BÀI TOÁN 7 ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Chia sẻ: Paradise8 Paradise8 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

1.913
lượt xem 104
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài toán 7 định lí viét cho phương trình bậc ba bậc bốn và các ứng dụng', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI TOÁN 7 ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG

BÀI TOÁN 7 ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG I. HỆ THỨC VIÉT 1. HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Giả sử phương trình ax3  bx 2  cx  d  0  a  0  có ba nghiệm x1 , x2 , x3 . Khi đó: b b b b   x1  x2  x3   a  3x2   a  x2   3a  x1  x2  x3   a   c c    x1 x2  x2 x3  x3 x1   x1 x2  x2 x3  x3 x1  a a   d d    x1 x2 x3   a  x1 x2 x3   a   2. HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN Giả sử phương trình ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0  a  0  có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Khi đó: b   x1  x2  x3  x4   a  x x  x x  x x  x x  x x  x x  c 12 13 14 23 24 34 a  x x x  x x x  x x x  x x x   d 123 124 134 234 a  e  x1 x2 x3 x4  a  II. CÁC ỨNG DỤNG 1. Giải phương trình khi biết tính chất của các nghiệm Ta thực hiện các bước: Bước 1: Dựa vào định lí Viét ta xác định được một nghiệm x0 của phương trình. Bước 2: Lựa chon một trong hai hướng: Hướng 1: Nếu phương trình không chứa tham số, biến đổi phương trình về dạng  x  x0  g  x   0  các nghiệm Hướng 2: nếu phương trình chứa tham số, thay x  x0 vào phương trình  tham số Bước 3. Thử lại và kết luận.
VD1: Giải phương trình 12 x3  4 x 2  17 x  6  0 Biết rằng trong số các nghiệm có hai nghiệm có tích bằng -1. Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 và x1.x3  1 . Khi đó: 1 1 1 x1 x2 x3     x2    x2  2 2 2 Viết lại phương trình về dạng: 1  x  2  2x 1  0 2  x    2  2 x  1 6 x  5 x  6  0   2  3 6 x  5x  6  0  3 x   2  1 2 3 Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt x  , x  , x  2 3 2 x 3   m  1 x 2  x  2m  0 (1) VD2: Xác định m để phương trình : Có ba nghiệm phân biệt, biết rằng trong số các nghiệm có hai nghiệm đối nhau. Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm x1 , x2 , x3 và x1  x3  0 . Khi đó: thay vào (1), ta được: x1  x2  x3  m  1  x2  m  1 3  m  1   m  1 x 2   m  1  2m  0  m  1 thay vào (1), ta được:  x1  1    3 2 2 x  2 x  x  2  0   x  1 x  x  2  0   x2  2 thỏa mãn x1  x3  0  x3  1  Vậy m = 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài. 2. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm Ta thực hiện các bước: Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét giữa các nghiệm của phương trình (I) Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I). Chú ý: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị các nghiệm. b 2  2ac 2 2 2 2 x  x  x   x1  x2  x3   2  x1 x2  x2 x3  x3 x1    1 2 3 a2
1 1 1 x1  x2  x3 b    x1 x2 x3 x1 x2 x3 d VD: Giả sử phương trình: 2 x3  x 2  m  0 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Tính tổng x12  x2  x32 2 Giải: Theo giả thiết, ta có: 1   x1  x2  x3  2   x1 x2  x2 x3  x3 x1  0  m  x1 x2 x3   2 Khi đó: 1 2 x12  x2  x3   x1  x2  x3   2  x1 x2  x2 x3  x3 x1   2 2 4 3. Tìm tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K Bài toán thường được giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ. Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm, khi đó ta có được hệ thức Viét giữa các nghiệm (I) Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)  điều kiện cho tham số. Bước 3: Điều kiện đủ: VD: Xác định m để phương trình : x3  3mx 2  3 x  3m  2  0 Có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , thỏa mãn x12  x22  x32  15 Giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ,khi đó:  x1  x2  x3  3m   x1 x2  x2 x3  x3 x1  3  x x x  3m  2 123 Khi đó: 2 15  x12  x2  x3   x1  x2  x3   2  x1 x2  x2 x3  x3 x1   9m 2  6 2 2  m2  1  m  1
Điều kiện đủ: Viết lại phương trình về dạng x  1  x  1  x2   3m  1 x  3m  2   0     2  g  x   x   3m  1 x  3m  2 Ta phải chứng minh với m  1 thì g(x) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là chứng minh:  g  0 9m 2  6m  9  0  luôn đúng với m  1    g 1  0 m  0  Vậy, m  1 thỏa mãn điều kiện đầu bài 4. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình ax3  bx 2  cx  d  0  a  0  (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó: x1  x3  2 x2 b b b thay vào (1), ta được: x1  x2  x3    3x2    x2   a a 3a 3 2  b  b  b a    b    c    d  0  3a   3a   3a   2b3  9abc  27 a 2 d  0 (2) Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Bước 2: Điều kiện đủ: b Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x2   .Khi đó: 3a b b b 2b x1  x2  x3    x1  x3     x1  x3    2 x2 a 3a a 3a  x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng là 2b3  9abc  27 a 2 d  0 Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất
quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. VD: Xác định m để phương trình x3  3x2  9 x  m  0 (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó: (*) x1  x3  2 x2 x1  x2  x3  3  3 x2  3  x2  1 thay vào (1), ta được: 11  m  0  m  11 Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng Điều kiện đủ: Với m = 11, ta được:  x1  1  12    x 3  3 x 2  9 x  11  0   x  1 x 2  2 x  11  0   x2  1 thỏa mãn (   x3  1  12 *) Vậy với m = 11 thỏa điều kiện đầu bài. 5. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình ax3  bx 2  cx  d  0  a  0  (1) có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số nhân, ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, khi đó: 2 x1 x3  2 x2 b x1  x2  x3   a c c 2 x1 x2  x2 x3  x3 x1   x1 x2  x2 x3  x2  a a c c  x2  x1  x2  x3    x2   thay vào (1), ta được: a b 3 2  c  c  c a     b     c     d  0  ac 3  b3d (2)  b  b  b
Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. Bước 2: Điều kiện đủ: c Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm x2   .Khi đó: b  c  b  c x2  x1  x2  x3          x1 x2  x2 x3  x3 x1  b  a  a 2  x2 x3  x2 Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân là ac3  b3d Chú ý: Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việc chỉ ra nghiệm cụ thể của phương trình. Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó ta còn phải khẳng định phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. VD: Xác định m để phương trình x 3  2 x 2   m  1 x  2  m  1  0 (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân Giải: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, khi đó: 2 x1 x3  2 x2 x1  x2  x3  2 2 x1 x2  x2 x3  x3 x1  m  1  x1 x2  x2 x3  x2  m  1  x2  x1  x2  x3   m  1 m 1  x2   2 Thay vào (1), ta được: 3 2  m 1   m 1   m 1    2   2   2    m  1   2   2  m  1  0        m  1   m  1 m  2m  15  0   m  3   2   m  4  Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân. Điều kiện đủ:  Với m = -1 ta được:
x  0 1  x3  2 x2  0   không thỏa mãn  x  2  Với m = 3, ta được:   x 3  2 x 2  4 x  8  0   x  2  x 2  4  0 , không thỏa mãn.  Với m = -5, ta được:   x 3  2 x 2  4 x  8  0   x  2  x 2  4  0 , không thỏa mãn. Vậy không tồn tại m thỏa mãn điều kiện đầu bài 6. Ứng dụng giải hệ phương trình Đây là ứng dụng để giải phương trình 3 hoặc 4 ẩn, bằng cách sử dụng định lí Viét, bằng việc chuyển hệ đã cho về một trong hai dạng: x  y  z  A Dạng 1:  xy  yz  zx  B (I)   xyz  C  Khi đó x, y, z là nghiệm của phương trình: u 3  Au 2  Bu  C  0 (1) Áp dụng các phương pháp đã biết đối với phương trình bậc ba để giải (1) x  y  z  t  A  xy  xz  xt  yz  yt  zt  B Dạng 2:    xyz  xyt  xzt  yzt  C  xyzt  D  Khi đó x, y, z, t là nghiệm của phương trình: u 4  Au 3  Bu 2  Cu  D  0 (2) Áp dụng các phương pháp đã biết đối với phương trình bậc bốn để giải (2) VD1: Giải hệ phương trình:  x  y  z  2  (I)  xy  yz  zx  1  xyz  2  Giải: Ta có x, y, z là nghiệm của phương trình:   u 3  2u 2  u  2  0   u  1 u 2  3u  2  0   u  1  u  1  u  2   0
 x  1 & y  1& z  2  x  1& y  2 & z  1  u  1  x  1& y  1& z  2  u  1     x  1& y  2 & z  1  u  2   x  2 & y  1& z  1   x  2 & y  1& z  1 Vậy hệ có 6 bộ nghiệm VD2: Giải hệ phương trình:  x  y  z  t  1  xy  xz  xt  yz  zt  7  (I)   xyz  xyt  xzt  yzt  1  xyzt  6  Giải: Ta có x, y, z là nghiệm của phương trình: u 4  u 3  7u 2  u  6  0   u  1  u  2   u  1  u  3  0 u  1 u  2   u  1   u  3 Vậy hệ có 24 bộ nghiệm. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 1. CMR nếu x1 , x2 , x3 , x4 là các nghiệm của phương trình : ax 4  bx 2  c  0 thì  x1  x2  x3  x4  0  c   x1 x2 x3 x4  a  Bài 2. Xác định a, b để phương trình: x 3  ax  b  0 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Bài 3. Cho phương trình x 3  ax 2  bx  c  0
có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 . CMR các nghiệm đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi: 2a 3  9ab  27c  0 Bài 4. Giải phương trình: x 4  8 x 3  19 x 2  3mx  2  0 Biết rằng phương trình có 4 nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1  x2  x3  x4 Bài 5. Giải phương trình: x 4  4 x3  3x 2  8 x  10  0 Biết rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng bằng nhau về giá trị tuyệt đối. Bài 6. Giải các hệ phương trình:  x  y  z  2 2 2 2 x  y  z  6 a)   xyz  2 x  0   x  y  z  2 2 2 2 x  y  z  6 b) 3 3 3 x  y  z  6 z  1 