^ e nh: y = Cx2 ; C 0 = 4 ⇒C =− 3 +ε x x 1 y = εx2 − ; y(1) = 1 ⇒ ε = 2 x 1 V^ a . y nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y = 2x2 − x . . 44) ' i phu o ng tr Gia nh: (x + 1)(y 0 + y 2 ) = −y . . 1 HD gia’i: Xe t y 6= 0, n d bi^ e o^'i phu o ng tr nh v^ e da . ng y0 + .y = −y 2 x+1 1 z0 . . . 1 - a D .t = z ⇒ y 0 = − 2 = −y 2 z 0 u a phu o ng d tr nh v^ 0 e z − .z = 1. y z x+1 Nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a phu.o.ng tr t cu nh thu^ an nh^ t: z = C1 (x + 1) bi^ a n thi^ e en ng s^ h a o C1 = ln |x + 1| + ε. V^ a . y nghi^. m: z = (x + 1)(ln |x + 1| + ε) e i ra y = 0 cu ngoa ~ ng la nghi^ e . m. 1 V^ a . y nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y= va y=0 nghi^ e . m k di .. (x + 1)(ln |x + 1| + ε) . . 1 45) ' i phu o ng tr Gia nh: 2xy 0 + y = 1−x - u.a phu.o.ng tr 1 1 . . HD gia’i: D nh v^ e da . ng y0 + y = phu o ng tr n nh tuy^ e 2x 2x(1 − x) t p 1 nh c^ a
www.VNMATH.com 11 C Nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y=√ , n thi^ bi^ e ng s^ en h a : o x √ √ 0 x 1 x+1 C (x) = ⇒ C = ln | √ |+ε 2x(1 − x) 2 x−1 √ 1 1 x+1 V^ a . y nghi^ e o'ng . m t^ t: y = qua √ ln | √ |+ε x 2 x−1 . . 46) ' i phu o ng tr Gia nh: xy 0 − y = x2 sin x y . . HD gia’i: y 0 − = x sin x, phu o ng tr n t nh tuy^ e nh. NTQ: y = Cx n thi^ bi^ e ng en h a x : s^ o Nghi^ e o'ng qua . m t^ t: y = (C − cos x)x . . 47) ' i phu o ng tr Gia nh: y 0 cos2 x + y = tgx ' thoa y(0) = 0 . . HD gia’i: Phu o ng tr n t nh tuy^ e nh → NTQ y = Ce−tgx ; y = tgx − 1 (m^ o . t nghi^ e .m ri^ eng) ⇒ NTQ: y = Ce−tgx + tgx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1. V^ a . y nghi^ e .m ri^ eng c^ an t m: y = tgx − 1 + e−tgx . . . √ 48) ' i phu o ng tr Gia nh: y 0 1 − x2 + y = arcsin x ' thoa y(0) = 0 HD gia’i: Nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a phu.o.ng tr t cu n t nh tuy^ e nh thu^ t: an nh^ a y = Ce−arcsinx ~ D^ y nghi^ e th^ a e y = arcsinx − 1 . m ri^ eng: −arcsinx ⇒ NTQ: y = Ce + arcsinx − 1 y(0) = 0 ⇒ C = 1 ⇒ nghi^ e . m ri^ eng c^ an t m: y = e−arcsinx + arcsinx − 1 . . 1 49) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: y0 = 2x − y 2 ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y(1) = 0. 1 . . HD gia’i: Xem x la ^'n ha a m, thay y0 = , phu o ng tr nh tha nh x0 1 1 0 = 2 ⇐⇒ x0 − 2x = −y 2 x 2x − y - a . . ' a phu.o.ng tr D phu o ng tr ^y la nh tuy^n t e p m^ nh c^ a o . t, nghi^ e o'ng qua . m t^ t cu n nh tuy^ e . . t tu o ng u. −2y n thi^ d . . t nh thu^ an nh^a x = Ce ng la . Bi^ e en ha ng s^ o u o. c NTQ: y2 y 1 x = Ce−2y + − + 2 2 4 3 thoa' ma~n d i^ eu ki^e ^u y(1) = 0 khi C = .n d a . 4 3 −2y y2 y 1 V^a ~n d ' a ma ^u: x = e + − + . . y nghi^ e . m tho i^ eu ki^ e .n d a 4 2 2 4
12 www.VNMATH.com . . z . . 50) ' i phu o ng tr Gia nh sau d ^ay, bi^ e t r a ng sau khi d a .t y= , ta nh^a .n du o .c x2 . . ∗ 1 x m^ o . t phu o ng tr nh vi ph^ p hai co an c^ a m^ o . t nghi^ e .m eng y = ri^ e : 2 x2 y 00 + 4xy 0 + (x2 + 2)y = ex . z 0 x − 2z 00 z 00 x2 − 4z 0 x + 6z . . HD gia’i: - a D .t y = zx2 =⇒ y 0 = ;y = . Phu o ng tr nh tha nh x3 x x 4 e : z 00 + z = ex , co m^ o . t nghi^ e .m ri^ eng la ∗ y = , NTQ cu ' a phu.o.ng tr nh thu^ an t: nh^ a 2 z = C1 cos x + C2 sin x. V^ a ' a phu.o.ng tr . y NTQ cu nh ban d a ^u la : cos x sin x ex y = C1 2 + C2 2 + 2 x x 2x . . 51) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: yey = y 0 (y 3 + 2xey ) ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y(0) = −1. 1 . . 2 HD gia’i: Xem x la ^'n ha a m, thay y0 = , phu o ng tr nh tha nh x0 − x = y 2 e−y . x0 y C ' a phu.o.ng tr NTQ cu n t nh tuy^ e nh thu^ t tu.o.ng u an nh^ a . ng la x= ; n thi^ bi^ e ng en h a y . . . C 1 d s^ o u o .c C(y) = −e−y + C . Nhu v^ a . y NTQ la x= − y. Thay d i^ eu ki^ e .n d ^ au xa c d .inh y ye . . 1 . u o d .c C= . u d T o KL. e . . 52) T m nghi^ e ' . m cua phu o ng tr nh y 0 − y = cos x − sin x. 'a d tho i^ eu ki^ e .n y bi . ch a .n khi x → ∞ HD gia’i: ' i phu.o.ng tr Gia n t nh tuy^ e nh ra y = Cex + sin x 'a d tho i^ eu ki^ e .n y bi . ch a . n khi x→∞ khi C=0 . . 53) T m nghi^ e . m ri^ ' a phu o ng tr eng cu nh: y 0 + sin y + x cos y + x = 0 π ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e .n d ^au y(0) = . 2 HD gia’i: y y y y 0 + sin y + x cos y + x = 0 ⇐⇒ y 0 + 2 sin cos + x.2 cos2 = 0 2 2 2 y0 y ⇐⇒ y + tan + x = 0 2 cos2 2 2 y y0 . . . . d a .t z = tan =⇒ z 0 = y , phu o ng trnh thanh phu o ng trnh tuy^n t e nh 2 2 cos2 2 z 0 + z = −x. 'i Gia ra: z = 1 − x + Ce −x π ~n d ' ma thoa i^ eu ki^ e ^u y(0) = khi C = 0. V^ eng y = 2 arctan(1 − x). .n d a a . y nghi^ e . m ri^ 2
www.VNMATH.com 13 . . x 54) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: y 0 − x tan y = cos y . . '. tha HD gia’i: - a D .t z = sin y, khi d o phu o ng tr ~ nh d a cho tro nh z 0 − xz = x. - a D ^y la x2 . . phu o ng tr nh tuy^n t e nh c^ap 1 va co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la z = Ce − 1. 2 x2 . . V^ a . y nghi^ e ' a phu o ng tr . m cu ~ nh d sin y = z = Ce 2 a cho la −1 . . 55) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: y 0 − xy = x HD gia’i: . . 1 2 - a D phu o ng tr ^y la n t nh tuy^ e p 1 va nh c^ a co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la y = Ce 2 x − 1. . . y √ 56) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: y0 + = x y. x - a . . HD gia’i: D phu o ng tr ^y la nh Bernoulli va co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la √ C 1 y = √ + x2 . x 5 . . y 57) T m nghi^ e ' c phu o ng tr . m cua ca nh sau: y0 − = x3 x HD gia’i: - a . . D ^y la phu o ng tr n t nh tuy^ e p 1 va nh c^ a co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la 1 y = Cx + x4 . 3 . . 58) T m nghi^ e ' . m cua ca c phu o ng tr nh sau: y0 − y = y2. HD gia’i: - a . . D phu o ng tr ^y la nh Bernoulli va co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la 1 y2 = . Ce−2x −1 . . y 59) T m nghi^ e ' . m cua ca c phu o ng tr nh sau: y0 + = sin x x HD gia’i: - a . . D ^y la phu o ng tr n t nh tuy^ e p 1 va nh c^ a co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la C sin x y= + − cos x. x x
14 www.VNMATH.com . . √ 60) T m nghi^ e ' . m cua ca c phu o ng tr nh sau: y 0 − y = x y. HD gia’i: - a . . D ^y la phu o ng tr nh Bernoulli va co nghi^ e o'ng qua . m t^ t la √ 1 y = Ce 2 x − x − 2. . . 2 61) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: y 0 + 2xy = xe−x HD gia’i: - a . . n t p 1. D ^y la phu o ng tr nh vi ph^an tuy^ e nh c^ a x2 −x2 Nghi^e o'ng qua . m t^ y = (C + t la )e . 2 . . y √ 62) T m nghi^ e o'ng qua . m t^ ' a ca t cu c phu o ng tr nh sau: y0 − 4 = x y. x - a . . HD gia’i: D ^y la phu o ng tr nh Bernoulli va co nghi^ e . m la √ 1 y= ln x + Cx2 . 2 . . 63) a) T m mi^ en ma trong d o nghi^ e ' . m cua ba i toa ' a phu o ng tr n Cauchy cu nh sau d ^ ay t^ on ta . i va t duy nh^ a y 0 = y + 3x.  1 y” − y 0 = x  b) T m nghi^ e ' . m cua ba i toa n Cauchy sau d ^ay x y(x = 1) = 1 va` y 0 (x = 1) = 2. HD gia’i: - a . . n t p 1 tho 'a d t a) D ^y la phu o ng tr nh tuy^e nh c^ a .inh ly d i^ eu ki^ e . n t^ on ta . i duy nh^ a 2 nghi^ e . m tr^ en R . y0 b) Gia ' i phu.o.ng tr nh y” − = x, ta du.o..c nghi^ e . m t^o'ng qua t x x2 y = C1 + C2 x + . 2 V^ a . y nghi^ e ' a ba . m cu i toa n Cauchy la 1 x2 y =− +x+ . 2 2 . . 64) T ' . m cua phu o ng tr m nghi^ e nh sau: y 0 + ytgx = cos x HD gia’i: - a . . n t p 1. D ^y la phu o ng tr nh vi ph^ an tuy^ e nh c^ a Nghi^ e o'ng qua . m t^ t la : y = (C + x) cos x.