Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2): Phần 2

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2)" tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Phép tính vi phân hàm một biến; Đạo hàm; Vi phân; Phép tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 2): Phần 2

Chu.o.ng 8 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t e´n biˆ 8.1 - a.o h` D am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1.1 - a.o h` D a´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 61 am cˆ 8.1.2 - a.o h` D a´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 62 am cˆ 8.2 Vi phˆ an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.2.1 Vi phˆ a´p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 an cˆ 8.2.2 Vi phˆ a´p cao . . . . . . . . . . . . . . . 77 an cˆ 8.3 C´ y co. ba’n vˆ ac di.nh l´ `e h`am kha’ vi. Quy ´ t˘ ac l’Hospital. Cˆ ong th´ u.c Taylor . . . . . . 84 8.3.1 y co. ba’n vˆ ac d i.nh l´ C´ `e h` am kha’ vi . . . . . 84 8.3.2 Khu’. c´ o di.nh. Quy t˘ ac da.ng vˆ ´ ac Lˆopitan (L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8.3.3 Cˆ u.c Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 96 ong th´ http://tieulun.hopto.org
- a.o h`am 8.1. D 61 8.1 - a.o h` D am 8.1.1 - a.o h` D a´p 1 am cˆ Gia’ su’. h`am y = f(x) x´ac di.nh trong δ-lˆan cˆa.n cu’a diˆe’m x0 (U (x0 ; δ) = {x ∈ R : |x − x0 | < δ) v`a ∆f (x0) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) l`a sˆo´ gia cu’a n´o ta.i diˆe’m x0 tu.o.ng u ´.ng v´o.i sˆo´ gia ∆x = x − x0 cu’a dˆo´i sˆo´. Theo di.nh ngh˜ıa: Nˆe´u tˆ `on ta.i gi´o.i ha.n h˜ u.u ha.n f(x0 + ∆x) − f (x0) lim ∆x→0 ∆x khi ∆x → 0 th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o..c go.i l`a da.o h` am cu’a h`am f(x) ta.i . . . diˆe’m x0 v`a du o. c chı’ bo’ i mˆo.t trong c´ac k´ y hiˆe.u: f(x0 + ∆x) − f(x0) dy d lim ≡ ≡ f (x) ≡ f 0 (x) ≡ y 0. ∆x→0 ∆x dx dx Da.i lu.o..ng ∆y ∆y f+0 (x0) = f 0 (x0 + 0) = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0+0 ∆x ∆x>0 v`a ∆y ∆y f−0 (x0 ) = f 0 (x0 − 0) = lim = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0−0 ∆x ∆x
62 Chu.o.ng 8. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n 8.1.2 - a.o h` D a´p cao am cˆ Da.o h`am f 0 (x) du.o..c go.i l`a da.o h` am cˆ a´p 1 (hay da.o h` am bˆ a´t). a.c nhˆ Da.o h`am cu’a f 0 (x) du.o..c go.i l`a da.o h` am cˆ a´p hai (hay da.o h` am th´u. hai) cu’a h`am f (x) v`a du.o..c k´ y hiˆe.u l`a y 00 hay f 00(x). Da.o h`am cu’a f 00 (x) du.o..c go.i l`a da.o h`am cˆ a´p 3 (hay da.o h` am th´u. ba) cu’a h`am f(x) v`a du.o..c k´ y hiˆe.u y 000 hay f 000(x) (hay y (3), f (3)(x) v.v... Ta c´o ba’ng da.o h`am cu’a c´ac h`am so. cˆa´p co. ba’n f(x) f 0 (x) f (n) (x) a(a − 1)(a − 2) · · · (a − n + 1)xa−n , xa axa−1 x>0 ex ex ex ax ax lna ax(lna)n 1 1 lnx (−1)n−1 (n − 1)! n , x > 0 x x 1 1 loga x (−1)n−1 (n − 1)! n , x > 0 xlna x lna nπ sin x cos x sin x + 2 http://tieulun.hopto.org
- a.o h`am 8.1. D 63 f(x) f 0 (x) f (n) (x) nπ cos x − sin x cos x + 2 1 tgx cos2 x 1 cotgx − 2 sin x 1 arc sin x √ , |x| < 1 1 − x2 1 arccosx −√ , |x| < 1 1 − x2 1 arctgx 1 + x2 1 arccotgx − 1 + x2 Viˆe.c t´ınh da.o h`am du.o..c du..a trˆen c´ac quy t˘a´c sau dˆay. d d d 1+ [u + v] = u + v. dx dx dx d du 2+ (αu) = α , α ∈ R. dx dx d du dv 3+ (uv) = v +u . dx dx dx d u 1 du dv 4+ = 2 v −u , v 6= 0. dx v v dx dx d df du 5+ f[u(x)] = · (da.o h`am cu’a h`am ho..p). dx du dx dy 6+ Nˆe´u h`am y = y(x) c´o h`am ngu.o..c x = x(y) v`a ≡ yx0 6= 0 th`ı dx dx 1 ≡ x0y = 0 · dy yx http://tieulun.hopto.org
64 Chu.o.ng 8. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n 7+ Nˆe´u h`am y = y(x) du.o..c cho du.´o.i da.ng ˆa’n bo’.i hˆe. th´ u.c kha’ vi F (x, y) = 0 v`a Fy0 6= 0 th`ı dy F0 = − x0 dx Fy trong d´o Fx0 v`a Fy0 l`a da.o h`am theo biˆe´n tu.o.ng u ´.ng cu’a h`am F (x, y) khi xem biˆe´n kia khˆong dˆo’i. 8+ Nˆe´u h`am y = y(x) du.o..c cho du.´o.i da.ng tham sˆo´ x = x(t), y = y(t) (x0(t) 6= 0) th`ı dy y 0 (t) = 0 · dx x (t) dn dn u dn v 9+ (αu + βv) = α + β ; dxn dxn dxn dn X n n−k dk k d uv = Cn u v (quy t˘´ac Leibniz). dxn dxn−k dxk k=0 Nhˆ a.n x´et. 1) Khi t´ınh da.o h`am cu’a mˆo.t biˆe’u th´ u.c d˜a cho ta c´o thˆe’ biˆe´n dˆo’i so. bˆo. biˆe’u th´ u.c d´o sao cho qu´a tr`ınh t´ınh da.o h`am do.n gia’n ho.n. Ch˘a’ng ha.n nˆe´u biˆe’u th´ u.c d´o l`a logarit th`ı c´o thˆe’ su’. du.ng c´ac t´ınh chˆa´t cu’a logarit dˆe’ biˆe´n dˆo’i... rˆ `oi t´ınh da.o h`am. Trong nhiˆ `eu . . . tru `o ng ho. p khi t´ınh da.o h`am ta nˆen lˆa´y logarit h`am d˜a cho rˆ `oi ´ap du.ng cˆong th´ u.c da.o h`am loga d y 0 (x) lny(x) = · dx y(x) 2) Nˆe´u h`am kha’ vi trˆen mˆo.t khoa’ng du.o..c cho bo’.i phu.o.ng tr`ınh u. phu.o.ng tr`ınh F (x, y) = 0 th`ı da.o h`am y 0(x) c´o thˆe’ t`ım t` d F (x, y) = 0. dx ´ V´I DU CAC . http://tieulun.hopto.org
- a.o h`am 8.1. D 65 V´ı du. 1. T´ınh da.o h`am y 0 nˆe´u: r ex 1) y = ln 3 ; x 6= π(2n + 1), n ∈ N 1 + cos x 1 + x2 2) y = √ , x 6= πn, n ∈ N. x4 sin7 x 3 Gia’i. 1) Tru.´o.c hˆe´t ta do.n gia’n biˆe’u th´ u.c cu’a h`am y b˘`ang c´ach du..a v`ao c´ac t´ınh chˆa´t cu’a logarit. Ta c´o 1 1 x 1 y = lnex − ln(1 + cos x) = − ln(1 + cos x). 3 3 3 3 Do d´o x 1 1 (cos x) 0 1 1 sin x 1 + tg y0 = − = + = 2 · 3 3 1 + cos x 3 3 1 + cosx 3 . 2) O’ dˆay tiˆe.n lo..i ho.n ca’ l`a x´et h`am z = ln|y|. Ta c´o dz dz dy 1 dy dy dz = · = ⇒ =y · (*) dx dy dx y dx dx dx Viˆe´t h`am z du.´o.i da.ng 4 x = ln|y| = ln(1 + x2 ) − ln|x| − 7ln| sin x| 3 dz 2x 4 cos x ⇒ = 2 − −7 · dx 1+x 3x sin x u.c v` Thˆe´ biˆe’u th´ u.a thu du.o..c v`ao (∗) ta c´o dy 1 + x2 2x 4 cos x =√ − − 7 . N x4 sin7 x 1 + x2 3x 3 dx sin x x V´ı du. 2. T´ınh da.o h`am y 0 nˆe´u: 1) y = (2 +cos x)x, x ∈ R; 2) y = x2 , x > 0. Gia’i. 1) Theo di.nh ngh˜ıa ta c´o y = exln(2+cos x). http://tieulun.hopto.org
66 Chu.o.ng 8. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n u. d´o T` 0 y 0 = exln(2+cos x) xln(2 + cos x) h sin x i xln(2+cos x) =e ln(2 + cos x) − x , x ∈ R. 2 + cos x nˆen v´o.i x > 0 ta c´o x lnx 2) V`ı y = e2 x x h1 i y 0 = e2 lnx [2x lnx]0 = e2 lnx 2x + 2x ln2 · lnx x x 1 = 2x x2 + ln2 · lnx . N x V´ı du. 3. T´ınh da.o h`am cˆa´p 2 cu’a h`am ngu.o..c v´o.i h`am y = x + x5, x ∈ R. Gia’i. H`am d˜a cho liˆen tu.c v`a do.n diˆe.u kh˘´ap no.i, da.o h`am y 0 = u. diˆe’m n`ao. Do d´o 1 + 5x4 khˆong triˆe.t tiˆeu ta.i bˆa´t c´ 1 1 x0y = = · yx0 1 + 5x4 Lˆa´y da.o h`am d˘a’ng th´u.c n`ay theo y ta thu du.o..c 1 0 −20x3 x00yy = · x0 = · N 1 + 5x4 x y (1 + 5x4)3 V´ı du. 4. Gia’ su’. h`am y = f(x) du.o..c cho du.´o.i da.ng tham sˆo´ bo’.i c´ac cˆong th´ u.c x = x(t), y = y(t), t ∈ (a; b) v`a gia’ su’. x(t), y(t) kha’ vi cˆa´p 2 v`a x0 (t) 6= 0 t ∈ (a, b). T`ım yxx 00 . Gia’i. Ta c´o dy dy y0 y0 = dt = t0 ⇒ yx0 = t0 · dx dx xt xt dt Lˆa´y da.o h`am hai vˆe´ cu’a d˘a’ng th´ u.c n`ay ta c´o y 0 0 y 0 0 1 00 yxx = t0 · t0x = t0 · 0 xt t xt t xt 0 00 0 00 xy −y x = t tt 0 3 t tt · N xt http://tieulun.hopto.org
- a.o h`am 8.1. D 67 V´ı du. 5. Gia’ su’. y = y(x), |x| > a l`a h`am gi´a tri. du.o.ng cho du.´o.i da.ng ˆa’n bo’.i phu.o.ng tr`ınh x2 y 2 − 2 = 1. a2 b 00 T´ınh yxx . u.c Gia’i. Dˆe’ t`ım y 0 ta ´ap du.ng cˆong th´ d F (x, y) = 0. dx Trong tru.`o.ng ho..p n`ay ta c´o d x2 y2 − − 1 = 0. dx a2 b2 Lˆa´y da.o h`am ta c´o 2x 2y 0 − 2 yx = 0, (8.1) a2 b b2x ⇒yx0 = 2 , |x| > 0, y > 0. (8.2) a y Lˆa´y da.o h`am (8.1) theo x ta thu du.o..c 1 1 0 2 y 00 2 − 2 yx − 2 yxx =0 a b b u. (8.2) ta thu du.o..c yx00: v`a t` 00 1 h b2 i 1 h b2 0 2 b4 x2 i yxx = − yx = − y a2 y a2 a4 y 2 b4 h x2 y 2 i b4 = − 2 3 2 − 2 = − 2 3 , y > 0. N ay a b ay 1 V´ı du. 6. T´ınh y (n) nˆe´u: 1) y = ; 2) y = x2 cos 2x. x2 − 4 ˜e n h`am d˜a cho du.´o.i da.ng tˆo’ng c´ac phˆan th´ Gia’i. 1) Biˆe’u diˆ u.c co. ba’n 1 1h 1 1 i = − x2 − 4 4 x−2 x+2 http://tieulun.hopto.org
68 Chu.o.ng 8. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n v`a khi d´o 1 (n) 1 h 1 (n) 1 (n) i = − . x2 − 4 4 x−2 x+2 Do 1 (n) = (−1)(−2) · · · (−1 − n + 1)(x ± 2)−1−n x±2 1 = (−1)n n! (x ± 2)n+1 nˆen 1 (n) (−1)n n! h 1 1 i = − . x2 − 4 4 (x − 2)n+1 (x + 2)n+1 u.c Leibniz dˆo´i v´o.i da.o h`am cu’a t´ıch 2) Ta ´ap du.ng cˆong th´ (x2 cos 2x) = Cn0x2 (cos 2x)(n) + Cn1 (x2)0 (cos 2x)n−1 + Cn2 (x2)0 (cos 2x)n−2 . `eu = 0 v`ı C´ac sˆo´ ha.ng c`on la.i dˆ (k) x2 =0 ∀ k > 2. u.c ´ du.ng cˆong th´ Ap nπ (n) n (cos 2x) = 2 cos 2x + 2 ta thu du.o..c n(n − 1) nπ (x2 cos 2x)(n) = 2n x2 − cos 2x + 4 nπ 2 n + 2 nx sin 2x + . N 2 V´ı du. 7. V´o.i gi´a tri. n`ao cu’a a v`a b th`ı h`am  ex , x 6 0, f(x) = x2 + ax + b, x > 0 http://tieulun.hopto.org
- a.o h`am 8.1. D 69 c´o da.o h`am trˆen to`an tru.c sˆo´. Gia’i. R˜o r`ang l`a h`am f(x) c´o da.o h`am ∀ x > 0 v`a ∀ x < 0. Ta chı’ `an x´et diˆe’m x0 = 0. cˆ V`ı h`am f (x) pha’i liˆen tu.c ta.i diˆe’m x0 = 0 nˆen lim f(x) = lim f (x) = lim f (x) x→0+0 x→0−0 x→0 u.c l`a t´ lim (x2 + ax + b) = b = e0 = 1 ⇒ b = 1. x→0+0
Tiˆe´p d´o, f+0 (0) = (x0 + ax + b)0
x =0 = a v`a f−0 (0) = ex
x =0 = 1. 0 0 Do d´o f 0 (0) tˆ`on ta.i nˆe´u a = 1 v`a b = 1. Nhu. vˆa.y v´o.i a = 1, b = 1 h`am d˜a cho c´o da.o h`am ∀ x ∈ R. N ` TA BAI ˆP . T´ınh da.o h`am y 0 cu’a h`am y = f (x) nˆe´u: √4 5 3 3 10 9 1. y = x3 + 2 − 3 + 2. (DS. √ − 3 + 4) x x 4 x x 4 x ln24 2. y = log2 x + 3log3x. (DS. ) xln2 · ln3 1 x 3. y = 5x + 6x + . (DS. 5x ln5 + 6x ln6 − 7−x ln7) 7 √ 1 4. y = ln(x + 1 + x2 + 2x + 3). (DS. √ ) x2 + 2x + 3 10 5. y = tg5x. (DS. ) sin 10x √ 1 6. y = ln(ln x). (DS. √ ) 2xln x r 1 + 2x 2 7. y = ln . (DS. ) 1 − 2x 1 − 4x2 http://tieulun.hopto.org
70 Chu.o.ng 8. Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.t biˆe´n √ √ 2x − 1 √ 8. y = xarctg 2x − 1 − . (DS. arctg 2x − 1) 2 9. y = sin2 x3. (DS. 3x2 sin 2x3 ) 10. y = sin4 x + cos4 x. (DS. − sin 4x) √ √ √ √x e x (1 + x) 11. y = xe . (DS. √ ) 2 x 1 1 sin x 12. y = e cos x . (DS. e cos x ) cos2 x 1 1 −e lnx 13. y = e lnx . (DS. ) xln2 x √ 2e2x 14. y = ln e2x + e4x + 1. (DS. √ ) e4x + 1 r e4x 2 15. y = ln 4x . (DS. 4x ) e +1 e +1 7tg7x 16. y = log5 cos 7x. (DS. − ) ln5 √ √ tg 1 + x 17. y = log7 cos 1 + x. (DS. − √ ) 2 1 + xln7 x2 x2 − − xe 2 18. y = arccos e 2 . (DS. √ ) 1 − e−x2 − sin cos(cos x) 19. y = tg sin cos x. (DS. ) cos2 (sin cos x) 2 x2 cotg3x xec cotg3x 20. y = e . (DS. (sin 6x − 3x)) sin2 3x √ √ 1+lnx e 1+lnx 21. y = e . (DS. √ ) 2x 1 + lnx 1 1 22. y = x x . (DS. x x −2 (1 − lnx)) 23. y = ex. (DS. xx (1 + lnx)) http://tieulun.hopto.org
- a.o h`am 8.1. D 71 24. y = xsin x . (DS. xsin x cos x · lnx + xsin x−1 sin x) h 1 i sin x sin x 25. y = (tgx) . (DS. (tgx) cos xlntgx + ) cos x h i sin x sin x sin x 26. y = x . (DS. x + lnx · cos x ) x 2 2 +1 27. y = xx . (DS. xx (1 + 2lnx)) x x 28. y = xe . (DS. ex xe x1 + lnx)) 1 29. y = logx 7. (DS. − ) xlnxlog7x 1
x − a
1 30. y = ln