Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:212

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3)" tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Tích phân hàm nhiều biến; Lý thuyết chuỗi; Phương trình vi phân; Khái niệm về phương trình vi phân đạo hàm riêng. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 3): Phần 2

Chu.o.ng 12 T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n `eu biˆ 12.1 T´ıch phˆ o.p . . . . . . . . . . . . . . . . 118 an 2-l´ 12.1.1 Tru.`o.ng ho..p miˆ u. nhˆ `en ch˜ a.t . . . . . . . . . 118 12.1.2 Tru.`o.ng ho..p miˆ `en cong . . . . . . . . . . . . 118 12.1.3 Mˆo.t v` ´.ng du.ng trong h`ınh ho.c . . . . . . 121 ai u 12.2 T´ıch phˆ an 3-l´ o.p . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.2.1 Tru.` o.ng ho..p miˆ `en h`ınh hˆ o.p . . . . . . . . . 133 12.2.2 Tru.` o.ng ho..p miˆ `en cong . . . . . . . . . . . . 134 12.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.2.4 Nhˆ a.n x´et chung . . . . . . . . . . . . . . . . 136 an d u.` 12.3 T´ıch phˆ o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 144 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . 144 an du.` 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆ o.ng . . . . . . . . . . . . 146 12.4 T´ıch phˆan m˘ a.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 ac di.nh ngh˜ıa co. ba’n . . . . . . . . . . . . 158 12.4.1 C´ 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆ an m˘ a.t . . . . . . 160 http://tieulun.hopto.org
118 Chu.o.ng 12. T´ıch phˆan h`am nhiˆ `eu biˆe´n 12.4.3 Cˆ u.c Gauss-Ostrogradski . . . . . . . 162 ong th´ 12.4.4 Cˆ u.c Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 162 ong th´ 12.1 T´ıch phˆ o.p an 2-l´ 12.1.1 Tru.` o.ng ho..p miˆ u. nhˆ `en ch˜ a.t Gia’ su’. D = [a, b] × [c, d] = {(x, y) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d} v`a h`am f(x, y) liˆen tu.c trong miˆ `en D. Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p cu’a h`am f (x, y) theo miˆ`en ch˜u. nhˆa.t D = {(x, y) : a 6 x 6 b; c 6 y 6 d} du.o..c t´ınh theo cˆong th´ u.c ZZ Zb Zd f(M)dxdy = dx f (M)dy; (12.1) D a c ZZ Zd Zb f(M)dxdy = dy f (M)dx, M = (x, y). (12.2) D c a Trong (12.1): dˆ `au tiˆen t´ınh t´ıch phˆan trong I(x) theo y xem x l`a h˘`ang sˆo´, sau d´o t´ıch phˆan kˆe´t qua’ thu du.o..c I(x) theo x. Dˆo´i v´o.i (12.2) ta c˜ ung tiˆe´n h`anh tu.o..ng tu.. nhu.ng theo th´ u. tu.. ngu.o..c la.i. 12.1.2 Tru.` o.ng ho..p miˆ `en cong Gia’ su’. h`am f (x, y) liˆen tu.c trong miˆ `en bi. ch˘a.n D = {(x, y) : a 6 x 6 b; ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2 (x)} http://tieulun.hopto.org
12.1. T´ıch phˆan 2-l´o.p 119 trong d´o y = ϕ1 (x) l`a biˆen du.´o.i, y = ϕ2(x) l`a biˆen trˆen, ho˘a.c D = {(x, y) : c 6 y 6 d; g1 (y) 6 x 6 g2 (y)} trong d´o x = g1 (y) l`a biˆen tr´ai c`on x = g2 (y) l`a biˆen pha’i, o’. dˆay ta luˆon gia’ thiˆe´t c´ac h`am ϕ1, ϕ2 , g1 , g2 dˆ`eu liˆen tu.c trong c´ac khoa’ng tu.o.ng u´.ng. Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p theo miˆ `en D luˆon luˆon tˆ `on ta.i. Dˆe’ t´ınh t´ıch phˆan 2-l´o p ta c´o thˆe’ ´ap du.ng mˆo.t trong hai phu.o.ng . ph´ap sau. 1+ Phu.o.ng ph´ap Fubini du..a trˆen di.nh l´ y Fubini vˆ`e viˆe.c du.a t´ıch phˆan 2-l´o.p vˆ `e t´ıch phˆan l˘a.p. Phu.o.ng ph´ap n`ay cho ph´ep ta du.a t´ıch phˆan 2-l´o.p vˆ `e t´ıch phˆan l˘a.p theo hai th´ u. tu.. kh´ac nhau: ZZ Zb h ϕZ2 (x) i Zb ϕZ2 (x) f (M)dxdy = f(M)dy dx = dx f (M)dy, (12.3) D a ϕ1 (x) a ϕ1 (x) ZZ Zd h gZ2 (y) i Zd gZ2 (y) f (M)dxdy = f(M)dx dy = dy f (M)dx. (12.4) D c g1 (y) c g1 (y) T` u. (12.3) v`a (12.4) suy r˘a`ng cˆ a.n cu’a c´ac t´ıch phˆ an trong biˆe´n thiˆen v` a phu. thuˆ o.c v`ao biˆe´n m` a khi t´ınh t´ıch phˆ an trong, n´ o du.o..c xem l` a khˆ ong dˆ o’i. Cˆ a.n cu’a t´ıch phˆan ngo` ai luˆ on luˆ on l`a h˘` ang sˆ o´. Nˆe´u trong cˆong th´ u.c (12.3) (tu.o.ng u ´.ng: (12.4)) phˆ `an biˆen du.´o.i hay phˆ `an biˆen trˆen (tu.o.ng u ´.ng: phˆ `an biˆen tr´ai hay pha’i) gˆ u. mˆo.t `om t` sˆo´ phˆ `an v`a mˆ˜o i phˆ`an c´o phu.o.ng tr`ınh riˆeng th`ı miˆ `en D cˆ `an chia th`anh nh˜ u.ng miˆ `en con bo’.i c´ac du.`o.ng th˘a’ng song song v´o.i tru.c Oy (tu.o.ng ´.ng: song song v´o.i tru.c Ox) sao cho mˆo˜ i miˆ u `en con d´o c´ac phˆ `an biˆen du.´o.i hay trˆen (tu.o.ng u ´.ng: phˆ `an biˆen tr´ai, pha’i) dˆ `eu chı’ du.o..c biˆe’u diˆ ˜e n bo’.i mˆo.t phu.o.ng tr`ınh. 2+ Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n. Ph´ep dˆo’i biˆe´n trong t´ıch phˆan 2-l´o.p du.o..c thu..c hiˆe.n theo cˆong th´ u.c ZZ ZZ
D(x, y)
f(M)dxdy = f[ϕ(u, v), ψ(u, v)]
dudv (12.5) D(u, v) D D∗ http://tieulun.hopto.org
120 Chu.o.ng 12. T´ıch phˆan h`am nhiˆ `eu biˆe´n trong d´o D∗ l`a miˆ `en biˆe´n thiˆen cu’a to.a dˆo. cong (u, v) tu.o.ng u ´.ng khi c´ac diˆe’m (x, y) biˆe´n thiˆen trong D: x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v); (u, v) ∈ D∗ , (x, y) ∈ D; c`on
∂x ∂x
D(x, y)
∂u ∂v
J= =
6= 0 (12.6) D(u, v)