zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Các bài tập hàm số liên tục

Chia sẻ: Phan Công Trứ Trứ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Báo xấu

4.539
lượt xem 1.116
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Các bài tập hàm số liên tục, giới hạn hàm số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài tập hàm số liên tục

Các bài tập hàm số liên tục Page 1 10/26/2010 CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a • Phương pháp : lim f ( x) = f (a ) x →a Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : a. lim( x ³ − 3x ² + x) = −1 x →1 b. lim( x ² − x) = 0 x →0 c. lim ( x ² − 1) = 3 x → −2 P( x) Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ tại x = a Q( x) P ( x) • Phương pháp : lim x→ a Q( x) P ( x) P (a ) – Nếu Q (a ) ≠ 0 thì lim = x →a Q( x) Q(a ) P ( x) – Nếu Q (a ) = 0 và P (a ) ≠ 0 thì lim =∞ x→a Q( x) P ( x) 0 – Nếu Q (a ) = 0 và P (a ) = 0 thì lim có dạng x→ a Q ( x ) 0 P ( x) ( x − a )C ( x) C ( x) tính lim = lim = lim x →a Q( x) x →a ( x − a) D( x) x→ a D( x) Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : x² + 5 1. lim =3 x →1 x + 1 x² + 1 2. lim =∞ x →3 x − 3 x² − 5x + 6 ( x − 3)( x − 2) 3. lim = lim = lim( x − 2) = 1 x →3 x−3 x →3 x−3 x →3 x +1 x +1 1 1 lim = lim = lim =− 4. x →−1 − x ² − 4 x − 3 x →−1 ( x + 1)(− x − 3) x →−1 − x − 3 4 2 x ² + 3x + 1 ( x + 1)(2 x + 1) 2x + 1 1 5. lim = lim = lim = x → −1 x² − 1 x → −1 ( x + 1)( x − 1) x → −1 x − 1 2 x² − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) x−2 1 6. lim = lim = lim =− x →1 x ² + 4 x − 5 x →1 ( x − 1)( x + 5) x →1 x + 5 6 x − 16 4 ( x − 2)( x + 2)( x ² + 4) 7. lim = lim = lim( x + 2)( x ² + 4) = 32 x →2 x − 2 x→2 x−2 x →2 x −1 7 7 8. lim 5 = x →1 x − 1 5 x² − 3x + 2 ( x − 2)( x − 1) x −1 9. lim = lim = lim =∞ x →2 ( x − 2)² x →2 ( x − 2)² x →2 x − 2 x³ − 8 10. lim =3 x →2 x ² − 4 x³ − 1 ( x − 1).( x ² + x + 1) 11. lim = lim =∞ x →1 x ² − 2 x + 1 x →1 ( x − 1)²
Các bài tập hàm số liên tục Page 2 10/26/2010 x³ − 2 x + 4 ( x + 2).( x ² − 2 x + 2) 12. lim = lim = −5 x → −2 x² + 2x x → −2 x Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai 0 • Phương pháp : Khử dạng vô định bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp 0 Cần nhớ : • a – b = ( a + b )( a − b ) • a – b = (3 a − 3 b )(3 a ² + 3 a .3 b + 3 b ² ) Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : x + 1 − x² + x + 1 ( x + 1 − x ² + x + 1)( x + 1 + x ² + x + 1) 1. lim = lim x →0 x x →0 x ( x + 1 + x ² + x + 1) − x² 0 = lim = =0 x →0 x ( x + 1 + x ² + x + 1) 2 1 + 2x − 3 ( 1 + 2 x − 3)( 1 + 2 x + 3)( x + 2) 2. lim = lim x →4 x −2 x→4 ( 1 + 2 x + 3)( x − 2)( x + 2) (1 + 2 x − 3²).( x + 2) 2.( x − 4).( x + 2) 4 = lim = lim = x →4 ( 1 + 2 x + 3).( x − 2²) x →4 ( x − 4).( 1 + 2 x + 3) 3 x− x+2 ( x ² − x − 2).( 4 x + 1 + 3) 3. lim = lim x →2 4x + 1 − 3 x→2 (4 x + 1 − 9).( x + x + 2 ) ( x + 1)( x − 2).( 4 x + 1 + 3) 9 = lim = x→2 4.( x − 2).( x + x + 2 ) 8 1− 1− x 1 4. lim = x →0 x 2 1− x 5. lim = −1 x →1 x² + 3 − 2 1− 3 1− x x 1 = lim = 6. lim x →0 3x x →0 3 [ 3x 1 + 1 − x + 3 (1 − x )² 9 ] 1+ 3 x 2 7. lim =− x → −1 x² + 3 − 2 3 1+ x − 2 ( 1 + x − 2 ).( 1 + x + 2 ).(3 x ² + 3 x + 1 3 8. lim = lim = x →1 3 x −1 x →1 ( 1 + x + 2 ).(3 x − 1).(3 x ² + 3 x + 1) 2. 2 Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ P ( x) ∞ lim ( có dạng ) x →∞ Q ( x ) ∞ • Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 3x² − 5x + 1 1. lim =3 x →∞ x² − 2 x² − 1 2. lim =1 x →∞ ( x + 2)( x − 5) − x³ + x + 1 3. lim =∞ x →∞ x² − 2
Các bài tập hàm số liên tục Page 3 10/26/2010 (3 x ² + 1).(5 x + 3) 4. lim =0 x →∞ ( 2 x ³ − 1).( x + 1) 3x² − 7 x + 1 3 5. lim = x →∞ 2 x ² − 5 x + 3 2 x 4 + 3x² − 2 + 2 x² = 3 6. lim x →∞ 5x² + 3 5 3 x + x² − 1 5 7. lim =∞ x →∞ 2x + 7 x² + 2 + 3x 8. lim =4 x → +∞ 4 x² + 1 − x x ² + 2 + 3x 2 9. lim =− x →− ∞ 4 x² + 1 − x 3 10. xlim ( 4 x ² − 4 x + 3 − 2 x) = −1 → +∞ 11. xlim ( 4 x ² − 4 x + 3 − 2 x) = +∞ →−∞ Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai •Phương pháp : ∞ – Trường hợp 1 : Khử dạng vô định bằng cách chia tử và mẩu cho lũy ∞ thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định ∞ − ∞ bằng cách nhân thêm lượng biểu thức liên hợp • Cần nhớ : x → + ∞ thì x = x ² x → – ∞ thì x = – x ² Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : x² + 1 + x² − 4 x 1 4 1+ + 1− x² + 1 + x² − 4 x x² x² x 1. lim = lim = lim =2 x →∞ x² − x + 1 x →∞ x² − x + 1 x →∞ 1 1 1− + x² x x² ( x ² − x + 3 + x )( x ² − x + 3 − x) 2. lim ( x ² − x + 3 + x) = lim x →−∞ x→ −∞ ( x ² − x + 3 − x) x² − x + 3 − x² = lim x →−∞ x² − x + 3 − x 3 − x(1 − ) − x+3 x 1 = lim = lim = x→ −∞ x² − x + 3 − x x→ −∞ 1 3 2 − x( 1 − + + 1) x x² ( x ² − 4 x − x)( x ² − 4 x + x) − 4x 3. lim ( x ² − 4 x − x) = lim = lim x → +∞ x → +∞ x² − 4x + x x → +∞ x² − 4 x + x − 4x lim = −2 = x →+∞ 4 x ( 1 − + 1) x
Các bài tập hàm số liên tục Page 4 10/26/2010 x² − x 4. lim = −1 x →−∞ x +1 x² − x 5. lim =1 x → +∞ x +1 6. xlim ( x + 3).( x ² + 4 − x) ( dạng ∞ .0 ) đs : 2 → +∞ 7. lim x →−∞ [ ] 4 x² + 7 x + 2 x = − 7 4 HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 : Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện – Tính f ( x 0 ) – Tính x→ x0 f ( x) lim – So sánh x→ x0 f ( x) = f ( x 0 ) lim Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số : x +1 1.f(x) = tại x = 1 , x = 2 x−2 Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2 x +1 lim f ( x) = lim = −2 x →1 x →1 x−2 lim f ( x) = f(1) x→1 Vậy f(x) liên tục tại x = 1 Tại x = 2 thì f(x) không xác định Vậy f(x) không liên tục tại x = 2  3x² − 2 x − 1  khi x > 1 2.f(x) =  x −1 2 x + 3 khi x ≤ 1  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 Tacó : f(1) = 5 3x² − 2 x − 1 ( x − 1)(3 x + 1) lim = lim =4 + x →1 x −1 x →1+ x −1 lim (2 x + 3) = 5 − x →1 Không tồn tại lim f ( x) x→1 Vậy f(x) không liên tục tại x = 1  2 khi x = 2  3. f(x) =  2( x − 2)  khi x ≠ 2  x² − 3x + 2 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 Ta có : f(2) = 2 2( x − 2) 2( x − 2) lim f ( x ) = lim = lim =2 x →2 x→ 2 x ² − 3 x + 2 x →2 ( x − 1)( x − 2)
Các bài tập hàm số liên tục Page 5 10/26/2010 lim f ( x) = f(2) x→ 2 Vậy f(x) liên tục tại x = 2  4 khi x = 1  4. f(x) =  x ³ − x ² + 2 x − 2  khi x ≠ 1  x −1 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) x + 1 khi x ≤ 1  5.f(x) =  1  khi x > 1  x² − 3x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 )  1 khi x = 2   6. f ( x) =  1 − 2x − 3  khi x ≠ 2  2−x  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 )  1  4 khi x = 0  7. f ( x) =  1 − cos x khi x ≠ 0  sin ² x  Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 ) 8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1 x² − 3x + 2 a. f(x) = x −1 x² − 3x + 2 ( x − 1).( x − 2) Ta có : lim f ( x ) = lim = lim = −1 x →1 x →1 x −1 x →1 x −1 Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1  x² − 3x + 2  x −1 khi x ≠ −1 Vậy f(x) =  − 1 khi x = −1  1 b. f(x) = x −1 1 Ta có : lim f ( x) = lim = +∞ x →1+ x →1 x − 1 + 1 lim f ( x ) = lim =− ∞ x →1 − x →1 x − 1 − Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1 Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1 9.Định a để f(x) liên tục tại x = x 0  x² − 4  x − 2 khi x ≠ 2 a. f(x) =  a khi x = 2  Định a để f(x) liên tục tại x = 2
Các bài tập hàm số liên tục Page 6 10/26/2010  3x² − 2 x − 1  khi x > 1 b. f(x) =  x −1 ax + 2 khi x ≤ 1  Định a để f(x) liên tục tại x =1 (a=2)  1− x − 1+ x  khi − 1 ≤ x < 0  x c.f(x) =  a + 4 − x khi x ≥ 0   x+2 Định a để f(x) liên tục tại x = 0 Ta có : f(0) = a + 2 4−x lim f ( x) = lim (a + )=a+2 x →0+ x →0+ x+2 1− x − 1+ x −2 lim f ( x) = lim = lim = −1 x 1− x + 1+ x − − − x →0 x →0 x →0 ⇒ f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi : f(0) = x →0+ f ( x) = x →0− ⇔ a = – 3 lim lim Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0 1 − cos 4 x  khi x < 0  x. sin 2 x d. f(x) =  x + a khi x ≥ 0  x +1  Định a để f(x) liên tục tại x = 0 (a=2) 2 − 4 − x  khi x ≠ 0  x e. f(x) =  1 khi x = 0 4  Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0 Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) f(x) gián đoạn tại x 0 ⇔ f(x) không liên tục tại x 0 • Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x 0 khi : – hoặc f(x) không xác định tại x 0 – hoặc không tồn tại x→ x0 f ( x) lim – x→ x0 f ( x) ≠ f( x 0 ) lim Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 2x + 1 1. f(x) = Tại x = 2 thì f( x ) không xác định x−2 Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2
Các bài tập hàm số liên tục Page 7 10/26/2010 − 2 khi x = 2  2. f(x) =  2( x − 1)  khi x ≠ 2  x² − 3x + 2 f(x) xác định ∀ x ∈ R {1;2} f(x) là hàm hữu tỉ ⇒ f(x) liên tục ∀ x ∈ R {1;2} 2( x − 1) 2( x − 1) 2 • Khi x ≠ 1 : Ta có f(x) = = = x ² − 3 x + 2 ( x − 1).( x − 2) x − 2 ⇒ f(x) không xác định tại x = 2 ⇒ f(x) gián đoạn tại x = 2 • Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2 2( x − 1) 2( x − 1) lim f ( x) = lim = lim = −2 x →1 x →1 x ² − 3 x + 2 x →1 ( x − 1).( x − 2) ⇒ lim f ( x) = x→1 f(1) ⇒ f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2 Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số : •Phương pháp : Sử dụng định lí Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) = 3x 4 –2x³ + x² – 3x + 2 Ta có : f(x) = 3x 4 –2x³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức Vậy f(x) liên tục trên R x² − 4 x + 2 2. f(x) = x −1 TXD : D = R {1} x² − 4 x + 2 Ta có : f(x) = là hàm hữu tỷ x −1 Vậy f(x) liên tục trên D = R {1} 3x² + 2 x + 1 3. f(x ) = liên tục trên R x² + 2 1 4. f(x) = liên tục trên R {1} x  x³ − 4 x² + x + 6  khi x ≠ 2 5.f(x) =  x−2 − 3 khi x = 2 
Các bài tập hàm số liên tục Page 8 10/26/2010 Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số : • Phương pháp : – Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức – Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (– ∞ ; a ) và ( a ; + ∞ ) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :  x² − 5x + 6  khi x ≠ 2 1. f(x) =  x − 2 a khi x = 2  x² − 5x + 6 • x ≠ 2 thì f(x) = liên tục ∀ x ≠ 2 x−2 • x = 2 , Ta có : f(2) = a x² − 5x + 6 ( x − 2.( x − 3) lim f ( x) = lim = lim = −1 x →2 x →2 x−2 x →2 x−2 – Nếu a = –1 thì f(2) = lim f ( x) nên f(x) liên tục tại x = 2 x→ 2 – Nếu a ≠ 1 thì f(2) ≠ lim f ( x) nên f(x ) không liên tục tại x = 2 x→ 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R a ≠ 1 thì f(x) liên tục trên ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ )  x ² − 7 x + 12  khi x < 3 2. f(x) =  x −3 2 x + b khi x ≥ 3  x ² − 7 x + 12 • Với x < 3 thì f(x) = là hàm phân thức hữu tỷ x −3 ⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 ) • Với x > 3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức ⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; + ∞ ) • Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b lim (2 x + b) = 6 + b x →3+ x ² − 7 x + 12 ( x − 3).( x − 4) lim = lim = −1 x →3 − x−3 x →3 − x−3 – Nếu 6 + b = –1 ⇔ b = – 7 thì lim = lim = f(3) nên f(x) liên tục tại x = 3 + x →3 x →3 − lim – Nếu 6 + b ≠ –1 ⇔ b ≠ – 7 thì x →3+ ≠ lim nên f(x) không liên tục tại x = 3 x →3− Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R b ≠ – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 ) và ( 3 ; + ∞ )  1 ax + 4 khi x ≤ 2  3.f(x) =  3  3x + 2 − 2 khi x > 2  x−2  a = 0 thì f(x) liên tục trên R a ≠ 0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ )
Các bài tập hàm số liên tục Page 9 10/26/2010 Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x 0 ∈( a ; b ) • Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên [ a ; b] – Chứng minh f(a).f(b)< 0 Ví dụ : 1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt Giải Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R f(2) = 3 Ta có :  ⇒ f(2).f(1) = -3 < 0 thì ∃ x 1 ∈( 1 ; 2 ) : f( x 1 ) = 0 f(1) = − 1 f(1) = - 1  ⇒ f(1).f(-1) = -3 < 0 thì ∃ x 2 ∈( – 1 ; 1 ) : f( x 2 ) = 0 f(-1) = 3 f(-1) = 3  ⇒ f(-1).f(-2) = -3 < 0 thì ∃ x 3 ∈( –1 ;– 2) : f( x 3 ) 0 f(-2) = - 1 Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 2. Chứng minh phương trình : 2x 4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1) Giải Đặt f(x) = 2x 4 + 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R f(1) = 4 Ta có :  ⇒ f(1).f(0) = -12 < 0 thì ∃ ít nhất x 1 ∈( 0 ; 1 ) : f( x 1 ) = 0 f(0) = −3 f(0) = - 3  ⇒ f(0).f(-1) = -6 < 0 thì ∃ ít nhất x 2 ∈( 0 ;– 1 ) : f( x 2 ) = 0 f(-1) = 2 Vậy phương trình : 2x 4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1) 3.Chứng minh phương trình : x 17 = x 11 + 1 có nghiệm Giải Đặt f(x) = x 17 – x 11 – 1 thì f(x) liên tục trên R f(0) = - 1 Ta có :  ⇒ f(0).f(2) < 0 thì ∃ ít nhất x 1 ∈( 0 ; 1 ) : f( x 1 ) = 0 f(2) > 0 Vậy phương trình : x 17 – x 11 – 1 = 0 có nghiệm 4.Chứng minh phương trình : x 5 –3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1 ; 2) ( f(1).f(2)< 0 ) 5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm ( f(1).f( – 2) < 0 ) 6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x – a)( x – b ) = 0 luôn có nghiệm ( f(a). f(b).f(c).f(0) ≤ 0 )

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.