Báo cáo khoa học: "Đại số gia tử mở rộng"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này chúng tôi tiếp tục mở rộng đại số gia tử bằng cách đ-a vào 2 toán tử f, s với định ý là infimium và supremus của 2 tập giá trị LH(X) sản sinh bởi phần tử x. Điều đó chỉ ra rằng với mỗi một phần tử của miền giá trị đ-ợc sản sinh từ các phần tử nguyên thuỷ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "Đại số gia tử mở rộng"

§¹i sè gia tö më réng T h.S. N guyÔn V¨n Long Bé m«n To¸n - §H GTVT Tãm t¾t: Trong bμi b¸o nμy chóng t«i tiÕp tôc më réng ®¹i sè gia tö b»ng c¸ch ®−a vμo 2 to¸n tö φ, σ víi ®Þnh ý lμ infimium vμ supremus cña 2 tËp gi¸ trÞ LH(X) s¶n sinh bëi phÇn tö x. §iÒu ®ã chØ ra r»ng víi mçi mét phÇn tö cña miÒn gi¸ trÞ ®−îc s¶n sinh tõ c¸c phÇn tö nguyªn thuû. Summarry: This paper continues our investigation on hedge algebras [2]. We extend hedge albebras by two additional operations correspending to infimum and supremum of the so-called concept category of an element x, i.e, the set which is generated from x by means of the hedge operations. It is shown that every extended hedge algebra with a lattice of the primary generators is a lattic. μ(x). §Ó thÊy sù cÇn thiÕt ph¶i bæ sung phÇn tö 1. Më ®Çu vμ c¸c kh¸i niÖm cËn trªn ®óng vµ cËn d−íi ®óng ch¼ng h¹n ta h·y xÐt hai phÇn tö sinh nguyªn thuû cña mét biÕn XÐt ®¹i sè gia tö më réng AX = (X, G, LH, ≤) ng«n ng÷. Trong [2] ta ph¶i buéc chÊp nhËn gi¶ trong ®ã X lµ tËp c¬ së, G lµ tËp c¸c phÇn tö sinh, thiÕt r»ng μ(c-) + μ(c+) = 1, víi ý nghÜa trùc quan LH lµ dµn ph©n phèi c¸c gia tö sinh tù do tõ H lµ ta ngÇm ®Þnh mµ ch−a chøng minh r»ng qua c¸c phÐp to¸n ∧,∨ vµ ≤ lµ quan hÖ thø tù bé supremum f(LH(c-)) = infimum f(LH(c+)) = μ(c-). phËn trªn X. Gi¶ thiÕt nµy còng b¾t nguån tõ mét trùc c¶m lµ tËp f(LH(c-)) ∪ f(LH(c+)) trï mËt trong ®o¹n [0,1] Ta biÕt r»ng LH(x) lµ tËp tÊt c¶ c¸c phÇn tö (phÇn tham kh¶o [2]). sinh ®−îc tõ x nhê t¸c ®éng liªn tiÕp c¸c to¸n tö mét ng«i trong LH. Nh×n chung ta ch−a biÕt tËp Còng gièng c¸ch tiÕp cËn gi¶i quyÕt vÊn LH(x) cã tån t¹i cËn trªn vµ cËn d−íi ®óng hay ®Ò nµy trong [1], ta sÏ bæ sung thªm phÇn tö kh«ng. §Æc biÖt nÕu tËp LH(x) lµ v« h¹n th× vµo X b»ng c¸ch nhóng AX vµo ®¹i sè ch¾c ch¾n chóng kh«ng tån t¹i trong X. Nh− vËy AX = (X, G, LH, σ, φ, ≤) víi viÖc thªm hai to¸n tö xuÊt hiÖn mét nhu cÇu tù nhiªn gi¶i bµi to¸n lµm mét ng«i σ, φ mµ ng÷ nghÜa ®Þnh ý cña nã lµ σ(x) ®Çy ®ñ ®¹i sè gia tö AX ®Ó thu ®−îc ®¹i sè lµ cËn trªn ®óng cña tËp LH(x) vµ φ(x) lµ cËn d−íi AX = (X, G, LH, σ, φ, ≤) sao cho víi mçi phÇn tö ®óng cña tËp LH(x). trong x ∈ X, tËp LH(x) cã cËn trªn vµ cËn d−íi ®óng trong X. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i sÏ ®−a ra mét hÖ tiªn ®Ò ®Ó ®¶m b¶o ®−îc ng÷ nghÜa mong Tuy nhiªn ®éng c¬ thóc ®Èy viÖc bæ sung muèn cña hai to¸n tö σ, φ vµ nghiªn cøu nh÷ng c¸c phÇn tö giíi h¹n nh− vËy xuÊt ph¸t tõ yªu tÝnh chÊt c¬ b¶n lµm râ c¸c mèi quan hÖ thø cÇu nghiªn cøu ng÷ nghÜa ®Þnh l−îng cña c¸c tù gi÷a c¸c phÇn tö trong tËp X. §©y lµ vÊn ®Ò kh¸i niÖm ng«n ng÷ hay c¸c kh¸i niÖm mê. quan träng v× theo c¸c tiÕp cËn cña ®¹i sè gia tö, Gi¶ sö AX lµ mét ®¹i sè gia tö më réng ng÷ nghÜa cña c¸c kh¸i niÖm cña mét biÕn ng«n tuyÕn tÝnh. Khi ®ã mét ¸nh x¹ f: X -> [0, 1] tho¶ ng÷ ®−îc biÓu thÞ qua quan hÖ thø tù cña c¸c m·n c¸c ®iÒu kiÖn ®· nªu trong [2] gäi lµ mét phÇn tö. ¸nh x¹ ng÷ nghÜa ®Þnh l−îng cña AX, tøc lµ cña Gi¶ sö H lµ tËp c¸c gia tö ®−îc ph©n ho¹ch biÕn ng«n ng÷ t−¬ng øng. Nhê ¸nh x¹ nµy chóng thµnh hai tËp H+ vµ H- sao cho H+ + I vµ H- + I t¹o ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®−îc kh¸i niÖm rÊt khã thµnh c¸c dµn MODULAR víi c¸c phÇn tö ®¬n vÞ x¸c ®Þnh vµ khã l−îng ho¸ trong lý thuyÕt tËp mê: (phÇn tö lín nhÊt) t−¬ng øng lµ V, L vµ I lµ to¸n tö tÝnh mê cña mét kh¸i niÖm x∈X ®−îc x¸c ®Þnh bëi tho¶ m·n Ix = x víi mäi x ∈ X, ®−îc gäi lµ to¸n tö ®−êng kÝnh cña tËp ¶nh f(LH(x)) vµ ký hiÖu lµ
Vnh-hx ≤ hn ... h1hx ≤ Vnh+ hx, nÕu hx ≥ x ®ång nhÊt (hay cßn gäi lµ to¸n tö “kh«ng”). §Æt UOS = {V, L}. §Ó tr¸nh lÆp l¹i trong ph¸t biÓu c¸c Vnh+hx ≤ hn ... h1hx ≤ Vnh- hx, nÕu hx ≤ x tÝnh chÊt hay trong tr×nh bµy ta ký hiÖu Hc hiÓu chung lµ H+ hoÆc H-. HÖ qu¶ §èi víi mäi h ∈ LH, tån t¹i c¸c ph©n tö ®¬n §Ó thuËn tiÖn chóng ta nhí l¹i mét sè ký vÞ h+ vµ h- t−¬ng øng lµ possitive vµ negative ®èi hiÖu vµ kh¸i niÖm: Gi¶ sö r»ng Hc lµ dµn modular víi gia tö h, ®ång thêi ®èi víi mäi h1,... Hn ∈ LH, cã ®é dµi h÷u h¹n ®−îc ph©n bËc bëi hµm mäi x ∈ X ta cã: ®é cao. Khi ®ã mçi Hc cã thÓ ph©n thµnh nhiÒu líp dùa theo hµm ®é cao vµ ký hiÖu lµ Hic, ë ®©y i hn ... h1hx ≤ Vnh+x nÕu hx≥x chØ ®é ph©n bËc cña líp Hic, trong tr−êng hîp sè §Þnh lý 2-1 (chØ dÉn bμi b¸o cã chøng minh) phÇn tö cña Hic lín h¬n 1 nghÜa lµ CardHic>1, ta ký hiÖu tËp c¸c chØ sè i nµy lµ SIc, tøc lµ §èi víi mçi x ∈ X, nÕu hx < kx vµ kh«ng tån SIc = {i: Card Hic > 1}. §ång thêi mçi i ∈ SIc th× t¹i i ∈ SIc sao cho h, k cïng thuéc LHic th× víi c¸c tËp Hci+1, Hci-1 chØ cã mét phÇn tö duy nhÊt, mäi δ, δ’ ∈ LH* ta cã bÊt ®¼ng thøc sau ®©y: Card Hci+1 = Card Hci-1 = 1. Gäi LHic lµ dµn ph©n δhx < δ'kx. phèi sinh tù do tõ Hic nhê c¸c to¸n tö ∧, ∨. Ký Nc hiÖu LHc = ∪ LHic trong ®ã Nc lµ ®é ph©n bËc tèi 2. Tiªn ®Ò ho¸ ®¹i sè gia tö më réng i =1 ®Çy ®ñ c c + ®a trong LH , c = {+, -}, LH hiÓu chung lµ LH hoÆc LH-. §Æt LH = LH+ ∪ LH-. C¸c to¸n tö V, L XÐt mét cÊu tróc ®¹i sè AX = (X, G, LHe, ≤) trong H+ + I, H- + I còng lµ c¸c to¸n tö ®¬n vÞ nh− ®· ®Ò cËp ë trªn víi LHe = LH ∪ {φ, σ}, nghÜa trong LH+ + I, LH- + I t−¬ng øng. lµ tËp c¸c to¸n tö ®−îc bæ xung thªm hai to¸n tö míi φ vµ σ. Nh− ®· tr×nh bµy ë trªn, ta ký hiÖu CÊu tróc ®¹i sè AX = (X, G, LH, ≤) tho¶ m·n UOS = {V, L} lµ tËp c¸c to¸n tö ®¬n vÞ t−¬ng øng hÖ tiªn ®Ò ®· giíi thiÖu trong [3] gäi lµ ®¹i sè cña LH+ vµ LH-. §Ó cho dÔ hiÓu, c¸c phÇn tö gia tö. trong UOS ®−îc ký hiÖu lµ o hay o’ víi chØ sè nÕu §èi víi h, k ∈ LHc, h ®−îc gäi lµ kh«ng lín cÇn. V× G lµ tËp c¸c phÇn tö sinh (generators) nªn ta gi¶ ®Þnh LHe (G) = X. Ký hiÖu Lim (X) lµ h¬n k (ký hiÖu lµ h ≤ k) nÕu hoÆc lµ x ≤ hx ≤ kx tËp tÊt c¶ c¸c phÇn tõ “giíi h¹n” cña LH(G), nghÜa hoÆc lµ x ≥ hx ≥ kx, víi ∀ ∈ X. Hai gia tö h vµ k lµ Lim (X) = X\LH(G). Sau nµy ta sÏ chøng tá ®−îc gäi lµ ng−îc nhau nÕu: hx ≤ x khi vµ chØ khi r»ng c¸c phÇn tö trong Lim(X) cã d¹ng φu hoÆc kx ≥ x. Hai gia tö h, k lµ t−¬ng thÝch nÕu: hx ≤ x σu víi u ∈ LH(G). khi vµ chØ khi kx ≤ x víi ∀x ∈ X. NÕu x ≤ hx kÐo theo hx ≤ khx vµ x ≥ hx kÐo theo hx ≥ khx víi B©y giê ta sÏ ®−a ra mét c¸ch tiªn ®Ò ho¸ ∀x ∈ X th× k ®−îc gäi lµ positive ®èi víi h. NÕu ®¹i sè gia tö më réng ®Çy ®ñ (complete hedge x ≤ hx kÐo theo hx ≥ khx vµ x ≥ hx kÐo theo algebra). hx ≤ khx víi ∀x ∈ X th× k ®−îc gäi lµ negative ®èi §Þnh nghÜa 2.1 víi h. §èi víi h, k ∈ H ta nãi r»ng: hx
(b) hx ≥ x - gi¶ sö y ®−îc viÕt l¹i y = hn...h1hx. (L4) nÕu h lµ phÇn tö attom trong LHc (tøc lµ phÇn Theo ®Þnh lý (1-1) ta cã y = hn...h1hx ≤ Vnh+x. MÆt tö nhá nhÊt trong dµn t−¬ng øng) th×: kh¸c ¸p dông liªn tiÕp n+1 lÇn tiªn ®Ò (L2) ta cã: hx ≤ x kÐo theo σhx = x σx ≥ σh+x ≥ σvh+x ≥ ... ≥ σvnh+x hx ≥ x kÐo theo φhx = x vµ Vµ do ®ã theo kh¼ng ®Þnh (i) ta thu ®−îc: (L5) ®èi víi mäi h, k mµ h ∈ LHic , k ∈ LHci+1 nÕu φx, σx ∈ Lim(X) th× hx ≤ kx kÐo theo σx ≥ vnh+x ≥ y víi ∀y ∈ LH(hx) σhx = φkx vµ hx ≥ kx kÐo theo φhx = σkx Nh− vËy ta ®· chøng minh ®−îc r»ng: §Ó dÔ theo dâi chóng ta nªu lªn mét sè LH(x) ≤ σx c¸ch hiÓu trùc gi¸c cña mét sè tiªn ®Ò trªn. Theo tiªn ®Ò (L3) nÕu z ≥ LH(x) th× z ≥ σx Tiªn ®Ò (L1) theo mét nghÜa nµo ®ã thÓ hiÖn nªn (ii) ®· ®−îc chøng minh cho to¸n tö σ. r»ng σ, φ cã hiÖu qu¶ t¸c ®éng m¹nh h¬n bÊt kú §¼ng thøc ®èi víi φ trong (ii) ®−îc chøng to¸n tö nµo kh¸c trong LH. minh hoµn toµn t−¬ng tù. V× φx ≤ ox vµ ox ≤ σx nªn tiªn ®Ò (L2) ph¶n §Þnh lý 2 ¸nh tÝnh kÕ thõa ng÷ nghÜa cña hai to¸n tö míi σ vµ φ. (i) nÕu x lµ ®iÓm bÊt ®éng cña h ∈ LH th× nã còng lµ ®iÓm bÊt ®éng cña σ vµ φ vµ do ®ã ta cã Tiªn ®Ò (L3) cho ta mét c¶m nhËn nh− sau: thÓ sö dông thuËt ng÷ ®iÓm bÊt ®éng chung mµ Theo tiªn ®Ò (L1) σx ®· lµ cËn trªn cña kh«ng cÇn nãi cña to¸n tö nµo. LH(x), kÕt hîp ®iÒu nµy víi tiªn ®Ò (L2) cho ta (ii) víi mäi x ∈ Lim(X), x lµ ®iÓm bÊt ®éng. c¶m nhËn σx lµ cËn trªn bÐ nhÊt cña LH(x). Chøng minh Hai tiªn ®Ò (L4) vµ (L5) nªu lªn ®−îc tÝnh trï mËt cña miÒn gi¸ trÞ X. (i) do lµ ®iÓm bÊt ®éng cña h ∈ LH nªn x lµ ®iÓm bÊt ®éng cña mäi k ∈ LH. V× vËy LH(x) = {x} nªn ta cã φx = infimum LH(x) = x vµ 3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n σx = supremumLH(x) = x. VËy (i) ®−îc chøng §Þnh lý 1 minh. Gi¶ sö AX = (X, G, LHe, ≤) lµ ®¹i sè gia tö (ii) tr−íc hÕt ta xÐt tr−êng hîp x ∈ lim(X) vµ më réng ®Çy ®ñ. Khi ®ã víi mäi x ∈ X, ta cã: cã d¹ng x = σu hoÆc x = φu víi u ∈ LH(G). Ta chØ chøng minh cho tr−êng hîp x = σu lµ ®ñ. Chän (i) φ(x) ≤ x ≤ σx h ∈ LH sao cho x ≥ hx = hσu. ¸p dông liªn tiÕp (ii) σx = supremum LH(x); φx = infimumLH(x) tiªn ®Ò (L2) ®èi víi h vµ h’ ta thu ®−îc: §iÒu nµy cã nghÜa lµ víi mäi x ∈ X, tËp x ≥ hσou ≥ h’σou ≥ σou LH(x) cã cËn trªn ®óng vµ cËn d−íi ®óng trong X vµ nã chÝnh lµ phÇn tö σx vµ φx. (ta cã thÓ chän ®−îc h’ sao cho h’σou ≥ σou) Chøng minh MÆt kh¸c: (i) do h bÊt kú nªn trong tiªn ®Ò (L1) chän h σou ≥ σVou ≥ ... ≥ σVnou sao cho x ≤ hx khi ®ã x ≤ hx ≤ σx nªn x ≤ σx, víi ∀n ∈ Ν vµ o ∈ UOS t−¬ng tù ta cã φx ≤ x. VËy víi ∀y = hm ... h1u ∈ LH(u), y sÏ tho¶ (ii) tr−íc hÕt ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc m·n bÊt ®¼ng thøc sau: LH(x) ≤ σx: y = hm ... h1u ≤ Vm-1h+1u ThËt vËy, xÐt phÇn tö bÊt kú y ∈ LH(x). Vµ do ®ã ta thu ®−îc y ≤ hσx ≤ x. Theo (L3), Trong tr−êng hîp y = x, theo (i) ta cã ®iÒu nµy chøng tá x = σu ≤ hσu ≤ x. NghÜa lµ y = x ≤ σx. hx = x hay x lµ ®iÓm bÊt ®éng víi x = σu vµ Trong tr−êng hîp y ≠ x , nghÜa lµ y = δhx, ta u ∈ LH(G). xÐt hai kh¶ n¨ng sau: Ta xÐt tr−êng hîp cßn l¹i. V× x ∈ limX, x ph¶i (a) hx ≤ x: khi ®ã trong ®¹i sè gia tö më réng, ta cã d¹ng y = km...k1a víi a ∈ G (v× LHe(G) = X), lu«n cã LH(hx) ≤ x, vµ do ®ã kÕt hîp víi chøng trong ®ã cã Ýt nhÊt mét ki ∈ {σ, φ}. Gäi j lµ phÇn tö minh trªn víi mäi y ∈ LH(hx) ta cã y ≤ x ≤ σx.
nhá nhÊt sao cho kj ∈ {σ, φ}. Theo chøng minh §Þnh lý 8 trªn th× φkj-1... k1a lµ ®iÓm bÊt ®éng vµ σkj-1... k1a §èi víi mäi gi¸ trÞ u ∈ X, mäi h ∈ LHc, mäi lµ ®iÓm bÊt ®éng, vµ do ®ã: x©u γ ∈ LH* mµ x biÓu diÔn d−íi d¹ng x = γhu, khi x = km ... kj ...k1a = φ kj-1 ...k1a ®ã ta cã c¸c kh¼ng ®Þnh sau: hu ≥ u kÐo theo φx ≥ u lµ ®iÓm bÊt ®éng. Ta cã: hu ≤ u kÐo theo σx ≤ u Nh− vËy ta ®· chøng minh ®−îc r»ng Ta cã: ∀x ∈ LimX ®Òu lµ ®iÓm bÊt ®éng vµ cã d¹ng σu hoÆc φu. KÕt luËn §Þnh lý 3 §èi víi mäi y ∈ LH(x), x ∈ X, ta cã c¸c bÊt Bµi b¸o nµy ®· lµm c¬ së ®Ó x©y dùng hµm l−îng ho¸ ng÷ nghÜa miÒn gi¸ trÞ cña mét biÕn ®¼ng thøc sau ®©y: ng«n ng÷. §ång thêi nã còng lµm tiÒn ®Ò ®Ó øng σy ≤ σx vµ φy ≥ φx dông trong viÖc lËp luËn xÊp xØ mê. Chøng minh XÐt gi¸ trÞ bÊt kú y ∈ LH(x). Khi ®ã y biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng y = δx, trong ®ã δ lµ mét d·y Tµi liÖu tham kh¶o c¸c to¸n tö trong LH. LÊy mét phÇn tö bÊt kú y’ ∈ LH(y) tøc lµ y’ ∈ LH(δx). Khi ®ã y’ cã d¹ng [1] N. Cat Ho and W. Wechler. Extended hedge biÓu diÔn sau: y’ = δ’δx, nghÜa lµ y’ ∈ LH(x). §iÒu algebras and their application to Fuzzy logic. Fuzzy nµy chøng tá LH(y) ⊆ LH(x), vµ do ®ã ta cã: Sets and Systems 52(1992), pp 259-281. supremumLH(y) ≤ supremumLH(x) [2] NguyÔn C¸t Hå, Huúnh V¨n Nam. Ordered Structure-Based Semantics of Linguistic Terms of infimumLH(y) ≥ infimumLH(x) Linguistic Variables and Approximate Reasoning, Héi nghÞ Quèc tÕ vÒ c¸c hÖ phßng ngõa tÝnh to¸n tæ ¸p dông ®Þnh lý 1, ®iÒu nµy cã nghÜa lµ: chøc t¹i Liege, BØ tõ 9-14 th¸ng 8 n¨m 1999 (nhËn σy ≤ σx vµ φy ≥ φx ®¨ng trong AIP Conference Proceedings of Ame- rican Institute of Physics, USA distributed by §iÒu ph¶i chøng minh. Springer - Verlag). §Þnh lý 4 [3] N. Cat Ho and W. Wechler. Hedge algebras: an §èi víi mäi h, k ∈ LHc, mäi u ∈ X, δ ∈ LH*, algebraic approach to structures of sets of linguistic vµ x, y biÓu diÔn d−íi d¹ng x = δhu, y = δku, ta cã domains of linguistic truth variable, Fuzzy Sets and hu ≤ ku kÐo theo σx ≤ σy. Systems, Vol. 35,3, pp 281-293 (1990). (TÝnh chÊt tÞnh tiÕn) [4] Nguyen Cat Ho, Tran Thai Son. On distance between values of linguistic variable based on the §Þnh lý 5 structure of hedge algebras. Journal of Informatics §èi víi mäi h ∈ LHic, k ∈ LHjc víi i < j vµ ®èi and Cybernetics. Vol.11,1 (1995) (in Vietnamese). víi mäi gi¸ trÞ u ∈ X; mäi x©u δ, γ ∈ LH* vµ x, y [5] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam. A refinement biÓu diÔn d−íi d¹ng: x = δhu, y = γku. structure of Hedge Algebras, Procceding of NCST of Vietnam, in printed. Ta cã: hu ≤ ku kÐo theo σx ≤ φy. [6] Nguyen Cat Ho, Huynh Van Nam. Lattice character §Þnh lý 6 of the refinement structure of Hedge Algebras, §èi víi mäi gi¸ trÞ x ∈ X mµ tËp LH(x) lµ h÷u submitted for publication in Journal of Informatics h¹n th× σx ∈ LH(x). and Cybernetics. §Þnh lý 7 [7] N. Cat Ho and H. Van Nam. A theory of refinement structure of hedge algebras and its application to §èi víi mäi gi¸ trÞ x ∈ X, mäi h, k ∈ LH nµo c i linguistic-valued fuzzy logic. In D. Niwinski & ®ã mµ σhx ∉ LH(hx). M. Zawadowski (Eds), Logic, Algebra and σkx ∉ LH(kx) (nghÜa lµ σhx ∈ Lim(X), Computer Science, Banach Center Publications Vol. 46 (PWN - Polish Scientific Publishers σkx ∈ Lim(X)) ta cã ®¼ng thøc sau: 1999) σhx = σkx